Курсовая работа: Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных
Министерство Образования и Науки Украины
Харьковский национальный университет имени Н.Н. Зильберта
А.А. Тензор, В.В. Невязкин
Нелинейная теория функции Зильберта
в частных производных
ТОМ 2
Харьков 2007
XFVBGD4567
ВДОПШ26986
Издание второе
Предназначено для студентов старших курсов
© 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Дифференциальная геометрия 4
Теория вероятности 5
Теоретическая механика 5
Функциональный анализ 6
Уравнения математической физики | 7 |
Численные методы | 8 |
Задачи | 9 |
Список использованной литературы | 11 |
Методы оптимизации и теория управления 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Определение . Кривая называетсякривой, если она кривая.
Определение . Кривая называетсяочень кривой, если она очень кривая.
Теорема
Рассмотрим кривую кривую.
∞
Она измерима по Зильберту ⇔ её радиус кривизны →.
8 Следствие . Прямая измерима по Зильберту. Её мера равна её длине.
Доказательство (теоремы) . Достаточность. Рассмотрим такую кривую γ, радиус кривизны которой R . Значит,
кривизна γ:
1 8 1 k = = = ⋅ 8 = 0 8 ⋅ = 0.
R ∞ ∞
Следовательно, γ – прямая.
Необходимость. Поскольку кривизна прямой равна k =0, мы можем записать:
1 ∞
k = 0 = 0·8 ⇒R = =.
k 8
Теорема доказана условно.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
В теории функции Зильберта существует сходимость “да нет, наверное”, а именно:
Определение . Последовательность { }сходится “да нет, наверное ” к числу ξ ∈Z (пространство Зильберта): ξk ⎯⎯→НЕТ ⎯! ξ ⇔ когда она не сходится к этому числу.
Определение . Писдерсией πD x [ ] называется величина, матьожидание которой равно .
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
В случае, когда все связи идеальные и стационарные,
∂q k верно, что = 0, что значительно упрощает все формулы и ∂q j
теоремы из этого курса!
Окончательный результат:
Если в формуле вместо y подставить y, то формула останется верной для ∀y .
Этот факт даётся без доказательства.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Определение . Если последовательность имеет предел, который её удовлетворяет, то последовательность остаётся довольной.
Теорема . Если последовательность имеет предел, то и предел её тоже имеет.
(Доказательство было приведено в курсе дифференциальных уравнений)
– А что говорит Хвилиппов?
– Хвилиппов молчит!
Аксиома . Если ты разговаривал с Хвилипповым, то ты – Литрович, а если Хвилиппов тебе отвечал, – это алкоголизм!
Теорема . Если в обеих частях неравенства стоит одно и то же, то это равенство!
Доказательство . Необходимость. Обозначим через α что-то, что стоит в обеих частях неравенства:
α > α.
Положим на α и заменим его на неотрицательную константу Ц:
Ц>Ц ≥ 0.
Константы сокращаются, и мы получаем верное равенство:
0 > 0 ⇒ 0 = 0.
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Доказать самостоятельно или при помощи водки
.
почувствуй вкус диffуров.
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ и ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Минус первая и минус вторая производные
Определение . Минус первой производной функции f называется такая величина: − f '.
Определение . Минус вторая производная функции f: − f ′′.
Рассмотрим функционал
ы
ЖЫ (y ) = ∫ (f '(y y y, ', *) − f y y y (, ', *) )dx → inf (*)
ж
Замечание. Из курса русского языка известно:
«ЖИ–ШИ пишется с И»,
но в данном случае «Ы» – это оператор!
Оператор «Ы»
Определение . Оператором «Ы» называется дифференциальный оператор, который функции Ж ставит в соответствие интеграл (*).
УРАВНЕНИЯ МАТ. ФИЗИКИ
Задача. Найти функцию Грея для системы:
⎧ ∞
⎪Δu = 8, x 5 = 0,
⎪
⎨ 0, x 6 = 0,
⎪u = З (x y z,, ), x i ≥ 0.
⎪
⎩
Подсказка. Если x y, ∈ M решать эту задачу, нужно извлечь корешок из u, x, y и z. З (x,y,z ) – функция Зильберта.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Теорема
Если вам лень делать оценку по Рунге, позовите Рунге, и он сам её сделает!
Проверить самостоятельно.
Определение . Обратным элементом к бесконечности ∞ явля-
∞
ется конечность, а обратным к является.
8
Точные значения этих величин даёт метод подгонки под ответ с двойным пересчётом.
Лабораторная работа №13
Вычисление сингулярных интегралов методом подгонки под ответ
Вычислить сингулярный интеграл
b
f x ( ) b − a
I z ( ) =∫a x − z dx; z j = +a jh 0; j = 1,n 0 − 1; h 0 = n 0.
с заданной точностью ε = 10−24 на отрезке [1;1.05] с помощью метода подгонки под ответ с двойным пересчётом. Для этого потребуется методичка с ответами и дискета с готовой программой.
На печать вывести N, π, количество итераций и невязку в виде таблицы:
N | π | количество итераций k | невязка R |
ЗАДАЧИ
1. Вычислить ё. d e 2
Решение: ё = 2 = 0, т.к. e ≈ 2,7 = const и от t не зависит, а
dt
производная от константы равна 0. Ответ: ё =0.
dx
2. Вычислить интеграл ∫ dx .
dx 1 dx 1
Решение: ∫ dx = d ∫ x = d ln | x | +C .
3. Построить треугольник, у которого все углы равны 00. Решение:
Рис. 1. Треугольник с тремя нулевыми углами
В пространстве Лобачевского (в верхней полуплоскости) такой треугольник имеет 3 угла по 00.
4. Вопрос: метод Зильберта решения СЛАУ точный или приближённый? (Ответ – невязка мнимая, так что этот метод даёт результат точнее, чем есть искомая величина)
5. Найти минус третью производную функции f x ( ) = x 3 .
Решение: Минус третья производная: − f ′′′ ( )x = − (x 3 ) ′′′ = − 6.
Ответ: –6.
6*. Построить конформное отображение из области «ВАСЯ» на правую полуплоскость (левую полу-ёлку):
СПИС ОК ИСПОЛЬ ЗОВАННОЙ ЛИТЕ РАТУРЫ:
1. Хвилиппов А. У. «Сборник задач по диффурам»
2. конспекты студентов мех-мата по:
— дифф. геометрии,
— матанализу,
— диффурам,
— теормеху,
— функану,
— теорверу,
— комплану,
— методам оптимизации, — численным методам.
Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт.
Тираж 40 экземпляров.
Отпечатано на ксероксе в коридоре на 6-м этаже ХНУ им. В. Н.
Каразина.
Цена ксерокопии 20 коп.