Реферат: Исследования согласованного фильтра

Государственный комитетРоссийской Федерации по высшему

образованию

<img src="/cache/referats/2464/image001.gif" v:shapes="_x0000_s1026">МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра электронной техники

УТВЕРЖДАЮ

проректор по учебной работе

“ИССЛЕДОВАНИЕ СОГЛАСОВАННОГОФИЛЬТРА”

Методические указания кпроведению лабораторных работ

Москва

1998г.

Цель работы — ознакомление с принципомдействия согласованного фильтра и исследование его помехоустойчивости.

Задание по работе

1.Проработать теоретическийматериал по источникам [1,2] и данным методическимуказаниям.

2.Изучить функциональнуюсхему лабораторной установки.

3.Выполнить работу.

4.Ответить на контрольныевопросы.

Основныетеоретические положения

Из теории оптимальныхметодов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типабелого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида

(1)

где N0-односторонняя спектральная плотность шума; Т — длительность сигнала; u(t) — принятыйсигнал; s(t) — полезный сигнал;

Интеграл (1) можнорассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u(t) и полезного сигнала s(t)сигналов. Чтобы осуществитьреализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны,интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u(t) с импульсной характеристикой некоторогофильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.

Рассмотрим задачу синтезаоптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.

Пусть принятый сигнал имеетвид

(2)

где s(t)- полезныйсигнал известной формы со спектральной плотностью Fs(jw

); n(t)стационарныйслучайный процесс со спектральной плотностью мощности Fn(w).

Будем отыскивать оптимальныйфильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетомпринципа суперпозиции можно представить как

(3)

Найдем отношение р мощностиполезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый моментвремени t0.

(4)

гдеK(jw

) — комплексно-частнаяхарактеристика фильтра.

Соответственно в момент времени t0

(5)

Мощность помехи на выходе фильтра

(6)

В формулах (4) и (6) через Fs, вых(jw

) и Fn, вых(w) обозначены спектральная плотность полезногосигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.

С учетом (5) и (6) выражениедля р в момент времени t0запишется как

(7)

Понятно, что чем большевеличина р, тем выше помехоустойчивость приема. Поэтому определим фильтр,который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.

Воспользуемся неравенствомБуняковского — Шварца

(8)

справедливым для любых функцийА(w

) и В(w), для которых интегралы в(8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство,если

(9)

где а- постоянная; В* (w

) — функция, комплексно-сопряженная сфункцией В(w). С учетом (8) можнозаписать

(10)

и, соответственно,

(11)

С учетом (9) находим, что максимальное отношениесигнал/помеха

достигается при

(12)

где Fs*(jw

) — комплексно-сопряженныйсигнал.

Таким образом фильтр скомплексно — частотной характеристикой, определяемой формулой (12), являетсянаилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшимобразцом и в классе нелинейных фильтров.

Из выражения (12) следует,что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотностисигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тембольше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательнопропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношениесигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала отспектра помехи.

Рассмотрим случай, когдапомеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. В этом случае комплексно — частотная характеристика оптимальногофильтра

(13)

а соотношение сигнал/помеха

(14)

где Е — энергия сигнала.

Фильтр с характеристикой(13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.

Максимальное отношениесигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергиейсигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формысигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/помеха на выходе корреляционного приемника. Отсюда, в частности, следует, что вусловиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционногоприемника и согласованного фильтра одинаковы.

Рассмотрим более подробнокомплексно — частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде

где |Fs(jw

)| и j(w) — амплитудный и фазовыйспектр сигнала соответственно.

Тогда

(15)

С другой стороны,

(16)

где |K(jw

)| -амплитудно-частотная характеристика фильтра; Y(w) — фазовая характеристика фильтра.

Сравнивая (15) и (16)находим

(17)

(18)

Из (17) следует, чтоамплитудно частотная характеристика согласованного фильтра с точностью допостоянной совпадает с амплитудным спектром сигнала.

Фазовая характеристикасогласованного фильтра определяется двумя слагаемыми. Первое из них — j

(w) равно фазовому спектрусигнала, взятому с противоположным знаком. Назначение его в том чтобыкомпенсировать фазовые сдвиги различных составляющих сигнала. В результате внекоторый момент времени t=t0все составляющие выходногосигнала будут совпадать по фазе и, складываясь, давать максимум выходногосигнала. Если бы фазовая характеристика фильтра не компенсировала фазовыесдвиги составляющих сигнала, то максимумы гармонических составляющих сигнала несовпадали бы во времени, а это привело бы к уменьшению выходного напряжения.

Второе слагаемое — w

t0обеспечиваетзадержку момента совпадения фаз составляющих сигнала на величину t0. Понятно, что значение t0не может быть меньшедлительности обрабатываемого сигнала.

Напряжение на выходесогласованного фильтра

(19)

Из (19) следует, чтовыходное напряжение определяется только амплитудным спектром сигнала и независит от фазового спектра. Это объясняется тем, что взаимные фазовые сдвигисоставляющего сигнала скомпенсированы фазовой характеристикой фильтра.

Максимальное значение uвых(t) принимаетв момент времени t=t0… Еще раз подчеркнем, что значение t0должно быть больше или равно длительности сигнала, т.е. максимум uвых(t)достигается только после обработки всего принятого сигнала.

Рассмотрим импульснуюхарактеристику h(t) согласованного фильтра. Учитывая, что h(t) любогофильтра связано K(jw

) преобразованием Фурье,находим

(20)

Из выражения (20) следует,что импульсная характеристика согласованного фильтра является зеркальнымотображением сигналаts(t)относительно прямой t=t0/2 (рис.1).

Рисунок SEQРисунок * ARABIC 1

Учитывая условие физическойреализуемости фильтра h(t)=0 при t<0, обнаруживаем, что

s(t0-t)=0

при t<0

(21)

s(t)=0

при t>t0

Условие (21) показывает, чтозначение t0надо выбирать большим или равным длительностисигнала tc. На практике обычно для уменьшения реакциифильтра берут t0=tc.

Найдем формулу напряжения навыходе фильтра, для этого воспользуемся интегралом Дюамеля:

(22)

С учетом (20) получаем

(23)

В момент времени t=t0

(24)

Видно, что выражение (24)совпадает с выражением (1), т.е. согласованный фильтр, как и корреляционныйприемник, вычисляет взаимную корреляцию принятого и полезного сигналов. Еслипри корреляционном приеме копия ожидаемого сигнала вырабатывается на приемнойстороне с помощью специального генератора, то при согласованной фильтрацииинформация о сигнале заключена в комплексно-частотной характеристике.

Если перенести началоотсчета времени в точку t=t0, то из (23)

т.е. напряжение на входесогласованного фильтра в отсутствии помех совпадает с корреляционной функциейполезного сигнала.

В заключение отметим, чтосогласованный фильтр, в отличии от корреляционного приемника обладаетсвойствами инвариантности относительно момента прихода сигнала. Фильтр,согласованный с некоторым сигналом s(t), имеет импульснуюхарактеристику, определенную выражением (20), Очевидно, что этот же фильтрбудет согласованным с сигналом s(t-t1), сдвинутым по времениотносительно s(t) на t1. Изменение времени приходасигнала приводит только к смещению момента достижения выходным сигналом егомаксимального значения.

Согласованный фильтр для М-сигналов

Формирование М-сигналов. Впоследнее время в радиолокации и связи все более широко применяются сложныеширокополосные сигналы. Одним из способов получения таких сигналов являетсяизменение фазы высокочастотных колебаний по закону М-последовательностей, строящихся, в свою очередь на основе линейных рекуррентных последовательностей.

Линейной рекуррентнойпоследовательностью называется периодическая последовательность символов x1?x2...xn,...xi,...xL, удовлетворяющаярекуррентному правилу

a0xi=aÅ

a1xi-1Åa2xi-2Å...Åanxi-n, (25)

где символыпоследовательности и коэффициенты ai принимают значения изобласти G(0,1....p-1),сложение и умножение производится по модулюр. Здесь число n — память последовательности, число р — основаниепоследовательности, а наименьшее число L, при котором xL+i=xi — период, или длинна последовательности. Коэффициент ав дальнейшем будем считать равным нулю.

Соотношение (25) называетсяправилом кодирования. В случае двоичной последовательности значения символовпоследовательности и коэффициентов ai равны либо нулю, либо единице, а суммирование ведется по MOD 2,которое определяется так

0Å

0=0

0Å

1=1

1Å

0=1

1Å

1=0

Из определения линейнойзависимости рекуррентной последовательности вытекает, что для ее построениянеобходимо знать первые n членов последовательности иправило кодирования, т.е. уравнение (25)

Пример. Пусть р=2, n=4, начальноеслово 1111, правило кодирования x1=xi-3Å

xi-4.Тогда x5=x2Åx1=1Å1=0,x6=x3Åx2=1Å1=0.

По уравнению (25) нетруднопредставить и схемную реализацию устройства, генерирующего последовательность.Оно должно содержать блок памяти предназначенный, для запоминания n последнихвыбранных членов последовательности, и комбинационную схему, работа которойопределяется заданным правилом кодирования.

На рис. 2 представленафункциональная схема генератора линейной рекуррентной последовательности.

Рисунок SEQ Рисунок *ARABIC 2

Генератор состоит из n триггеров,выполняющих роль элементов памяти и устройства обратной связи, описываемогонекоторой булевой функцией[1]

f(s1,...sn)=<img src="/cache/referats/2464/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1052">Å

aisi,

где si — состояние i-йячейки памяти (i-го триггера), принимающего значение 0 или 1.Триггеры соединены между собой таким образом, что образуют регистр сдвига.

Генератор работает отвнешних запускающих импульсов, называемых тактовыми.

Рассмотрим процессгенерирования последовательности символов. Пусть в исходном состоянии ячеекрегистра сдвига sn,sn-1,...s1совпадают соответственно с символами x1, x2,...xn. С приходом тактовогоимпульса записанная в регистре информация сдвигается в сторону старшегоразряда. Символ x1выходит из регистра, а в освободившуюсяпервую ячейку записывается символ с выхода устройства обратной связи. Теперьсостояние ячеек регистра сдвига sn, sn-1,...s1будетопределятся как x2, x3, x4,…xn+1,где xn+1=<img src="/cache/referats/2464/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1053">Å

aixn+1-i

С приходом следующеготактового импульса на входе регистра появляется символ x2, а в первую ячейкузаписывается символ xn+2=<img src="/cache/referats/2464/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1054">Å

aixn+2-i При этом состояние ячеек памяти sn, sn-1,...s1будет совпадатьсоответственно с символами x3, x4,...xn+2.Появляющиеся на выходерегистра последовательность являются линейной рекуррентной.

Период генерируемойпоследовательности зависит от выбранного правила кодирования и начальногосостояния регистра. sn, sn-1,...s1.В частности, если всеячейки регистра сдвига находятся в нулевом состоянии, то независимо от правилакодирования на его выходе получается последовательность, состоящая из однихнулей. Поэтому максимальный период линейной рекуррентной последовательностиравен 2n-1 где n — память последовательности.Последовательности с периодом 2n-1называются линейнымирекуррентными последовательностями максимального периода, илиМО-последовательностями. Для их получения необходимо выбрать правилокодирования xi=aixi-1Å

...Åanxi-n таким образом, чтобы многочлен f(x)=anxnÅan-1xn-1Å...Åa1xÅ1были примитивными[2]

можно показать, что длялюбого n числа примитивных многочленов определяется как <img src="/cache/referats/2464/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1055">j

(L) — функция Эйлера, равнаядля любого L>0числу целых положительных чисел, меньших Lивзаимно простых с L, включая и единицу.

В качестве примера приведемвсе примитивные многочлены для n=5:

f1(x)=x5Å

x3Å1,

f2(x)=x5Å

x2Å1,

f3(x)=x5Å

x4Åx3Åx2Å1,

f4(x)=x5Å

f5(x)=x5Å

x4Åx2Å1,

f6(x)=x5Å

x3Åx2Å1.

Любой из них может бытьиспользован для получения М-последовательности.

Так, для многочлена f(x)=x5Å

x3Å1 правилокодирования xi=xi-3Åxi-5.

Заметим, что чем большечленов содержится в многочлене f(x), тем сложнее генератор.

Учитывая, чтоМ-последовательности нашли наиболее широкое применение в технике связи, укажемих основные свойства.

1.М-последовательность спериодом 2n-1 содержит все возможныекомбинации n — значных двоичных чисел, за исключением нулевой.

2.Число единиц впоследовательности на единицу больше числа нулей, причем появление единицы инуля для постороннего наблюдателя, не знающего закон формированияпоследовательностей, случайно во времени. В частности, этому свойствуМ-последовательности обязаны и другим названиям — псевдослучайныепоследовательности.

3.Результат почленногосуммирования М-последовательности с этой же последовательностью, но сдвинутойна i символов, где i=1,2,...L-2, представляет собойисходную последовательность, но сдвинутую на некоторое другое число символов,

Описание лабораторной установки

Функциональная схемаустановки приведена на рис. 3

Рисунок SEQ Рисунок *ARABIC 3

Она состоит из генераторовГМП, вырабатывающего М-последовательность 111100010011010, 111..., смесителяСМ, согласованного фильтра СФ ирешающего устройства РУ.

Согласованный фильтр (рис.4) состоит из линии задержки с отводами, совокупности инверторов, суммирующегоустройства и фильтра, согласованного с одиночным видеоимпульсом (ОВИ)длительностью, равной длительности t

0элементарного импулься М — сигнала.

Рисунок SEQ Рисунок *ARABIC 4

Шаг задержки между двумясоседними отводами рамен t

0. Инверторы подключены такимобразом, что при появлении последующего импульса М — сигнала на входесогласованного фильтра все импульсы на входе суммирующего устройстваоказываются положительными.

При этом напряжение навыходе фильтра достигает максимального значения, а импульсная характеристикаописанного фильтра является зеркальным отображением сигнала.

Решающее устройствопредставляет собой спусковую схему, которая в момент отсчета может приниматьодно из двух состояний.

В лабораторной установкепредусмотрена подача на вход согласованного фильтра двух полезных сигналов(противоположных по знаку), подключение генератора шума и генераторов помеховыхсигналов, имеющих структуру, подобно структуре полезного сигнала.

Порядок выполнения работы

1.Включить необходимыеприборы и источники питания.

2.Просмотреть и зарисоватьосциллограммы полезных сигналом.

3.Просмотреть и зарисоватьимпульсную характеристику фильтра.

4.Просмотреть и зарисоватьосциллограммы напряжений на выходе фильтра в отсутствие шума.

5.Просмотреть и зарисоватьосциллограммы полезных сигналов при наличии шума.

6.Просмотреть и зарисоватьосциллограммы напряжений на выходе фильтра при различной мощности шума на входесогласованного фильтра.

7.Снять зависимостьвероятности ошибки от отношения сигнал/помеха на входе фильтра.

8.Посмотреть и зарисоватьосциллограммы посторонних сигналов.

9.Посмотреть и зарисоватьосциллограммы напряжений на выходе фильтра при подаче посторонних сигналов.

Домашнее задание

1.Рассчитать и построитькорреляционные функции: