Реферат: Прогнозирование временных рядов

Министерство общего и профессионального образования РФ

Башкирский государственныйуниверситет

Кафедра финансов иналогообложения

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему “Прогнозирование временных рядов”

выполнила студентка 3 курса

экономического факультета

гр. 3.6. Абдулалимова А.А.

Научный руководитель –

Саяпова А.Р.

Уфа — 2001

Содержание

1.Теоретическая часть                                                                                  3

2.Характеристика исходных данных                                                          6

3.Практическая часть

3.1.Компонентный анализ

3.1.1.Оценка и удаление тренда                                                                  8

3.1.2.Оценка и удаление сезонной компоненты                                      10

3.1.3.Моделирование ССП                                                                        11

3.1.4.Установление адекватности модели                                               17

3.2.Адаптивные модели                                                                               20

4.Вывод                                                                                                         23

1.Теоретическая часть.

Терминэкономико-математические методы понимается как обобщающее название комплексаэкономических и математических научных дисциплин, объединенных для изученияэкономических процессов и систем.

Основнымметод исследования систем является метод моделирования, т.е. способтеоретического анализа и практического действия, направленный на разработку ииспользование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реальногопроцесса, отражающий его существенные свойства.

Подзадачами экономико-математического моделирования понимаются: анализэкономических объектов и процессов, экономическое прогнозирование, предвидениеразвития экономических процессов.

Мырассматриваем два вида экономико-математических моделей: адаптивные модели икомпонентный анализ.

Адаптивныемодели прогнозирования – это модели, способные приспосабливать свою структуру ипараметры к изменению условий.

Общаясхема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом.По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. Поимеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение отфактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, котораяучитывается в соответствии со схемой корректировки модели. Далее по модели соскорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующиймомент времени и т.д. Т.о. модель постоянно учитывает новую информацию и кконцу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую вданный момент.

Вкурсе математического моделирования мы рассматриваем три адаптивные модели:модель Брауна, модель Хольта и модель Хольта-Уинтерса. Эти модели имеютпараметры сглаживания: модель Брауна – один, модели Хольта и Хольта-Уинтерса –два и три соответственно.

Теперьо компонентном анализе временных рядов. Временной ряд состоит из несколькихкомпонент: тренд, сезонная компонента, циклическая компонента (стационарныйслучайный процесс) и случайная компонента.

Подтрендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течениепродолжительного времени. Оценка тренда осуществляется параметрическим инепараметрическим методами. Параметрический метод заключается в подборе гладкойфункции, которая описывала бы тенденцию ряда: линейный тренд, полином и т.д.Непараметрический метод используется, когда нельзя подобрать гладкую функцию и заключаетсяв механическом сглаживании временных рядов методом скользящей средней.

Во временных рядахэкономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания.Если они строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в теченииодного года, то их называют сезонными колебаниями. Оценка сезонной компонентыосуществляется двумя способами: с помощью тригонометрических функций и методомсезонных индексов.

Втех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, чтово временном ряде присутствует циклическая компонента или стационарныйслучайный процесс. Моделирование ССП осуществляется следующими методами: модельавторегрессии (АР), модель скользящего среднего (СС), модель авторегрессиискользящего среднего (АРСС) и модель авторегрессии проинтегрированногоскользящего среднего (АРПСС).

Авторегрессионныйпроцесс – процесс, в котором значения находятся в линейной зависимости отпредыдущих. АР бывают первого порядка (Марковский процесс) и второго(процессЮла). Порядок АР обозначается через p.

Вмоделях скользящего среднего мы выделяем период запаздывания (q).

Еслиу нас присутствуют и pи q, то мы имеем дело с моделью АРСС.

Вмоделях АР, СС, АРСС моделируют ряд без тренда и сезонной компоненты, т.е. ССП.Модель АРПСС позволяет исключить тренд путем перехода к разностям исходногоряда. Порядок разности, при котором ряд становится ССП дает нам d, которая является третьей неизвестной необходимой примоделировании АРПСС плюс ранее упомянутые pи q.

Прогнозированиес помощью компонентного анализа состоит из следующих шагов: оценка и удалениетренда, оценка и удаление сезонной компоненты, моделирование ССП,конструирование прогнозной модели и выполнение прогноза.

Вконце, после прогнозирования мы проверяем полученную модель на адекватность,т.е. соответствие модели исследуемому объекту или процессу. Т.к. полногосоответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность– в какой-то мере – условное понятие. Модель временного ряда считаетсяадекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда.

2.Характеристика исходных данных.

Дата<span Arial Unicode MS"">

Данные<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

Дата<span Arial Unicode MS"">

Данные<span Arial Unicode MS"">

17.09.2001<span Arial Unicode MS"">

87,5546<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

31.10.2001<span Arial Unicode MS"">

90,1826<span Arial Unicode MS"">

18.09.2001<span Arial Unicode MS"">

87,4391<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

1.11.2001<span Arial Unicode MS"">

89,8761<span Arial Unicode MS"">

19.09.2001<span Arial Unicode MS"">

84,5301<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

2.11.2001<span Arial Unicode MS"">

91,5291<span Arial Unicode MS"">

20.09.2001<span Arial Unicode MS"">

83,7572<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

5.11.2001<span Arial Unicode MS"">

93,2659<span Arial Unicode MS"">

21.09.2001<span Arial Unicode MS"">

79,2693<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

6.11.2001<span Arial Unicode MS"">

93,1579<span Arial Unicode MS"">

24.09.2001<span Arial Unicode MS"">

82,4232<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

7.11.2001<span Arial Unicode MS"">

94,5799<span Arial Unicode MS"">

25.09.2001<span Arial Unicode MS"">

84,3556<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

8.11.2001<span Arial Unicode MS"">

95,0691<span Arial Unicode MS"">

26.09.2001<span Arial Unicode MS"">

84,5737<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

9.11.2001<span Arial Unicode MS"">

94,7875<span Arial Unicode MS"">

27.09.2001<span Arial Unicode MS"">

83,9814<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

12.11.2001<span Arial Unicode MS"">

93,4776<span Arial Unicode MS"">

28.09.2001<span Arial Unicode MS"">

86,3375<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

13.11.2001<span Arial Unicode MS"">

95,5143<span Arial Unicode MS"">

1.10.2001<span Arial Unicode MS"">

86,599<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

14.11.2001<span Arial Unicode MS"">

96,8397<span Arial Unicode MS"">

2.10.2001<span Arial Unicode MS"">

87,3761<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

15.11.2001<span Arial Unicode MS"">

97,4543<span Arial Unicode MS"">

3.10.2001<span Arial Unicode MS"">

88,0099<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

16.11.2001<span Arial Unicode MS"">

97,5407<span Arial Unicode MS"">

4.10.2001<span Arial Unicode MS"">

89,8228<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

19.11.2001<span Arial Unicode MS"">

98,2696<span Arial Unicode MS"">

5.10.2001<span Arial Unicode MS"">

88,9447<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

20.11.2001<span Arial Unicode MS"">

98,2506<span Arial Unicode MS"">

8.10.2001<span Arial Unicode MS"">

89,3786<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

21.11.2001<span Arial Unicode MS"">

97,4645<span Arial Unicode MS"">

9.10.2001<span Arial Unicode MS"">

89,2734<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

22.11.2001<span Arial Unicode MS"">

98,0953<span Arial Unicode MS"">

10.10.2001<span Arial Unicode MS"">

89,7515<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

23.11.2001<span Arial Unicode MS"">

98,0437<span Arial Unicode MS"">

11.10.2001<span Arial Unicode MS"">

92,0404<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

26.11.2001<span Arial Unicode MS"">

98,6222<span Arial Unicode MS"">

12.10.2001<span Arial Unicode MS"">

91,4634<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

27.11.2001<span Arial Unicode MS"">

97,7607<span Arial Unicode MS"">

15.10.2001<span Arial Unicode MS"">

91,8107<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

28.11.2001<span Arial Unicode MS"">

96,628<span Arial Unicode MS"">

16.10.2001<span Arial Unicode MS"">

92,3968<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

29.11.2001<span Arial Unicode MS"">

96,2972<span Arial Unicode MS"">

17.10.2001<span Arial Unicode MS"">

91,9989<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

30.11.2001<span Arial Unicode MS"">

97,5226<span Arial Unicode MS"">

18.10.2001<span Arial Unicode MS"">

90,6101<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

3.12.2001<span Arial Unicode MS"">

96,5187<span Arial Unicode MS"">

19.10.2001<span Arial Unicode MS"">

90,8081<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

4.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,0024<span Arial Unicode MS"">

22.10.2001<span Arial Unicode MS"">

91,0108<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

5.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,7592<span Arial Unicode MS"">

23.10.2001<span Arial Unicode MS"">

92,4902<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

6.12.2001<span Arial Unicode MS"">

99,9798<span Arial Unicode MS"">

24.10.2001<span Arial Unicode MS"">

92,1829<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

7.12.2001<span Arial Unicode MS"">

99,3854<span Arial Unicode MS"">

25.10.2001<span Arial Unicode MS"">

91,4308<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

10.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,6803<span Arial Unicode MS"">

26.10.2001<span Arial Unicode MS"">

93,6935<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

11.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,9448<span Arial Unicode MS"">

29.10.2001<span Arial Unicode MS"">

92,3283<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

12.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,4542<span Arial Unicode MS"">

30.10.2001<span Arial Unicode MS"">

90,1196<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

<span Arial Unicode MS"">

13.12.2001<span Arial Unicode MS"">

96,913<span Arial Unicode MS"">

Эти данные – это низшаяотметка индекса Доу Джонса на торгах. Данные взяты с интернета на период с 17 сентябряпо 13 декабря 2001г. Показания являются ежедневными, в неделе 5 дней торгов.Нужно будет дать прогноз на 26 декабря 2001г.

3.Практическая часть.

3.1.Компонентныйанализ.

3.1.1.Оценкаи удаление тренда.

А.)Сперва нужно выяснить, имеет ли исходный ряд тренд. Для этого проводитсяспектральный анализ исходного ряда.

<img src="/cache/referats/6132/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

рис.1

На рис.1 показан спектрисходного ряда, по которому видно, что в ряде присутствует тренд.

Б.)Длятого чтобы оценить тренд параметрическим методом подберем гладкую функцию,описывающую долгосрочную тенденцию исходного ряда.

На рис.2 — график исходного ряда и линейныйтренд описывающий его тенденцию. Наш временной ряд имеет тенденцию к росту.

В.) Теперь, определивтренд, нужно его удалить вычитанием из исходного ряда.

На рис.3 показан графикисходного временного ряда только уже без тренда.

<img src="/cache/referats/6132/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

рис.2

<img src="/cache/referats/6132/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

рис.3

3.1.2.Оценка и удалениесезонной компоненты.

А.) Выяснение наличиясезонной компоненты в ряде с удаленным трендом производится, как и в случаетренда, с помощью спектрограммы. Смотрится спектр ряда с удаленным трендом ивыясняется наличие или отсутствие сезонности. В случае ее наличия также поспектрограмме находится период колебаний и потом удаляется сезонная компонента.

<img src="/cache/referats/6132/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

рис.4

На рис.4 представленаспектрограмма ряда с удаленным трендом.

Б.) По спектрограммевидно, что в данном ряде сезонность отсутствует. Теперь можно приступать кмоделированию случайного стационарного процесса (ССП).

3.1.4.Моделирование ССП.

Мы проведем моделированиеССП методами АРСС и АРПСС, а потом выберем наиболее верный.

А.) Модель АРСС строитсяна ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой. Сначала выясняют порядки p и q. Для того, чтобы их выяснить, строяткоррелограммы АКФ для нахождения q и ЧАКФ для нахождения p. Их строят на ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой.

<img src="/cache/referats/6132/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

рис.5

На рис.5 показанакоррелограмма АКФ, на рис.6 – ЧАКФ. С помощью этих коррелограмм и эмпирическогопоиска наименьшей среднеквадратичной ошибки мы определяем неизвестныепараметры: p=2, q=1.

Теперь можно приступать кмоделированию ССП методом АРСС.

<img src="/cache/referats/6132/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

рис.6

<img src="/cache/referats/6132/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

рис.7

На рис.7 смоделирован ССПметодом АРСС с параметрами p=2,q=1 исреднеквадратичной ошибкой 1,5822. Дальнейшее преобразование в прогнозвременного ряда осуществляется сложением тренда и смоделированного ССП (рис.8).

<img src="/cache/referats/6132/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

рис.8

Дата<span Arial Unicode MS"">

Прогноз<span Arial Unicode MS"">

14.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,8013<span Arial Unicode MS"">

17.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,6445<span Arial Unicode MS"">

18.12.2001<span Arial Unicode MS"">

99,4309<span Arial Unicode MS"">

19.12.2001<span Arial Unicode MS"">

100,154<span Arial Unicode MS"">

20.12.2001<span Arial Unicode MS"">

100,809<span Arial Unicode MS"">

21.12.2001<span Arial Unicode MS"">

101,397<span Arial Unicode MS"">

24.12.2001<span Arial Unicode MS"">

101,921<span Arial Unicode MS"">

25.12.2001<span Arial Unicode MS"">

102,383<span Arial Unicode MS"">

26.12.2001<span Arial Unicode MS"">

102,791<span Arial Unicode MS"">

Б.) Моделирование спомощью АРПСС производится на исходном ряде. Перво-наперво нужно определитьпорядки p, d и q. На практике это делается на основеразностей только первого или второго порядков. Термин «проинтегрированный»означает, какого порядка нужно взять разность, чтобы получить ССП. Тогдапорядком разности и будет d.p и q определяются с помощью коррелограммЧАКФ (рис.10) и АКФ (рис.9) ССП, полученного разностями.

Порядок мы определили: d=1. Но порядки p и q трудно определить по нашимкоррелограммам, и поэтому мы их определяем эмпирическим методом по наименьшейсреднеквадратичной ошибке: p=1,q=2.

<img src="/cache/referats/6132/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

рис.9

<img src="/cache/referats/6132/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

рис.10

Теперь строим модельАРПСС.

На рис.11 построенамодель АРПСС с параметрами p=1,d=1, q=2. Среднеквадратичная ошибка равна1,6853. прогноз на 26.12.2001 равен 99,429.

<img src="/cache/referats/6132/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

рис.11

Дата<span Arial Unicode MS"">

Прогноз<span Arial Unicode MS"">

14.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,179<span Arial Unicode MS"">

17.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,539<span Arial Unicode MS"">

18.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,868<span Arial Unicode MS"">

19.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,17<span Arial Unicode MS"">

20.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,452<span Arial Unicode MS"">

21.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,715<span Arial Unicode MS"">

24.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,965<span Arial Unicode MS"">

25.12.2001<span Arial Unicode MS"">

99,202<span Arial Unicode MS"">

26.12.2001<span Arial Unicode MS"">

99,429<span Arial Unicode MS"">

3.1.4.Установлениеадекватности модели.

Для определенияадекватности модели строится спектрограмма ряда остатков после моделированияССП. Модель считается адекватной, если спектр этого ряда является спектром«белого шума». Спектр «белого шума» представляет собой линию горизонтальную осиабсцисс.

Спектр ряда, оставшегосяпосле моделирования АРСС (рис.12) далеко не похож на спектр «белого шума». Этоговорит о том, что эта модель не является адекватной.

<img src="/cache/referats/6132/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

рис.12

<img src="/cache/referats/6132/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

рис.13

Спектральный анализостатков после моделирования АРПСС (рис.13) также говорит о том, чтопостроенная модель является неадекватной.

3.2.Адаптивные модели.

Строить прогноз с помощьюадаптивных моделей мы будем моделью Хольта.

<img src="/cache/referats/6132/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

рис.14

Дата<span Arial Unicode MS"">

Прогноз<span Arial Unicode MS"">

14.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,063<span Arial Unicode MS"">

17.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,211<span Arial Unicode MS"">

18.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,36<span Arial Unicode MS"">

19.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,509<span Arial Unicode MS"">

20.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,657<span Arial Unicode MS"">

21.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,806<span Arial Unicode MS"">

24.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,954<span Arial Unicode MS"">

25.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,103<span Arial Unicode MS"">

26.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,251<span Arial Unicode MS"">

На рис.14 построенаадаптивная модель Хольта нашего исходного ряда. Параметры адаптации следующие:Альфа=0,998, Гамма=0. Среднеквадратичная ошибка равна 1,6469. Прогноз на26.12.2001 составляет 98,251. По спектру ряда остатков (рис.15) видно, что этамодель является неадекватной.

<img src="/cache/referats/6132/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

рис.15

4.Вывод.

Мы рассмотрели три модели– АРСС, АРПСС, адаптивную модель Хольта. Все построенные модели являютсянеадекватными. Тем не менее мы должны выбрать наиболее подходящую, ту, котораядает наиболее правдоподобный прогноз.

Модель АРПСС содержитнаибольшую из трех моделей среднеквадратичную ошибку. Да и график прогноза неочень хорошо вписывается в динамику всего предыдущего процесса.

Адаптивная модель Хольтасодержит чуть меньшую среднеквадратичную ошибку, чем АРПСС, но график ее прогноза,во всяком случае, не лучше совпадает с общей динамикой, показывая менее крутойподъем индекса, чем на протяжении всего ряда.

Наиболее удачной я считаюмодель АРСС. Она содержит, пусть не сильно отличающуюся, но наименьшуюсреднеквадратичную ошибку. Ее прогноз показывает рост индекса, причем он болееили менее соблюдает динамику всего временного ряда, динамику роста.

Т.о. я останавливаюсь напрогнозе, сделанном с помощью модели АРСС (рис.16).

<img src="/cache/referats/6132/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

рис.16

p=2, q=1, MS(среднеквадратичноеотклонение)=1,5822.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Дата<span Arial Unicode MS"">

Прогноз<span Arial Unicode MS"">

14.12.2001<span Arial Unicode MS"">

97,8013<span Arial Unicode MS"">

17.12.2001<span Arial Unicode MS"">

98,6445<span Arial Unicode MS"">

18.12.2001<span Arial Unicode MS"">

99,4309<span Arial Unicode MS"">

19.12.2001<span Arial Unicode MS"">

100,154<span Arial Unicode MS"">

20.12.2001<span Arial Unicode MS"">

100,809<span Arial Unicode MS"">

21.12.2001<span Arial Unicode MS"">

101,397<span Arial Unicode MS"">

24.12.2001<span Arial Unicode MS"">

101,921<span Arial Unicode MS"">

25.12.2001<span Arial Unicode MS"">

102,383<span Arial Unicode MS"">

26.12.2001<span Arial Unicode MS"">

102,791<span Arial Unicode MS"">

еще рефераты
Еще работы по экономико-математическому моделированию