Реферат: Пропускная способность канала

КазанскийГосударственный технический университет им. А.Н. Туполева

Кафедра Радиоуправления

Пояснительнаязаписка к курсовой

работепо курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

натему

Пропускная способность канала.

Выполнилстудент гр.5313

Алмазов А.И.

Руководитель:_____________

Оценка_____________

Комиссия ________ ( _______ )

________ ( _________ )

Казань 2002

Оглавление.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Задание.
В канале действует аддетивный белый гаусовский шум.Отношение сигнал/шум (Pc/Pш) меняется с25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5кГц; Vк=8*103 сим/с.

Рассчитать:

1)

2)

Построитьграфики зависимостей с=f(Pc/Pш) и κ= f(Pc/Pш).

Введение.

Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение пропускнойспособности канала с изменением отношения сигнал/шум. Можно определитьпропускную способность С канала врасчете на один символ

Ссимвол=maxI(A,B), бит/символ
или в расчете на единицу времени (например, на секунду):

С=maxI’(A,B)=u

Ссимвол , биит/с.

Вданном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого мы воспользуемсяформулой определяющей пропускную способность канала в расчете на единицувремени.

С=Fklog2(1+Pc/Pш),

Адля того чтобы определить избыточность передаваемой информациивоспользуемся теоремой Шеннона. Приусловии если теорема Шеннона будет выполняться, то избыточность κ будет равняться 0, значитинформация передаётся без потерь. Если нет, то κ будет больше нуля (κ>0).Т.е. чем меньше величина κ, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.

Теоретическаячасть.

Пропускнаяспособность канала связи.

Влюбой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяетсяпо формуле:

I’(А, В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А). (1)

Величина H(A|B) — это потери информации при передаче ее по каналу. Еетакже называют ненадежностью канала. H(B|A) — энтропияшума; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается ксигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рис. 1.

Рис. 1.Передача информации по каналу с помехами

Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) — скорость передачи информации поканалу.

Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самогоканала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не можетхарактеризовать канал как средство передачи информации.

Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени u

символов из алфавита объёмом m.При передачи каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации

I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A), (2)

где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёхфигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого символаопределяется источником дискретного сигнала и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случаезависят как от источника сигнала, так и от канала.

Величина I(A,B) характеризует не только свойстваканала, но и свойства источника информации. Пусть на вход канала можно подаватьсигналы от различных источников информации с различными распределениями P(A). Для каждого источника I(A,B) приметсвое значение. Максимальное количество информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует толькоканал и называется пропускной способностью (ПС) канала в расчетена один символ:

где максимизация производится по всем многомерным распределениямвероятностей Р(А).

Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицувремени:

<img src="/cache/referats/13096/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> (3)

где v — количество символов,переданное в секунду.

В качестве примера вычислим пропускную способность дискретногосимметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода — p.

Рис. 2. Модельдвоичного симметричного канала без памяти

Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: Ссим=max(H(B)-H(B|A)).Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной передачисимвола по каналу — 1-p,а вероятность ошибочной передачи одного символа p/(1-m), где m — число различныхсимволов, передающихся по каналу. Общее количество верных передач — m; общее количество ошибочных переходов — m*(m-1). Отсюда следует, что:

<img src="/cache/referats/13096/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">.

Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в ансамбле А, а определяется только переходнымивероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала саддитивным шумом.

Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:

<img src="/cache/referats/13096/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> (4)

Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:

<img src="/cache/referats/13096/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> (5)

Длядвоичного симметричного канала (m=2)пропускная способность в двоичных единицах в единицу времени

С=u

[1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)] (6)

Зависимость С/u

от р согласно (6) показана на рис.3

рис.3 Зависимость пропускной способности двоичного симметричногоканала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.

Прир=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибкипоследовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигналапо каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе ивходе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала.

Пропускная способность непрерывного канала связи.

Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала. Непрерывныйсигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно теоремеКотельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна сумме количества информации, переданной за один отсчет.Поэтому общая ПС канала равна сумме ПС на один такой отсчет:

<img src="/cache/referats/13096/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> (7)

где U — переданный сигнал; Z — сигнал на выходеканала с наложенными на него шумами; N — шум; Z=U+N.

Пусть Uи N — случайные величины с плотностью распределения вероятностиw, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Длятаких сигнала и шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:

Отсюда следует:

ПС в расчете на секунду будет равна:

<img src="/cache/referats/13096/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> (8)

поскольку придискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду мы получим 2F отсчетов, где F — верхняя частотаспектра сигнала.

Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, чтоплотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному закону.

Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПСканала от его технических характеристик — ширины полосы пропускания и отношениямощности сигнала к мощности шума.

Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосыпропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю спектральнуюмощность N0.Имеем Рш=N0F;поэтому

С=F*log(1+ Pc/N0*F )=F*loge*ln(1+Pc/N0*F) (9)

При увеличении Fпропускная способность С, бит/с, сначала быстро возрастает, а затемасимптотически стремится к пределу:

C∞=Lim(Pc/N0)*loge (10)

Результат (10) получается оченьпросто, если учесть, что при |e

|<<1 ln(1+e)»e.Зависимость С и Fпоказана на рис.4.

<img src="/cache/referats/13096/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">F N0/Pc

рис.4 Зависимость нормированнойпропускной способности гауссовского канала от его полосы пропускания.

Теорема кодирования для каналас помехами.

Это основная теорема кодированияК. Шеннона. Применительно к дискретному источнику информации она формулируетсятак:

Теорема. Еслипроизводительность источника сообщений H’(A) меньшепропускной способности канала С: H’(A)<С, то существует такой способ кодирования (преобразования сообщенияв сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщениена выходе), при котором вероятность ошибочного декодирования и ненадежностьканала H(A|A*)могут быть сколь угодно малы. Если же H’(A)>С, то таких способов кодирования идекодирования не существует.

Модель:

КАНАЛ

КОДЕР

ИС

<img src="/cache/referats/13096/image030.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026"> Н(А) Н’(В)

Н’(А)<с

Если же Н’(А)>с,то такого кода не существует.

Теорема указываетна возможность создания помехоустойчивых кодов.

Н’(А)< Н’(В)

Н’(В)=VkH

Декодер выдаёт накод каналов Vk символов в секунду.Если в канале потерь нет, то Vk=с.

При Н<1 будет тратитсябольше одного бита на символ, значит появляется избыточность, т.е. не всесимволы несут полезную информацию.

Делаем вывод, что смыслтеоремы Шеннона заключается в том, что при H’(A)>С невозможна безошибочная передачасообщений по данному каналу, если же H’(A)<С, то ошибки могут быть сведены к скольугодно малой величине. Таким образом, величина С — это предельное значение скорости безошибочной передачи информациипо каналу

Практическая часть.

Пропускная способность гауссовского канала определяется [1,стр.118]:

<img src="/cache/referats/13096/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1038">.

Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15дБ. Поэтому С также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ сшагом 1 дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что вформуле отношение С/Ш — Pc/Pш — дано в разах, поэтому данные в дБ необходимо пересчитать в разы: <img src="/cache/referats/13096/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1039">; отсюда <img src="/cache/referats/13096/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1040">.

С помощью программы MathCAD получили результаты подсчётов:

С1=1,246*104 бит/с

С2=1,197*104бит/с

С3=1,147*104бит/с

С4=1,098*104бит/с

С5=1,048*104бит/с

С6=9,987*103бит/с

С7=9,495*103бит/с

С8=9,003*103бит/с

С9=8,514*103бит/с

С10=8,026*103бит/с

С11=7,542*103бит/с

Производительность кодера H’(B)=vк*H(B) должна быть меньше пропускной способности канала С, иначенеизбежны потери информации в канале. Максимальное значение энтропии двоичногокодера Hmax=H(B)=log2=1 бит. Если С уменьшается, то дляизбежания потерь информации можно уменьшать H(B) так,чтобы H’(B) оставалась все время меньше С.Если же H(B)<1,это означает, что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга,т.е. используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кодавычисляется по формуле:

<img src="/cache/referats/13096/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> (11)

Итак, пропускная способность канала С определяетпредельное значение производительности кодера H’(B): H’(B)<C. Отсюда находим предельноезначение энтропии кодера:

По условию Vk=8*103 сим/с

В численном виде это выглядит так:

С/Vk1=1,558 бит/сим

С/Vk2=1,496 бит/сим

С/Vk3=1,434 бит/сим

С/Vk4=1,372 бит/сим

С/Vk5=1,31 бит/сим

С/Vk6=1,248 бит/сим

С/Vk7=1,187 бит/сим

С/Vk8=1,125 бит/сим

С/Vk9=1,064 бит/сим

С/Vk10=1,003 бит/сим

В этих случаях энтропию Н(В) можно брать любой, вплоть до максимальной (Hmax=1бит/сим).

С/Vk11=0,943 бит/сим

Т.к. в 11-омслучае условие H’(B)<C не выполняется, то теоремаШеннона так же не выполняется. Для того чтобы избежать потерь информации,вводим избыточные символы.

Следующим шагомбудет вычисление избыточности κ кода, по формуле (11):

κ=0,057

Чтобы былоболее наглядно, построим графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и κ= f(Pc/Pш).

Графикзависимости с=f(Pc/Pш) :

<img src="/cache/referats/13096/image041.gif" v:shapes="_x0000_s1046"><img src="/cache/referats/13096/image042.gif" v:shapes="_x0000_s1043"><img src="/cache/referats/13096/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

График зависимости κ=f(Pc/Pш).

Заключение.

Врезультате проведённой работы, мы можем сделать вывод, что с уменьшениемотношения сигнал/шум пропускная способность канала также уменьшается, чтоприводит к потери информации. Для того чтобы избежать возникновение ошибок, мывводили избыточные символы. Избыточность этого кода κ=0,057.

Сделаем вывод, что в результате проведенного расчетапоставленная задача была полностью решена.

Литература.

1.

2.

3.

еще рефераты

Еще работы по радиоэлектронике

Реферат по радиоэлектронике

Расчет частотных характеристик активного фильтра второго порядка на операционном усилителе

29 Августа 2013

Реферат по радиоэлектронике

Теоретические основы радиолокации