Реферат: Расчет автокореляционной функции и энергетического спектра кодового сигнала (Теория электрической связи)

ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ СЕРВИСА И ДИАГНОСТИКИ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ»

Выполнил: студент гр. ЗРТ-314 Бурдин А.Н.

Проверил: к.т.н., доцент

Омск 2007

Реферат

В данной курсовой работе проведены следующие расчёты: анализ сигнала, расчет спектральных характеристик сигнала, расчёт практической ширины спектра, расчет интервала дискретизации и разрядности кода, расчет автокорреляционной функции кодового сигнала, его энергетического спектра, расчет спектральных характеристик модулированного сигнала, его мощности, расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума. Объём пояснительной записки составляет 32 страниц.

Содержание

Введение 4стр.

 

Анализ задания 6стр.

 

Расчет спектральных характеристик сигнала 7 стр.

 

Расчет практической ширины спектра сигнала 10стр.

 

Расчет интервала дискретизации и разрядности кода 12стр.

 

Расчет автокорреляционной функции сигнала и энергетического спектра 18стр.

 

Расчет спектральных характеристик модулированного сигнала 20стр.

 

Расчет мощности модулированного сигнала 25 стр.

 

Расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума 26 стр.

 

Заключение 31 стр.

 

Литература 32 стр

 

1. Введение.

Структурная схема системы электросвязи представлена на рис. 1. Источник сообщения ИС œ это некоторый объект или система, от которого передается информация в виде ее физического представления, например в виде изменяющегося во времени тока или

t a )

напряжения (. t a )ФНЧ предназначен для фильтрации сигнала с целью ограничения спектра сигнала сообщения (

верхней частотой F в. t X )

Дискретизатор позволяет представить отклик ФНЧ ( в виде последовательности отсчетов Xk= X ( tk = kT ), k = 2,1, 0 ...

.

Xk

Квантователь осуществляет нелинейное преобразование отсчетов в квантованные уровни

/>k ( n )

n = ,0 L − 1

/>,. k ( n ) Кодер осуществляет кодирование квантованных уровней двоичным безизбыточным кодом,

т. е. образует последовательность кодовых комбинаций Bk( n ), т. е. сигнал ИКМ. b t S )

Модулятор формирует канальный сигнал (, i , электрическое колебание, параметр которого ( амплитуда, частота или фаза) изменяется по закону модулирующего сигнала ИКМ. Выходное устройство ПДУ осуществляет фильтрацию и усиление модулированного колебания

b t S )

(,

i для предотвращения внеполосных излучений и для установления требуемого отношения

(

сигнал/ шум на входе приемника. Усиленный сигнал t S ) передается в линию связи.

(

Линия связи œ среда, по которой распространяется сигнал t S ) с выхода ПДУ до входа ПРУ. В t S ) t N )

линии связи на сигнал ( накладывается помеха (. Входное устройство ПРУ осуществляет фильтрацию принятого сигнала, смеси переданного сигнала

t Z ) = t S ) + t N )

и помехи (( (. b t S )

Детектор позволяет выделить из принятого сигнала (, i закон изменения информационного параметра, пропорционального сигналу ИКМ.

Для опознания переданных двоичных символов bi

db

d

на выход детектора подключается решающее

( m )

на выходе которого присутствует принятая кодовая комбинация

устройство РУ,

.

( m )

db

Декодер служит для восстановления L

( m )

ичных уровней

X

k

,

m =

, 0

Lk

−,1

=

2 ,1, 0

,...

из двоичных

кодовых комбинаций

.

X ⁄ m ( t )

Интерполятор производит восстановление непрерывного сигнала из последовательности

L -ичных уровней X ⁄ k ( m ). Получатель сообщения œ это некоторый объект или система, которому передается информация в

(

виде ее физического представления, т. е. в виде изменяющегося во времени сигнала t a ).

4

/> ИС-источник сообщения ФНЧ-фильтр низкой частоты ПдУ-передающее устройствоИП-источник помехЛС-линия связиПРУ-приемное устройствоДет-детекторРУ-решающее устройствоПС-получатель сообщения

Рис.1.

2. Анализ задания.

Введем исходные данные :

Амплитуда Um := 1 volt τ1 := 0.75 10 − 3 ⋅sj := />−1N := 100 k := 0… NR := 1Ω ⋅ 1 31

Коффициент затуханияα:= α= 1.333× 10s

τ1 Коффициент от полной мощности сигналаγ := 0.95 − 32π

Период T :=2 10 − 3 ⋅s, T2 × 10 s. Угловая частота 1-ой гармоники ω1 :=, причем частота 1-ой гармоники T

f1 := ( f1 =500Hz ) и ω1 :=2π ⋅ ⋅f1 ( ω1 = 3.142× 103 1 rad) .Ts

⋅=

Математическая модель сигнала:

α − ⋅t

() :=

Um ⋅e if0t≤ T

≤

Sи t

0 otherwise

экспоненциальный импульс

1

0.75 () 0.5

Sи t

0.25 0

1 .10 4 4.25 .104 9.5 .10 4 0.00148 0.002 t

Аналоговый периодический сигнал может быть получен из импульсного аналового сигнала путем суммирования его задержанных копий через равные интервалы времени:

10

−⋅

() := Sи(tk T)

Sпер t∑ k = 0

периодический экспоненциальный сигнал

1

()0.5

Sпер t

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

t

3. Расчет спектральных характеристик сигнала.

Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

∞∞

x(t) = a0 +∑ (ak coskω 1t + bk k sin ω 1t) = a0 +∑ Ak cos(kω 1t ϕ + k ) (3.1)

==

1 k 1 k

0,

где ω= 2π />T – угловая частота 1-й или основной гармоники; aa и b– коэффициенты

kk

разложения, вычисляемые по формулам:

t + T

1 н a = Tt ∫+ Txt dt; ak = 2 н ∫ xt () sinkω tdt ;

() t + T() coskω tdt; b = 2 н ∫ xt

0 T 1kT1 tt t

нн н

/>b

2k

a2 + b

kk

k ,,… ϕ =− arctg, k = 12 3

;

A

=

,

k

a

k

где Ak – амплитуда k-й гармоники; ϕ k – фаза k-й гармоники; a0– среднее значение сигнала (постоянная составляющая); kω =ω – угловая частота k-й

1k

гармоники; t – момент времени, соответствующий началу периода.

н

Зависимости A и ϕ от частоты ω – это спектры амплитуд и фаз соответственно.

kk k

В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье

1 ∞

∑

jkω 1t . (3.2)

"

(t)

A

x

=

k

e

2

k=−∞

Коэффициенты

" Ak

ряда (1.2) вычисляются по формуле

+ T

tн

2

" A

k

=

x(t)e− jkω 1t dt. (3.3)

∫

T

tн

Формулы (1.2) и (1.3) – пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов

"

jϕ – комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность

A e A

k

k

=

k

"

спектр амплитуд.

действительных величин

k

в зависимости от частоты

–

A

A

=

k

Совокупность величин ϕ в зависимости от частоты – спектр фаз.

k

Ряд (1.2) удобно представлять в форме

∞

∑

"

e C

k jkω

1t

(t)

x

=

,

k =−∞

+ T

tн

"

Ak 1

"

− jkω

1tdt

где

∫

C

(t)

==

x

e

.

k

2T

tн

В нашем случае:

Спектр аналового периодического сигнала определяется разложением в ряд Фурье:

1 ⌠ T

⌠ T ()dt S:= 2 ⋅⎮ Sи(t) ⋅ exp (− j⋅ω1⋅ t) dt

S:= ⋅⎮ Sи tk⋅ T ⌡ kT ⌡

00

спектр сигнала при комплексной форме ряда Фурье

/>

k

11

k⋅

() := S0 +∑ (Sk ⋅ exp ( j⋅ω1⋅ t))

Sфур t

k = 1

восстановленный сигнал компл. рядом Фурье

/> 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

0.007


t


a0 :=2 T 0 T⌠ ⎮ ⌡ ⋅Sи t()td
ak:=2 T 0 T⌠ ⎮ ⌡ ⋅Sи t( ) cos⋅k ω1⋅ t⋅( )tdb k:=2 T 0 T⌠ ⎮ ⌡ ⋅Sи t( ) sin k ω1⋅ t⋅( )⋅tdA 0 :=a0 2










20






Sfur t():=A 0+∑ak cos⋅(k ω1⋅ t⋅( )+b k sin k ω1⋅ t⋅( )⋅ )







k=1

восстановленный сигнал тригоном. рядом Фурье

/>

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

t

Для построения амплитудного спектра определяем амплитуду и частоту k-ой гармоники (k>0)

/>⋅

fk := kf1

Значения амплитуд гармоник сводим в таблицу при k := 10 и i := 0… k С учетом постоянной составляющей спектр амплитуд принимает вид: Ci

:=

A0ifi0 Aifi0

≠

Ci = fi =

i

/>V

/>Hz

0.698

спектр сигнала при тригонометрической форме ряда Фурье

/>

1

0.5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 fi

4. Расчет практической ширины спектра сигнала.

Сигналы, как правило, имеют конечную длительность и поэтому бесконечный спектр. Для практических расчетов ширину спектра можно ограничивать частотой среза ω. Тогда

под практической шириной спектра понимают интервал [0, ω c ], внутри которого

сосредоточена основная часть энергии (или мощности) сигнала, например 90% или 99%. Ограничение спектра соответствует усечению ряда или интеграла Фурье. Оно ведет к t( () усеченной оценкой

погрешности δ() =x t) −x ∗(t) представления исходного сигнала xt∗

xt

(). Наиболее удобно эту погрешность оценивать с помощью среднеквадратичного критерия приближения. В зависимости от вида сигнала среднеквадратичная погрешность за счет ограничения спектра будет

t

2 tdt =∆P ⇒для мощностных сигналов

σ2 = 1 ∫ m δ()

t

m0

(например, периодических);

t

2 tdt =∆E ⇒для энергетических сигналов (4.1)

σ2 = 1 ∫ m δ()

tt

m

m0

(например, импульсных), где ∆P =−γ)P и ∆E =−γ)E-соответственно средняя мощность и энергия отброшенной

(1 (1

высокочастотной части спектра; γ-коэффициент, равный 0,9÷0,99; t -длительность

m

сигнала (например, его период). Условие для выбора практической ширины спектра принимает вид:

n

c

a2 +1 ∑A2 =⋅ P-для тригонометрического ряда; (4.2)

γ

k

02

k =1

nc

2

2

"

=γ⋅P-для комплексного ряда; (4.3)

C0 +2∑

Ck

1 k

= ω

1 ⋅ cA2()d =⋅ E-для интегрального преобразования Фурье, (4.4)

ωω γ

π∫

где ω-частота среза (ограничения) спектра; n-число учитываемых гармоник спектра,

cc

причем ω=n ⋅ω.

с c1

В нашем случае:

⎡⎢

2Um

+

1

2α ⋅

⋅

⎤⎥⎦

2

:

Um

(− 2)

⋅

Tα ⋅

1

:=

⋅

−1

e

Полная энергия импульса на сопротивлении R1 Ω Практическая ширина спектра определяется частотой среза :

=

будет иметь вид E

⋅

⋅ α

R

2

:=

ωc α tan γ⋅E

⋅

⎡⎢ ⎢⎣ ⋅

⎛⎜ ⎜

π R

⋅α

2Um

⋅

⎤⎥ ⎥⎦

⎞⎠

ωc

=

1.551

×

4

10

ω

1

c

fc :=

2π

s

ωc

Таким образом, при γ= 0.95 частота среза спектра сигнала fc := и составит fc =2.469KHz, что 2π соответствует 5-ой гармонике сигнала n := 5

− 5

10

J

При этом энергия, отбрасываемая при ограничении спектра составляе∆E

:=

(

1 γ −

)

⋅E ∆E

=

1.866

×

Относительная среднеквадратичная погрешность при ограничении сигнала по времени составляет

/>∆E

:=

⋅100 σотн =22.361 %

σотн E

или

⎛⎜ ⎜

T



R

⌠⎮⌡0

2

W

W

:=

()

Sи td

t

P

γ⋅P = 0.17727W

:=

T



Пусть число учитываемых гармоник n := 5 и i :=1… n. Согласно спектральной теории мощность этих гармоник

⎛⎜⎝

⎡⎢ ⎢ ⎣

2i

⎤⎥ ⎥ ⎦

⎤⎥⎦

2

A



1

1

⎡⎢

⋅

(

)

A

k

∑

+

Pci Pc= 0.17866W

:=

⋅

R



2

2

n

k

=

1

2 1 Um

Eп

Eп

:=

− 3

10

⋅

Pmin

Pmin

=

1.031

W

:=

×

⋅

TR2

2

T

αω+

c

⋅

Абсолютный уровень P0 0.001 watt

:=

P

⎛⎜

⎞

⋅

Верхняя граница динамического диапазона LС 10 log

LС = 22.709

:=

P0



Pmin

⎛⎜

⎞

⋅

Нижняя граница динамического диапазона LП 10 log

LП = 0.134

:=

P0



5. Расчет интервала дискретизации и разрядности кода.

В зависимости от модели детерминированного сигнала можно выделить два подхода к определению шага РВД:

1) по частотным характеристикам сигнала;

2) по производным сигнала.

В данном случае шаг РВД выбирается по теореме В. А. Котельникова. Здесь в качестве модели сигнала принимается функция, ограниченная по частоте. Такая функция не ограничена по времени и полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени

π 1

∆ t =

ω C = 2fC ,

где f œ граничная частота спектра функции xt

() или частота среза. Эту функцию можно

описать без погрешности полиномом Котельникова Kt

(), т.е. с помощью функций отсчетов (ФО)

∞−

C

() = K t (sin ω (ttk) ∞ ()Sa [ω (t − t)] ,

xt () =∑ xt) (tt) K =−∞ k

Ck k =−∞ k ω C − k =∑ xt

k () œ функция отсчетов.где tk =∆ t; Sa x

В нашем случае:

Граничная частота спектра сигнала fc := n ; fc = 2.5KHz T

1

Шаг дискретизации ∆t:=; ∆t= 0.2ms

p

2fc p

⋅

T

Число отсчетов N:=; N= 10

p

∆tp

p

График дискретизированного по времени сигнала

Ступенчатая аппроксимирующая функция S0j ( оценка )

j := 0… Np t := j⋅∆tp S0j := Sи t

j ()

j

дискретизированный по времени сигнал

/>1

S0j

Sи t j0.5

()

02 .104 4 .104 6 .104 8 .10 4 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 0.002

tj

Цифровое преобразование сигнала заключается в том, что функция непрерывного аргументаStставится в соответствие упорядоченная последовательность целых чисел,

()то есть целочисленная функция целочисленного аргумента Zn. Существует множество

()способов аналого-цифрового преобразования. Среди получили широкое распространение методы импульсно-кодовой модуляции (ИКМ), дифференциальной импульсно-кодовой модуляции (ДИКМ) и дельта-модуляции (ДМ). Цифровое преобразование сигнала состоит из трех отображений-дискретизации, квантования и кодирования. Существуют различные способы выбора функции квантования. В простейшем случае, когда используется квантование с постоянным шагом ∆=

SSi−Si−1, функция

квантования имеет вид:

⎧S1 приSn t )

( ∆≤(S +S1)/2

2

⎪

( ∆

Z =⎨Si при (Si+Si−1)/2 <Sn t ) ≤(S +Si)/2

ni−1

⎪ ( ∆

⎩SN при (SN +SN−1)/2 <Sn t )

Каждый из уровней квантования кодируется числом. Обычно используются двоичные символы (0 и 1). Квантованные отсчетыZn кодируются двоичными числами с m

()разрядами. Число уровней квантования N и наеименьшее число разрядов mдвоичных чисел, кодирующих эти уровни, связаны соотношением:

m=[lg2 N]

Квантованием называется отображение множества {}S на конечное множество

Z . Отображение {} {} выражается формулой:

целых чисел {}S → Z

⎡S⎤Z=⎣⎢∆S⎥⎦

S

Правая часть выражения означает округление величины до ближайшего целого

∆S

числа. Если величина ∆Sпостоянна, то квантование называется равномерным.

∈Z

Кодированием называется представление каждого числа Z {}в виде конечной последовательности символов, называемой кодовым словом.

При правильно выбранной частоте дискретизации точность преобразования аналового сигнала в цифровой код определяется исходя из теоремы Котельникова величиной шага квантования ∆S. Погрешность преобразования тем меньше, чем меньше шаг квантования. Разность между исходным и квантованным значениями сигнала в дискретные моменты времени называется шумом квантования (ошибкой квантования). При фиксированном максимальном уровне входного сигнала шум квантования определяется числом уровней квантования œ разрядностью аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

При кодировании двоичными числами и длине кодового слова в mразрядов количество двоичных кодовых слов rсоставляетr=2m . Так, при m=16 получим r=256 .

При линейной импульсно-кодовой модуляции мощность шума квантования определяется только шагом квантования:

2

∆S 1 ⎛Umax ⎞2

==

/>шкв m ⎟

… 12 12 ⎝⎜2 ⎠

где U -общий динамический диапазон сигнала.

max

Эффективное значение ошибки квантования

1 ∆S 1 U

max

(∆= />=

εS)

/>m+1

32 3 />

Поскольку Pшкв не зависит от уровня входного сигнала, то с увеличением мощности

..

P

входного сигнала P отношение c линейно растет до тех пор, пока не возникают

c

..

/>шкв

шумы ограничения.

Уровень ограничения по входу АЦП определяется его максимальным входным рабочим напряжением. Шумом ограничения называется разность между исходным и ограниченным сигналами. Аналого-цифровой преобразователь расчитывается таким способом, чтобы ограничения не возникали, то есть:

; S . =2RS с ср .

. ..

/>смакс ≤Uвх АЦП макс с макс .

Где R -пик-фактор сигнала, Sсср -среднеквадратическое значение сигнала. В

..

моем курсовом проекте Uвх АЦП макс =U , то есть напряжению экспоненциального

… m

сигнала. С учетом приведенных формул находим мощность шума:

1 ⎛RSсср 2

/>… ⎞ шкв ⎟

… ≈3 ⎜⎝ N

⎠

2

Мощность сигнала при сопротивлении 1Ом PSсср . Тогда

=

.

2

P 3N

c

=

R2 ..

/>шкв

или

PN

c

10 lg =20 lg +4.8 [дБ ]

R

..

/>шкв

В нашем случае:

Число уровней квантования и разрядность двоичного кода

Отношение сигнал-шум СШ:= 50 Коэффициент аплитуды KA := 38 ⎛ />СШ

Число уровней квантования L := ceil KA ⋅

L = 156⎝ 3 ⎠

(( ,=

⎜

Разрядность кода n := ceil log L 2)) n8

Так как разрядность кода n8, то число уровней квантования будет L := 2n L = 256

=

Ширина спектра ∆F := n fc Длительность импульса τ:= ∆tp n 1

∆F = 20 KHz τ= 25.000× 10− 6s ∆b

⋅

Шаг квантования ∆b := ∆b = 0.004 = 0.002 L12

−

Динамический диапазон цифрового сигнала в дБ оценивается величиной Dц := 6n − 1) Dц = 42

(

/>

()

j

02 .104 4 .104 6 .104 8 .10 4 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018

tj

С помощью трассировки найдем точки пересечения уровней квантования и дискретизации по времени :

КВ:= (1 0.766 0.587 0.449 0.344 0.264 0.202 0.155 0.118 0.091) КВ

УК:= УК -уровни квантования ∆b

УК =

01234567890255195150114886752403023

Перевод в двоичный код

⎛ ln X

() ⎞

Binary X) :=

( z ← floor

⎜

⎝ ln 2

() ⎠

form0… z

∈

⎛

b −← mod floor ⎛⎜ X ⎞, 2⎞

zm⎜ ⎝⎝ 2m⎠⎠

bT

Binary УК00,( )=11 1111 11 ( )Binary УК05,( )=10 0001 1 ( )Binary УК01,( )=11 0000 11 ( )Binary УК06,( )=11 0011 ( )Binary УК02,( )=10 0101 01 ( )Binary УК07,( )=10 0111 ( )Binary УК03,( )=11 1001 0 ( )Binary УК08,( )=<td width=«315» he