Книга: Современные методы теории функции Зильберта
Министерство Образования и Науки Украины
Харьковский национальный университет
А.А. Тензор, В.В. Невязкин
Современные методы теории функции Зильберта
ТОМ 3
Харьков 2008
DSFGIH904
ДЖ7ПИВО61
Издание третье, дополненное и недоделанное
Р е ц е н з е н т ы:
Бюншман, Треугольник, Хвилиппов, Петросян,
Штрассерман, Штольц, Коклюшкин
© 2008 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина | 4 |
Лирическое отступление | 7 |
Принцип Максима Понтрягина | 8 |
Обобщение принципа Максима Понтрягина | 9 |
3гономе3ческие функции | 10 |
Определение функции Зильберта | 11 |
Замечательно | 12 |
Список использованной макулатуры 15
Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина
Интегруй – не интегруй, Всё равно получишь …!
Народная мудрость
Определение . C a b c [,, '] – пространство функций, непрерывных в треугольнике ABC '.
Определение . Говорят, что, а слышится “што”!
Определение . Если ∀ε∃δ, то говорят, что выполненоусловие Коши-Зильберта.
Определение . Говорят, что на C a b c [,, '] задан полином Зажигалкина zh (x ), если ∀x x 1, 2 ∈C a b c [,, '] ∃zh x ( ) ∈C 32 (C a b c [,, ']):
1. ∀ε∃δ(выполнено условие Коши-Зильберта);
2. ∀ξ∃η;
3. для ∀ разбиения T многоугольника ATBCEB на треугольники, измеримые по Зильберту, supx x 1 − <2 ξ η≥[ ] 1+.
T
Тогда полином Зажигалкина имеет вид.
Упражнение . Доказать, что пространство C a b c [,, '] является банаховым пространством.
Определение . На пространстве C a b c *[,, '] (C со снежинкой) два функционала называются квазиэквивалентными, если при действии на них полиномом Зажигалкина получается одно и то же почти всюду на C a b c [,, '] отрицательное число. Это число называется константой Мопиталя.
Замечание . На линейные ограниченные функционалы можно подействовать ещё и вектором.
Теорема .
Полином Зажигалкина всегда и только всегда является квазиполиномом с выколотой границей, если все его коэффициенты кроме, быть может, j -ого представляют собой константы Мопиталя.
Единственное свойство полиномов Зажигалкина :
Определения полинома Зажигалкина по Коши и по Гейне квазиэквивалентны.
Теоремка (Зильберта-Зажигалкина)
∀ n -угольник конформным преобразованием можно перевести в правильный m -угольник так, что граница перейдёт во внутренность, а внутренность – в границу.
Утверждение.
Полином Зажигалкина n -ой степени сходится к n -угольнику “отнюдь не сразу”.
Леммка.
Полином Зажигалкина является -периодическим.
Доказательство . Полином Зажигалкина определён на пространстве C a b c [,, '] и непрерывен в треугольнике ⇒ он 3πпериодичен.
Далее методом мат. дедукции доказывается -периодичность, и так далее до .
Теорема ( признак слаборавномерной полунепрерывности сверху) Полином Pn (x ) слаборавномерно полунепрерывен сверху, если он представим в виде криволинейной комбинации квазиполиномов Зажигалкина.
(Доказывается методом усилий)
Лемма.
Подграфик полинома Зажигалкина монотонно выпуклый чутьчуть влево.
Доказательство . Введём начало координат – точку 0, и конец координат – точку ∞. Переименуем вершины треугольника так,
координат
Картина Шмалевича “круг и треугольник”
чтобы полином Зажигалкина чувствовал себя в нём конформно. Далее методом логических догадок приходим к выводу, что теорема верна.
Очень важное замечание:
Зажигалкин ЖЖОТ!
Теорема .
В силу теоремы Зильберта-Зажигалкина (там что-то про n — и m угольники -) теорию полиномов, непрерывных в треугольнике можно обобщить до m -угольников класса гладкости, равного константе Мопиталя.
Лирическое отступление
Из чего же, из чего же, из чего же Сделана формула Грина?
Из производных, из интегралов, Из градиентов и функционалов Сделана формула Грина!
***
Принцип Максима Понтрягина
Потрясающая теорема.
Рассмотрим функционал «ШЫ » (от франц. shit)
b b
< ШЫ, zh >= tg ∫∫ (lh τ+ c dc ') ',
a a
где lh x ( ) – гиперболический логарифм x.
Этот функционал достигает апогея (неистово стремится к max) тогда и только тогда, когда max стремится к функционалу «ШЫ ».
Определение.
В таком случае говорят, что ШЫ =XO (max) («хо большое »).
Определение.
Условием ГорЭлектроТрансверсальности называется перпендикулярность функционала ШЫ железнодорожным путям, т. е. равенство нулю скалярного произведения. Напомним, что в пространстве C a b c [,, '] скалярное произведение – это произведение интеграла и матрицы
b 1 ⎛a 2 −λ b 2 c 2' ⎞
⎜ ⎟
(ABC ABC 1 1 1', 2 2 2')=−(∫dc 1',⎜ b 2 c 2'−λ a 2 ⎟)
a 1 ⎜⎝ c 2' a 2 b 2 −λ⎟⎠
Теорема (без доказательства) .
В случае, когда матрица диагонализируется, скалярное произведение равно π.
Теорема (без формулировки) .
Доказательство . В силу формулировки теоремы, из (1), (2) и (3) следует (4). Значит, в силу непрерывности функции Зильберта З(х) и по условию ГорЭлектроТрансверсальности, выполняется и требуемое условие (5). Теорема доказана.
Следствие .
Если в предыдущей теореме вместо функции Зильберта З(х) везде подставить полином Зажигалкина zh, теорема останется верной при ∀t и доказывается точно так же.
Упражнение .
r r r
Доказать, что тройка векторов {ШЫ З х, ( ), zh } образует базис в пространстве C a b c [,, '] (использовать метод ортогонализации
Грамма-Шмидта запрещается).
Обобщение принципа Максима Понтрягина
Рассмотрим замыкание пространства C a b c [,, '], а именно
пространство C a b c [,, '] непрерывных в криволинейном треугольнике ABC ' функций (примеры криволинейных треугольников были рассмотрены в томе 1).
r r r
На этом пространстве векторы {ШЫ З х, ( ), zh } мона интегрировать, косинусировать и брать от них невязку с двойным пересчётом.
Вопрос .
Почему нельзя тангенцировать?
Определение.
Зильбертов кирпич – это кирпич в пространстве C a b c [,, '] со сторонами a, b, .
Вопрос .
Можно ли из зильбертовых кирпичей построить дачу? 3гономе3ческие функции
sinn x
Определение.
Функция синнус на пространстве Зильберта определяется следующим образом: sinn(x )=sin(n ⋅ x )
Эта функция названа так в честь эстонского математика Отто Синнуса.
Функция синнус похожа на обычный синус, только она гораздо медленнее стремится к , потому что ей некуда спешить!
narccos x
Определение.
Функция нарккосинус выражается через арккосинус так:
narccos(x )=n ⋅arcos(x )
gensec x
Определение.
Функция генсеконс:
⎡g = 9.8⎤
gensec(x )= g e n ⋅ ⋅ ⋅sec(x )= ⎢ ⎥ = 26.46⋅n ⋅sec(x ).
⎣e = 2,7⎦
Основное 3гономе3ческое тождество
Теорема.
Функции нарккосинус и генсеконс связаны тождеством:
narccos2 (x )+ gensec2 (x )=1991.
***
Теперь, когда теоретическая основа положена и все теоремы доказаны, можно наконец дать определение функции Зильберта
З(х).
Определение (функции Зильберта)
Итак, рассмотрим конформное отображение Г матриц из пространства Зильберта Zn в пространство функций, непрерывных в треугольнике C a b c [,, '].
Подействуем полиномом Зажигалкина на вектор нормали к пространству LC a b c 2 [,, ']. По теореме Зильберта-Лиувилля, получим оператор Ы, умноженный на константу Ц. Эта константа является кусочно-непрерывной на кривоугольном отрезке [a b c,, '], поэтому её можно, и, более того, желательно разделить на 0, особенно если 0 попадёт в тот кусочек, где она разрывна.
Далее интегрируем оператор Ы от А до Я. Применяя метод Симпсона к полученному выражению, найдём значение sinnΘ(η) в точках излома.
Таким образом, наша задача сводится к полноценной задаче Гольца с тремя закреплёнными концами и одним ослабленным. Эта задача записывается в виде:
J < Θ >ds →minn (1)
Условия ГорЭлектроТрансверсальности:
⎧J (0) =π ,
⎪ 2
⎪ ⎨⎪J (π 2) =∞ 8, (2)
⎪J (Ц Ц ) = !
⎩
Решение этой задачи называется функцией Зильберта З(х).
Это конец!
Замечательно.
Теория функции Зильберта является фундаментальной. Это означает, что любая последовательность теорем сходится к любой доказанной теореме, значит, и все теоремы из этой последовательности также верны. Эта теория такG полная, т. к. любая её подтеория является сходящейся, и очень сепарабельная (хрен его знает, что это такое!).
Задачки
1. Найти максимум минимума супремума инфинума функции
Зильберта в точке .е.
p{inf{ ( )}}}}|?
Решение. Начнём с конца. Рассмотрим разбиение T пространства Зильберта Zn. Тогда sup{inf{ ( )}}З х =З х ( ).
T T
Согласно теореме об экстремуме,
max{min{ ( )}}З х = min{max{ ( )}}З х =З х ( ).
Z Z Z Z
⎛∞⎞
Остаётся посчитать З ⎜ ⎟. Воспользуемся таблицами мат. стати-
⎝ 8 ⎠
⎛∞⎞ π
стики: З ⎜ ⎟=.
⎝ 8 ⎠ 2
Ответ: .
2. Доказать очевидное неравенство:
Минус вторая производная функции f не равна минус первой производной от её минус первой производной.
− f "( )x ≠−(− f '( ))'x .
Вопросы к экзамену
1. Минус первая и минус вторая производные. Теорема Зильберта-Штольца.
2. Матьожидание и писдерсия.
3. Сходимость “так сказать”, “как надо” и “как не надо”, “да нет, наверное”, “отнюдь не сразу”, “из ряда вон”.
4. Очень сильная и очень слабая сходимость.
5. Одно-, дву- и треугольники, измеримые по Зильберту.
6. Шестиугольник ATBCEB. Теорема существования и единственности.
7. Определение кривой и очень кривой.
8. Понятие кусочно-гадкой функции. Её свойства.
9. Оператор «Ы». Операторы GSM и SDMA.
10. Условия Коши-Зильберта.
11. Пространство C a b c [,, '], пространство C a b c [,, '].
12. Пространство LC a b c 2 [,, '].
13. Пространство Зильберта Zn.
14. Полином Зажигалкина. Теорема Зильберта-Зажигалкина.
15. Признак слаборавномерной полунепрерывности полинома Зажигалкина сверху.
16. Принцип Максима Понтрягина. Обобщение.
17. Определение функции Зильберта.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ МАКУЛАТУРЫ:
1. В методичке по теории функции Зильберта использован конспект студентов 4-го курса мех-мата (один по всем предметам), где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно.
2. Немного фантазии на лекции, и не такое можно придумать!
Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, большой им привет!
Тираж 76 экземпляров.
Цена – бесплатно, то есть даром!