Лабораторная работа: Исследование операций и Теория систем 3
Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра Системы управления
Курсовая работа
по курсу
Исследование операций и Теория систем
Выполнил: Пушников А.А.
Группа: ПС-669
Проверила Плотникова Н.В.
Дата«____»____________2006г.
Челябинск
2006г
Содержание
Теория систем
Модели системы
Модель черного ящика
Модель состава
Модель структуры
Структурная схема
Динамическая модель
Классификация модели
Закономерности модели
Исследование операций
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Теория систем
Модели системы
Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа.
Модель черного ящика
К входам системы относятся управляющие органы летательного аппарата и возмущения окружающей среды. Рассматриваемый самолет обладает органом управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями: элероны, закрылки, руль направления и высоты (рис. 1). Так же на самолет влияет скорость ветра, температура и плотность окружающего воздуха.
Рисунок 1. Рулевые органы ЛА
К выходам ЛА относятся данные, полученные с датчиков самолета. Непосредственно измеряется положение летательного аппарата в пространстве относительно нормальной системы координат, для этого используются датчики углового положения и система глобального позиционирования (GPS). Так же измеряются угловые скорости, угловые ускорения, линейные скорости и линейные ускорения (перегрузки).
Модель состава
Модель движения летательного аппарата можно разбить на следующие подсистемы и элементы:
· Аэродинамика летательного аппарата. Выражает воздушный поток вокруг самолета. Воздействие воздушного потока заключается в создании сил и моментов.
· Момент и сила тяги, вызываемые двигателем.
· Поступательное движение. Вычисляется скорость движения самолета в связной системе координат.
· Вращательное движение. Вычисляются угловые скорости самолета в связанной системе координат.
· Навигация. Вычисляет положение самолета в нормальной системе координат.
· Угловое положение. Через углы Эйлера или матрицу направляющих косинусов.
· Показания датчиков.
· Сигналы управляющих приводов. Положение ручка тяги, закрылок, элеронов, руля высоты и направления.
Модель структуры
Структура движения летательного аппарата определяется отношениями между следующими парами элементов, указанны прямые отношения (табл. 1).
Таблица 1
Аэродинамические моменты | Угловые скорости |
Аэродинамические силы | Угловые скорости |
Аэродинамические силы | Аэродинамические моменты |
Момент, вызываемый двигателем | Угловые скорости |
Сила тяги | Скорость движения самолета |
Сила тяги | Момент, вызываемый двигателем |
Скорость движения самолета | Навигация |
Навигация | Показания датчиков |
Скорость движения самолета | Показания датчиков |
Угловые скорости | Показания датчиков |
Сигналы управляющих приводов | Аэродинамические моменты |
Сигналы управляющих приводов | Аэродинамические силы |
Сигналы управляющих приводов | Момент и сила тяги, вызываемые двигателем |
Угловое положение | Угловые скорости |
Структурная схема
Так как в модели нас интересует функции каждого элемента системы, рассмотрим структурную схему в зависимости от сил и моментов, действующих на модель (рис. 2).
Рисунок 2.Структурная схема.
Динамическая модель
Обозначения:
– набор входных воздействий (входов) в системе – вектор управления (вход системы);
– набор выходных воздействий (выходов) в системе – набор данных получаемых с датчиков будет выходом системы;
– набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, – конструктивные и неконструктивные параметры летательного аппарата;
– набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) – линейные и угловые скорости, положение в пространстве и угловое положение, аэродинамические силы и моменты, силы и моменты в двигателе;
– параметр (или параметры) процесса в системе – t;
– правило — нелинейная зависимость скоростей и положения в пространстве летательного аппарата от вектора управления;
– правило — нелинейная зависимость показаний датчиков от вектора управления, скоростей и положения в пространстве летательного аппарата;
– правило — нелинейная зависимость показаний датчиков от скоростей и положения в пространстве.
Тогда модель может быть записана так:
Классификация модели
Классификация системы:
по их происхождению — искусственная система, машина;
по описанию входных и выходных процессов — c количественными переменными, непрерывная, детерминированная система;
по описанию оператора системы – параметризованная, разомкнутая, нелинейная;
по способам управления – система управляемая извне, с управлением типа регулирование;
Закономерности модели
1. Целостность. Совокупность аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность движения в воздухе.
2. Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе.
3. Коммуникативность. На полет летательного аппарата действуют температура окружающей среды, скорость и направление ветра, плотность воздуха и др.
4. Эквифинальность. Рано или поздно, самолет вынужден будет приземлится или разобьется. Т.о. скорости, ускорения, моменты и силы будут равны нулю.
Исследование операций
Задача 1
Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает А1 самолетами типа 1, А2 самолетами типа 2, А3 самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: В1 для самолетов типа 1, В2 для самолетов типа 2, В3 для самолетов типа 3.
Авиакомпания обслуживает два города. Первому городу требуется тоннаж в С1, а второму – в С2 т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.
Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «центральный аэродром – пункт назначения», обозначены символом aij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.
А1 =8, А2 = 15, А3 =12, В1 = 45, В2 = 7, В3 = 4, С1 = 20000, С2 = 30000, a11 = 23,
a12 = 5, a13 = 1.4, a21 = 58, a22 = 10, a23 =3.8.
Решение
1. Составим математическую модель задачи. Возьмём в качестве целевой функции расходы на перелеты самолетов (соответственно, необходима минимизация целевой вункции), а в качестве переменных – число рейсов в день xij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.
Целевая функция:
Ограничений задачи:
Основная задача линейного программирования:
2. Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:
Составим симплекс – таблицу:
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | x22 | x23 |
23 | 5 | 7/5 | 58 | 10 | 19/5 | |
y1 | 8 | 1 | 1 | |||
y2 | 15 | 1 | 1 | |||
y3 | 12 | 1 | 1 | |||
y4 | -20000 | -45 | -7 | -4 | ||
y5 | -30000 | -45 | -7 | -4 | ||
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | x22 | x23 |
23 | 5 | 7/5 | 58 | 10 | 19/5 | |
-150 | -10 | -10 | ||||
y1 | 8 | 1 | 1 | |||
y2 | 15 | 1 | 1 | |||
15 | 1 | 1 | ||||
y3 | 12 | 1 | 1 | |||
y4 | -20000 | -45 | -7 | -4 | ||
y5 | -30000 | -45 | -7 | -4 | ||
105 | 7 | 7 |
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | y2 | x23 |
-150 | 23 | -5 | 7/5 | 58 | -10 | 19/5 |
-228/5 | -19/5 | -19/5 | ||||
y1 | 8 | 1 | 1 | |||
x22 | 15 | 1 | 1 | |||
y3 | 12 | 1 | 1 | |||
12 | 1 | 1 | ||||
y4 | -20000 | -45 | -7 | -4 | ||
y5 | -29895 | 7 | -45 | 7 | -4 | |
48 | 4 | 4 |
bi | x11 | x12 | x13 | x21 | y2 | y3 |
-978/5 | 23 | -5 | -12/5 | 58 | -10 | -19/5 |
464 | -58 | -58 | ||||
y1 | 8 | 1 | 1 | |||
8 | 1 | 1 | ||||
x22 | 15 | 1 | 1 | |||
x23 | 12 | 1 | 1 | |||
y4 | -20000 | -45 | -7 | -4 | ||
y5 | -29847 | 7 | 4 | -45 | 7 | 4 |
360 | 45 | 45 |
bi | x11 | x12 | x13 | y1 | y2 | y3 | |
1342/5 | -35 | -5 | -12/5 | -58 | -10 | -19/5 | |
x21 | 8 | 1 | 1 | ||||
x22 | 15 | 1 | 1 | ||||
x23 | 12 | 1 | 1 | ||||
y4 | -20000 | -45 | -7 | -4 | |||
y5 | -29487 | 45 | 7 | 4 | 45 | 7 | 4 |
Ответ: Задача не имеет допустимого решения
Задача 2
№ вар | с1 | с2 | с3 | с4 | с5 | с6 | b1 | b2 | b3 | Знаки ограничений | a11 | a12 | a13 | a14 | |
1 | 2 | 3 | |||||||||||||
8 | 2 | 6 | 2 | –2 | 2 | 2 | 6 | 1 | = | = | = | –1 | 2 | 1 | |
№ вар. | a15 | a16 | a21 | a22 | a23 | a24 | a25 | a26 | a31 | a32 | a33 | a34 | a35 | a36 | Тип экстр. |
8 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | –1 | 1 | max |
1. Основная задача линейного программирования:
Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:
2. Составим симплекс – таблицу:
bi | x1 | x2 | |
2 | -4 | -6 | |
x3 | 2 | -1 | 2 |
x4 | 2 | 1 | 1 |
x5 | 1 | 1 | -1 |
3. Решим задачу линейного программирования.
bi | x1 | x2 | |
2 | -4 | -6 | |
6 | -3 | 3 | |
x3 | 2 | -1 | 2 |
1 | -0.5 | 0.5 | |
x4 | 2 | 1 | 1 |
-1 | 0.5 | -0.5 | |
x5 | 1 | 1 | -1 |
1 | -0.5 | 0.5 |
bi | x1 | x3 | |
8 | -7 | 3 | |
21/4 | 21/4 | -21/8 | |
x2 | 1 | -0.5 | 0.5 |
3/8 | 3/8 | -3/16 | |
x4 | 1 | 1.5 | -0.5 |
3/4 | 3/4 | -3/8 | |
x5 | 2 | 0.5 | 0.5 |
-3/8 | -3/8 | 3/16 |
bi | x4 | x3 | |
53/4 | 21/4 | 3/8 | |
x2 | 11/8 | 3/8 | 5/16 |
x1 | 3/4 | 3/4 | -3/8 |
x5 | 13/8 | -3/8 | 11/16 |
Оптимальное решение найдено.
Ответ: F=53/4, x1 =3/4, x2 =11/8, x3 =0, x4 =0, x5 =13/8, x6 =0.
Задача 3
№ вар. | а1 | а2 | а3 | b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | с11 | с12 | с13 |
8 | 200 | 200 | 600 | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 25 | 21 | 20 |
№ вар. | с14 | с15 | с21 | с22 | с23 | с24 | с25 | с31 | с32 | с33 | с34 | с35 |
8 | 50 | 18 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 |
Исходные данные:
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200 |
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 200 |
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 600 |
bi | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 1000 |
Определение опорного плана задачи
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200 |
200 | ||||||
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 600 |
300 | 200 | 100 | ||||
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 200 |
200 | ||||||
bi | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 600 |
L=5000+9000+6400+2500+4200=27300
r+m-1=7>5 это вырожденный случай.
Определение оптимального плана
1.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200+e1 |
200 | e1 | |||||
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 600 |
300 | 200 | 100 | ||||
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 200+e2 |
e2 | 200 | |||||
bi | 200 | 300+e1 | 200 | 100+e2 | 200 | 600+e1+e2 |
2.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200+e1 |
200+e1 | ||||||
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 600 |
200 | 100 | 200 | 100 | |||
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 200+e2 |
e2 | 200 | |||||
bi | 200 | 300+e1 | 200 | 100+e2 | 200 | 600+e1+e2 |
3.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200+e1 |
200+e1 | ||||||
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 600 |
200 | 100 | 200-e2 | 100+e2 | |||
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 200+e2 |
e2 | 200 | |||||
bi | 200 | 300+e1 | 200 | 100+e2 | 200 | 600+e1+e2 |
4.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200+e1 |
e2+e1 | 200-e2 | |||||
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 600 |
200 | 300-e2 | 100+e2 | ||||
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 200+e2 |
e2 | 200 | |||||
bi | 200 | 300+e1 | 200 | 100+e2 | 200 | 600+e1+e2 |
5. Результат
6.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200+e1 |
e2+e1 | 200-e2 | |||||
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 600 |
200 | 300-e2 | 100+e2 | ||||
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 200+e2 |
200 | e2 | |||||
bi | 200 | 300+e1 | 200 | 100+e2 | 200 | 600+e1+e2 |
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | аi | |
A1 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200 |
200 | ||||||
A2 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 600 |
200 | 300 | 100 | ||||
A3 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 200 |
200 | ||||||
bi | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 600 |
Так в системе нет положительных чисел, то найденный план называется оптимальным.
Ответ: F=19100
Задача 4
№ | b1 | b2 | c11 | c12 | c22 | extr | a11 | a12 | a21 | a22 | p1 | p2 | Знаки огр. |
1 | 2 | ||||||||||||
8 | 1 | 2 | –1 | –1 | max | 1 | 2 | 1 | 1 | 16 | 8 | £ | = |
Приведем систему к стандартному виду:
Определение стационарной точки:
Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений.
1. Проверка стационарной точки на относительный max или min:
Стационарная точка является точкой относительного максимума.
2. Составление функции Лагранжа:
3. Применим теорему Куна-Таккера:
Нахождение решения системы:
Перепишем эту систему, оставив все переменные в левой части:
Из уравнения 3 системы следует, что x1 =8-x2 :
Тогда:
Для обращения неравенств системы в равенства введём V1, V2, W и преобразуем систему:
Запишем условия дополняющей нежесткости:
4. Метод искусственных переменных:
Введем искусственные переменные ,в первое и второе уравнения со знаками, совпадающими со знаками соответствующих свободных членов:
Далее решаем полученную задачу линейного программирования, для этого из 1 и 2 уравнений выражаем переменные ,и принимаем их в качестве базисных.
Составляем симплекс-таблицу:
bi | x2 | u1 | u2 | V1 | V2 |
-17M | -4M | -M | -M | M | |
M | M | 0.5M | -0.5M | -0.5M | |
z1 | 15 | 2 | -1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 | |
z2 | 2 | 2 | 2 | -1 | -1 |
1 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 | |
W | 8 | -1 |
bi | x2 | z2 | u2 | V1 | V2 | |
-16M | -3M | 0.5M | -0.5M | -M | 0.5M | |
3M | 3M | 1.5M | -1.5M | -1.5M | ||
z1 | 16 | 3 | 0.5 | 0.5 | 1 | -0.5 |
-3 | -3 | -1.5 | 1.5 | 1.5 | ||
u1 | 1 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 | |
1 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 | ||
W | 8 | -1 | ||||
1 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 |
bi | u1 | z2 | u2 | V1 | V2 | |
-13M | 3M | 2M | -2M | -M | -M | |
13M | -3M | M | 2M | M | M | |
z1 | 13 | -3 | 1 | 2 | 1 | 1 |
13 | -3 | 1 | 2 | 1 | 1 | |
x2 | 1 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 | |
W | 9 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 |
bi | u1 | z2 | u2 | z1 | V2 | |
3M | M | |||||
V1 | 13 | -3 | 1 | 2 | 1 | 1 |
x2 | 1 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 | |
W | 9 | 1 | 0.5 | -0.5 | -0.5 |
u1 =u2 =z1 =z2 =V2 =0
V1 =13
x2 =1
W=9
x1 =8-x2 =7
Ответ: x2 =1, x1 =7,
Список используемой литературы
1. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000г. – 436с.
2. Плотникова Н.В. «Исследование операций» Часть 1. Линейное программирование.
3. Плотникова Н.В. «Лекции по курсу теория систем»