Реферат: Критерии устойчивости линейных систем

 

 

 

 

<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Курсовая  работа

<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">по

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">основам радиоэлектроники

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">по теме: Критерииустойчивости линейных систем.

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Выполнил :

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">    Зазимко С.А.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Принял  :

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">    Кoтoусов А.С.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Москва 1995 год

Т Е М А   :      Критерии  устойчивости   линейных  систем.

Устойчивостьлинейных систем.

            <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В реальной цепи, охваченной обратнойсвязью, всегда имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже вусилителе на резисторах имеются такие элементы в виде паразитных емкостей схемыи электронных приборов, переходные конденсаторы, индуктивности проводов и такдалее. Эти реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги и если накакой-либо частоте они в сумме дают дополнительный угол в 180, то обратнаясвязь превращается из отрицательной в положительную и создаются условия дляпаразитной генерации.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Это обстоятельство во многих случаяхсущественно ограничивает эффективность применения обратной связи, так как прибольших значениях

<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">K<span Kino MT"; mso-ascii-font-family:«Courier New»;mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:«Kino MT»"><span Kino MT"">y<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">K<span Kino MT"; mso-ascii-font-family:«Courier New»;mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:«Kino MT»"><span Kino MT"">o<span Kino MT";mso-ascii-font-family: «Courier New»;mso-hansi-font-family:«Courier New»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:«Kino MT»"><span Kino MT"">c<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> для устранения паразитной генерации требуются специальные устройства(фазокомпенсаторы и др.), уменьшающие крутизну ФЧХ в кольце обратнойсвязи.  Однако оказывается, что введениев схему новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации вобласть очень низких или очень высоких частот.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Итак, из выше сказанного следует, чтоприменение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости цепи.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Для правильного построения цепи ивыбора ее параметров большое значение приобретают методы определенияустойчивости цепи. Рассмотрим некоторые из них.

<span Courier New"; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Алгебраические критерииустойчивости.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     В настоящее время известно несколькокритериев, различающихся больше по форме, чем по содержанию. В основебольшинства из этих критериев лежит критерий устойчивости решенийдифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Пусть линейное однородное уравнение дляцепи с постоянными параметрами задано в форме :

<img src="/cache/referats/2153/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где 

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">x<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- ток, напряжение и так далее., апостоянные коэффициенты  <img src="/cache/referats/2153/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">  — действительныечисла, зависящие от параметров цепи.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Решение этого уравнения имеет вид:

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">  <img src="/cache/referats/2153/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">A<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- постоянные, а <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">- корни характеристического уравнения

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     <img src="/cache/referats/2153/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">  

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(1)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Условие устойчивости состояния покоя цепизаключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепьвозвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие вцепи при нарушении состояния покоя свободные токи и напряжения былизатухающими.  А это означает, чтокорни   уравнения (1) должны быть либоотрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами сотрицательными действительными частями. Из этих представлений вытекает следующийфундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем :

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">“Cистемаустойчива, если действительные части всех корней характеристического уравненияотрицательны.”

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Это фундаментальное положение было основаноА.М.Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого века заложил основы теорииустойчивости. В связи с этим приведенный выше критерий называют

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критериемЛяпунова<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Заметим, что левая частьхарактеристического уравнения (1) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функциицепи записанной в форме

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">    <img src="/cache/referats/2153/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточнойфункции 

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">К(р) <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> этой цепи.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Отсюда следует, что сформулированные вышеусловия отрицательности действительных корней равносильны следующемуутверждению:

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">дляустойчивости цепи необ-ходимо, чтобы передаточная функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">К(р) неимела полю-сов в правой полуплоскости комплексной переменной р.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     В тех случаях, когда цепь описываетсядифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корнейхарактеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивостисистемы, является сложной задачей.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Однако ее можно решить, анализируясоотношения между коэффициентами уравнения без определения самих коэффициентов.Это можно сделать с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того,чтобы действительные части всех корней уравнения

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">    <img src="/cache/referats/2153/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">cдействительными коэффициентами и

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">b<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">0<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">>0<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> были отрицательными, необходимо идостаточно, чтобы были положительными все определители <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1, <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">2, ..., <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, составленные из коэффициентовуравнения  по следующей схеме :

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/2153/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">   

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и  т. д.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Сформулированный алгебраический критерийустойчи­вости называют

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критерием Рауса — Гурвица<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">При составлении определителей поуказанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степеньхарактеристического уравнения заменяют нулями.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ПРИМЕР:

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Для уравнения четвертой степениполучаются следующие определители :

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/2153/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">    

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В результате несложно видеть, чтовыполняется равенство

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">        <img src="/cache/referats/2153/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Отсюда по теореме Гурвица следуютусловия устойчивости (в виде следующих неравенств):

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">        <img src="/cache/referats/2153/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Так, для характеристического уравнениявторой степени

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">         <img src="/cache/referats/2153/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Критерий Рауса — Гурвица особенно

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">удобен<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> для проверки устойчивости цепи сзаданными параметрами: вычисления относительно просты. <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Недостатком<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> этого критерия является ограниченностьприменения: область применения критерия ограничена цепями с сосредоточеннымипараметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается черезмногочлены. Кроме того этот критерий не дает ясных указаний на то как изнеустойчивой цепи сделать устойчивую.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Геометрические критерии устойчивости.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">   

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Требование,чтобы передаточная функция

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">         <img src="/cache/referats/2153/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

<img src="/cache/referats/2153/image026.jpg" v:shapes="_x0000_i1037">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">неимела полюсов в правой полуплоскости 

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р = <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">s<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"> <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">+<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, т.е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и осью  <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">i<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">(см. рисунок), равносильно условию, что знаменательвыражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">              <img src="/cache/referats/2153/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">     

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(*)

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">недолжна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/2153/image030.jpg" v:shapes="_x0000_i1039">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Но

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> представляет собой передаточнуюфункцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношение напряжения назажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутой системе, как этопоказано на рисунке 2.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Для дальнейшего анализа перейдем откомплексной плоскости

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">на другую комплексную плоскость <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)=u+i <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(см.рисунок 3).

<img src="/cache/referats/2153/image032.jpg" v:shapes="_x0000_i1040">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">При этом каждой точке

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> плоскости <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">s<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">,<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">i<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> соответствует определенное значение <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">u,iv<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. И любой замкнутый контур на плоскостиперейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Если исходный контур на плоскости

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> задан в виде контура как на рисунке 1,то соответствующий ему контур на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> называется <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">годографом<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">функции <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(p).<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Показанный на рисунке 1 контур можноразбить на два участка: прямую

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">iw<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">от <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">до<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">-<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и полуокружность бесконечно большогорадиуса <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">R.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Напервом участке, где <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">s<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">=<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">0<span Courier New"; mso-hansi-font-family:«Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">,<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"><span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> р=<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">i<span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> обращается в функцию <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">i<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">). <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В соответствии с выражением <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(*)<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">этот участок преобра-зуется на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> в линию, определяемую следующимcоотношением<img src="/cache/referats/2153/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откуда

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     <img src="/cache/referats/2153/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

<img src="/cache/referats/2153/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В этих выражениях  аргументы переда-

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">точных    функций  соответственно    четырехполюсников 

<img src="/cache/referats/2153/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     На втором рисунке контура (см. рисунок 1)при

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p)<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">0.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Это вытекает из общего выражения

<img src="/cache/referats/2153/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

<img src="/cache/referats/2153/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">котороепри

<span Courier New"; mso-hansi-font-family:«Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">можно представить в виде (под Вподразумевается постоянный коэффициент, а <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p0i<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">pпi<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- соответственно нули и полюсы функции К(р)).

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Совершенно аналогично и функцию

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> при <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">можно представить в форме <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p) = Apn-m<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> где <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">n<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> и <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">  — числасоответственно нулей и полюсов функции <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р).<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     При

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">n < m<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и <span Courier New";mso-hansi-font-family:«Courier New»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">p<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">модуль функции <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">H(p)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> на полуокружности <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">равен нулю. Таким образом,полуокружность бесконечно большого радиуса <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">R<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> на плоскости <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">р <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">преобразуется в точку, лежащую в началекоординат на плоскости <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">, и для построения годографа <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> в виде замкнутого контура достаточнознать поведение <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н(р)<span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> на оси <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">iw<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, то есть знать АЧХ и ФЧХ цепи<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Ky(iw),Koc(iw).<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Обходу контура на рисунке 1 в положительномнаправлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> при изменении частоты от <span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> до<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> -<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, т.е. также против часовой стрелки(см. рисунок 3).

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Следовательно,

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">еслигодограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0, топри замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае системанеустойчива.<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Это условие называют

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критериемустойчивости Найквиста<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, агодограф H(iw) — диаграммой Найквиста.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Показанная на рисунке 3 диаграммасоответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Н<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> не охватывает точку 1,i0. Сплошной линией показана частьконтура, соответствующая положительным частотам <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">0<w<<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> а штриховой — часть контура,соответствующая отрицательным частотам. Так как функция <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">u(w)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> четная, а <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">v(w)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> нечетная относительно w, то оба годографасимметричны относительно действительной оси.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">     Рисунок 3 был построен для случая, когдапри 

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">w= 0<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> передаточнаяфункция <span Courier New";mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Н(iw)<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">отлична от нуля ( эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, вкоторых отсутствуют разделительные конденсаторы).

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/2153/image046.jpg" v:shapes="_x0000_i1047">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Пример диаграммы Найквиста длянеустойчивой системы приведена на рисунке 4.

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                                

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рисунок4<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                 <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Основное

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">преимущество<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> данного метода: удобство оперированияс АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Следует отметить, что при сложной схемеустройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по ней сложно судитьо попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа. В подобных случаяхоказывается полезным

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">критерий, вытекающий из критерияНайквиста<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, основанныйна подсчете числа пересечений годографом оси <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">U<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">н<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(w) <span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">на участке <span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1,<span Courier New";mso-hansi-font-family: «Courier New»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Для устойчивости системы тогданеобходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (так, какпоказано на рисунке 4), либо пересекал его в положительном и отрицательномнаправлениях одинаковое число раз

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New"; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">* * *

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Справедливостиради необходимо заметить, что известны и другие геометрические методыисследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например критерийМихайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе системавтоматического регулирования. Но мы не будем рассматривать их в данной работе, а  при необходимости, с ними можнопознакомиться  в книге:

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">КотельниковВ.А., Николаев А.М. “Основы радиоэлектроники”<span Courier New";mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ли т е р а т у р а

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> .

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1.

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> С.И. Баскаков  “Радиотехнические цепи                    исигналы”, 1983.                      М.:Высшая школа.

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">2.

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> И.С. Гоноровский “Радиотехнические                       цепии сигналы”, 1986

<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                    М.: Радио и связь.

еще рефераты
Еще работы по теории систем управления