Реферат: Расчет частотных характеристик активного фильтра второго порядка на операционном усилителе

МО УКРАИНЫ

Севастопольскийгосударственный

технический университет

Кафедра РЭ

КУРСОВАЯ РАБОТАпо дисциплине«Основы автоматизации проектированиярадиоэлектронной аппаратуры»

Тема работы:Расчет частотных характеристик активного

фильтравторого порядка на операционном усилителе.

Номер зачётной книжки: 971959

Выполнил: ст. гр. Р-32д

Бут Р.

Проверил:

Иськив В.

СЕВАСТОПОЛЬ 2000

Задание: рассчитать АЧХ и ФЧХ заданного фильтра по уравнениямматематической модели и сравнить данные расчетов срезультатами применения стандартного пакета автоматизированного проектирования.

Исходныеданные:

f0=11.5 кГц.

f1=6.2 кГц.

f2=9 кГц.

f3=9.2кГц.

f4=10.5 кГц.

Содержание

Стр.

1.

………………………………4

2. Формирование уравнений математическоймоделифильтра. ………………………………………………..5

3.

…...9

4.

Расчет коэффициентов уравнения выхода. ………………………………………………………………….11

5.

характеристик, разработка алгоритма программы. ………..……………………………………………………………………………….12

6.

………………16

7.

…………………………………………………………………………………………………….18

8.

…………………………………………………………………………………………...19

1. Выбор схемной реализациифильтра, разработка его

эквивалентнойсхемы.

При выборе схемной реализации фильтра необходимопроизвести оценку его добротности. Оценку добротности производится по отношениюрезонансной частоты к удвоенному значению частотного интервала по уровню 0,707

Следовательно

Добротность Q=3.14<2-данный фильтрбудет среднедобротным. Схема такого фильтра будет выглядеть следующим образом

R2

R3

DA

+

_

Рис.1.Схема полосового фильтра со средней добротностью.

Для построения эквивалентной схемы фильтра, необходимо заменить операционныйусилитель его схемой замещения, которая представлена на рис.2.

R1

Е

Rвых

R2

Рис.2. Схема замещения операционного усилителя.

где, R1=R2=500 кОм, Rвых=100 Ом, Е=1 В.

В результате замены операционного усилителя егосхемой замещения, эквивалентная схема фильтра будет выглядеть как показано нарис. 3.

(2)

(3)

(5)

(4)

I12

(1)

(6)

(0)

(7)

R10

R11

I13

<div v:shape="_x0000_s1521"> <div v:shape="_x0000_s1291"> Рисунок.3.Эквивалентная схема фильтра.

Рассчитаемэлементы фильтра:

Пусть С3=16нФ, С4=64нФ, тогда остальные элементы схемы:

E1=7.5 мВ;

E2= 7.125 мВ;

R5= 8.5 кОм;

R6= 40 кОм;

R7= 12 кОм;

R8= 4 кОм;

R9= 1.3 кОм;

R10= 2.8 кОм;

R11= 700 Ом;

I12=5 мА;

I13=0.5 мА.

2.

Формирование уравненийматематической моделифильтра.

Болееуниверсальным в задачах исследования, разработок является метод переменныхсостояния, отличительной особенностью и достоинством которого являетсявозможность получения ММ в так называемой форме Коши (уравнения относительно производных), что позволяет использоватьбазовые программы математического обеспечения ЭВМ. Метод переменных состоянийявляется базовым методом в САПР устройств, систем, сетей радиосвязи.

Суть метода состоит в том, чтоанализируемая RLC-цепь можетпредставлена в виде: пассивной линейной R-цепи из которой выносятся реактивные элементы инезависимые источники входных воздействий. Далее реактивные элементы инезависимые источники представляются, как вектор состояния X(t)и вектор воздействия Xни(t) анализируемойцепи. Тогда полная система уравнений математической модели анализируемой цепибудет иметь вид:

Iрез(t)=В1X(t)+B2Xни(t) (I),

dX(t)/dt=P1(t)+P2Xни(t) (2),

Xвых(t)=DlX(t)+ D2Xни(t) (3),

где

(1)- уравнение токов резистивных элементов, Bl, B2 -матричные коэффициенты,значение которых определяется топологиейи сопротивлениями резистивных элементов R-цепи.

(2)- уравнение состояния, Р1, Р2-матричные коэффициенты, значения которых зависитот топологии цепи и параметров ее элементов;

(3)- уравнение выхода в котором скаляр Хвыx.(t) обозначает напряжение Uвых. либо ток Iвых. для выделенного при анализе выхода схемы, акоэффициенты D1,D2 определяются данными схемы.

Алгоритмрешения системы (1) — (3) основан на следующей последовательности действий:

·

первоначально решаются уравнения (2) (при этом порядок уравнения,то есть число уравнений, объединенных в матричное выражение (2), определяетсячислом элементов вектора Х);

·

по найденному значению Х рассчитывается вектор Iрез. из

уравнения (1);

·

для известных значений Х и Iрез. находится значение

скаляра Хвых(t).

<img src="/cache/referats/13138/image017.gif" v:shapes="_x0000_s1029">
Значениекоэффициентов В1, В2, Р1, Р2 находятся в результате преобразованиятопологических уравнений анализируемой цепи.

<img src="/cache/referats/13138/image019.gif" v:shapes="_x0000_s1030">
где

FCL,FERx и т.п. -подматрицы МГС.

Дляполучение матрицы главных сечений необходимо преобразовать редуцировануюматрицу цепи.

<img src="/cache/referats/13138/image021.gif" v:shapes="_x0000_s1690">
Запишемредуцированную матрицу:

<img src="/cache/referats/13138/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1396">
В

результатепреобразований получим матрицу главных сечений:

Выделимподматрицы из МГС

Определим коэффициенты В1, В2, Р1, Р2,используя для этого программу

“Mathcad”.

Составимнеобходимые транспонированые подматрицы

<img src="/cache/referats/13138/image027.gif" v:shapes="_x0000_s1693">
Составим

<img src="/cache/referats/13138/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1692">
матрицу сопротивлений Rp и Rx, а такжематрицу ёмкостей C

Подставляя полченные матрицы в вышеприведённыеформулы получим:

<img src="/cache/referats/13138/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1696">
Дляопределения коэффициентов

P1 и P2 составим подматрицу МГС Fci:

<img src="/cache/referats/13138/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1697">
Тогда

3.Разработкаблок — схемы алгоритма и программы формирования матрицы главных сечений.

Рис. 4.Блок-схема алгоритма программы формирования МГС.

ProgramMATR;

const k=30;

varn,m,i,j,c,r,e,Ii,s,l,G,z,y,p,q,d:integer;

STM:array[1..k,1..k] of integer;

PR:array[1..k] of integer;

b:array[1..k] of integer;

MGS,FERx,FCRx,FRpRx,FEL,FCL,FRpL,FEI,FCI,FRpI:array[1..k,1..k] ofinteger;

{ Процедура ввода структурной матрицыипараметров схемы.}

procedure strm;

begin

writeln;

write(' ‚Введите количество узлов n=');

read(n);

write(' ‚ Введите количество ветвей m=');

read(m);

write(' ‚ Введите последовательно количествоэлементов схемы E,C,R,L,I.');

writeln;

write(' E='); read(e);

write(' C='); read(c);

write(' R='); read(r);

write(' L='); read(l);

write(' I='); read(Ii);

write('‚Введите элементы структурнойматрицы СТРМ[i,j]=1,-1,0 если j ветвь');

writeln(втекает в i узел тоСТРМ[i,j]=1, если вытекает то -1, если не подключен -0.');

for i:=1 to n do

begin writeln;

for j:=1 to m do

begin

write(' СТРМ[',i,'узел,',j,'ветвь]=');read(STM[i,j]);

end;

{Вывод на экран структурнойматрицы}

write(' СТРМ');

for i:=1 to n do

begin writeln;

for j:=1 to m do

write(STM[i,j]:3);

end;

procedure sea;

begin

writeln;

write(' Для прлолжения программы нажмите ENTER. ');

readln;

end;

{”Формирование МГС из структурной матрицы.}

procedure MGSS;

begin

for s:=1 to n do begin i:=s;j:=s;

while i<=n do begin while j<=m dobegin if STM[i,j]<>0 then begin

p:=i;g:=j;i:=n;j:=m end;j:=j+1 end;i:=i+1end;

if p>s then for j:=1 to m do beginPR[j]:=STM[s,j];

STM[s,j]:=STM[p,j];

STM[p,j]:=PR[j] end;

if g<>s then begin

for i:=1 to n do b[i]:=STM[i,g];

for j:=g downto s+1 do

for i:=1 to n do STM[i,j]:=STM[i,j-1];

for i:=1 to n do STM[i,s]:=b[i] end;

if STM[s,s]=-1 then for j:=s to m doSTM[s,j]:=-STM[s,j];

for i:=1 to n do begin if i<>s thenbegin

if STM[i,s]=1 then for j:=s to m doSTM[i,j]:=STM[s,j]-STM[i,j];

if STM[i,s]=-1 then for j:=s to m doSTM[i,j]:=STM[s,j]+STM[i,j] end;end;

end;

writeln('Матрица главных сечений');

for i:=1 to n do for j:=1 to m-s doMGS[i,j]:=STM[i,j+s];

for i:=1 to n do begin writeln;for j:=1 tom-s do begin

if MGS[i,j]=-1 then write(' ',MGS[i,j]);

if MGS[i,j]<>-1 then write(' ',MGS[i,j]) end;end;end;

{Формирование подматриц из МГС‘}

procedure MGS2;

begin

s:=r+e+c-n;

for i:=1 to e do {Выделение Ferхорд}

for j:=1 to s do

FERx[i,j]:=MGS[i,j];

for i:=e+1 to e+c do { Выделение Fcrхорд}

for j:=1 to s do

FCRx[i-e,j]:=MGS[i,j];

for i:=e+c+1 to n do { Выделение Fребер rхорд}

for j:=1 to s do

FRpRx[i-e-c,j]:=MGS[i,j];

for i:=1 to e do { Выделение Fel}

for j:=s+1 to s+l do

FEL[i,j-s]:=MGS[i,j];

for i:=e+1 to e+c do { Выделение Fcl}

for j:=s+1 to s+l do

FCL[i-e,j-s]:=MGS[i,j];

for i:=e+c+1 to n do { Выделение Frреберl}

for j:=s+1 to s+l do

FRpL[i-e-c,j-s]:=MGS[i,j];

for i:=1 to e do { Выделение Fei}

for j:=s+l+1 to s+l+Ii do

FEI[i,j-s-l]:=MGS[i,j];

for i:=e+1 to e+c do { Выделение Fci}

for j:=s+l+1 to s+l+Ii do

FCI[i-e,j-s-l]:=MGS[i,j];

for i:=e+c+1 to n+1 do { Выделение Frреберi}

for j:=s+l+1 to s+l+Ii do

FRpI[i-e-c,j-s-l]:=MGS[i,j];

end;

begin

strm;

sea;

MGSS;

sea;

MGS2;

write('FERx');

for i:=1 to e do

begin writeln;

for j:=1 to s do

write(FERx[i,j]:4);

end;

sea;

write('FCRx');

for i:=1 to c do

begin writeln;

for j:=1 to s do

write(FCRx[i,j]:4);

end;

sea;

write('FRpRx');

for i:=1 to n-e-c do

begin writeln;

for j:=1 to s do

write(FRpRx[i,j]:4);

end;

sea;

write('FEL');

for i:=1 to e do

begin writeln;

for j:=1 to l do

write(FEL[i,j]:4);

end;

sea;

write('FCL');

for i:=1 to c do

begin writeln;

for j:=1 to l do

write(FCL[i,j]:4);

end;

sea;

write('FRpL');

for i:=1 to n-1-e-c do

begin writeln;

for j:=1 to l do

write(' ',FRpL[i,j],' ');

end;

sea;

write('FEI');

for i:=1 to e do

begin writeln;

for j:=1 to Ii do

write(FEI[i,j]:4);

end;

sea;

write('FCI');

for i:=1 to c do

begin writeln;

for j:=1 to Ii do

write(FCI[i,j]:4);

end;

sea;

write('FRpI');

for i:=1 to n-e-c do

begin writeln;

for j:=1 to Ii do

write(FRpI[i,j]:4);

end;

sea;

end.

4.Расчет коэффициентов уравнения выхода.

Длярасчета коэффициентов D1, D2 уравнения выхода в случае,когда Xвых.(t)=Uвых(t), выходной откликцепи можно представить в виде алгебраической суммы напряжений ветвей при обходенекоторого контура от начальной выходной клеммы к конечной.

В томслучае когда выходное напряжения снимается с резистивного элемента,формирование коэффициентов может быть представлено в виде некоторого алгоритмапредставленного ниже.

Алгоритмрасчета коэффициентов:

1.

D1 — определяетсякак к-я строка коэффициента В1, где к-порядковый номерэлемента в соответствующемвекторе Iрез;

2.

D2-определяетсякак элемент b[k,i] из коэффициента В2, где i-порядковый номер входногоисточника в векторе Xни.

3.

Если Xвых=U[Rk] коэффициентыD1=D1*Rk, D2=D2*Rk.

На основание выше всегоизложенного рассчитаем коэффициенты D1, D2:

<img src="/cache/referats/13138/image039.gif" v:shapes="_x0000_s1698">
k=4, i=2.

5.Формированиесистемы линейных уравнений для расчета частотныххарактеристик,разработка алгоритма программы.

Для анализа частотных характеристик цепидостаточно воспользоваться уравнением состояния (1) и выхода(3). Предполагая характер входноговоздействия гармонической функцией времени и записывая Хни(t)как Хвх(t),

<img src="/cache/referats/13138/image041.gif" v:shapes="_x0000_s1039">запишем эти уравнения в комплекснойформе:

Полагая Хвх = 1 можно определить Хвых =К*Хвх. Представляя переменные Х и К в развернутой форме и приводя подобные,получим следующею систему уравнений позволяющую рассчитать действительную имнимую части комплексного коэффициента передачи:

Распишем этусистему конкретно для нашего случая, и получим следующий результат:

<img src="/cache/referats/13138/image047.gif" v:shapes="_x0000_s1700">
Решим эту систему методом Крамера

гдеp1= -6.152^7 и p2= -1.48^7.<img src="/cache/referats/13138/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1058">

По найденнымзначениям х найдем мнимую и действительную частикомплексного коэффициента передачи цепи К' и К''

<img src="/cache/referats/13138/image053.gif" v:shapes="_x0000_s1715">
[X1] АЧХ и ФЧХ строятся последующим формулам

Рис. 5. АЧХ и ФЧХ проектируемойцепи.

6.

Расчет частотныххарактеристик с использованием пакета

«Electronics Workbench Pro».

В данном пакете была спроектирована схемаполосового фильтра.

И былиполучены следующие результаты:

<img src="/cache/referats/13138/image057.gif" v:shapes="_x0000_s1400">
АЧХ