Реферат: Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИНАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РЭС(РТС)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАПокурсу «Методы проектирования и оптимизации РЭA»Вариант №7
Выполнил:
ст.гр. РТз – 98 – 1
Чернов В.В.
Шифр 8209127
Проверил:
Карташов В. И.
____________________
Харьков 2003Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайнойвеличины (БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая найтиминимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание идисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическимизначениями.
Решение
Базовойназывают случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощифункции rnd(m) пакета MathCad 2000, возвращающейзначение случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0<img src="/cache/referats/15196/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">x<img src="/cache/referats/15196/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1026">.
а)для выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078,Xmax = 0.996.
Первый начальный момент(математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки:
МХ = <img src="/cache/referats/15196/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> (1.1)
второй центральный момент(дисперсия):
D = <img src="/cache/referats/15196/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> 0.086 , (1.2)
среднеквадратичное отклонение:
s= <img src="/cache/referats/15196/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029">. (1.3)
<img src="/cache/referats/15196/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1030">
Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.
Длявыборки объемом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,
МХ = <img src="/cache/referats/15196/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> (1.4)
D = <img src="/cache/referats/15196/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> 0.085 , (1.5)
s= <img src="/cache/referats/15196/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> (1.6)
<img src="/cache/referats/15196/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1034">
Рисунок 1.2Выборкаобъемом 1700.
Теоретически значенияматематического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из определенияплотности распределения вероятности:
pравн(x) = <img src="/cache/referats/15196/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> , (1.7)
математическое ожидание:
Mx = <img src="/cache/referats/15196/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1036">, (1.8)
дисперсия:
Dx = <img src="/cache/referats/15196/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1037"><img src="/cache/referats/15196/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
=<img src="/cache/referats/15196/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1039">, (1.9)
что хорошо совпадает срезультатами моделирования (1.1) – (1.5).
Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограммураспределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределеннойслучайной величины.
Решение
а) выборка получается аналогичноЗаданию 1(рис. 2.1):
<img src="/cache/referats/15196/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1040">
Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700
Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q =10 равных промежутков,каждыйиз которых равен:
DX = <img src="/cache/referats/15196/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> (2.1)
Количествавыборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотностисведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2.Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения(1.7).
Таблица 2.1 Результаты оценкиплотности распределения
Номеринтер-вала
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Диапа-зон значе-ний
0-0.1
0.1-0.2
0.2-0.3
0.3-0.4
0.4-0.5
0.5-0.6
0.6-0.7
0.7-0.8
0.8-0.9
0.9-1
Коли-чество попа-даний
151
174
149
189
190
161
166
182
177
161
Часто-та по-пада-ния Pi
0.089
0.102
0.088
0.111
0.112
0.095
0.098
0.107
0.104
0.095
Оцен-ка плот-ности
pi
0.888
1.024
0.876
1.112
1.118
0.947
0.976
1.071
1.041
0.947
<img src="/cache/referats/15196/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1042">
Рисунок 2.2 Гистограммараспределений
Задание 3.Получить выборку БСВ объемом n =1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученнойслучайной последовательности (вычислить 10 значений коэффициента корреляции).
Решение
а) снова получим выборку значенийБСВ объемом n = 1700 (рис.3.1):
<img src="/cache/referats/15196/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1043">
Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700
б) значения математическогоожидания и дисперсии:
M = <img src="/cache/referats/15196/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> (3.1)
D= <img src="/cache/referats/15196/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> 0.088 . (3.2)
в) функция корреляции:
R(j) = <img src="/cache/referats/15196/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> , (3.3)
значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1,значение R(0) = 0.088 совпадает с дисперсией.
Таблица 3.1 Значенияфункции корреляции:
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R(j)
-9.6·10-4
3.53·10-3
2.7·10-4
4.24·10-3
-1.73·10-3
6.61·10-4
4.11·10-4
6.74·10-5
3.95·10-4
1.12·10-3
Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины,распределенной по закону Релея. Объем выборки n = 17, s2= 27.
Решение
Ддяполучения случайной величины с заданным законом распределения из БСВ применимметод обратной функции:
а) для распределения Релея
p(x) = <img src="/cache/referats/15196/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> (4.1)
случайная величина
x = F(x) = <img src="/cache/referats/15196/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> (4.2)
равномерно распределена винтервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ. Решив уравнение (4.2)относительно x,получаем случайную величину, распределенную по закону (4.1):
xi= <img src="/cache/referats/15196/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> ,
xi = <img src="/cache/referats/15196/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> , (4.3)
где xi–значения выборки БСВ
Результат моделирования случайнойвеличины xiпредставлен на рис. 4.1:
<img src="/cache/referats/15196/image047.jpg" v:shapes="_x0000_i1051">
Рисунок 4.1 Выборка случайнойвеличины, распределенной по закону Релея
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.<span Times New Roman"">
Вентцель Е. С.Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.2.<span Times New Roman"">
Тихонов В. И. идр. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М. – Сов. радио, 1970. – 600 стр.3.<span Times New Roman"">
Трохименко Я.К.,Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник. М. – Радио и связь,1988. – 304 с.