Реферат: Метод конечных элементов

Основные положения метода конечных элементов исуперэлементов

Метод конечных элементов (МКЭ) занимает исключительноеместо в теории расчета конструкций, а его обобщение – метод суперэлементов –позволяет естественным образом ввести и описать идеею иерархически построенныхсложных систем.

/>Рассмотрим плоскую раму каркасапромышленного здания, стойки которой жестко защемлены в фундаментах, а ригелижестко прикреплены к стойкам. Ограничим рассмотрение случаем, когда на рамудействует только узловая нагрузка. Пронумеруем узлы – точки пересечения осейстержней друг с другом и “землей”. В каждом узле i рамы нанее могут действовать сосредоточенные силы Fx, Fyи момент М, заданные в некоторой глобальной системе координат, связаннойс рамой.

Введем в рассмотрение вектор {Fi} обобщенныхсил, действующих на раму в узле i

/>                              (1)

Совокупность внешних воздействий на всю раму будетхарактеризоваться вектором {F}:

/>                                (2)

Где N-число узлов рамы. Размерность этого вектора 3хN(пока не учитываем факт прикрепления некоторых узлов к “земле”). Под действиемвнешних сил {F} стержни рамы получают деформации, а узлыпереместятся. После перемещения узлов рамы будем описывать в глобальной системекоординат.  Перемещения {di} каждого узла характеризуется тремя числами –линейными перемещениями dxi, dyi и углом поворота ji,  являющимися компонентами вектора обобщенныхперемещений узла di:

/>                            (3)

А перемещения всей рамы вектором d:

/>                             (4)

Здесь, как и выше, неучитываются условия закрепления стоек рамы и узлов.

Напряженно-деформированное состояние каждого стержняудобнее характеризировать в локальной системе координат, связанной с ним. Осьх’ этой системы координат направим от “начала” q стержня кего “концу” r (понятие “начало” и ‘конец” условны и нужны толькодля того, чтобы задать положительное направление на оси х’), ось у’ – вплоскости рамы, а ось z’ – перпендикулярно плоскости. Положительныенаправления осей y’ и z’ выберем так, чтобы они образовывали  с x' правуюсистему координат.

Проведем в каждом стержне рамы по 2 поперечных сеченияна расстоянии, бесконечно близких к узлам – концам стержней qи r. В каждом из полученных решений в общем случаедействуют три усилия N, Q, M, приложенные к узлу. Введем вектор обобщенных усилийв сечении с’ стержня m:

/>                                (5)

И вектор усилий {fm},характеризующий напряженное сечение стержня m через векторыусилий в его концевых стержнях q и r(“начале ” и “конце”)

/>                                 (6)

(штрих означает, что компоненты {fm’}вычислены в локальной системе координат).

Вектор {fm’} полностью характеризует напряженно-деформированноесостояние стержня, если к его внутренним точкам не приложены внешниевоздействия и известны жесткостные характеристики стержня. Разумеется шестькомпонент вектора {fm’} связаны между собой уравнениями равновесия стержнякак жесткого тела, но эти уравнения в явном виде далее не используются.

Напряженно-деформированное состояние того же стержняхарактеризуется и вектором обобщенных перемещений концов стержня qи r, который строится из соответствующих компонентвектора, см. выражение (4):

/>                             (7)

Отметим, что при таком введении вектора обобщенныхперемещений стержня его напряженно деформированное состояние зависит не толькоот значений {dm},но и от способов прикрепления стержня m к узлам qи к и его жесткости.

Например, если бы конец q ригеля былприсоединен к стойке шарнирно, то усилие М в сечении qбыло бы равно нулю, независимо от значений компонент {dm}.

Компоненты вектора {fm’} заданны влокальной системе отсчета, а компоненты вектора {dm} – в глобальной. Для установления связи векторов {fm’}и {dm} впростейшем виде запишем компоненты {dm} тоже в локальной системе отсчета, связанной с рассматриваемымстержнем. Обозначим матрицу преобразования координат

/>                           (8)

через [L]:

/>             (9)

Тогда, например, компоненты /> вектора /> в локальной системекоординат запишутся в виде

/>                          (10)

Аналогично компоненты вектора />в глобальной системе отсчетасвязаны с компонентами />, соотношением

/>                            (11)

Векторы обобщенных усилий и перемещений для стержня,выраженные в локальной и глобальной системах отсчета, связаны соотношением

/>,     />              (12)

где матрица [Λ] имеет вид

/>                          (13)

Введем матрицу жесткости стержня [km’],характеризующую связь между векторами {fm’} и {dm}

/>                           (14)

Способ получения матрицы жесткости [km’]является предметом особого рассмотрения. Конкретные примеры вычисленияотдельных компонент матрицы [km’] для стержней с различными условиями закрепленияузлов приводятся в курсах строительной механики. Физическая сущность процессаполучения матрицы [km’] заключается в необходимости решения задачстроительной механики для отдельного стержня- получения вектора усилий вконцевых сечениях стержня по заданным перемещениям концов стержней (краеваязадача первого рода) или получение вектора перемещений концов стержня позаданным силовым воздействиям на его концах (краевая задача второго рода). Длястержневых элементов с жесткостью, постоянной по длине, задача решается взамкнутом виде и матрица [km’] известна. Для физических элементов более общеговида – пластинчатых различного очертания, оболочечных, сложных элементов,являющихся композицией элементов, более простых, — процедура получения матрицы[km’] сводится к фактическому решению той или иной задачистроительной механики или механики сплошной среды. Как правило решить этузадачу в общем виде на удается и матрица жесткости [km’] строитсячисленно для каждого из образующих конструкцию элементов.

В дальнейшем предполагается, что матрица [km’]известна. Для стержня, оба конца которого жестко прикреплены к узлам, она имеетвид:

/>   (15)

где Е-модуль упругости материала стержня; S-площадьпоперечного сечения; J-момент инерции сечения; I=EJ/l; l-длина стержня.

Фактический смысл компонент и блоков матрицы [km’]ясен. Блок [Kqq] и его компоненты характеризуют усилия, возникающие всечении q стержня при смещении узла q, а блок [Kqr]и его компоненты – усилия в сечении q стержняпри смещении узла r. В зависимости от ориентации систем отсчета и правилазнаков при определении усилий могут изменятся знаки некоторых компонент матрицы[K’m].

Основное соотношение (15) позволяет выразить усилия вконцевых сечениях каждого стержня через перемещения его концов – узлов системы.С другой стороны, усилия в концевых сечениях стержней с точностью до знакаравны силам, действующим со стороны стержней на узлы, поэтому матрица [K’m]позволяет связать перемещения узлов стержневой системы с силами, с которымистержни действуют на узлы при перемещениям последних.

Запишем систему равновесия узлов. Для узла имеемсистему трех уравнений равновесия:

/>                           (16)

где суммирование распространяется на все стержни,сходящиеся в узле i, а с обозначает сечение каждого их этихстержней, бесконечно близкое к узлу. Число этих уравнений равно числунеизвестных перемещений узла. Но поскольку величины {fmc}зависятне только от перемещений указанного узла, но, в силу (14)-(15), и отперемещений соседних узлов, с которыми узел i связанхотя бы одним стержнем, то уравнение (16) для узла i входят иперемещения соседних узлов. Чтобы определить перемещения соседних узлов,системы уравнения типа (16) надо записать для всех узлов системы и решать ихсовместно.

Уравнение (16) удобно записывать в глобальной системеотсчета, а связь (14) установлена в локальной системе координат, связанных сотдельными стержнями.

Чтобы работать постояннов глобальной системе координат, выразим связь (14) в глобальной системекоординат с помощью соотношений (10)-(13):

/>.                  (17)

Умножим это равенство слева на [Λ]-1и учтите при этом, что в силу ортогональности [Λ] имеетместо равенство

/>                                 (18)

Тогда

/>         (19)

Выражение (19) определяет матрицу [Km] вглобальной системе координат.

/>                        (20)

где суммирование распространяется на все стержни,соединяющиеся с узлом i. Полная система уравнений равновесия для стержневойсистемы с N узлами в матричной форме примет вид:

/>  />   (21)

Если какой-либо узел Р на связан ни с однимстержнем с узлом r, то блок [Kpr] в матрице (21)будет тождественно равен нулю. Таком образом, умея вычислять блоки [Kqq] и [Kqr] для отдельных стержней, на основании информации осистеме в целом можно построить систему уравнений равновесия (21) относительноискомых перемещений {d}. Вектор внешних сил {F}предполагается известным.

Наличие опорных закреплений приводит к тому, чтонекоторые компоненты вектора d заранееизвестны. Соответствующие компоненты должны быть исключены из искомого вектора{d}, равно как и столбцы с теми же номерами из матрицы(21). Уравнение равновесия для закрепленных узлов не составляются, чторавносильно уменьшению числа уравнений (числа строк в матрице) системы (21).

После этого можно решить систему (21) относительно {d}. Обычно для решения используются прямые методы, типа методапоследовательного исключения неизвестных Гаусса. Найдя {d}, по формулам (14) или (19) можно определить усилияво всех стержневых элементах системы, в том числе и стержнях, примыкающим копорным узлам. На этом заканчивается этап статического расчета стержневойконструкции.

Литература:

Геммерлинг Г.А. Система автоматизированногопроектирования стальных строительный конструкций. – М.: Стройиздат, 1987г.