Реферат: Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

Тема:Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени .

Оглавление

Введение

Постановка проблем, формулировка задач

Глава 1. Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анализа.

1.1.Введение в  спектральное оценивание

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">1.1.1. Задача спектрального оценивания

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">1.1.2. Проблемы в области спектральногооценивания.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.1.3. Спектральные оценки по конечнымпоследовательностям данных

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.1.4. Общая картина

1.2. Основные определения и теоремыклассического спектрального анализа

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">·

1.2.2 Операциидискретизации и взвешивания для получения дискретно- временных рядов Фурье.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.2.3.Анализ эргодичных дискретныхпроцессов.

1.3.Классические методы спектральногоанализа.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.3.1. Введение.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.3.2. Окна данных и корреляционные окна вспектральном анализе.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.3.3. Периодограммные оценки спектральнойплотности мощности.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.3.4.Коррелограммные оценки спектра.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.3.5. Область применения.

1.4. Авторегрессионноеспектральное оценивание.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.1. Введение.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.2. Оценивание корреляционной функции — метод Юла-Уалкера.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.3. Методы оценивания коэффициентовотражения.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.3.1. Геометрический алгоритм.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.4. Оценивание линейного предсказанияпо методу наименьших квадратов.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.5. Градиентный адаптивныйавторегрессионный метод

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный методнаименьших квадратов

1.5. Спектральное оценивание на основемоделей авторегрессии — скользящего среднего .

1.6. Спектральное оценивание по методуминимума дисперсии.

1.7. Методыоценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.7.1. Введение.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.7.2. Процедуры оценки частоты впространстве сигнала.

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

1.7.3. Оценки частоты в пространстве шума.

Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.

Особенности реализации.

Заключение.

Выводы.

ПриложениeА. Смещениепериодограммы Уэлча.

ПриложениeВ. Методы иинтерфейсы межзадачного системного и межсистемного обмена в среде Windows ’95 (Delphi 3.0)

ПриложениeС. Достоверностьполученных оценок спектральной плотности мощности.

ПриложениeD. Таблицаэкспериментальных результатов по разрешающей способности методов спектральногоанализа.

ПриложениeE. Таблица играфики «Слабые синусоидальныесоставляющие»

ПриложениeF.Дисперсииоценок СПМ как функции частоты.

ПриложениeG. Таблицанаилучших в смысле структурной устойчивости параметров адаптивного градиентногометода.

ПриложениeН.Графикиоценок СПМ при  различных значенияхпорядка авторегрессионной модели.

ПриложениeI. Списокиспользуемой литературы.

Введение

Спектральныйанализ — это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризоватьчастотный  состав измеряемого сигнала.Преобразование Фурье является математической основой, которая связываетвременной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) сего представлением в частотной области. Методы статистики играют важную роль вспектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой илислучайный характер. Если бы основные статистические характеристики сигнала былиизвестны точно или же их можно было бы без ошибки определить на конечноминтервале этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасльточной науки. Однако в действительности по одному-единственному отрезку сигнала можно получить только некоторуюоценку его спектра.[1]

К обработкесигналов в реальном масштабе времени относятся задачи анализа аудио, речевых, мультимедийныхсигналов, в которых помимо трудностей, связанных непосредственно с анализомспектрального содержания и дальнейшей классификацией последовательностиотсчетов (как в задаче распознавания речи) или изменения формы спектра — фильтрации в частотной области (в основном относится к  мультимедийным сигналам), возникает проблемауправления потоком данных в современных вычислительных системах. Реальностьнакладывает отпечаток как на сами вычислительные алгоритмы, так и на результатыэкспериментов, поднимая вопросы, с которыми не сталкиваются при обработке всейдоступной информации.

Приобработке сигналов обычно приходится решать задачи двух типов — задачуобнаружения и задачу оценивания. При обнаружении нужно дать ответ на вопрос,присутствует ли в данное время на входе некоторый сигнал с априорно известнымипараметрами. Оценивание — это задача измерения значений параметров, описывающихсигнал [1].

Сигналчасто зашумлен, на него могут накладываться мешающие сигналы. Поэтому дляупрощения указанных задач сигнал обычно разлагают по базисным составляющимпространства сигналов. Для многих приложений наибольший интерес представляютпериодические сигналы. Вполне естественно, что используются Sinи Cos. Такое разложение можно выполнить с помощью классическогопреобразования Фурье.

Приобработке сигналов конечной длительности возникают интересные и взаимозависимыевопросы, которые необходимо учитывать в ходе гармонического анализа. Конечностьинтервала наблюдения влияет на обнаружимость тонов в присутствии сильных шумов,на разрешимость тонов меняющейся частоты и на точность оценок параметров всехвышеупомянутых сигналов.

Постановка проблемы, формулировка задачи

Нанастоящее время существует большое количество алгоритмов и групп алгоритмов,которые так или иначе решают основную задачу спектрального анализа: оцениваниеспектральной плотности мощности, с тем чтобы по полученному результату судить охарактере обрабатываемого сигнала.Основной вклад сделан такими исследователямикак: Голд Б. (GoldB.), Рабинер Л. (RabinerL.R.), Бартлетт M. (BartlettM.S.) Однако каждый из алгоритмов имеет свою областьприложения. Например, градиентные адаптивные авторегрессионные методы не могутбыть применены к обработке данных с быстро меняющимся во времени спектром.Классические методы имеют широкую область применения, но проигрываютавторегрессионным и методах, основанных на собственных значениях, по качествуоценивания. Но в реальном масштабе времени использование последних затрудненоиз-за вычислительной сложности.

Более того,применение каждого из методов обычно требует выбора значений параметров (выборокна данных и корреляционного окна в классических методах, порядка модели вавторегрессионном алгоритме и алгоритме линейного предсказания, предполагаемогочисла собственных векторов в пространстве шума в методе Писаренко) и правильныйвыбор требует экспериментальных результатов с каждым классом алгоритмов.

Такимобразом, имеется следующая задача :

На основе существующих алгоритмов проанализироватьвозможность их применения  как к последовательнойобработке сигналов в реальном времени, так и к блочной обработке и оценитькачество получаемых результатов .Критериями «качества» оценкиспектральной плотности мощности в общем случае являются смещение этой оценки иее дисперсия. Однако аналитическое определение этих  величин наталкивается на определенныематематические трудности и в каждом конкретном случае на практике просто визуальносовмещают графики нескольких реализаций спектральной оценки и визуальноопределяют смещение и дисперсии к функции частоты. Те области совмещенныхграфиков спектральных оценок, где экспериментально определенное значениедисперсии велико, будет свидетельствовать о том, что спектральные особенностивидимые в спектре одной реализации не могут считаться статистически значимыми.С другой стороны, особенности совмещенных спектров в тех областях, где этадисперсия мала, с большой достоверностью могут быть соотнесены сдействительными составляющими анализируемого сигнала. 

Извышесказанного сформулируем следующие подзадачи:

I.  теоретическоеи практическое исследование алгоритмов блочной обработки

II.  анализ классических алгоритмов блочнойобработки всей последовательности в части применения окон данных икорреляционных окон

III. анализ алгоритмов обработки сигналов в реальноммасштабе времени

Кроме этихтеоретических проблем, существует ряд практических вопросов, специфичных дляобработки сигналов в реальном времени. Среди них выбелим :

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

Необходимость в «одновременном» выполнении следующих основных этаповобработки данных:

1.) Непосредственноеполучение последовательности входных данных (цифровые отсчеты аудио-сигнала, речевогосигнала).

2.) Обработкаполучаемых отсчетов сигнала.

3.) Представлениеобработанной информации

4.) Возможностьконтролировать процесс обработки информации

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

Ограничение длительности интервала выборки поступающих данныхвычислительными ресурсами

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">·

Ограничение длительности интервала выборки характером сигнала

Если первыйвопрос очевиден в рамках обработки данных в реальном времени, то второй итретий вопросы требуют осмысления причин этих ограничений.

Ксформулированным выше задачам добавим:

IV. задачу построения схемы управления обработкой данныхв реальномвремени, основанной, в силу первой проблемы, на параллельных вычислениях ипротоколах взаимодействия и синхронизации;

V. <span Times New Roman""> 

экспериментальный анализ по второй проблеме, то естьисследование влияния вычислительных ресурсов и методов оцифровки данных намаксимально допустимую длину интервала выборки;

VI. анализ длительности интервала выборки, исходя изхарактера сигнала.

В качествеосновного подхода к решению проблем и исследования применим методологию математическогомоделирования и вычислительного эксперимента. Экспериментальные входные данныебудем формировать следующим образом

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">·

для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всей последовательностиотсчетов формируем дискретизированные отсчеты данных тест-сигнала из суммы комплексныхсинусоид и аддитивных окрашенных шумовых процессов, сформированные посредствомпропускания белого шума через фильтр с частотной характеристикой типаприподнятого косинуса или окна Хэмминга. Таким образом, в этом случае экспериментопределяется набором <img src="/cache/referats/4283/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/4283/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">последовательность комплексных синусоид с амплитудами <img src="/cache/referats/4283/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> дБи частотами <img src="/cache/referats/4283/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">Гц, а <img src="/cache/referats/4283/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">  — последовательностьшумовых процессов с параметрами: центральная частота <img src="/cache/referats/4283/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">Гц.,  динамический диапазон перекрываемых частот <img src="/cache/referats/4283/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> Гц.,мощность шума <img src="/cache/referats/4283/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">дБ.

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">·

для анализа классических алгоритмов блочной обработки всейпоследовательности в части применения окон данных и корреляционных оконэксперимент и подсчет основных характеристик окон будем производить наддискретизированными отсчетами соответствующих функций.

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">·

для анализа алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе временииспользуем аудио и речевой сигналы.

Выходнымиданными экспериментов будем считать:

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">·

для задачи анализаалгоритмов блочной обработки всей последовательности отсчетов:

1.)оценку спектральной плотностимощности, полученную с помощью того или иного метода спектрального анализа, покоторой можно судить о качестве применяемого метода, сравнивая истинную спектральнуюплотность мощности сформированного сигнала с полученной оценкой

2.) вычислительныеи временные затраты метода

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">·

для анализа окон данных икорреляционных окон — расчетные основные характеристики такие как: максимальный уровень боковых лепестков, эквивалентнаяширина полосы, ширина полосы по уровню половинной мощности, степень корреляциии т.д..

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">·

для анализа сигналов вреальном масштабе времени: спектральная плотность мощности (функция, зависящаяв этом эксперименте также и от времени). Для оценки составляющих в спектресигнала в данный момент времени.

Глава 1. Теоретический анализ существующих алгоритмовспектрального анализа.

1.1. Введение в спектральное оценивание

1.1.1. Задача спектрального оценивания

Задачаспектрального оценивания подразумевает оценивание некоторой функции частоты. Охарактеристиках спектральной оценки судят по тому, насколько хорошо онасогласуется с известным спектром тест-сигнала в некоторой непрерывной областичастот.[1]

1.1.2. Проблемы в области спектрального оценивания.

Интерес кальтернативным методам спектрального анализа поддерживается тем улучшениемхарактеристик, которое они обещают, а именно более высоким частотнымразрешением, повышенной способностью к обнаружению слабых сигналов или жесохранением  «достоверности»  формы спектра при меньшем числе используемыхпараметров. Аналитически описать характеристики большинства методов в случаеограниченного времени анализа (то есть в случае короткой записи данных)  весьма затруднительно[1]

Спектральноеразрешение относится к числу главных проблем современного спектрального оценивания,в особенности применительно к анализу коротких последовательностей данных. Приэтом то, что понимается под термином «разрешение», носит весьма субъективныйхарактер. Принято характеризовать относительные величины разрешающейспособности двух спектральных оценок на основе визуальных впечатлений. [1]

1.1.3. Спектральные оценки по конечнымпоследовательностям данных

Спектральнаяоценка, получаемая по конечной записи данных, характеризует некоторое предположениеотносительно той истинной спектральной функции, которая была бы получена, еслибы в нашем распоряжении имелась запись данных бесконечной длины. Именно поэтомуповедение и характеристики спектральных оценок должны описываться с помощьюстатистических терминов. Общепринятыми статистическими критериями качестваоценки являются ее смещение и дисперсия. Аналитическое определение этих величинобычно наталкивается на определенные математические трудности, поэтому напрактике просто совмещают графики нескольких реализаций спектральной оценки ивизуально определяют смещение и дисперсию как функции частоты. Те областисовмещенных графиков спектральных оценок, где экспериментально определенноезначение дисперсии велико, будут свидетельствовать о том, что спектральныеособенности, видимые в спектре отдельной реализации, не могут считатьсястатистически значимыми. С другой стороны, особенности совмещенных спектров втех областях, где эта дисперсия мала, с большой достоверностью могут бытьсоотнесены с действительными частотными составляющими анализируемого сигнала. Однако в случае коротких  записей данных часто не удается  получить несколько  спектральных оценок, да и сам статистическийанализ отдельных спектральных оценок, полученных по коротким записям данных, вобщем, случае представляет собой весьма трудную проблему.[1] 

1.1.4.Общая картина

Изформального определения спектра, следует, что спектр является некоторойфункцией  одних лишь статистик второгопорядка, относительно которых в свою очередь предполагается, что они остаютсянеизменными, или стационарными во времени. Следовательно, такой спектр непередает полной статистической информации об анализируемом случайном процессе,а значит, дополнительная информация может содержаться в статистиках третьего иболее высокого порядка. Кроме того, многие обычные сигналы, которые приходитсяанализировать на практике, не являются стационарными. Однако короткие сегментыданных, получаемые из более длинной записи данных, можно считать локальностационарными. Анализируя изменения спектральных оценок от одного такогосегмента к другому, можно затем составить представление и об изменяющихся вовремени статистиках сигналов, то есть нестационарных.    

1.2.Основные определения и теоремы классическогоспектрального анализа

1.2.1.Непрерывно-временное преобразование Фурье.

Определение:Непрерывно-временным преобразованием Фурьеназывается функция

<img src="/cache/referats/4283/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Вспектральном анализе переменная <img src="/cache/referats/4283/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/4283/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">  соответствует частоте,измеряемой в герцах, если переменная <img src="/cache/referats/4283/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">  амплитуды тех комплексных синусоид, накоторые разлагается некоторое произвольное колебание.

Определение:Обратноепреобразование Фурье определяется выражением

<img src="/cache/referats/4283/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

Существованиепрямого и обратного преобразований Фурье с непрерывным временем для даннойфункции определяется целым рядом условий. Одно из достаточных условий состоит втом, что сигнал <img src="/cache/referats/4283/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

<img src="/cache/referats/4283/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> 

1.2.2 Операции дискретизации и взвешивания дляполучения дискретно-временных рядов Фурье.

Определение:  Функциейотсчетов с интервалом <img src="/cache/referats/4283/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

 <img src="/cache/referats/4283/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> 

Предположим,что берутся отсчеты непрерывного действительнозначного сигнала<img src="/cache/referats/4283/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042"><img src="/cache/referats/4283/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> герц, так чтопреобразование Фурье равно нулю при частотах больше <img src="/cache/referats/4283/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1044"><img src="/cache/referats/4283/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

<img src="/cache/referats/4283/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

Теперьнайдем непрерывное преобразование Фурье <img src="/cache/referats/4283/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1047"><img src="/cache/referats/4283/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> и преобразования Фурьефункции отсчетов по времени с интервалом Т секунд :

 <img src="/cache/referats/4283/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

То естьсвертка <img src="/cache/referats/4283/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> с преобразованиемФурье функции отсчетов <img src="/cache/referats/4283/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1051"><img src="/cache/referats/4283/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> с частотным интервалом1/TГц, соответствующимчастотному интервалу между импульсными функциями. В общем случае отсчеты водной области (например, временной) приводят к периодическому продолжению вобласти преобразования (например, частотной). Если частота отсчетов выбранадостаточно низкой, так что <img src="/cache/referats/4283/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1053"><img src="/cache/referats/4283/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1054">частотыотсчетов Найквиста.

Для тогочтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, то естьосуществить интерполяцию некоторого континуума значений между этими отсчетами,можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних частот,обладающий  прямоугольной частотнойхарактеристикой (взвешивание в частотной области ), используя теоремы о сверткево временной и частотной областях, получим :

<img src="/cache/referats/4283/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

Полученноевыражение представляет собой математическую запись теоремы отсчетов вовременной области, которая утверждает, что с помощью этой интерполяционнойформулы  действительный сигнал сограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному счетномучислу известных временных отсчетов, взятых с частотой <img src="/cache/referats/4283/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

Дуальной ктеореме отсчетов во временной области является следующая
Теорема.Для ограниченного временем <img src="/cache/referats/4283/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> по длительностисигнала <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> верно, что

<img src="/cache/referats/4283/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

где<img src="/cache/referats/4283/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

Такимобразом, преобразование Фурье <img src="/cache/referats/4283/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> некоторого сигнала сограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено поэквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервалотсчетов по частоте удовлетворяет условию <img src="/cache/referats/4283/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1062">

Пусть данпроизвольный непрерывный сигнал <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> и его преобразование <img src="/cache/referats/4283/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1064">Nотсчетов <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> во времени взяты сравномерным интервалом Tсекунд, то ограничим спектрэтого сигнала частотами <img src="/cache/referats/4283/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> герц взвешиванием вчастотной области: <img src="/cache/referats/4283/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><img src="/cache/referats/4283/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> — функция окна в частотной области. При этом сигналтрансформируется следующим образом <img src="/cache/referats/4283/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/4283/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1070"><img src="/cache/referats/4283/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1071">NT:<img src="/cache/referats/4283/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/4283/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1073">NTгерц, это приводит к периодическому продолжениюисходных Nвременных отсчетов. Сигнал на последнем этапе принимаетследующий вид: <img src="/cache/referats/4283/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1074"><img src="/cache/referats/4283/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1075">

Окончательноможно получить, что если исходный сигнал <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> и <img src="/cache/referats/4283/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1077">  <img src="/cache/referats/4283/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> и <img src="/cache/referats/4283/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> связаны следующимисоотношениями :

<img src="/cache/referats/4283/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> 

<img src="/cache/referats/4283/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1081">где <img src="/cache/referats/4283/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

<img src="/cache/referats/4283/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1083">дискретно-временными рядами Фурье. Исходя из процесса построениядискретно-временных рядов Фурье, можно установить требуемое точное соотношениемежду рядом Фурье временной последовательности и соответствующейнепрерывно-временной функцией или между рядом Фурье преобразования и исходнойфункции преобразования. Если ширина спектра <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> ограничена частотой 1/Tгерц, то ряд Фурье  временной последовательности будет сохранятьисходные значения <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> в отсчетных точках,однако ряд Фурье последовательности преобразований будет состоять из отсчетовнекоторого «размытого» варианта исходного преобразования <img src="/cache/referats/4283/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1086">  <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> фактически ограниченаинтервалом NTсекунд, то ряд Фурье последовательности преобразованийсохраняет исходные значения <img src="/cache/referats/4283/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> в отсчетных точках,однако ряд Фурье  временнойпоследовательности будет состоять из некоторого «размытого» варианта исходногосигнала <img src="/cache/referats/4283/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1089">T  (так что 1/Tбудет соответствовать более широкой полосе) или увеличения N(так что NTбудет соответствовать большей длительности), в результате чегодискретно-временной рад Фурье будет точнее аппроксимировать  непрерывное преобразование. Ряд будетидентичным непрерывному преобразованию только в случае периодических сигналов,которые можно представить в виде суммы из комплексных  синусоид с частотами k/NTгерц, где k=0,1,...N-1.

1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов.

Определение:Дискретныйслучайный процесс <img src="/cache/referats/4283/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> эргодичен в среднем  если

<img src="/cache/referats/4283/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

Определение:Дискретныйслучайный процесс <img src="/cache/referats/4283/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> автокорреляционно эргодичен если

<img src="/cache/referats/4283/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

Допущениеоб эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времениопределения для среднего значения и автокорреляции, но позволяет дать  подобное определение спектральной плотности мощности  :

Определение:

<img src="/cache/referats/4283/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

Этаэквивалентная форма спектральной плотности мощности получается посредствомстатистического усреднения модуля дискретно-временного преобразования Фурьевзвешенной совокупности данных, для случая когда число отсчетов данныхувеличивается до бесконечности. Статистическое усреднение необходимо здесьпотому, что дискретно-временное преобразование само является случайнойвеличиной, изменяющейся для каждой используемой реализации <img src="/cache/referats/4283/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

Если впоследнем определении не учитывать операцию математического ожидания, то получимоценку спектральной плотности мощности, которая называется выборочным спектром :

<img src="/cache/referats/4283/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1096">

Хотявыборочный спектр не является состоятельной оценкой истинной спектральнойплотности мощности, эта оценка может быть использована если выполнятьнекоторого рода усреднение или сглаживания. На использовании этой оценкиоснован классический периодограммый метод определения спектральной плотностимощности.

1.3. Классические методы спектрального анализа.

1.3.1 Введение

Оценки СПМ,основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получилиназвание периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых по исходным даннымсначала формируется корреляционные оценки, получили название коррелограммныхметодов спектрального оценивания.

Прииспользовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится приниматьмножество компромиссных решений, с тем, чтобы по конечному количеству отсчетовданных получать статистически устойчивые спектральные оценки с максимальновозможным разрешением. К этим компромиссным решениям относятся, в частности,выбор таких функций окна для взвешивания данных и корреляционных функций итаких параметров усреднения во временной и в частотной областях, которыепозволяют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков,выполнению эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению приемлемогоспектрального разрешения. Устойчивые результаты (малые спектральные флюктуации)и хорошая точность (малое смещение относительно истинных спектральных значенийна всех частотах) достижимы только тогда, когда произведение TB,  где Т- полный интервал записи данных, а B — эффективное разрешение по частоте, значительнопревышает единицу. Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать вслучае гауссовских процессов, для которых подробно теоретически изученыстатистические характеристики классических спектральных оценок. Однако выборконкретного метода спектрального оценивания в случае негауссовских процессовзачастую обосновывается только экспериментальными данными. Да и выбор функцииокна очень часто основывается на данных экспериментальных, а не теоретическихисследований.

1.3.2. Окна данных и корреляционные окна вспектральном анализе.

Окнапредставляют собой весовые функции, используемые для уменьшения размыванияспектральных компонент, обусловленного конечностью интервалов наблюдения. Так,можно считать, что воздействие окна на массив данных (как мультипликативнойвесовой функции) состоит в уменьшении порядка разрыва на границе периодическогопродолжения. Этого добиваются, согласуя на границе возможно большее числопроизводных взвешенных данных. Проще всего обеспечить такое согласование,сделав эти производные равными или, по крайней мере, близкими к нулю. Такимобразом, вблизи границ интервала взвешенные данные плавно стремятся к нулю, так,что периодическое продолжение сигнала оказывается непрерывным вплоть допроизводных высших порядков.

С другойстороны, можно считать, что окно мультипликативно воздействует на базисноемножество так, чтобы сигнал произвольной частоты имел значительные проекциитолько на те базисные векторы, частоты которых близки к частоте сигнала. Обаподхода ведут, конечно, к одинаковым результатам.

1.3.3. Периодограммные оценки Спектральной ПлотностиМощности.

Пренебрегаяоперацией  вычисления математическогоожидания и полагая, что конечное множество данных содержит Nотсчетов, получаемвыборочный спектр

<img src="/cache/referats/4283/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1097">

которыйможет быть вычислен по конечной последовательности данных. Однако посколькубыла опущена операция математического ожидания, эта оценка будет неустойчивойили несостоятельной. И для сглаживания применяется что-то вродепсевдоусреднения  по ансамблю. Существуеттри различных типа сглаживания быстрых флюктуаций спектра.

Первыйметод заключается в усреднении по соседним спектральным частотам. Если длявычисленный выборочный спектр на сетке частот <img src="/cache/referats/4283/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><img src="/cache/referats/4283/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1099">Pточках с каждой стороны отэтой частоты

<img src="/cache/referats/4283/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> 

Обобщениемэтого подхода является обработка выборочного спектра с помощью фильтра нижнихчастот с частотной характеристикой <img src="/cache/referats/4283/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> . В этом случаемодифицированную периодограмму можно записать в виде свертки частотнойхарактеристики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра

<img src="/cache/referats/4283/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1102">

Вторымметодом сглаживания выборочного спектра яв

еще рефераты
Еще работы по радиоэлектронике