Реферат: Дискретизация и квантование изображений

ИСТОРИЧЕСКИЙОЧЕРК.

Еще с середины 40-ых годов, специалисты порадиоэлектроники начали задумываться над возможностью примененияспециализированных цифровых устройств для решения разнообразных задач, связанных с обработкой сигналов. Нечего и говорить, что в то время выводы небыли благоприятными. С точки зрения стоимости, размеров и надежностипредпочтение следовало отдать аналоговой фильтрации и аналоговым методамспектрального анализа .  В 50-ых годах теория управления, частично основаннаяна работе Гуревича ( 1945 г.), уже утвердилась как самостоятельное научноенаправление; были глубоко изучены принципы дискретизации колебаний ивозникающие при этом спектральные эффекты, а математический аппарат теории z-преобразования, существовавший еще со времен Лапласа, начал находить применениев радиоэлектроники и смежных дисциплинах. Однако достигнутый уровень развитиятехники позволял получить практические результаты только в задачах управлениямедленными процессами и обработке низкочастотных сейсмических сигналов. Ксередине 60-ых годов были оценены потенциальные возможности интегральныхмикросхем, что позволило представить  полную систему обработки сигналов, длякоторых наилучшая техническая реализация была бы именно цифровой .

Первыйкрупный вклад в теорию цифровой обработки сигналов, касающийся анализа и синтезацифровых фильтров, был сделан Кайзером ( фирма Bell ); он показал, как можнорассчитывать цифровые фильтры с нужными характеристиками, используя билинейноепреобразование. Примерно тогда же ( 1965 г.) появилась статья Кули и Тьюки обыстром методе вычисления дискретного преобразования Фурье, давшая мощныйтолчек развитию этого нового технического направления. Позже метод был развити стал широко известен как быстрое преобразование Фурье ( БПФ ). Ценность этогометода  заключается в сокращении времени вычисления дискретного преобразованияФурье ( на один-два порядка для большинства практических задач ). Опубликованиестатьи Кули и Тьюки ускорило развитие строгой и достаточно полной теориицифровой фильтрации. Важнейшее значение метода БПФ состояло в том, что оннаглядно продемонстрировал, насколько цифровые методы при спектральном анализемогут оказаться экономичнее аналоговых. После создания метода БПФ интенсивностьисследований в области цифровой фильтрации резко возросла, и в настоящее времяцифровые методы широко используются для спектрального анализа самыхразнообразных сигналов, начиная с низкочастотных колебаний в сейсмологии извуковых колебаний в гидрологии и при анализе речи и кончая видеосигналами врадиолокации .

Первойпопыткой исчерпывающего изложения теории цифровой обработки сигналов была книгаГоулда и Рэйдера ( 1969 г.). Эту книгу применяли в качестве учебного пособиядля аспирантов, и как руководство для инженеров, работающих в промышленности.Естественно, что книга не могла удовлетворить и тех и других. Не нужнодоказывать, что хорошее учебное пособие может быть составленно только на основекурса, читавшегося в течении по крайней мере несколько лет, и подходящегонабора задач .

ПРИЧИНЫВНЕДРЕНИЯ ЦОС В

ЭЛЕКТРОСВЯЗЬ.

1.Сложность ( нередко невозможность ) решения некоторых задач аналоговым методом.

2.Прогресс в развитии электроники ( создание высокоскоростных  многоразрядных АЦП, разработка сигнальных процессоров ) .

3.ЦОС позволяет реализовать универсальные модемы, в которых изменением программыосуществляется переход с одного вида сигнала на другой ( т.е. с одной модуляциина другую ).

4.ЦОС позволяет строить адаптивные радиоприемные устройства, работающие во всеусложняющейся электромагнитной  обстановке ( т.е. спектр постоянно загружаетсясигналами ) .

5.Простота, автоматически сменных, алгоритмов ЦОС и высокая точность ихреализации .

6.ЦОС позволяет реализовать более сложные алгоритмы радио приема ( разнесенныйприем, компенсация и подавление сосредоточенных помех и прием в целом ) .

7.При использование ЦОС значительно меньше влияет разброс параметров и действиедестабилизирующих факторов.

8.Высокая интеграция цифровых микросхем позволяет реализовать очень сложныеалгоритмы приема сигналов, сохраняя приемлемый объем и стоимость аппаратуры .

9.Цифровая аппаратура легко поддается миниатюризации. Высокая технологичность иотсутствие регулировки понижает стоимость.

10.Проектированиецифровых устройств легче чем аналоговых и поддается автоматизации ( легко модулируютсяна ЭВМ ) .

11.ЦОСоблегчает работу по созданию спецэфектов на ТВ ( работа режиссеров нателе-студии ) .

12.ЦОСпозволяет существенно повысить качество изображения.

ПРОБЛЕМЫРАЗВИТИЯ  ЦОС .

1.Для ЦОС необходимо преобразовать аналоговый сигнал в цифровой  ( требуетсядостаточно большой уровень сигнала — порядка 1в ) .

2.Преобразование аналогово сигнала в цифровой приводит к появлению погрешностидискретизации во времени и к погрешности квантования по уровню ( специфическиепогрешности ) .

3.Процесс обработки сигналов сопровождается погрешностями, вызваннымиокруглениями результатов ( это приводит к ошибкам — шумам ) .

4.Требуетсяувеличение динамического диапазона и ширины спектра преобразуемых аналоговыхсигналов ( т.к.  каналы с ограниченной полосой пропускания и сложной помеховойобстановкой  ). Чтобы достигнуть возможности аналоговой техники нужно иметьдинамический диапазон АЦП 120-130 дб с df=100 кГц. Таких АЦП пока нет.Реализуемый при df=100 кГц динамический диапазон АЦП 70-80 дб. Для широкополосныхсигналов при df=100 Мгц динамический диапазон 6-24 дб .

5.Низкая скорость работы цифровых вычислительных устройств. (Сигнальныепроцессоры: КМ1813ВЕ11, ТМS320.10, ТМS320.20, ТМS320.30, ДSР5600,ТМS320.50 .)

ТЕОРЕМАКОТЕЛЬНИКОВА .

Любойсигнал с ограниченным спектром ( бесконечный во времени ) однозначноопределяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени   dt=1/2F т.е.

/>,где u(kDt)-аналоговая величина;

Этатеорема утверждает, что если сигнал f(t) имеет преобразование Фурье Sf(w)отличное от нуля при частотах меньших 2pFm. То в отсчетах сигнала f(kDt) взятых через интервал Dt=1/2Fm содержится вся информация о непрерывной функции f(t). Изтеоремы следует, что эти отсчеты содержат информацию о сигнале f(t) в любоймомент времени. Однако частота отсчетов должна быть по крайней мере в два разабольше высшей частоты сигнала Fm .

Доказательство.:

Дан   сигналf(t), его спектр :   S(w)=/> при |w|<2pFm ,

0                        , при |w|>2pFm.

Представимнекоторую реализацию сигнала f(t) и его спектр S(f):

Если отсчеты сигнала брать с помощью бесконечно узкихимпульсов, расположенных в непосредственной близости друг от друга, мыоднозначно определим любую функцию. Если интервал между импульсами увеличивать, то где-то мы начнем терять информацию о сигнале. Рассмотрим случай, когда вкачестве отсчетных импульсов используется периодическая последовательностьимпульсов длительностью t , повторяемых через Dt=1/2Fm. Временное и спектральное представление этих импульсов:

    Спектр отсчетных импульсов можно записать в виде ряда Фурье, т.е./> yD(t)=A1coslt+A2coslt+A3coslt+… Процедуру взятия отсчетов удобно рассматривать какумножение функции f(t) на функцию yD(t). Результирующий дискретизованный сигнал можно представить в видесуммы последовательностей импульсов, амплитуды которых равны значению функцииf(t) в момент отсчета, а спектр такого сигнала представляет собой периодическиповторяющуюся функцию Sf(w) с периодом l, т.е.мы наблюдаем изменение амплитуды импульсов отсчета по закону f(t)и соответственно имеем амплитудную модуляцию каждой гармоники спектра импульсовотсчета сигналa :

Длявосстановления првоначального сигнала нам достаточно отфильтровать полученный сигналФНЧ с частотой среза расположенной в интервале от  Fm до 1/Dt-Fm . Рассмотрим какова может быть наименьшая частота следования счетных Dимпульсов, что бы еще имелась возможность отфильтровать полезный сигнал. Вслучае, если 1/D t=2Fm  мы еще имеем возможность отфильтровать полезный сигнал если же1/Dt<2Fm , то произойдет наложение спектральныхсоставляющих и восстановление первоначального сигнала без ошибки станетневозможным. Следовательно, для восстановления сигнала, полученные отсчетные импульсынеобходимо подать на вход ФНЧ с частотой среза равной Fm. Реакция идеальногоФНЧ на узкий импульс единичной амплитуду представляет/> собойфункцию вида: y(t)=sin2pFt/2pFt

На вход фильтра мы подаем сумму импульсов самплитудами равными  f(kDt) Разложение сигнала f(t) в ряд Котельникова указывает на техническийспособ передачи непрерывной функции (сигнала) f(t)с ограниченным спектром путемпередачи отсчетных импульсов, который сводиться к следующему:

исо сдвигом один относительно другого на    Dt=1/2Fm. Сигнал на выходе фильтра представляет собой сумму откликов, т.е. /> Что соответствует рядуКотельникова.

Восстановлениесигналов по его отсчетам .

 

1)взятиеотсчета f(kDt) функции f(t) в моменты kDt ;

2)значениеполученных отсчетов передаются на приемную сторону с использованиемлюбогометода кодирования и модуляции ;

3)наприемной стороне вырабатываются короткие импульсы, амплитуды которыхпропорциональны принятым значениям отсчетов ;

4)полученныеимпульсы подаются на идеальный ФНЧ с частотой среза Fм. На выходе фильтраполучается функция f '(t), пропорциональная переданной функции f(t).Идеальный ФНЧ с полосой пропускания Fм при действии на его вход единичногоимпульса d(t) дает на выходе напряжение, соответствующее функции :  y(t)=sin2pFmt/2pFmt При восстановлении функции f(t) на вход фильтра подают короткиеимпульсы с амплитудами, соответствующими f(kDt) и с интервалами  Dt. На выходе фильтра получается напряжение, соответствующее суммеоткликов фильтра на каждый из импульсов. В моменты времени kDt функция f(t) восстанавливается совершенно точно, так как в этот момент толькоодна из отсчетных функций  y(t-kDt) не равна нулю. В остальные моменты времени для точноговосстановления необходимо суммировать бесконечное число отсчетных функций .

Ошибкивосстановления сигнала по отсчетам Котельникова.

Как было отмечено выше, точное восстановление сигнала возможно толькопри строго ограниченном спектре сигнала и при использовании идеального ФНЧ.НАпрактике мы имеем дело с сигналами конечными во времени, т.е. бесконечным,теоретически, спектром и для восстановления используем реальные ФНЧ.Рассмотрим ошибки восстановления, вызванные реальностью сигнала (сигналограничен во времени, т.е. не ограничен по частоте ). Основная энергия сигналасосредоточена в диапазоне частот до Fm и только малая доля будет выходить за Fm.

1)Наосновании т. Котельникова мы не можем восстановить спектральные составляющие,лежащие выше частоты Fm .

2)Вспектре восстановленного сигнала появяться дополнительные составляющие,представляющие собой зеркальное отображение " вниз " по частотеспектральных составляющих сигнала  относительно оси совпадающей с частотойсреза идеального ФНЧ и равной Fm.Поясним

/>это на рисунке:                                     фнч

S  f(f)      S1(f)      S2(f)    S3(f)

0     Fm       3Fm                                                f

Огибающая спектральной плотности сигнала f(t)представляет собой функцию S1(f). Спектр отсчетных импульсов SDf(f) представляет собой периодически повторяемую функцию S1(f) с периодом 2Fm.Идеальный ФНЧ с частотой среза Fm не пропускает составляющие основного сигналаи пропускает составляющие сектра амплитудно-модулируемой первой гармоникиспектра отсчетных импульсов (2Fм) .

3)Привосстановлении сигнала конечной длительности следует иметь ввиду что :

а)точность восстановления в средней части сигнала будет наибольшей, а по краямнаименьшей;

б)в моменты, соответствующие отсчетам сигнал восстанавливается точно, а всредней части между отсчетными моментами ошибка максимальна

ВЫБОРКИИЗ АНАЛОГОВОГО СИГНАЛА.

Схемавзятия выборки из аналогового сигнала.

1-Умножитель

2-Схемахранения УВХ

3-Квантователь

4-Преобразователь      АЦП

5-Регистр

УВХ-устройствовыборки и хранения. Перед умножителем стоит фильтр для уменьшения помех.Квантователь находит ближайший оцифрованный уровень. Устройство хранения даетвремя квантователю для принятия решения. Устройствохранения-конденсатор, окруженный ключами с большим сопротивлением (т.е.RC-цепочкой с малой емкостью).Постоянная времени tстремится к единице, это переходный процесс в цепочке (т.е. конденсаторзаряжается). За время Dt изменение сигнала мало, т.к. очень большое входное сопротивлениепреобразователя.Это и есть хранение. Преобразователь -преобразует вид кода(т.е. переводит его в бинарную систему счисления, за счет пороговых устройств).Регистр-считывает этот код, а за тем последовательно, побитно передает в линию.

ДИСКРЕТНОЕПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.

Квантованиеперидического сигнала.

W=2p/T

cosWT, cos2WT,…, cosnWT.

n=3                                              n=Ґ

Многоли W нужно иметь и от чего это зависит (зависит от тогонасколько

гладкийсигнал).Если ширина спектра периодического сигнала конечно,

тоон описывается конечным числом гармоник .N-кол-во отсчетов на один период.

ДПФстрого описывает периодический сигнал с конечным спектром ( если это не

соблюдается, то появляется ошибка в представлении сигнала ДПФ ).

N-1

Cд(t)=е Ckd(t-kDt), где Т=NDt, Ck=C(kDt).

k=0

Ґ

т C(t)d(t-t)dt=C(t)-фильтрующее  свойство  d-функции.

-Ґ

Ґ

Cд(t)=е   Cn*exp(j2npk/T)             Пара преобразований Фурье

-Ґ

T

Cn=1/T тCд(t)exp(-j2npt/T)dt

NDt  N-1

Сn=1/NDt   т     е Ckd(t-kDt)exp(-j2npt/T)dt={сжали ось времени symbol 120 \f «Symbol» \s 10xsymbol 61 \f «Symbol» \s 10=t/symbol 68 \f «Symbol» \s 10Dtsymbol 125 \f «Symbol» \s 10=

0    k=0

N  N-1                                                    N-1        N

=1/N   т    е   Ckd(x-k)exp(-j2pnx/n)dx=1/N   е  Ck   т  d(x-k)exp(-j2npx/N)dx=

0    k=0                                                   k=0        0

N-1

=1/N  е  Ckexp(-j2npk/N)

k=0

T=NDt

N-1

Cn=1/N е  Ck exp(-j2npk/N)                Пара дискретного преобразования Фурье

k=0

N-1

Ck=  е  Cn exp(jk2np/N)

Cn-комплекснаягармоника, а N-кол-во отсчетов.

СВОЙСТВАДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

1.Линейность — если в цепи отклик на сумму воздействий равен сумме откликов.

Спектрсуммы сигналов равен сумме спектров сигналов.

N-1

Ck=  е  Сxn exp(j2npk/N)

0                                                      Выборки двух сигналов.

N-1

Uk=  е  Cyn exp(j2npk/N)

Zk=Ck+Uk ,              Линейность преобразования Фурье

Сzn=Cxn+Cyn        ( для интегралов и сумм).

2. Для дискретного сигнала кол-во отсчетов спектра ( Сn) равно кол-ву

отсчетовсигнала.

3.Коэффициент(Со) дает постоянную составляющую.

N-1

Со=1/N е  Ck    ѕ   это математическое ожидание.

k=0

4.Если N-четное, то тогда

N-1          k

Cn/2=1/N е  Ck(-1)

k=0

5.Если Ck — вещественные, то Cn, расположенные симметрично

относительноCn/2 образуют комплексно сопряженные пары.

N-1                                            N-1                               +

C       =1/N  е  Ck exp(-j2pk(N-n)/N)=1/N  е  Ck exp(j2kp/N)=Cn

N-n         k=0                                              k=0

Отсчетывыше C          повторяют спектр от Co до C       .

N/2                                                      N/2

Номы не нарушаем теорему Котельникова, т.к. Сn комплексное число,

онотребует два числа для своего представления. Следовательно нужно

ровноN отсчетов, как и по Котельникову ( N=2FT=T/Dt).

ЦАПи АЦП.

1                    3                     5

4

2        ЦАП                             АЦП          2

/>

+5в            +15в                               +5в

6                            7                          6

1.Стробирующийимпульс ( аналоговая величина, соответствующая дис-

кретномуслову).

2.N-разрядное дискретное слово (код).

3.Опорноеаналоговое напряжение (определяет от какого сигнала ведется

счетт.е. служит для получения единиц измерения в дискретных долях).

4.Аналоговыйсигнал.

5.Пуск(внешний сигнал — для конкретного момента времени будет получен

код).

6.Логическоепитание.

7.Аналоговоепитание.

Отдельныеземли обеспечивают подавление импульсных помех ( т.е.возрастает

помехоустойчивость)по питанию.

Входныеи выходные сигналы ЦАП и АЦП.

Сигналы                 ЦАП                                        АЦП

аналоговый    на выходе; напряжение         вход; напряжение; полярность ;

илиток; полярность; ве-      величина; ( есть однополярные

личина( бывают одно-          и двуполярные АЦП ) ;

идвуполярные ЦАП )            (2.5В, 5В, 10В, 10.24В, 20В)

(2.5В,5В,10В,10.24В,20В)

(1мА,1.2мА,1.5мА,2.5мА)

цифровое        вход; послед. или парал.        выход; последовательный

слово               ( шина ) включение ;                или параллельный ;

логическиеуровни :

ттл-5В; эсл- -5В,-2.5В ;

кмоп-3В,15В; источник

питания: анал.±15,±12В ;

дискр.+5В.

сигналы           стробирующий импульс         а) входной импульс начала

управления      ( при завершении ввода             преобразования.

слова, т.е. тактовый ввод)     б) вых. “состояние”

(говорит, что на выходе

появилсякод )

Dt между сигналами а

иб — это врнмя, затрачи-

ваемоеАЦП на преобра-

зование.

опорный          эталонное напряжение ,          эталонное напряжение ;

относительнокоторого           внешнее, внутреннее ;

ведетсясчет ;                               можно использавать перемен-

ное

Припреобразовании мы можем получать прямой код Uвых. ( 0-10В ), или

двуполярный( ± 10В ). При использовании ЦАП и АЦП необходимо обра-

титьвнимание на используемый код ( т.к. они различны ).

Однополярные: как правило старший разряд обеспечивает 0,5 Uопор. ,

n

следующийразряд 0,25 Uопор.,…, младший 1/ 2   Uопор. .

Двуполярные: первый разряд дает знак, следующий 0,5 Uопор. ,

n-1

младший1/2     Uопор. .

-0,51ё  -0,38 ® 000                   Декодирование аналогового

-0,38ё -0,26 ® 001                    напряжения в бинарное число

-0,26ё -0,13 ® 010                    DU = 0,128 — шаг квантования.

-0,13ё 0       ® 011                    Uразмаха = 1,024 В.

0      ё 0,13 ® 100                      ( ошибка не больше 0,5 DU).

0,13 ё 0,26  ® 101

0,26 ё 0,38 ® 110

0,38 ё 0,51  ® 111

ОСНОВНЫЕТИПЫ ЦАП.

1.Цепочкавзвешенных резисторов.

R                                 R                         Rвх.оу№0  ,Rключей№0 (удается реали-

зоватьключи с сопротивлением R»10 Ом)

2R                                                             Uвых~еIвх

4R                                                            Недостатки:

ОУ                Слишком большой разброс сопротивлений

8R                                              Uвых     и как следствие трудность в изготовление

ихна  одной микросхеме .

ВлияниеRвх.оу на цепь.

Uопорное

2.ЦепочкаR-2R .

+Uопорн

2R                        Uвых       Достоинства:

Болеетехнологична, т.к.всего два

номиналасопротивлений.

-Uопорн                       2R                R         Rн

2R                R

2R                R

2R

АНАЛОГО-ЦИФРОВЫЕПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ.

А).АЦП последовательного приближения (скоростные).

xi(t)   УВХ               Ком-         схема             Umax

пар.        управл             Uвх

1/2Umax

ЦАП          RG

Uвых                                          Umin

цап                 n

вых                              1       2       3      4      5

1.Приподачи пускового импульса, после УВХ обнуляется регистр (RG),

затемв старший разряд регистра дается “1”, на выходе ЦАП появляется

напряжениеравное 0.5Umax.Если  Uвых.увх>Uвых.цап, то ”1” в старшем

разрядеостается ( иначе она стирается ).

2.Опятьставят “1” в следующий разряд регистра .......................................

.......................................................................................................................

Кол-вошагов соответствует кол-ву разрядов АЦП.

Б).АЦПпараллельного действия .

Uопорн.                                      В качестве опорного на каждый

компаратор(К) подается сетка

УВХ    R                                                     напряжений  — Uопорн.

/>xi(t)                         K                                                                            n

2         n

R                                                   Kол-во компараторов = 2   .

K                                        При подачи сигнала на вход АЦП ,

R                       ДЕКО-                все компараторы у которых

K            ДЕР          Q2               Uопорн.<Uвх.

дадутединици.

R                                         Q1      Наивысший номер компаратора

K                                         находящегося в единичном состоя-

R                                        Q0      нии соответствует выходному коду

K                                        АЦП.

R                                                    Недостатки:

K                                         Эти АЦП малоразрядные (4-5)

R                                                     (т.к.необходимо много компара-

K                                           торов).

R

K

R

КОМПЛЕКСНОЕПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ.

x t)= x(t)+jh(t)=E(t)exp{ jy(t)}                                       x(t)                 x

`                                                                                                               `

h(t)

пре-

образ.

Приопределенных правилах связи комплексное число дает аналитический сигнал

(т.е. непрерывный вместе со своими производными ) .

/>/>/>/>/>/>h(t)

E(t)                                                 Описание сигнала через огибающюю E(t)

и фазу    y(t) .

y(t)

0                                     x(t)

x(t)=Re{x(t)}=E(t)cosy(t)

`

Намнужно установить правило выбора сомножителей E(t) и cos(y(t)) т.к.

еслимы узнаем один, то легко найдем другой .

Понятиеогибающей очень расплывчато, поясним это на примерах :

(              ) -огибающие для одного процесса

разные.

Первыйдал понятие огибающей и фазе Гильберт, он дал определение

мнимойсоставляющей ( т.е. ввел комплексные величины ) .

Ґ

(t)=1/p тxi(t)/ t-t  dt

/>Пара преобразований                     -Ґ

Гильберта                                          Ґ

x(t)=1/p т  h(t)/ t-t.  dt

-Ґ

ПреобразованиеГильберта — широкополосный фазовращатель, оно

поворачиваетвсе спектральные составляющие на 90°   .

/>/>ѕѕѕѕѕ

E(t)=Ц x(t) + h(t)  — огибающая       понятия применимые

длялюбого сигнала .

/>y(t)=arctg[   (t)/ x(t)] — фаза

w(t)=dy(t) — частота

/>dt

/>/>x(t)=Acosw  t ;  h(t)=Asinw  t   ( т.е. h(t) получается приповороте  x(t)

на 90° ).

x(t)=   Acosw  t +Asinw  t   = A

Схемаполучения АМ ОБП .

/>/>/>l                                 1/2cos(w -l)t+1/2cos(w  +l )t

/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />

/>/>x(t)                                x(t)cosw  t

/>/>/>/>/>/>/>/>генератор

/>cosw  t

/>/>cos(w   — l)t

/>/>/>+

j=p/2          j=p/2

/>

/>/>sinlt                 sinw  t             h(t)sinw  t

/>/>1\2cos(w - l)t- 1/2cos(w  +l)t

/>

+ Получили АМ ОБП без использования фильтров .

Мыоперируем комплексными функциями для того

чтобыубрать основную часть энергии несущей .

Огибающиеи фаза УПСП (узко-полосного случайного процесса ).

Квадратурныесоставляющие огибающей .

Dw<<w

460   465   470             f, кГц

y(t) = w0t- j(t)

/>w0 — (            )         j(t)

/>/>/>/>y(t)-(           )

t                                                                    t

ФазаУПСП разбивается на две составляющие флуктуированную  j(t)

и мат.ожидания   w0t .

x(t) =Е(t)cosy(t)=E(t)cos(w0t -j(t))=E(t)cosj(t)cosw0t+E(t)sinj(t)sinw0t

A(t)                             B(t)

A(t)и  B(t) медленно меняющиеся функции. Получаются, как случайные

функциивремени .

x(t)=A(t)cosw0t + B(t)sinw0t, где A(t) и B(t) — квадратурные составляющие

огибающей.

Вэтом колебание вектор Е(t) будет колебаться, т.е. показывать флуктуацию.

/>A(t)

/>

/>E(t)

/>j(t)

/>B(t)

/>Свойства функций:

/>1. Энергетические спектры G (w)иG (w)  одинаковые .

/>/>2.Законы распределения одинаковые w  (x)=w  (x)=wa(x)=wб(x).

/>3. Коррелляционные функции равны  Bx(t)=B  (t ) .

4.Справедливо свойство ортогональности  .

ѕѕѕѕ          ѕѕѕ

h(t)x(t)=0      A(t)B(t)=0

5.-Ґ <=A(t) < Ґ; -Ґ  <=B(t)<Ґ;E(t)>=0 .

ѕ           ѕ

6.Если Гауссовский шум то A(t)=0 и B(t)=0

(Т.е. нулевые мат. ожидания ) .

ЕслиA(t)=F то это значит что в случайном процессе

/>/>появиласьдетерменированная ф-ия .

x(t)=A(t)cosw0t + B(t)sinw0t+ Fcosw0t

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>/>7. A (t)=B (t) =Gx         — мощность реализации .

/>/>/>ѕ        ѕ      ѕ

/>E (t)= A (t)+B (t) =2Gx       — мощность огибающей .

8.Ba(t)=Bб(t)  ( т.к. скорости изменения одинаковы )

9.Bx(t)=Ba(t)cosw0t

ДИСКРЕТНАЯСВЕРТКА.

Ґ

f(t)=тC(t)y(t-t)dt      — Свертка -интеграл Дюамеля (прохождение

-Ґ                              сигнала через нелинейную инерционную

цепь)

N-1

fm=1/N*е  CkUm-k — Свертка дискретных сигналов.

k=0                   m=0,1,2,3,...,N-1.Т.к.число отсчетов описывающее

сигнал Х(t), будет описывать и функцию fn.

N-1

Ck=еСxn exp(j2pk/N)  ;Cxn-амплитуда “n”-ой гармоники спектра.

n=0

N-1

Ym-k=еCyl exp(j2pk/N)

l=0

N-1  N-1                           N-1

fm=1/N   е  [ е Cxn exp(j2pk/N)][ е Cyl exp(j2pl(m-k)/N)]=

k=0  n=0                             l=0

N-1 N-1                                 N-1

=1/N  е    е CxnCyl exp(j2plm/N) еexp(j2p(n-l)k/N)

n=0 l=0                                  k=0

N-1

Приn=l ,      е exp(j2p(n-l)k/N)=N   (Если n№l, то сумма равна “0”).

k=0

Тогдаполучаем:

N-1

fm=е  Cfn exp(j2pmn/N)     , где  Cfn=CxnCyn

n=0

Еслив одном из пространств пары преобразования Фурье мы

производимумножение, то во втором пространстве будет про-

изводитьсясвертка.Это требуется для анализа длинной после-

довательности, где легче перемножить спектры, а потом взять

обратноепреобразование Фурье   .

Ck       2      2     2                             Yk  3

2

1

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> <td/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

-1 0     1     2                               -1  0     1      2

CmY(0-m)                                                     еXmY(1-m)

еXmY(2-m)                                                    еXmY(3-m)

еXmY(4-m)

fm

12

6

0   1     2    3   4         m

4.2.2.Дискретизация и квантование изображений

Сформированное и записанное изображение необходимопреобразовать в форму, пригодную для цифровой обработки. Если изображениязаписываются фотоэлектронным способом, то это  обычно не составляет трудности,так как из сканирующего фотоэлемента поступает электрический ток, пригодный длядискретизации и квантования. Таким образом, данный случай можно рассматриватькак распространение соответствующих методов цифровой обработки одномерныхсигналов на двумерные сигналы. При этом ошибки квантования можно учестьвведением в блок-схему дополнительного.источника шума [11]. Расстояние междуотсчетами должно удовлетворять теореме Найквиста для двумерных колебаний [1].

Устройства для дискретизации и квантования изображенийоснованы на технике микроденситометрии. В подобных системах на пленкупроектируется луч света с интенсивностью I1. Интенсивность I2 света, прошедшего сквозь пленку (или отраженного отнее), измеряется фотоумножителем. По коэффициенту пропускания

                                  Т=/>                                       (4.16)

спомощью соотношения (4.5) можно вычислить оптическую плотность. После этогосветовое пятно на пленке можно сместить скачком и таким образом получитьотсчеты изображения. Математически этот процесс описывается соотношением

g1(x, y) =/>         (4.17)

где g — изображение на пленке;  haраспределение яркости в сечении луча, освещающего пленку; g1 эквивалентноеизображение, из которого берутся отсчеты (т.е. в дискретных точках x = j/>x, y = k/>y сканирующий фотоприемник измеряет именно g1). Матрица отсчетов g1  ( j/>x,  k/>y ) представляет собой дискретизованное, или цифровое,изображение.

Из равенства (4.17) (справедливого также для случаядискретизации изображений, полученных фотоэлектронными средствами) видно, что впроцессе дискретизации записанное изображение подвергается искажениям. За счетправильного выбора распределения ha и расстояниямежду отсчетами изображение можно фильтровать в процессе дискретизации.Фильтрацию, связанную с процессом дискретизации [согласно формуле (4.17)],можно использовать для подавления эффектов наложения, возникающих из-за того,что ширина спектра изображения обычно не ограничена (из-за шума зернистостипленки и других высокочастотных составляющих) [12]. Дискретизация коэффициентапропускания эквивалентна дискретизации яркостного изображения, а дискретизацияплотности   эквивалентна   дискретизации   плотностного изображения. Частоможно услышать, что предпочтительнее квантовать плотность, так каклогарифмическая зависимость приводит к уменьшению динамического диапазона.Однако подобные упрощенные рассуждения могут приводить к ошибкам [13].

4.2.3. Восстановлениеи демонстрация цифровых изображений

При цифровой обработке одномерных сигналоввосстановление аналогового сигнала из последовательности чисел достигаетсяпутем низкочастотной фильтрации, что теоретически обосновывается теоремой обинтерполяции колебаниями с ограниченным спектром [11]. В идеальном случае длятакой интерполяции следует применять функцию вида sin /> . Однако данная функция не имеет двумерного варианта,который можно было бы использовать для восстановления аналоговых изображений,так как импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, имеющий вид sin/>, принимаетотрицательные значения, а это выдвигает требование получения отрицательногосвета, невыполнимое при восстановлении изображений.

Аналоговоеизображение можно восстановить с помощью устройства, подобного примененному придискретизации изображения. На чистую пленку проектируется луч света, аинтенсивность этого записывающего луча модулируется в соответствии с числовымизначениями изображения. В качестве источника света, а также для непосредственнойдемонстрации изображений можно также применять электронно-лучевые трубки (ЭЛТ).Световое пятно перемещается по поверхности пленки согласно растровой сетке.Нетрудно увидеть, что процесс восстановления изображения описываетсясоотношением

g2(x,y) =/>          (4.18)

где hd  — распределение яркости записывающегопятна, g1 — матрица отсчетов функции (4.17),  представленная здесь набором взвешенных /> - импульсов, разнесенных нарасстояния (x, y) друг отдруга,             а g2 — восстановленное непрерывное изображение. Распределение яркости записывающегопятна является импульсным откликом интерполирующего фильтра, аналогичногоприменяемому при восстановлении одномерных аналоговых сигналов. Практически вовсех системах восстановления изображений записывающее пятно имеет несложноераспределение яркости (например, гауссовское). По этой причине точно восстановитьизображение не удается, поскольку простые распределения не дают возможностиполностью подавить высокочастотные копии спектра изображения, возникающие придискретизации. К счастью, обычно это не создает существенных трудностей, и впростых системах получается хорошее изображение.

Из вышеизложенного видно, что при дискретизации идемонстрации изображений возникают искажения спектра. Подобные искажения можноскорректировать в процессе цифровой фильтрации квантованных изображений [12].

Восстановление непрерывных изображений связано сдругой проблемой, а именно с проблемой верности изображения. Если число,находящееся в памяти машины, представляет значение оптической плотностиизображения в конкретной точке, то абсолютно верное воспроизведениеполучится, если пленка, предназначенная для демонстрации, будет иметь точнотакую оптическую плотность, как записано в памяти ЭВМ. (Аналогичные требованияможно сформулировать для коэффициента пропускания пленки я для характеристики  фотоэлектронной  системы ).   Подобное  устройство

/>

Рис.4.4.

а- сквозные характеристики идеальнойсистемы отображения; б — сквозные характеристики типичной реальной системыотображения.

отображения должно иметь сквозные характеристики»совпадающие с приведенными на рис. 4.4, а. Однако такие идеальныехарактеристики встречаются редко. Характеристики реальных устройств отображениябольше напоминают приведенные на рис. 4.4, б, где наблюдаетсязначительное отклонение от идеальной прямой с наклоном 45°. Хорошее приближениек идеальной характеристике можно получить путем линеаризации характеристикиустройства отображения. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Сформировать набор фиксированных значений коэффициентапропускания или оптической плотности, подать их на устройство отображения иизмерить фактический его отклик на каждое из значений коэффициента пропусканияили оптической плотности.

2. Измерения, полученные на этапе 1, задают характеристикуустройства отображения d=f( di<sub/>). Линеаризованная характеристика описываетсясоотношением di<sub/>= f— -1( d). Этообратное преобразование можно найти эмпирическим путем и представить в видетаблицы или полинома, вычисленного методом наименьших квадратов.

3. Перед демонстрацией изображения числовые данныеследует преобразовать согласно функции f-1. Врезультате в них будут введены предыскажения и значения яркостей, записанные вмашине, будут воспроизведены на экране без погрешностей.

Метод линеаризации характеристик устройств отображенияуспешно применялся во многих исследовательских институтах. Точная линеаризация,конечно, невозможна, так как форма нелинейной характеристики изменяется взависимости от особенностей проявления пленки, чистоты химикатов, старения (илиповреждения) люминофора ЭЛТ и т.п. Однако, приложив определенные усилия, можнолинеаризировать устройство отображения так, что отклонения от линейности небудут превышать ±5% максимального значения. Следует отметить, что линеаризацияхарактеристики устройства отображения является операцией, применяемой привосстановлении аналоговых изображений; при обработке одномерных сигналов линейнымиэлектронными схемами она обычно не используется.

4.2.4. Свойствасистемы зрения человека

Очень часто окончательную оценку изображения делаетчеловек. Если бы человеческое зрение было идеальным и отвечало на световоевоздействие с абсолютной точностью и совершенной линейностью, то его можно былобы и не изучать. Однако система зрения человека обладает нелинейной характеристикой,а ее отклик не является абсолютно верным. Важность этих положений.дляполучения изображений признана довольно давно [13], однако они не в полной мереиспользовались при обработке изображений.

Одной из характеристик системы зрения человекаявляется способность восприятия яркости света. Эксперименты по определениювосприятия людьми минимально различимых градаций яркости света, поступающего откалиброванного источника, показали, что яркость света воспринимается глазомнелинейно. Если начертить график зависимости величины этой минимальноразличимой градации яркости от эталонной яркости, то при изменении яркости впределах нескольких порядком этот график имеет логарифмический характер [14].Такие субъективные экспериментальные результаты согласуются с объективнымиданными, полученными в экспериментах на животных, в которых было показано, чтосветочувствительные клетки сетчатки и оптический нерв возбуждаются с частотой,пропорциональной логарифму интенсивности подводимого к ним света [15]. Повполне понятным причинам подобные объективные измерения на людях непроводились. Тем не менее объективные данные для животных и субъективныепоказания для людей более   чем  убедительно подтверждают вывод о том, чтояркость света

 />

Рис.4.5.

a— сечение (осеcимметричной)аппаратной функции глаза человека;  б — сечение (осесимметричной) частотнойхарактеристики глаза человека.

воспринимается по логарифмическому закону. Этосущественно нелинейный    закон.

Другой отличительной характеристикой системы зрениячеловека является ее пространственночастотный отклик. Импульсный отклик глаза,рассматриваемого в виде двумерной линейной системы (т.е. линейной посленачального логарифмического преобразования интенсивности наблюдаемого света),не является /> - функцией Дирака. Реакцияглаза на приходящее световое поле описывается аппаратной функцией, сечениекоторой показано на рис. 4.5, а [16]. Острый центральный пик и отрицательныебоковые лепестки импульсного отклика глаза показывают, что глаз обрабатываетпространственные частоты так же, как фильтр верхних частот. Точная формачастотной характеристики глаза исследовалась с помощью ряда психовизуальных экспериментов;было показано, что глаз подавляет низкие и ослабляет высокие пространственныечастоты. В грубом приближении пространственно-частотный отклик глаза имеетполосовой характер. Подобная характеристика ( рис. 4.5, б ), например, былаполучена в ряде экспериментов, проведенных Манносом и Сакрисоном [17].

Наконец, особенностью зрения человека являетсяспособность к насыщению, т.е. к ограничению отклика при очень больших или оченьмалых интенсивностях наблюдаемого светового потока. Перечисленные свойствасистемы зрения можно описать моделью, представленной в виде блок — схемы нарис. 4.6. Однако данная модель совершенно не отражает других известных свойствсистемы зрения. Например, есть сведения, что некоторые стороны процессавосприятия изображения можно объяснить только наличием не одной, как на рис.4.6, а нескольких линейных систем, включенных параллельно, т.е. в рамках моделис частотными каналами [18]. Другие визуальные явления (такие, как иллюзияодновременного контраста) указывают, что логарифмическое преобразование,введенное в блок-схеме рис. 4.6, является слишком большим упрощением. Но,несмотря на известные недостатки, модель, представленная на рис. 4.6, являетсяполезной, поскольку она

1) объясняет ряд важных явлений, таких, как восприятиеяркости света и полосы Маха;

/>

Рис. 4.6. Блок-схема системы зрения человека.

2) указывает, что в системе зрения содержатсянекоторые элементы системы обработки информации. В частности система зрениячеловека, по-видимому, выполняет некоторые операции гомоморфной обработкиинформации [19].

Полезно связать логарифмическое преобразованиеизображения, выполняемое глазом, с рассмотренным ранее вопросом о плотностном(и яркостном изображениях. Можно заметить, что поскольку яркость светавоздействует на глаз по логарифмическому закону, глаз воспринимает изображениекак плотностное, если даже оно представлено (с помощью устройства отображения)в виде яркостного изображения.

Представляется логичным воспользоваться моделямисистемы зрения человека при анализе возможных применений цифровой обработкиизображений. Однако это делать нужно осторожно, так как система зрения человеканастолько сложна, что необоснованное применение упрощенных моделей зрения можетпринести больше вреда, чем пользы. Манное и Сакрисон [17] доказали применимостьмодели зрения для исследования вопроса о сокращении избыточности изображений.Однако пока еще не определены все области возможного применения моделей зрения.

4. 3. Применение цифровой обработки для сокращенияизбыточности изображений

Сокращение избыточности изображений является первойобластью применения цифровой обработки изображений, которая будет здесьрассмотрена. Интенсивное развитие цифровых методов повлияло на все отраслитехники передачи и хранения информации в силу присущих цифровым системампреимуществ в помехозащищенности, возможности исправления ошибок, гибкости прикоммутации сообщений, постоянно понижающейся стоимости и увеличивающейсянадежности. Одновременно с внедрением цифровой техники расширялосьиспользование изображений в различных областях науки и техники, например в медицине,.экспериментальной физике, бесконтактной дефектоскопии, исследовании природныхресурсов. Такая параллельность развития цифровой техники и расширения областиприменения изображений привела к естественному результату, а именно кинтенсивным исследованиям в области передачи; и записи изображений цифровымиметодами.

Типичное изображение содержит очень много избыточнойинформации, что заметно даже при беглом взгляде на большинство изображений. Этаизбыточность приводит к экономическим потерям. Ширина полосы частот,необходимая для передачи изображения в цифровой форме, зависит от числаотсчетов изображения, разрядности отсчетов, времени, отведенного на передачу, иот мощности передатчика. С расширением полосы увеличиваются необходимаямощность передатчика и расходы. Деньги и энергия не являются проблемой, ноэлектромагнитный спектр предельно загружен. Поэтому сокращение избыточности припередаче изображений является очень важной задачей. Столь же важно оно и дляхранения.изображений в цифровом виде. Если бы требовалось хранить только одноизображение, то об этом можно было бы не беспокоиться. Однако во многихсуществующих и проектируемых системах, таких, как геологоразведочный спутник NASA ERTS (Earth Resources Technology Satellite), получается большое количество изображений, которыецелесообразно получать и хранить в цифровой форме. Хотя цифровые запоминающиеустройства и становятся все дешевле, число получаемых изображений настолькоувеличивается, что сокращение их избыточности является задачей первостепеннойважности.

4.3.1. Некоторые замечания о сокращении избыточностиизображений

Избыточность видеоинформации может быть описанафункцией корреляции между отсчетами изображений; она проявляется в высокойстепени взаимной статистической прогнозируемости близколежащих отсчетов, взятыхиз изображения. Конечной целью операции сжатия видеоинформации является устранениеэтой статистической прогнозируемости (т.е. необходимо в максимально возможнойстепени уменьшить коррелированность отсчетов). На блок-схеме рис. 4.7 показаныосновные операции, выполняемые системой сжатия видеоинформации. Сначалавыполняется операция по максимальному уменьшению коррелированности отсчетовизображения. Затем отсчеты должны быть соответствующим образом квантованы.Квантованные отсчеты кодируются в форму, благоприятную для передачи (при этом,конечно, может быть обеспечена возможность обнаружения или исправления ошибок).

Квантование и кодирование выполняются с учетом общихправил, не зависящих от особенностей схемы декорреляции, выбранной для первогоэтапа обработки. Поэтому системы сжатия видеоинформации различаются видомсхемы, выполняющей операции, относящиеся к первому этапу. В силу этого способамреализации первого блока схемы рис. 4.7 здесь будет  уделено  больше внимания,  чем  вопросам

/>

Рис.4.7. Блок-схема системы сокращения избыточности

              видеоинформации.

построения второго и третьего блоков. Такой подходполностью соответствует замыслу данной книги, посвященной техническимприменениям цифровой обработки сигналов, т.е. задачам, в основном относящимся кпервому блоку.

При разработке принципов реализаций первого блокасхемы рис. 4.7 следует учесть ряд соображений. Рассмотрим сначаластатистические свойства изображений. Если отсчеты изображения образуют сетку точекразмером N/>Nи каждый отсчет представлен Р — разрядным двойным числом, то при записи ипередаче изображения с помощью обычной импульсно-кодовой модуляции (ИКМ) потребуетсяN2P двоичныхразрядов. Однако, как было отмечено выше, типичное изображение имеет большуюизбыточность. Один из способов, позволяющих измерить эту избыточность исравнить ее с номинальным числом N2Pразрядов, заключается в построении гистограммы яркости изображения и вычислениисоответствующей энтропии. С помощью Р- разрядных чисел можно описатьквантованяе по 2p уровням. Для этого следует проанализировать все N2 отсчетов иподсчитать, сколько раз встречается каждый уровень квантования. Затем следуетпостроить гистограмму яркости изображения, т.е. для каждого уровня квантованияуказать число его появлений в изображения. Разделив эти числа на общее числоточек N2,можно получить аппроксимацию плотности вероятности процесса, порождающегоизображение. Если обозначить нормированные частоты через pi<sub/>( i = 1, 2,…, 2p ), тоэнтропия по определению выражается суммой

             h =   __/>/>                                     (4.19)

иравна средней информации (измеряемой числом бит, приходящихся на элементизображения), содержащейся в каждом элементе изображения. Анализ изображенийпоказал, что типичное значение h гораздо меньше числаразрядов Р, необходимого для стандартного представления с помощью ИКМ. Вработе [20] отмечалось, что энтропия имеет величину порядка 1 бит/точка. Этоозначает, что разрядность массива, описывающего изображение, можно (хотя бытеоретически) сократить без потерь информации в среднем до 1 бит/точка.

Энтропия служит мерой статистической избыточности, ноне дает сведений о ее происхождении. Источником избыточности, как подсказываетнаблюдателю его зрение, является высокая степень однородности изображения намалых участках. Эту пространственную избыточность можно определить с помощьюковариационной матрицы изображения. Сначала лексикотрафически преобразуютматрицу из N/>N отсчетов изображения в N2 — компонентный вектор [т.е. элементы первой строки(или столбца) матрицы g( j, k) становятся компонентами вектора сномерами от 1 до N, элементывторой строки (столбца) — компонентами с номерами от N+1 до 2 Nи т.д.]. Затем вычисляют ковариационную матрицу изображения

        [ Cg]  = E{ (g — E(g))(g— E(g))T<sup/>},                          (4.20)

где Е - среднее значение но ансамблю, a g — вектор, построенный из отсчетов изображения. Напрактике редко оказывается возможным проводить усреднение по ансамблю иковариационную матрицу получают с помощью оценки пространственной корреляции[21].

Ковариационные структуры, такие, как матрица [ Cg<sub/>], не имеют взаимно — однозначной связи с исходным изображением.Коул [21] показал, что многие неодинаковые изображения могут оказаться весьмасходными в ковариационном (или спектральном) смысле. Следовательно, имеютсяоснования для замены сложной матричной структуры типа [Cg ]более простой. В частности, рассматривалось (см., например, работу [22] )применение модели с авторегрессионным марковским процессом п-гопорядка, где п обычно невелико (например, n = 3). Тотфакт, что подобные модели оказываются корректными, и применение их оправданопри анализе методов сжатия информации, таких, как дифференциальная импульсно - кодовая модуляция (ДИКМ), указывает на высокую степень взаимосвязи междусоседними участками изображения.

При сжатии видеоинформации кроме статистическихсвойств изображения весьма важно учитывать и особенности получателяизображений. Зрение человека обладает ограниченными возможностями и характеризуетсянекоторыми известными (отчасти) отличительными особенностями. Использование,конкретных особенностей зрения для сокращения избыточности изображенийназывается психофизической обработкой. Известно, например, что привосприятии яркости света, попадающего в глаз, зрительная система ведет себя какнелинейная система с логарифмической характеристикой. Кроме того, системазрения человека не чувствительна к очень высоким или очень низкимпространственным частотам, а в области средних частот ведет себя почти какполосовой фильтр, что обусловлено торможением нервных клеток сетчатки глаза.Нелинейность и частотная зависимость чувствительности зрительной системыпозволили создать оптимальные системы сжатия видеоинформации. В этих системахдля достижения большей устойчивости к ошибкам, появляющимся при кодировании ипередаче, изображение обрабатывается примерно так же, как и в зрительнойсистеме человека. Впервые это предложение было сделано Стокхэмом [23].

Сокращение избыточности информации математическистрого обосновывается положениями теории кодирования при заданном критерииточности [24]. Как отмечали Маннос и Сакрисон [17], эффективные теоремы теориикодирования при заданном критерии точности в задачах сжатия видеоинформацииприменить не удалось. Основной причиной этого явилась сложность выбора критериядопустимой величины ошибок, согласующегося со свойствами системы зрениячеловека. Манное и Сакрисон смогли показать, что можно пользоваться критерием,связанным с нелинейными и пространственно-частотными свойствами зрения. Ихработа имеет очень важное значение для дальнейшего развития методов сокращенияизбыточности изображений. Введение подходящей предварительной обработки во всехсхемах, которые будут рассмотрены ниже, может значительно улучшить качествоработы систем сжатия видеоинформации.

4.3.2. Схемы сокращения избыточности изображений собработкой в пространственной области

В одном из возможных вариантов схемы сокращения избыточностивидеоинформации в первом блоке (схема рис. 4.7) выполняется операциятождественности, т.е. исходная картинка никак не изменяется, а все сжатиедостигается за счет квантования и кодирования. Однако сжатие информацииневозможно выполнять без использования критериев, учитывающих особенностинаблюдателя и свойства передаваемых данных. Если, например, наблюдателю нужнаточность 1/1000, то необходимое число уровнейквантования получается при использовании 10-разрядных двоичных чисел; если жедопустима точность 1/8, то достаточно взять 3-разрядныечисла. Следовательно, квантование при сжатии информации играет ограниченнуюроль. Однако сокращения избыточности можно добиться при кодировании, и одной изосновных задач после создания Шенноном теории информации было построение кодов,оптимальных с точки зрения сокращения избыточности информации. Шеннон доказал,что существует код, для которого скорость передачи совпадает со скоростьюсоздания информации источником. Таким образом, для изображений с энтропией порядка1 бит/точка существуют схемы кодирования, позволяющие построить коды со среднейдлиной в 1 бит/точка. К сожалению, само по себе существование таких кодовбесполезно, если отсутствуют алгоритмы их построения. Известны алгоритмыпостроения кодов, приближающихся к оптимальным. Например, кодирование поХаффмену является эффективной процедурой для согласования кода со статистикойисточника информации и позволяет сократить длину сигнала по сравнению состандартной ИКМ. Однако подобные коды имеют переменное число сим1волов (т.е.при передаче сообщений кодовые слова состоят из различного числа символов); прикодировании и декодировании требуются сложные алгоритмы, связанные с записью,синхронизацией и вспомогательным накоплениям информации. Кроме того, вид подобныхкодов очень сильно зависит от вероятности создания символов источником, и любыеизменения вероятности могут привести к ухудшению характеристик кода (оченьзначительному в некоторых случаях). Следовательно, кодирование с квантованиемможет служить основным средством сжатия видеоинформации лишь в ограниченномчисле случаев, так что необходимо искать другие методы.

В качестве метода сжатия видеоинформации в плоскостипространственных координат, выполняемого )в первом блоке схемы рис. 4.7,наиболее широко применяется дифференциальная импульсно-кодовая модуляция(ДИКМ). По своей структуре схемы ДИКМ совпадают со схемами кодирования методомлинейного предсказания (КЛП), применяемым при сжатии полосы речевых сигналов, ипоэтому схемы ДИКМ изображений иногда называют схемами сжатия методомпредсказания. Блок-схема ДИКМ приведена на рис. 4.8. В этом методе используетсястатистическая взаимосвязь яркостей отдельных точек изображения и для каждойточки формируется оценка яркости в виде линейной комбинации яркостейпредшествующих точек. Под предшествующими точками подразумеваются точки,расположенные перед рассматриваемой точкой при развертке изображения сверхувниз и слева направо (как в телевидении), благодаря чему создается вполнеопределенный порядок следования точек изображения. Подобная схема, конечно,будет применима и тогда, когда изображение уже «развернуто» методомсканирования. Затем вычисляется и квантуется разность между фактическимзначением яркости и ее оценкой. Квантованная разность подвергается кодированиюи передается по каналу. На приемном конце символы декодируются, а информациявосстанавливается с помощью схемы линейного предсказания n-гопорядка (конечно, идентичной соответствующей схеме на передатчике), в которойформируются оценки яркости, добавляемые к разностям, полученным по каналу.

  Схемы предсказания, изображенные на рис. 4.8,называются схемами   с   предсказанием   назад,  поскольку квантование   сигнала

/>

Рис. 4.8. Блок-схема системы сжатия методом ДИКМ спредсказывающим устройством n-го порядка.

происходит внутри петли обратной связи, а привосстановлении сигнала предсказанное значение подается по схеме назад. Можноспроектировать схемы ДИКМ, в которых предсказанные значения сигнала подаютсявперед, а также создать схемы ДИКМ, где блок квантования расположен вне петлиобратной связи. Однако такие системы дают восстановленное изображение сбольшими ошибками. Схема с предсказанием назад необходима в приемникепотому, что символы поступают последовательно. При использовании в передатчикеаналогичной схемы предсказания назад в случае отсутствия ошибок, связанных сквантованием, можно было бы восстановить изображение с абсолютной точностью.Если схему квантования включить в петлю предсказывающей схемы передатчика, то ив приемнике, и в передатчике предсказание будет осуществляться на основеодинаковых квантованных отсчетов, что позволит уменьшить ошибки восстановления.

Сжатие в схемах ДИКМ достигается за счет вычитаниясигналов, поскольку разности имеют значительно меньший динамический диапазон.Предположим, например, что исходное изображение передается методом ИКМ и дляпредставления яркостей его точек нужны числа от 0 до 255. Тогда, еслидопустимая ошибка равна единице младшего разряда, то необходимо квантование в8-разрядные числа. Однако значения разностей яркостей соседних точек будутгораздо меньшими; если разности (в том же масштабе) будут изменяться от 0 до 7,то для получения ошибки, равной единице младшего разряда, достаточноквантования в 3-разрядные числа.

Поскольку идея ДИКМ достаточно проста, то, как следуетиз схем рис. 4.8, характеристики системы сокращения избыточности изображенийметодом ДИКМ определяются [порядком предсказывающего устройства п,значениями коэффициентов прогнозирования аi, числомуровней квантования и их расположением.

Порядок предсказывающего устройства зависит отстатистических характеристик изображения. Как правило, если последовательностьотсчетов может быть промоделирована авторегрессионным марковским процессом п-гопорядка, то разности, полученные с помощью оптимального предсказывающегоустройства п-го порядка, будут образовывать последовательностьнекоррелированных чисел [20]. Изображения, очевидно, не являются марковскимипроцессами  п-го порядка, но опыт работы по сжатию изображений показывает,что корреляционные свойства изображений можно описать марковским процессомтретьего порядка, а это приводит к предсказывающим устройствам третьего порядка(п=3) [22]. Аналогично при моделировании изображений было выяснено, чтоДИКМ с предсказывающими устройствами более высоких порядков не дает большеговыигрыша в качестве изображения (как по субъективным, так и по объективнымданным).

Коэффициенты предсказания аiможноопределить с помощыо анализа средних квадратических ошибок. Пусть g(k)- отсчеты на строке развертки, a />/>(k) — предсказанныезначения этих отсчетов. Необходимо, чтобы средняя квадратическая ошибка быламинимальна, т.е. нужно найти

              min e = E { g(k) — /> }                             (4.21)

                      по всем k, аi    

Это известная задача, и если процесс g(k) стационарен, то ее решение имеет вид [25]

                   />       ,                     (4.22)

 где

          r ( j — i ) =  E [ g ( k — j )g (k -i ) ]                           (4.23)

обычно называется автокорреляционной функцией процессаg. Коэффициенты aiполучаютсярешением системы уравнений (4.22).

Оптимальные значения коэффициентов предсказаниязависят от взаимосвязей точек изображения, описываемых автокорреляционнойфункцией. Из определения (4.20) видно, что в случае стационарных данныхавтокорреляционная функция отличается от вышерассмотренной функции напостоянную величину. При нестационарных данных функция r (в уравнении(4.23) зависит от пространственных переменных и оптимальные коэффициентыпредсказания должны изменяться в зависимости от пространственных координат. Этохарактерно для изображений. К счастью, нестационарные статистическиехарактеристики изображений обычно можно достаточно хорошо аппроксимироватьстационарными функциями, так что неперестраивающееся линейное устройствопредсказания дает вполне хорошие результаты. При сжатии видеоинформации методомДИКМ ошибки обычно появляются на границах изображаемых предметов, где предположениео стационарности удовлетворяется в наименьшей степени, и на восстановленномизображении воспринимаются визуально как аномально — светлые или темные точки.

Выбор числа уровней квантования и расположения пороговквантования является задачей отчасти количественной и отчасти качественной.Расположение порогов квантования можно найти количественными расчетами. Вработе Макса [26] впервые было рассмотрено неравномерное квантование, зависящееот функции распределения квантуемого сигнала и сводящее к минимуму среднее квадратическое значение ошибки, вызванной ограниченностью числа уровнейквантования. Алгоритм Макса позволяет найти оптимальное расположение точекперехода для заданного числа уровней квантования. Однако число уровнейквантования выбирается исходя из субъективных качественных соображений.

Минимальное число уровней квантования paвнодвум (одноразрядные числа) и соответствует такому квантованию изображений, прикотором разность яркостей принимает фиксированное (положительное илиотрицательное) значение. Этот способ обычно называют дельта — модуляцией,схему ДИКМ (рис. 4.8) можно упростить заменой квантователя на ограничитель, апредсказывающего устройства n-го порядкана интегратор. При сокращении избыточности изображений методом дельта-модуляциинаблюдаются те же недостатки, что и при дельта-модуляции других сигналов,например речевых [27], а именно затягивание фронтов и искажения дробления.Однако если частота дискретизации изображения выбрана намного больше частотыНайквиста, то сжатие методом дельта — модуляции приводит к малым (субъективнозамечаемым) ошибкам. Если частота дискретизации приближается к частотеНайквиста, то на изображении в большей степени будут проявляться затягиванияфронтов (на контурах изображений) и искажения дробления (на участках спостоянной яркостью). Как и при сжатии речи [27], адаптивная дельта-модуляцияпозволяет уменьшить эти ошибки. Однако в целом при передаче изображений дельта- модуляция оказалась менее эффективной, что при передаче речи.

Квантование с числом уровней, большим двух, позволяетпри сокращении избыточности получить изображения более высокого качества.Система сжатия методом ДИКМ с 8-уровневым                       (З-разрядным)квантованием при оптимальном размещении порогов дает изображения, качествокоторых такое же, как в системе с ИКМ, имеющей разрядность от 6 до 8.Исключение составляют ошибки вблизи линий резкого изменения яркости.

Сигнал с выхода устройства квантования, конечно,следует кодировать, поскольку распределение вероятностей «квантованныхразностей не является равномерным. При удачном выборе кода (например, кодаШеннона — Фано или Хаффмена) удается дополнительно понизить общую скоростьсоздания информации. Прэтт [28] указывает, что при использовании кода Хаффменав пределе удается понизить скорость создания информации до 2,5 бит/точка. Этодополнительное понижение скорости требуется сопоставить с увеличением стоимостии сложности запоминающего устройства, синхронизаторов и вспомогательныхрегистров памяти, необходимых для работы с кодами Хаффмена.

 Выше обсуждались вопросы сжатия изображений с помощьюДИКМ при выборе элементов по строке (т.е. для прогноза брались точки, лежащиена текущей строке развертки). В силу двумерного характера изображений возможно(и целесообразно) расширить метод ДИКМ так, чтобы при прогнозе учитывалисьяркости в точках, лежащих не только на текущей, но и на предшествующих строкахразвертки. Схемы сжатия методом ДИКМ с таким двумерным предсказанием основанына тех же принципах, что при одномерном предсказании. Поскольку для изображенийхарактерно наличие двумерных статистических взаимосвязей, можно надеяться, чтодвумерное предсказание даст лучшие результаты по сжатию изображений, так какдекорреляция изображений с помощью операций предсказания и вычитания будетпроизводиться по двум координатам. Действительно, устройства с пространственнымпредсказанием дают более качественные изображения. Хабиби [22] показал, что спомощью двумерного предсказывающего устройства третьего порядка при 8 — уровневом (3 — разрядном) квантовании получались изображения, которые визуальноне удавалось отличить от исходных фотографий, обработанных методом ИКМ с 11-разрядными числами.

Для изображений, состоящих из последовательных кадров,например телевизионных, идеи предсказания и вычитания, связанные с ДИКМ, можнораспространить на временную область. В подобных изображениях яркость многихточек от кадра к кадру не изменяется или изменяется медленно. Следовательно,можно построить систему сжатия методом ДИКМ, в которой яркость очередной точкипрогнозируется на основе яркостей двумерного набора точек текущего кадра исоответствующих точек предшествующих кадров. На практике порядок временногопредсказания не может быть высоким, так как для каждого временного слагаемогонеобходимо иметь запоминающее устройство, где сохранялся бы весь кадр.Моделирование с предсказывающим устройством третьего порядка, в котором дляпредсказания использовались точки, расположенные в данном (и предшествующемкадрах слева от рассматриваемой точки и вверх от нее, показало, что можнополучить очень хорошие изображения при средней разрядности 1 бит/точка [28].

4.3.3. Схемы сокращения избыточности изображений собработкой в области преобразований

Для пояснения основных операций, выполняемых системойсжатия видеоинформации с обработкой в области преобразований, обратимся кковариационной матрице, определяемой соотношением (4.20). Матрица [Cg] описывает корреляцию отсчетов изображения вплоскости (х, у), являющейся координатной плоскостью изображения. Важнымметодом многомерного статистического анализа служит исследование массива данныхне только в их естественных координатах, но и в системах координат с болееудобными свойствами. В частности, весьма полезными оказались системы координат,основанные на собственных значениях и собственных векторах ковариационнойматрицы

          [ Cg ] = [ Ф ] [/> ] [ Ф ]T<sup/>= />  ,                  (4.24)

где[Ф] — матрица, составленная из ортогональных собственных  вектор — столбцов Фi а [/>] — диагональная матрица собственных значений.

Преобразование координат, определяемое матрицейсобственных векторов [Ф], обладает тем свойством, что оно производитпреобразование заданного массива чисел в другой с некоррелированнымиэлементами, причем получающиеся компоненты имеют убывающие дисперсии. Пустьсобственные значения матрицы [Cg] расставлены в убывающем порядке и пронумерованы так,что

           />,                  (4.25)

ипусть собственные векторы, связанные с ними, расставлены в том же порядке.Тогда матрица собственных векторов [Ф] обладает тем свойством, чтоумножение ее на вектор-изображение g(образованный лексикографическойрасстановкой) дает вектор

                                          G=  [ Ф ]g    ,                                    (4.26)

имеющийнекоррелированные компоненты, причем компоненты вектора Gоказываются расставленными в порядке убывания их дисперсий [29], что являетсясвойством дискретного варианта разложения Карунена — Лоэва, фактическиописанного соотношениями (4.24) — (4.26).

Полезность преобразования Карунена — Лоэва ( КЛ, иликовариационного) для сокращения избыточности изображений очевидна. Массивотсчетов изображения заменяется набором переменных, имеющих различные статистическиевеса ). Сжатие можно получить, отбрасывая переменные с малым статистическимвесом и сохраняя остальные. Если, например, оставить M<N2компонент вектора G и передатьих вместе со специальной информацией о том, какие компоненты сохранены, томожно сузить ширину полосы в       N2/M раз. В приемнике из принятых М чисел образуют N2 — компонентный векторпутем подстановки нулей вместо N2-Мнепереданных компонент. Из этого нового вектора, обозначенного как G' ,с помощью преобразования

                     gc= [ Ф ]TG’                              (4.27)

восстанавливается исходное изображение. В процессесжатия возникает средняя квадратическая ошибка

|| g— gc|| = /> (4.28)

особенностьКЛ — преобразования состоит в том, что из всех линейных преобразований именнооно обеспечивает минимальную величину этой ошибки.

Из соотношений (4.25) и (4.26) видно, что число операций,необходимых для выполнения КЛ — преобразования, пропорционально N4, так как исходный массив содержит N2 отсчетов. Длятипичных значений N( N= 256 или 512 ) такое число чрезмерно велико. Еще труднеевычислить собственные значения и собственные векторы ковариационной матрицы [Cg] размером N2/>N2 Эксперименты показал,что очень многие элементы этой матрицы близки к нулю, т.е. коэффициенткорреляции между отсчетами быстро стремится к нулю с увеличением расстояниямежду соответствующими точками изображений. Расстояние, при котором коэффициенткорреляции между яркостями элементов изображения становится настолько малым,что его можно приравнять нулю (например, 5 или 10 % максимального значения), называетсярадиусом корреляции отсчетов; его можно выразить через целое числоотсчетов. Зная это расстояние, все изображение можно разбить на блоки, размеркоторых больше радиуса корреляции, но сравним с ним. Если размер каждого блокаравен Р, то можно вычислить. ковариационную матрицу всех блоков, имеющуюразмер P2/>P2:

 [Cgp]= />  ,             (4.29)

где Q=N/P, a gi  — вектор, построенный из отсчетов i-го блока. Тогда, если [Фp] — матрица собственных векторов, связанных с P2собственными значениями, расположенными так же, как вформуле (4.25), то операции по сокращению избыточности для каждого из блоковвыполняются по формулам (4.26) и (4.27),. как для полного изображения, номатрица [Ф] заменяется на [Фp].Как правило, радиус корреляции большинства изображений имеет такую величину,что       Р=16 является разумным компромиссом между размером ковариационнойматрицы и скоростью, с которой коэффициент корреляции отсчетов приближается кнулю [30]. Длительность вычислений, выполняемых при сжатии видеоинформациипоблочно, пропорциональна Q2/P4.

Хотя разложение изображения на блоки и делает сжатиевидеоинформации методом КЛ — преобразования реально осуществимым процессом, ноэффективность его остается недостаточной. Большой объем вычислений препятствуетиспользованию подобных методов для обработки изображений типа телевизионных.

Создание алгоритмов быстрых преобразований (Фурье,Адамара и т.д.) существенно повлияло на многие области применения цифровойобработки сигналов. Аналогичным образом оно — сказалось и на методах сокращенияизбыточности изображений. Любое линейное преобразование, подобное разложениюКарунена — Лоэва, переводит изображение в новую систему координат. В силусвойств КЛ — преобразования случайные компоненты изображения в новыхкоординатах оказываются некоррелированными. Резонно спросить: будут ли другиепреобразования, особенно быстрые типа БПФ, обладать такими же полезнымисвойствами? К счастью, ответ оказывается положительным. Хотя быстрыепреобразования и не приводят к полной некоррелированности компонент, как вслучае КЛ — преобразования, но все же они дают очень хорошие результаты. Ихдостоинства, связанные с быстротой вычислений, полностью компенсируют некотороепонижение эффективности сжатия, характерное для них.

Схемы сжатия на основе быстрых преобразований можноописать примерно так же, как и схемы с КЛ — преобразованием. Дополнительнымдостоинством быстрых алгоритмов является их разделимость, так что двумерныепреобразования можно выполнить с 'помощью одномерных операций. Кроме того, ихпроще описать математически. Если матрица [W] соответствуетоператору ортогонального унитарного одномерного преобразования (как, например,матрицы ядер преобразований Фурье, Адамара и т.д. [31] ), то «поворот»изображения в новую систему координат выполняется по формуле

           [ G] = [ W]T[ g] [ W]  ,                             (4.30)

гдe ,[g] — исходная матрица отсчетов изображения размером N/>N, a [G] — преобразование матрицы [g]. Нетруднозаметить, что формула (4.30) описывает двухэтапное преобразование: сначала построкам изображения, а затем по столбцам преобразований от строк. Записываяпреобразование (4.30) в явном виде через элементы матриц, получим:

              G(m,n) =  />

                                                                                                       (4.31)

                             = /> 

гдевторое равенство является следствием разделимости ядра преобразования.Свойством разделимости обладает ядро преобразования Фурье, наиболее частоприменяемого на практике:

 

 /> (m,n,j,k) = exp [- />]=  

                                                                                                       (4.32)

    = exp [ — /> ]exp [ — /> ]    ,

а также ядра менее известных преобразований, таких,как преобразования Адамара и Хаара. Более подробно этот вопрос рассмотрен вработе Эндрюса [31].

Собственные значения />i,получаемые методом КЛ — преобразования, соответствуют фактическим величинамдисперсий проекций вектора-изображения на координатные оси пространства, вкотором вñå компоненты изображения некоррелированы. В системахкоординат, получаемых при быстром преобразовании, коэффициенты преобразования(т.е. элементы матрицы [G] ) равны проекциям вектора — изображения на осикоординат, полученным с помощью матрицы преобразования [W],но не являются дисперсиями. Однако как при КЛ — преобразовании, так и впространствах быстрых преобразований происходит концентрация энергии. В первомслучае наибольшие

дисперсии (и, следовательно, наибольшие энергии) связаныс теми столбцами матрицы [Ф] или [Фр], которыесоответствуют предпочтительным (или «естественным») направлениям наибольшегоизменения видеоинформации. Аналогично в пространстве быстрого преобразованиянаибольшими являются коэффициенты, которые соответствуют предпочтительным (или«естественным») направлениям вектора-изображения. С этой точки зрения сжатие впространстве преобразований (как для преобразования Карунена — Лоэва, так и длябыстрых преобразований) является по существу разложением изображения в ряд по базиснымвекторам (или базисным изображениям, так как каждый вектор должен описыватьдвумерную структуру) и таким усечением разложения, при котором ошибка мала, ачисло отбрасываемых составляющих — большое. Усечение оказывается возможнымпотому, что небольшое число компонент содержит основную часть энергииизображения.

Для иллюстрации рассмотрим схему сжатия впространстве-преобразовании, основанную на преобразовании Фурье. Из соотношений(4.31) и (4.32) видно, что (т, п)-й  коэффициент преобразования G(m,n) является проекцией исходного изображения g(j,k) на базисный вектор (или базисное изображение),образованный при помощи (т, п)-го   значения ядра Фурье

             />( m, n)  = exp ( />).                      (4.33)

Для типичных изображений характерно, что в областипространственных частот элементы с малыми индексами велики по сравнению сэлементами с большими индексами. Таким образом, структура изображения обычноимеет низкочастотный характер. Низкочастотные составляющие определяют контурыпредметов, а также яркость и контрастность изображения. Высокочастотные — составляющие создают резкие линии и определяют общую четкость изображения, носуммарная энергия их невелика. Так, 95% энергии типичного изображения можетприходиться на низкочастотные составляющие, занимающие 5% от общей площадидвумерной   пространственно — частотной   области   преобразования Фурье.Сохраняя эти спектральные составляющие и достаточно много высокочастотныхкомпонент, чтобы резкость изображения была приемлема для человеческого глаза,можно добиться существенного уменьшения объема избыточной информации.

После того как установлено, что основной принципсжатия в пространстве преобразований заключается в избирательном сохранениикоэффициентов разложения, задача создания системы сжатия изображений можетпоказаться нетрудной. Сложность построения подобных схем кодированияобусловлена необходимостью сравнения свойств операторов различныхпреобразований и создания методов выбора коэффициентов преобразования, которыеследует оставить. Кроме того, задача усложняется квантованием выбранныхкоэффициентов и кодированием квантованных чисел. Ниже приведены краткиерезультаты исследований, посвященных этим вопросам.

Был исследован ряд алгоритмов быстрого преобразования,таких, как преобразования Фурье, Адамара, Xaapa [32],слэнт — преобразование [33], косинусное преобразование [34], преобразование подискретно — линейному базису [35]. Все алгоритмы сравнивались по эффективностисжатия с преобразованием Карунена — Лоэва (оптимальным). Для выявленияоптимального алгоритма необходимо сравнивать все преобразования в одинаковыхусловиях — при одном и том же входном изображении и одинаковых параметрах схемвыбора, квантования и кодирования коэффициентов. Этого не было сделано, ноприводимые в литературе данные позволяют сделать следующие выводы.

1. Ни один из алгоритмов быстрого преобразования необеспечивает оптимальной эффективности сжатия изображения, какая получается(при использовании преобразования Карунена — Лоэва.

2. По таким критериям качества, как средняяквадратическая ошибка, ближайшим к преобразованию Карунена — Лоэва, оказываетсяслэнт — преобразование, а за ним следуют по порядку преобразования Фурье,Адамара и Хаара, причем сравнение выполнялось для изображений небольшогоформата, например 16/>16 или 32/>32 отсчета.

3. Разница между наилучшими показателями слэнт — преобразования и наихудшими показателями преобразования Xaapa(как по субъективным, так и по объективным критериям) невелика.

Коэффициенты преобразования, которые необходимосохранить и передать, можно выбрать двумя способами. При пороговойдискретизации устанавливается некоторый уровень (определяемый, как правило, наоснове полной средней квадратической ошибки), и коэффициенты, его превышающие,сохраняются для передачи, я все остальные отбрасываются. При зоннойдискретизации в пространстве преобразований размещается маска (трафарет) иэлементы, попавшие в нее, сохраняются, а остальные отбрасываются. Операции,выполняемые в ходе преобразования, обычно упорядочиваются в соответствии снекоторым обобщенным индексом (частотой или порядком базисной функции), икоэффициенты преобразования выстраиваются в ряд в порядке увеличения сложности(т.е. числа колебаний на единицу длины) базисных векторов, причем энергияизображения концентрируется в области низких частот или малых порядков.Следовательно, зонная дискретизация эквивалентна обобщенной низкочастотнойфильтрации изображения. Пороговая дискретизация, напротив, позволяет выделитьзначительные коэффициенты преобразования, расположенные где-либо в пространствепреобразований. В результате оказалось, что пороговая дискретизация при одинаковомчисле отброшенных коэффициентов дает более высокое качество восстановленногоизображения, чем зонная дискретизация. К сожалению, в схемах с пороговойдискретизацией вместе с каждым отсчетом необходимо передавать и егоместоположение в пространстве преобразований. По этой причине объем передаваемойинформации может заметно возрасти, если положения отсчетов передаются простымикодами. Однако коды с переменной длиной дают возможность передать адрес принебольшом увеличении числа разрядов кода [32].

Отсчеты, выбранные из пространства преобразований,необходимо квантовать. К сожалению, обычно они имеют гораздо большийдинамический диапазон, чем исходные отсчеты в пространстве преобразований, чтоподтверждает, например, опыт работы с преобразованием Фурье. Такое явлениенаводит на мысль об использовании чисел с переменной разрядностью, зависящей отзначения коэффициента, но это значительно усложняет процесс обработки. Крометого, для создания устройства квантования, дающего минимальный шум квантования,необходимо знать плотность вероятности значений отсчетов. Исследованияплотности вероятности отсчетов в пространстве преобразований [32, 33] показали,что наилучший компромисс между простотой и точностью обеспечивает квантование,основанное на гауссовской плотности, при фиксированной разрядности отсчетов. Вэтом случае удается получить высококачественные восстановленные изображения,если число уровней квантования составляет всего 64 (6 разрядов) [32].По-видимому, это связано с тем, что операторы преобразований линейны и даютвзвешенные суммы, а сумма произвольных случайных величин распределена позакону, близкому к гауссовскому.

Способ кодирования коэффициентов разложении зависит отпримененного алгоритма выборка коэффициентов. Как уже отмечалось, при пороговойдискретизации необходимо, чтобы код содержал адрес отсчета в пространствепреобразования, причем на каждый отсчет отводится фиксированное число разрядовкодовой комбинации. При зонной дискретизации используется низкочастотныйхарактер изображения, т.е. тот факт, что коэффициенты разложения,соответствующие низким частотам (или малым порядкам базисных векторов), имеютбольшую величину, чем высокочастотные коэффициенты. Этим можно воспользоваться,уменьшая число разрядов кода, отводимых на отсчет, по мере перехода от низкихчастот к высоким [33]. Информацию о положении отсчетов передавать не нужно,поскольку форма зоны известна, а порядок выбора и передачи отсчетов.внутризоны может быть зафиксирован.

В целом сокращение избыточности путем обработки впространстве преобразований (т.е. преобразование, выбор коэффициентов, ихквантование и кодирование) позволяет получить хорошие результаты. На рис. 4.10сравниваются несколько разных преобразований. Изображения на рис. 4.9 и 4.10состоят из 256/>256 точек, представленных 8-разрядными числами.Нетрудно видеть, что сжатие путем обработки в пространстве преобразований даетлучшие результаты, чем сжатие методом ДИКМ.

4.3.4. Другие аспекты задачи сокращения избыточности

видеоинформации

Поскольку часто изображения состоят  из многихпоследовательно появляющихся кадров (как, например, в  телевидении) и изображениеот кадра к кадру меняется мало, то в будущем, по видимому, больше вниманиябудет уделяться межкадровому сжатию (в отличие от внутрикадрового). Какотмечалось ранее, схемы межкадрового сжатия методом ДИКМ уже изучались.Оказалось, что комбинация внутрикадрового и межкадрового кодирования (в техслучаях, где это возможно сделать) может привести к уменьшению объемапередаваемой информации в 30—50 раз.

Интерес к цветным изображениям возрастает; ужепроводились опыты по сокращению их избыточности методом ДИКМ и методомпреобразования [33, 36]. Методы сжатия аналогичны рассмотренным выше, но ихреализация усложняется из-за наличия трех цветовых сигналов.

В последнее время созданы гибридные системы сжатия. Вних для сжатия по одной координате (обычно по строкам дискретизованногоизображения, или по горизонтали) используется схема с преобразованием, а подругой координате (по столбцам, или по вертикали) — схема с ДИКМ. В результатеполучается более простая система ( b ней не требуются двумерные преобразования), но дающаятакую же или лучшую эффективность кодирования, чем системы с ДИКМ или спреобразованием [20].

Отметим, наконец, что все рассмотренные выше схемы неявляются адаптивными, т.е. в них не изменяются в зависимости от свойствизображения распределение кодовых разрядов, расположение уровней квантования ит.д. Тешер [37] показал, что за счет адаптивности можно дополнительно повыситьэффективность кодирования изображений. При одинаковом качестве восстановленногонепрерывного изображения ему удалось сократить объем передаваемой информациипочти вдвое по сравнению с другими системами.

4.4.Повышение резкости изображений

Задача любой системы, формирующей изображение, состоитв создании резкого, чистого изображения, свободного от искажений. Это не всегдавозможно сделать. Во-первых, каждая реальная система формирования изображенийобладает определенными ограниченными возможностями; импульсный отклик реальнойсистемы имеет конечную ширину, что приводит к неизбежному снижению разрешающейспособности. Если на изображении необходимо выделять важные детали, размеркоторых близок к ширине импульсного отклика, то необходимо бороться с потерямиразрешения. Так, например, с межпланетных космических аппаратов приходят снимкизамечательного качества (особенно, если учесть, откуда они получены), но ученые,изучающие планеты, всегда пытаются увидеть на них элементы поверхности планеты,искаженные в силу ограниченного разрешения фотокамер. Во-вторых, изображениямогут быть испорчены из-за неудачного стечения обстоятельств. Можно принять всемеры предосторожности, чтобы получить высококачественные снимки, но какая-точасть их окажется испорченной либо за счет движения объекта или камеры, либоиз-за плохой фокусировки и т.д. Среди плохих снимков всегда находятся стольважные или настолько редкие, что стоит пытаться их исправить. Устранениеискажений относится к задачам повышения резкости (или восстановления) изображений.

Ниже читатель увидит, что для решения задачивосстановления (или повышения резкости) изображения предложено несколькоразличных.методов. Для решения же рассмотренной в предыдущем разделе задачисокращения избыточности изображений было представлено только два существенноразличных метода. Как будет показано, восстановление изображений являетсязадачей, не имеющей единственного решения, что и привело к многочисленнымпопыткам найти лучший способ решения.

4.4.1. Важные аспекты задачи повышения резкости

изображений

Как показано выше, основное уравнение формированияизображения имеет вид

g(x,у)=/>/> ,                  (4.34)

где  g— сформированноеизображение, h— импульсныйотклик или аппаратная функция, а  f — функция распределенияяркости объ-/>

Рис.4.11.

а-  зависимость оптической плотностиот экспозиции; б — зависимость оптической плотности от логарифма экспозиции.

екта. Конечно, непосредственно изображение g наблюдательне получает; изображение существует в виде модуляции интенсивности какого-тоизлучения, исходящего от объекта. Изображение становится известным только послетого, как оно будет воспринято и записано некоторым образом (например, нафотопленке, сетчатке глаза, люминесцентном экране). В процессе восприятия изаписи в изображение вносятся шумы, поскольку при любом способе записи сигналовприсутствуют шумы записывающей системы. Весь процесс получения изображения,т.е. формирование изображения, его восприятие и запись, был показан в видеблок-схемы на рис. 4.3. Таким образом, восстанавливать изображение приходитсяпо записи, содержащей шум.

Задача повышения резкости изображения усложняетсяособенностями записывающей системы и ее собственным шумом. Как отмечалось вразд. 4.2, наиболее распространенная система для записи изображений,фотопленка, имеет нелинейную характеристику и вносит шум, модулированныйсигналом. Типичная характеристика фотопленки приведена на рис. 4.11, а, гдепоказана зависимость оптической плотности, определенной выше, от интенсивностипадающего излучения, причем предполагается, что за.время выдержкиинтенсивность не изменяется. Обычно такую информацию приводят па графиках слогарифмическим масштабом по оси абсцисс (рис. 4.11, б); получающийся в такихкоординатах график зависимости D от log Е имеетлинейный участок. Вид этой кривой иногда порождает заблуждения относительнорезкой нелинейности характеристики фотопленки. Поскольку изображениезаписывается на пленке зернами серебра, а плотность серебряного слояпропорциональна оптической плотности, то очевидно, что процессы записи нафотопленку нелинейны по своей сути.

Столь же сложны процессы, создающие шумы пленки.Дисперсия шума, вызванного случайным размещением зерен серебра на пленке, пропорциональналокальной.плотности проявленных серебряных зерен, причем функцияпропорциональности усложняется наличием степенного множителя [8]. Такимобразом, шум представляет собой флуктуации оптической плотности записиизображения, зависящие от сигнала. В общем случае задача цифровой обработкисигналов с шумом, зависящим от сигнала, еще не решена. Немногочисленныеизвестные результаты [10] указывают, что зависимость шума от сигнала можетоказаться не слишком большой проблемой. Поэтому обычно предполагают, что шумсоздается независимыми от сигнала флуктуациями плотности. Однакологарифмическая зависимость между оптической плотностью пленки, запечатлевшейизображение, и интенсивностью падающего на пленку излучения усложняет задачу.Даже если предположить, что флуктуации оптической плотности не зависят отсигнала, в свете, прошедшем через пленку, будет присутствоватьмультипликативный шум, зависящий от сигнала. Аналогичные эффекты наблюдаются вфотоэлектронных системах (типа телевизионных и им подобных), характеристикикоторых описываются степенным законом.

С учетом вышеизложенного полная модель процессовформирования и записи изображения описывается соотношением

g(x,y) = s [/>] +

                             + n ( x, y)                                          (4.35)

где g— фактическизаписанное изображение, s — характеристика записывающего процесса, а п —шум. Предполагается, что п не зависит от записанного изображения. Задачаповышения резкости (или восстановления) изображения заключается в определенииисходного распределения интенсивности излучения объекта f(x, у) наоснове записи  g(x, у),содержащей шум.

Формула (4.35) позволяет оценить сложность задачивосстановления изображения. Искажения исходного изображения изменяютинтенсивность экспонирующего света, а в нашем распоряжении имеется тольконелинейная функция от этих интенсивностей. Если избавиться от нелинейности спомощью преобразования, обратного к s, то получим

s-1 { g ( x, y ) = s-1 {s [ h (x, y )** f( x, y )] + n ( x, y )}   ,     (4.36)

гдезнак  ** означает двумерную свертку. Поскольку обратная нелинейностьвоздействует на сумму и оператор этой нелинейности недистрибутивен по отношениюк оператору сложения, то наличие шумового слагаемого означает, что 1) получитьточное обратное преобразование и исходные интенсивности невозможно, 2) припреобразовании g с использованием характеристики, обратной к нелинейнойхарактеристике системы записи, будет получена нелинейная комбинация сигнала ишума.

Решения уравнения (4.36) в настоящее время неполучены. На практике при восстановлении изображений делают одно из двухпредположений. Первое предположение состоит в том, что в соотношении (4.36)операцию s-1  можно применить к слагаемым ïîотдельности, т.е.

    s-1{ g( x, y) } /> h (x, y) ** f (x, y )+ s-1{ n ( x, y ) }  ,     (4.37)

что эквивалентно замене шума на новый шумовой процесс s-1{п}. При втором подходе данные обрабатываются в том виде,как они записаны, т.е. предполагается, что нелинейной функцией s можнопренебречь и

        g ( x,  у ) /> h ( x,  у) у **  f ( x,  у ) + п ( x,  у ).             (4.38)

Равенства (4.37) и (4.38) были бы справедливы, если быудовлетворялось любое из двух предположений: 1) функция s имеет слабуюнелинейность и ее можно аппроксимировать линейной функцией или 2) сигнал gизменяется b малых пределах (низкоконтрастное изображение) иоператоры s и s-1  близки к линейным. Графики типаизображенных на рис. 4.11 показывают, что нелинейность оператора sобычно нельзя считать слабой. При правильном выборе экспозиции диапазонизменения от черного к белому не соответствует предположению о низкойконтрастности. Однако на практике изображение удается успешно восстановить в пространствеяркостей, связанном с преобразованием (4.37), или в пространствеплотностей, связанном с преобразованием (4.38), несмотря на теоретическиетрудности, возникающие при отбрасывании нелинейностей.

Даже при беглом взгляде на соотношения (4.37) или(4.38) видно, что восстановление изображений относится к задачам фильтрациис помощью инверсной свертки (т.е. к обработке записанной информации с помощьюоператора h, который является обратным по отношению к операторудвумерной свертки с функцией h). Эта задача сложна тем, что сводится крешению плохо обусловленных систем линейных уравнений [38]. При повышениирезкости изображений задача усложняется за счет того, что для многихизображений аппаратная функция сингулярна, т.е. преобразование Фурье от нееимеет нули, что наблюдается, например, при дрожании съемочной камеры или плохойее фокусировке. Поэтому при решении задач восстановления изображенийзначительные усилия затрачиваются на преодоление трудностей, связанных ссингулярностью [2].

Для восстановления изображений цифровыми методаминеобходимо, чтобы все уравнения были записаны для дискретизованных функций.Поэтому соотношение (4.35) принимает вид

   g ( j/>x, k/>y ) /> s {/>        

                  />}+ n ( j/>x, k/>y )     ,               (4.39)

где знак (приближения указывает, что дискретные суммыне являются точным представлением исходных интегралов. Аналогичные выраженияможно записать для формул (4.37) и (4.38). Интересно отметить, что соотношение(4.39) можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестныхзначений f. Если выполняются предположения, сделанные при выводесоотношения (4.38), то соответствующие дискретные уравнения (где без потериобщности можно положить />x = />y = 1)прекращаются в систему линейных уравнений относительно f( p, q):

 g ( j, k ) /> /> ,            (4.40)

Формула (4.40) подсказывает, что задача восстановленияизображений сводится к решению системы линейных уравнений. Это действительнотак, и для подтверждения можно представить соотношение (4.40) в видепроизведения матрицы на вектор. Поэтому значение цифровых методов обработкисигналов, таких, как линейная фильтрация и БПФ, состоит.в том, что они являются средством для быстрогонахождения точного или приближенного решения очень больших (с N2 переменными) системлинейных уравнений. Такой.подход очень важен для развития более совершенныхметодов повышения резкости изображений, но обсуждение его требует применениятеории матриц в объеме, чрезмерно большом для данной книги. Подробнее связьмежду матричными представлениями и восстановлением изображений методомдискретного преобразования Фурье описана в работах [2, 39, 40].

4.4.2. Основные методы повышения резкости изображений

Операция дискретной свертки, фигурирующая в формуле(4.40), имеет аналог в пространстве дискретного преобразования Фурье (ДПФ). ДПФсоотношения (4.40) имеет вид

   G ( u, v ) = H ( u, v ) F ( u, v )  + N ( u, v )  ,                (4.41)

гдеи, v= 0, 1,..., N—1, апрописные буквы обозначают ДПФ величин, обозначенных в формуле (4.40) соответствующимистрочными буквами. Так, функция

 H ( u, v ) = />       ,            (4.42)

 

представляетсобой, ДПФ от дискретизованной аппаратной функции; аналогичные соотношенияимеются для G, F и N.Обычно область ненулевых значений аппаратной функции по величине гораздоменьше, чем размеры исправляемого снимка. Следовательно, N гораздобольше числа ненулевых отсчетов функции h( j, k) и передпреобразованием эта функция должна быть дополнена соответствующим числом нулей(необходим также надлежащий сдвиг по фазе). Как следует из теории, величину Nследует выбирать достаточно большой, чтобы устранить нежелательные эффектызаворота изображения, связанные с периодичностью круговой свертки. На практикеоказывается, что эти эффекты не очень существенны. Действительно, снимаемаясцена бесконечно велика по сравнению с размерами аппаратной функции и на краяхкадра искаженное изображение содержит вклад объектов, расположенных вне кадра,но вносящих в кадр помехи за счет свертки с аппаратной функцией. Краевыеэффекты, возникающие в процессе инверсной фильтрации изображения на основенеполной информации (о предметах, находящихся за кадром), более важны, чем завороты.Бэкстер [18] показал, как можно частично исправить эти краевые искажения. Привыборе N более важно предусмотреть возможность уменьшения заворотов иэффектов усечения, связанных не с самой аппаратной функцией  h(j, k), а с функцией, обратной к ней.

Простейшим способом повышения резкости изображенияявляется обработка записи в пространственно-частотной области с помощьюобратного фильтра. При этом получается оценка.восстановленного изображения

  /> ( u, v ) =Hi ( u, v ) G ( u, v ) = />      ,                 (4.43)

Хотя это самый простой подход, при его использованиивстречаются наибольшие трудности.

1. Для многих видов искажений аппаратная функциятакова,. что ее ДПФ имеет нули. Например, для искажений, вызванных движениемсъемочной камеры в горизонтальном направлении, ДПФ аппаратной функции имеет вид

                          H ( u, v) = />    ,                                 (4.44)

 

гдеа — размер размытия, выражаемый числом отсчетов. Если искажения сильные(а достаточно велико), так что нули функции (4.44) попадают внайквистовский диапазон, то обратный фильтр является сингулярным. Аналогичнаятрудность возникает в случае 'искажений, вызванных расфокусировкой камеры,когда запись содержит свертку истинного изображения с формой апертуры. Длябольшинства стандартных форм апертуры (круглой, квадратной и т.д.)соответствующие ДПФ имеют нули; если эти нули попадают в найквистовскийдиапазон, то обратный фильтр оказывается сингулярным. К сожалению, обычно так ибывает.

2. Столь же неприятно то, что аппаратные функции (дажеесли они не приводят сингулярности) обычно являются плохо обусловленными, вчастности, модуль их преобразования быстро уменьшается вблизи некоторыхзначений и и v (обычно в области высоких частот, поскольку искажениясвязаны с медленными процессами), поэтому обратный фильтр 1/Hрезко увеличивает влияние шумовой составляющей, входящей в формулу (4.41), чтоухудшает изображение.

Несмотря на все трудности, обратные фильтры удаетсяприманить для восстановления изображений. На рис. 4.12 приведено цифровоеизображение размером 512/>512точек, в которое с помощью ЭВМ были внесены искажения, эквивалентные сверткеизображения с гауссовской аппаратной функцией. К искаженному снимку былприбавлен шум и отношение сигнал/шум (С/Ш). измеряемое как отношение дисперсийсигнала и шума, стало равным 12000 (33 дБ). Аппаратная функция не содержитнулей, а отношение С/Ш велико, поэтому восстановление методом обратнойфильтрации возможно. На рис. 4.13, а приведен результат обработки снимка рис.4.12 обратным фильтром, реализованным с помощью БПФ. Однако если С/Шуменьшается за счет роста мощности шума, то восстановление путем обратнойфильтрации дает плохие результаты. На рис. 4.13,6 приведено изображение,восстановленное обратной фильтрацией при С/Ш = 200 (23 дБ). Размытоеизображение при таком уровне шума выглядит так же, как снимок рис. 4.12,поскольку влияние шума трудно определить визуально, если отношение С/Шпревышает 20 дБ. Шум был прибавлен в области плотностей, связанных с яркостямипо логарифмическому закону; изображение искажалось в яростной области, новосстанавливалось в области.плотностей так, как описано в разд. 4.4.4.

Рис. 4.12 и 4.13 иллюстрируют важную мысль: обратныйфильтр может работать, но для этого требуется очень большое отношениесигнал/шум и малая степень искажений. К сожалению, нет определенных правил,которыми следует руководствоваться при восстановлении изображений. Но, с другойстороны, обратная фильтрация осуществляется настолько просто, что ее можнопроводить, не имея заранее гарантий на успех, и это не приведет к большимзатратам, если окажется, что шум или сингулярность воспрепятствуют еевыполнению.

Влиянию помех и сингулярностей менее подвержен другойметод восстановления изображений — винеровская фильтрация. Как следует изназвания, такая фильтрация основана на теории оптимальных оценок, предложеннойНорбертом Винером. При проектировании фильтра ставится задача найти такую линейнуюоценку

                              /> (j, k ) = L [g ( j, k ) ]   , 

 (где L—линейный оператор), что

E { [f ( j, k) — />]2 }    ,

имеетминимальную величину. Структуры устройства для получения оценок была найденамногими исследователями. Применительно к обработке изображений первым в явномвиде это сделал Хелстром [41], разработавший пространственный и частотныйварианты устройства. При цифровой обработке изображений используется вариант собработкой b частотной области. Цифровая фильтрация изображенийвыполняется фильтром с передаточной функцией

  Hw( u, v ) = />      ,                  (4.45)

и

  />                                   (4.46)

причемзвездочка означает комплексное сопряжение, а Фn и Фf — энергетические спектры шума и сигнала соответственно. Как и при обратнойфильтрации, обработка производится на основе двумерных БПФ и обратноепреобразование от (4.46) дает исправленное изображение.

Анализируя соотношение (4.45), можно заметитьследующие свойства винеровского фильтра:

1. Если шум очень мал или отсутствует, так что Фn<sub/>/>  0,то винеровский фильтр переходит в обратный. Таким образом, в пространственно — частотных областях с малым уровнем шума (как правило, это области низкихпространственных частот) характеристики винеровского и обратного фильтровсовпадают.

2. Если мощность сигнала становится малой, так что Фf<sub/>/> 0, то коэффициент передачи винеровского фильтрастремится к нулю. Этим решаются проблемы, связанные с сингулярностью аппаратнойфункции и с особенностями плохо обусловленных систем уравнений при отсутствиисингулярности.

На рис. 4.14, а и 4.14,6 приведены результатывосстановления изображения, полученные с помощью винеровского фильтра при такихже условиях, как на рис. 4.13, а и б. Снимки рис. 4.14, а и рис. 4.13, апохожи, что указывает на эквивалентность винеровского и обратного фильтров прималом уровне шума. Однако по качеству рис. 4.14,6 íaмнîãîпревосходит рис. 4.13,6; это свидетельствует о том, что винеровский фильтрлучше подавляет шумы в областях с малым сигналом. Полосы на краях рис. 4.13 и4.14 вызваны краевыми эффектами свертки, рассмотренными ранее, и заворотами,связанными с аппаратной функцией обратного фильтра..

Внимательное сравнение рис. 4.13,6 и 4.14,6 создаетвпечатление, что винеровский фильтр восстанавливает изображения с меньшимуровнем шума, чем метод обратной фильтрации, но, возможно, при этом несколькоухудшается резкость и теряются мелкие детали. Все это можно объяснить двумяпричинами:

1) критерий минимума средней квадратической ошибкиявляется слишком строгим и его можно ослабить;

2) нелинейные и адаптивные свойства человеческогозрения могут «не согласовываться» с критерием минимальной среднейквадратической ошибки.

В разд.4.3.3 будет рассмотрен другой способ построениявосстанавливающего фильтра, в котором предъявляются меньшие требования каприорной информации, чем при винеровской фильтрации.

4.4.3. Повышение резкости изображения «вслепую» иметодом уравнивания энергетических спектров

Кэннон [42] предложил метод, позволяющийвосстанавливать изображения лучше, чем с помощью винеровского или обратногофильтров; это так называемый метод уравнивания энергетических спектров или методгомоморфной фильтрации. (Сначала такой фильтр был спроектирован Коулом[21] на основе теории гомоморфных систем, а затем Кэннон нашел эквивалентнуюформу, пользуясь методом уравнивания энергетических спектров, который и будетописан ниже.) Передаточная функция фильтра определяется из простого условия,гораздо более слабого, чем критерий минимума средней квадратической ошибки ввинеровском фильтре. При проектировании фильтра отыскивается такая линейнаяоценка

/> (x,  y ) = L [ g ( x,  у )]      ,

(гдеL — линейный оператор), чтобыэнергетический спектр оценки равнялся энергетическому спектру исходногоизображения. Таким образом, условие имеет вид  :

                          />( u, v ) = />(u, v )  .                            (4.47)

Поскольку g( х,  у ) определяется из соотношений (4.37) или (4.38), тоэнергетический спектр оценки  /> равен  :

/>(u, v ) = | L( u, v )|2 [ | H ( u, v )|2Фf( u, v )+Фn( u, v )].  (4.48)

Его можно приравнять к правой части соотношения (4.47)и в явной форме найти |L(u,v)|— модульпространственно — частотной характеристики линейного фильтры, уравнивающегоэнергетические спектры (уэс). В результате характеристика фильтра будет иметьвид

 Hуэс( u, v ) =| L ( u, v ) | = [ />  ]/>    ,             (4.49)

а из соотношения

                        /> (u,  v ) = Нуэс ( u,  v ) G( u,  v )                      (4.50)

определяются значения спектра восстановленногоизображения. Для получения самого изображения эти значения нужно подвергнутьобратному преобразованию. Как, и прежде, вычисления следует производить сприменением БПФ.

Фильтр с уравниванием энергетических спектров обладаетследующими свойствами:

1. При малых шумах, когда Фn/> 0,характеристика фильтра сводится к модулю характеристики обратного фильтра.

2. При малых сигналах, когда Фf/> 0,коэффициент передачи фильтра уменьшается до нуля.

3. В промежутке между этими экстремальными условиямикоэффициент передачи фильтра больше, чем Нw, номеньше, чем Hi. Этообусловлено отсутствием множителя Н* в числителе выражения для Нw также свойствами операции извлечения квадратного корня. Можнопоказать, что характеристика фильтра с уравниванием энергетических спектровравна среднему геометрическому от характеристик винеровского и обратногофильтров [21].

Поскольку коэффициент передачи фильтры с уравниваниемэнергетических спектров больше, чем у винеровского фильтра, но не приводит кувеличению шумов, как в обратном фильтре, то восстановленное изображениесодержит большее число мелких деталей, связанных с высокочастотнымисоставляющими, которые винеровский фильтр обычно подавляет. При этом уровеньшума увеличивается, но человек обычно согласен мириться с увеличением шума,если получает дополнительную полезную информацию о мелкой структуреизображения.

На рис. 4.15, а и б показаны изображения,исправленные фильтром с уравниванием энергетических спектров при условиях,соответствующих рис. 4.13, а и б. Снимки на рис. 4.13, a,4.14, aи4.15, а похожи; это указывает на то, что при слабых шумах этот фильтр имеет теже свойства, что и обратный. Результат восстановления изображения при сильномшуме представлен на рис. 4.15,6. Сравнение его с рис. 4.13,6, рис. 4.14,6 и сисходным изображением на рис. 4.12, а показывает преимущество данного методаповышения резкости изображений.

Соотношение (4.49) задает только модуль передаточнойфункции, но можно построить фильтры, в которых задается также определеннаяфазовая характеристика. Для многих видов искажений (например, длярасфокусировки или смазывания изображений при движении) фазовая характеристикаимеет значения 0 или ±/> .Фильтр, описываемый соотношением (4.49), можно дополнить устройством, вносящимнеобходимый сдвиг фазы; в результате получается восстанавливающий фильтр,корректирующий в изображении как амплитудные, так и фазовые искажения. Кэннон[42] показал, что подобный метод повышения резкости лучше чисто амплитуднойкоррекции (как и следует из общих принципов).

Метод уравнивания энергетических спектров проясняетвесьма важные особенности задачи восстановления «вслепую», т.е. путемоценивания параметров, необходимых для восстановления искаженного изображенияпо этому же искаженному изображению. При винеровской фильтрации необходимозаранее знать величины   Фn, Фfи Н.Аналогичное требование можно сформулировать и для случая фильтрации методомуравнивания энергетических спектров. Однако внимательный анализ спектров,фигурирующих в соотношении (4.49), позволяет заметить, что оценки всехнеобходимых величин можно найти на основе искаженного изображения.

Рассмотрим изображение  g( x,y),формируемое по законам, описываемым формулами (4.37) и (4.38) или им подобными.Разобьем изображение на части размером М/>М,где М велико по сравнению с размерами аппаратной функции, но мало посравнению с размером исходного изображения N/>N. Типичным значением является М=64. Отдельныечасти изображения могут перекрываться. Если пренебречь краевыми эффектами, токаждую часть изображения можно описать сверткой аппаратной функции ссоответствующей областью полного первоначального распределения яркости объекта.Тогда соотношение

gi(x, у)/> /> h(x — x1,у—y1) fi( x1, y1) dx1dy1+ni( x, y) ,   (4.51)

аппроксимируетзакон формирования изображения в каждой из частей gi. После дискретизации gi путем взятия М/>Мотсчетов можно найти энергетический спектр каждой части изображения, равный

Фig( u, v)/>|H( u, v)|2Фif<sub/>(u, v) + Фin(u, v)  ,        (4.52)

гдеверхний индекс i обозначает номер части изображения. Еслипредположить, что изображение и шум можно аппроксимировать стационарнымислучайными процессами, то Фifи Фinбудут выборками из двух функций, описывающих два энергетических спектра.Поэтому суммирование по i приведет к сглаживанию случайных отклонений вэнергетических спектрах каждой из частей изображения. Таким образом,

 />

/>           (4.53)

гдеQ=N/M, а /> и /> —оценки энергетических спектровсигнала и шума соответственно.

Значение равенства (4.53) определяется следующими«соображениями:

1. Квадрат модуля преобразования Фурье от размытойаппаратной функции приводит к появлению характерных особенностей в усредненноюэнергетическом спектре частей изображения. Для таких видов искажений, какрасфокусировка и смазывание при сдвиге, в спектре остаются характерныепризнаки, позволяющие установить тип искажения и определить все егосущественные параметры, как, например, размер «размазанного» изображения точкии период обращений фазы [42].

2. Знаменатель 'передаточной функции фильтра суравниванием энергетических спектров полностью совпадает с правой частьюравенства (4.53), и если уже нам известна оценка Фf, томожно выполнять операцию восстановления изображения. Оценку Фfможно получить несколькими способами. Bo — первых, можно взятьнеискаженные изображения, подобные восстанавливаемому, и определить Фfно ним, так как было показано [21], что большинство изображений имеет оченьпохожие энергетические спектры. Или же можно на основе исправляемогоизображения получить оценку Фn(обычно это удается сделать на однородных участках изображения), а такжеопределить значения Н по его характерным признакам и решить уравнение(4.53) относительно />.

На pис. 4.16, а приведен снимок, сделанный камерой,двигавшейся в процессе съемки. Камера двигалась в горизонтальном направлении, ихорошо заметно, что из-за этого мелкие надписи стали совершенно неразличимыми.На рис. 4.16,6 показан тот же снимок после восстановления вышеописаннымметодом; смазывание за счет сдвига оставило в энергетическом спектрехарактерные признаки, которые были автоматически распознаны и применены присоздании фильтра, восстанавливающего изображение методом уравниванияэнергетических спектров. После восстановления текст стал вполне разборчивым.Дальнейшие сведения об этом методе восстановления изображений можно найти вработе [42].

4.4.4. Замечания о восстановлении изображений в яркостнойи плотностной областях

Все рассмотренные образцы изображений были искажены впространстве яркостей либо моделированием характеристической кривой пленки наЭВМ, либо при проведении стационарной съемки в реальных условиях, как снимокрис. 4.16. Однако восстановление изображений проводилось в пространстве плотностей,связанных с яркостями логарифмической зависимостью, как было показано выше.Во-первых, это, очевидно, связано с предположением о линейности, выраженным ввиде равенства (4.38). Во-вторых, из практических соображений, относящихся ккачеству изображений, восстановление изображений удобнее проводить впространстве плотностей, а не в пространстве яркостей, где необходимо учитыватьсоотношение (4.37). Диапазон изменения яркости составляет обычно 2—3 порядка, ив тех местах изображения, где яркость изменяется резко, могут просматриватьсябоковые лепестки характеристики восстанавливающего фильтра. Динамическийдиапазон.изменения плотности гораздо меньше одного порядка, и подобный эффектздесь не столь опасен. В обширных работах Кэннона [42] и Коула [21] показано,что изображения, восстановленные в пространстве плотностей, обладаютблагоприятными для зрения свойствами. Таким образом, предположение олинейности, связанное с равенством (4.38), из практических соображений оказываетсяболее предпочтительным.

4.4.5. Нелинейные методы восстановления изображений

С позиций цифровой обработки сигналов всерассмотренные методы сводятся к линейной фильтрации сигналов с применениембыстрых преобразований Фурье. Из этого, конечно, не следует, что построениеэффективной системы обработки сигналов является тривиальной или несложнойзадачей. При оптимизации методов фильтрации сигналов и соответствующих машинныхпрограмм может потребоваться много труда и изобретательности. Тем не менее,основополагающие принципы фильтрации относятся к области линейной обработкисигналов, и их легко найти в работахпо классической цифровой обработке сигналов.

Практические исследования, однако, показывают, чтолинейная обработка имеет недостатки. Во-первых, реальные изображения обладаютрядом свойств, которые не учитываются при линейной обработке. Например, яркоститочек изображения всегда положительны, а в схеме с линейной обработкой могутпоявляться отрицательные числа, связанные с боковыми лепестками характеристикивосстанавливающего фильтра. Во — вторых, линейная обработка является лишьприближением к оптимальной обработке, так как средства для записи изображений,такие, как кинопленка, в принципе нелинейны. Поэтому представляют интерес методыповышения резкости изображений, в которых учитывается такая нелинейность.

При нелинейном восстановлении изображений (как почтиво всех операциях, связанных с нелинейностями) основная трудность заключается вобъеме вычислений. В нелинейных системах эффективность вычислений не такаявысокая, как при линейной обработке методом БПФ. В силу этого из всех предлагавшихсяметодов нелинейного восстановления изображений лишь немногие когда-либоприменялись для обработки крупных изображений, так как при большом количествеотсчетов число вычислительных операций чрезмерно возрастает. Решения подобныхпроблем, по-видимому, b большей степени связаны сматематическим анализом, чем с цифровой обработкой сигналов, и поэтому данныйраздел будет довольно коротким.

Один из практически реализуемых нелинейных методовотносится к восстановлению изображений в пространстве плотностей с учетомпредположений, связанных с равенством (4.38). Если яркости искаженногоизображения перевести в плотности путем логарифмирования, а затемскорректировать изображение с помощью БПФ и результат пропотенцировать, тополучится система с нелинейными характеристиками, но реализованная на основеБПФ. К тому же яркости конечного изображения здесь всегда положительны. Теоретическимоснованием подобного метода являются теория гомоморфной обработки сигналов, атакже мультипликативная модель процесса формирования изображения [19].Логарифмическая пространственная фильтрация, по-видимому, согласуется с модельюсистемы человеческого зрения, представленной в первом разделе главы.

Метод Фридена [43] также гарантирует отсутствиеотрицательных значений яркости в восстановленном изображении, котороеопределяется путем решения системы нелинейных уравнений

g(j,k) = h( j, k)* * ехр [ — 1+ h( j,k) * * />( j, k) + />]+

 + exp[ -1 + />( j, k) ] ,

 P= /> ,          (4.54)

аисправленное изображение описывается равенством

 />       (4.55)

где символ ** обозначает двумерную дискретную свертку,а Р — полная энергия исходного изображения. Таким образом, решениеоказывается положительным и ограниченным по величине. Однако решить эту системунепросто. Вычисление сверток, фигурирующих в соотношениях (4.54) и (4.55),методом БПФ не очень помогает, поскольку основная трудность заключается врешении системы уравнений относительно неизвестных /> и/> (множителей Лагранжа взадачах оптимизации). Данный метод был опробован на очень малых изображениях(размером 50х50 отсчетов) в случае разделимых аппаратных функций, причем длярешения нелинейных уравнений применялась итерационная процедура Ньютона — Рафсона. При увеличении размеров снимка решение нелинейных уравнений связано сбольшими трудностями. Был также предложен, но не реализован практически методпрямой оптимизации [2].

Метод нелинейного восстановления изображений,предложенный Фриденом, исходит из предположений о положительности иограниченности отсчетов изображения. Нелинейные методы могут также основыватьсяна анализе нелинейности записывающих средств. В работах [40, 44] описанбайесовский подход к восстановлению изображений, записанных с помощьюнелинейных устройств. Результат обработки получается в виде решения нелинейногоматричного уравнения. 0пределение этого решения при большом числе переменных,описывающих квантованное изображение, связано c выполнениеммножества вычислений, а роль цифровой обработки сигналов сводится к выполнениюопераций свертки [44]. Такой метод применялся для коррекции изображенийразмерами до 512х512 отсчетов.

Задача (восстановления изображения в общем случае,т.е. с учетом нелинейности записи и условия, что отсчеты яркости должны бытьограниченными и положительными, сводится к задаче нелинейного программирования[2]. Однако возможности современной техники не позволяют решить в общем случаезадачу нелинейного программирования при том числе переменных, котороехарактерно для изображений, представленных в цифровом виде. Были разработаны иопробованы на «маленьких изображениях (размером, например, 32х32 отсчета)специальные алгоритмы, основанные на симплексном  методе и относящихся к немупонятиях математического программирования. К большим снимкам эти алгоритмы ещене применялись. Вообще повышение резкости нелинейными методами является тойобластью цифровой обработки изображений, где далеко не все сделано.

4.4.6. Повышение резкости изображений схарактеристиками,

изменяющимисяв пространстве

В предыдущих разделах была показана роль, которуюиграют при восстановлении изображений операции свертки и двумерная цифроваяфильтрация. Во всех методах требовалось, чтобы законы формирования изображенияобладали свойством пространственной инвариантности. Если же процессформирования изображения не является пространственно — инвариантным, то формула(4.34) принимает вид

       /> (4.56)

 

и при обращении ее в дискретную форму в ней непоявится дискретной свертки. К сожалению, в ряде интересных случаевформирование изображений подчиняется пространственно — нестационарньпм уравнениям,как, например, при неравномерном движении камеры или при наличии оптическихаберраций.

Рассмотрим, например, одномерные искажения погоризонтальной оси, когда искажения минимальны в левой части снимка и линейноувеличиваются до максимума в правой части. Если изображение дискретизовать поравномерной сетке, то отсчет, взятый в правой части, будет содержать вклады отбольшего числа соседних точек, чем отсчет в левой части снимка. Один из«способов устранения этого недостатка состоит в увеличении интервала

/>

Рис.4.17. Структурная схема процесса восстановления изображения спространственно-зависимыми искажениями.

между отсчетами при движении слева направо так, чтобыкаждый отсчет содержал взвешенную сумму яркостей одинакового числа соседнихточек. Фактически это является преобразованием координат, делающим искаженияпространственно-инвариантными. После коррекции исходное изображениевосстанавливается с помощью преобразования координат, обратного к первому.

  Савчук [46] показал, что этот общий метод можно применять для нескольких видовискажений, вызванных оптическими аберрациями или неравномерным сдвигом во времясъемки. Обобщенная схема процесса коррекции показана на рис. 4.17.Пространственно-нестационарные искажения представляются в виде двухгеометрических искажений. Сначала снимок переводится в координаты, гдеискажения оказываются пространственно-инвариантными, а затем осуществляетсяпереход от пространственно-инвариантных координат к координатам, зависящим отположения деталей изображения. Система для восстановления изображенияосновывается на преобразованиях, обратных к этим двум, и фактическоевосстановление выполняется путем линейной обработки в пространстве, гдеискажения являются пространственно-инвариантными. При этом для быстройобработки больших изображений можно применять свертку и БПФ, а сами операции преобразованиякоординат требуют малого или приемлемого числа вычислений. Подобная обработкауспешно применялась для исправления аберраций типа комы [47] и искажений,вызванных пространственно-неравномерным сдвигом [46].

Атмосферная турбулентность обусловливает смазыванияизображений, изменяющиеся с течением времени, поскольку температурные градиентыв воздушных слоях влияют на случайные фазовые задержки b волновых фронтах потоков света, несущих изображение. Всилу усреднения за время экспозиции эти флуктуации создают искаженияизображений, аппаратная функция которых приближается к гауссовской и стационарна.В ряде случаев делались попытки повышения резкости таких изображений [48]. Но,как правило, искажения оказывались достаточно сильными, и восстановлениеизображений было малоэффективньм. Недавно Нокс предложил новый метод коррекцииатмосферных искажений изображения [49].

В любой момент времени изображение, проходящее сквозьтурбулентную атмосферу, формируется под воздействием случайной аппаратнойфункции. При наблюдении за одним и тем же объектом можно получить наборснимков, описываемых соотношениями типа

 

   />   (4.57)

в которых аппаратная функция искажений рассматриваетсякак пространственно-инвариантная, но изменяющаяся во времени от момента кмоменту (т.е. по переменной i).Усредняя снимки (4.57) по времени, получаем

 />            (4.58)

причем сложение hiсо случайными фазами создает столь широкую усредненную аппаратную функцию, чтобольшая часть высокочастотных составляющих f(x у) теряется.

Если же перед усреднением изображения подвергнутьпреобразованию Фурье и возвести спектры в квадрат, то получается другойрезультат. В этом случае

/>        (4.59)

где звездочка означает комплексное сопряжение.Возведение в квадрат «защищает» высокочастотную информацию, уничтожающуюся приусреднении фаз в равенстве (4.58). Если в наблюдаемом секторе находитсяточечный источник, то можно найти среднюю квадратическую аппаратурную функцию<HiHi*> и выполнитьвосстановление изображения. Однако в формуле (4.59) теряется фазоваяинформация, и восстановленное изображение равно обратному преобразованию отквадратного корня из энергетического спектра исходного изображения f(x,у).

Другой, но весьма близкий способ обработки состоит ввычислении статистической автокорреляционной функции спектра изображения:

 />

/> (4.60)

Можно заметить, что при u1=v1=0равенства (4.60) и (4.59) полностью совпадают. Если, как и прежде, имеетсяточечный источник, то

/>   (4.61)  

поскольку с помощью точечного источника можно найтикомплексную автокорреляционную функцию усредненного по времени спектрааппаратной функции. Рассмотрим результат деления обеих частей равенства (4.61)на их модули:/>  

          />            

/>                                  (4.62)

где Ф — фазовая характеристика спектра F — изображения, рассматриваемая на двумерной плоскости фурье — преобразования. Вправой части записано двумерное разностное уравнение относительно фазовой характеристики,а слева фигурируют только измеренные величины. Интегрирование этого разностногоуравнения по всей плоскости преобразования Фурье даст фазовую характеристику, ав сочетании с модулем F, полученнымиз равенства (4.61), —спектр восстановленного изображения.

    Моделирование метода Нокса — Томпсона показало, что он может значительноулучшить разрушение при наблюдениях сквозь турбулентную атмосферу. На рис. 4.18этот процесс иллюстрируется с помощью изображения астероида, полученногомоделированием на ЭВМ. На рис. 4.18, а приведен оригинал, на рис. 4.18,6показаны четыре отдельных снимка с атмосферными искажениями, а на рис. 4.18,б—восстановленное изображение, причем фазовая информация была получена всоответствии с формулой (4.62) путем обработки 100 снимков, подобных приведеннымна рис. 4.18,6.

4.5.Воспроизведение изображений по проекциям

Открытие проникающей радиации (рентгеновских лучей,нейтронных пучков и т.д.) дало возможность получать изображения объектов, ранеенедоступных или доступных только с помощью грубых и зачастую нежелательныхсредств; примером такого объекта могут служить внутренние участки мозга.Подобные изображения имеют очень важное значение для развития медицины.Усиление контроля за качеством элементов больших конструкций обусловиловажность таких изображений для неразрушающих методов контроля. Однакоизображения, полученные путем просвечивания с помощью проникающего излучения,имеют недостаток: они являются двумерными теневыми проекциями трехмерныхобъектов. Важные особенности пространственного расположения внутренних частейобъекта в процессе проектирования в лучшем случае искажаются, а в худшем —теряются вообще. При хирургических операциях (например, при опухолях мозга)незнание внутренней структуры может оказаться, очевидно, роковым обстоятельством.

Задаче воспроизведения внутренней структуры объекта поего проекциям в последнее время уделяется большое внимание, и методы цифровойобработки сигналов оказали заметное влияние на ее решение. Предложен рядметодов воспроизведения изображения по проекциям; список литературы по этомувопросу дан в статье Мерсеро и Оппенгейма [50]. Ниже будет рассмотрена задачавоспроизведения изображения по проекциям и дано ее решение методом, характернымдля цифровой обработки сигналов, а именно, с помощью преобразования Фурье.

4.5.1. Образование проекций

Изображения, получаемые с помощью проникающейрадиации, образуются за счет ослабления луча в исследуемом веществе. Чемплотнее вещество, тем слабее интенсивность луча, прошедшего через вещество.Таким образом, изображение, наблюдаемое в проходящих лучах, определяетсяинтегральным влиянием некоторой характеристики вещества объекта наинтенсивность луча. Пусть f(x1, x2, x3)описывает распределение вещества в пространственных координатах (х1,х2, x3). Допустим, что просвечивающий луч направлен вдоль оси х1,как на рис. 4.19. Тогда распределение интенсивности проникающего излучения вплоскости (x2, x3) пропорционально функции g, определяемой соотношением

 />              (4.63)

Важноесвойство проекций, задаваемых формулами типа (4.63), можно заметить прианализе преобразования Фурье от функции g (x2,x3):

   />       (4.64)

 

Трехмерноепреобразование Фурье от исходного распределения имеет вид

 /> (4.65)

Сравнивая Gи F, видим, что

             />(4.66)

Такимобразом, преобразование от проекции равно преобразованию Фурье от распределениявещества в объекте при w1=0. Такую функцию называют сечением преобразования Фурье,/>

Рис.4.19. Геометрические соотношения при воспроизведении     изображения попроекциям.

12

посколькуона образуется сечением исходного трехмерного преобразования вдоль двумернойплоскости.

Очевидно, что аналогичными свойствами обладают такжепроекции меньших размерностей. Предположим, что проникающее излучениенаправлено в виде плоского луча (т.е. луч имеет бесконечно малый размервдоль оси x3 иперпендикулярен ей, причем вдоль оси x2 его интенсивность одинакова, а ширина больше размеровобъекта). Луч с координатой x3будет проектировать все элементы внутреннего строения объекта, лежащего всечении, совпадающем с плоскостью луча. Еслираспределение вещества в сечении с координатой x3 описывается функцией f3( x1 , x2 ), то одномерная проекция двумерного сечения имеет вид

       />            (4.67)

и соотношение

 />              (4.68)

как и прежде, описывает связь между преобразованиямипроекции и оригинала.

Предположим теперь, что плоский луч проникающегоизлучения остается перпендикулярным оси x3, а источник излучения вращается вокруг некоторогоцентра, находящегося в объекте, так что угол между направлением луча и осью x1 равен не нулю, анекоторой величине /> (см. рис. 4.20).Очевидно, можно сделать преобразование координат так, чтобы ось и1была параллельна направлению проектирующего луча. Это преобразование имеет вид

 

/>

Равенства (4.67) и (4.68) остаются справедливыми и вновой системе координат (u1, u2), что позволяет сформулироватьследующую теорему о проекции и сечении, одномерное преобразование Фурьеот проекции под углом /> равнопреобразованию Фурье исходного двумерного распределения вещества в двумернойплоскости спектральных переменных вдоль линии, направленной под углом />, т.е. является сечением спектра под углом />.

С помощью этой теоремы на основе проекций трехмерноготела можно воспроизвести изображение внутренней структуры тела. Если источникплоского луча расположить в точке с координатой х3, как показанона рис. 4.20, и изменять угол /> винтервале 0</></>,то, как показано в следующем разделе, из набора одномерных проекций можновоспроизвести структуру тела в сечении с координатой x3. Затем координата х3  изменяется и тем же

/>

Рис.4.20. Геометрические соотношения при вращении источника вокруг точки,зафиксированной в объекте, и схема получения двумерных проекций.

способом получается новое сечение. Процесспродолжается до тех пор, пока не будет получен полный набор сечений,показывающих внутреннюю структуру объекта в трех измерениях.

Теоретически, конечно, можно воспроизвести структурутрехмерного объекта по его двумерным проекциям без использованиявспомогательных одномерных проекций и связанных с ними сечений, как описано впредыдущем абзаце. На практике, однако, выгоднее пользоваться методом плоскихсечений, хотя и связанным с повторением одинаковых операций, но зато не требующихтакого огромного числа вычислений, как прямое воспроизведение трехмернойструктуры. Поэтому задачу воспроизведения будем в основном рассматривать какзадачу выделения двумерной информации из одномерных проекций. Ниже описываютсяметоды цифровой обработки сигналов, позволяющие воспроизвести изображение.

4.5.2. Методывоспроизведения изображений

Основная операция при воспроизведении изображения попроекциям следует из теоремы о проекции и сечении. Преобразование Фурье отпроекции дает значения преобразования Фурье от исходного распределения веществав некотором его сечении. Если получить достаточно плотный набор таких сечений,то все пространство спектров будет заполнено сечениями и с помощью обратногопреобразования Фурье можно завершить процесс воспроизведения изображения.

/>

Рис.4.21. Отсчеты в пространстве преобразований Фурье, полученные из наборапроекций.

Каждаяточка представляет значение F(w1,w2), полученное вычислением ДПФ проекции g(u) под углом />.

Эта операция достаточно просто описывается, но дляфактического ее выполнения необходимы весьма сложные и трудоемкие исследования.При воспроизведении изображения на основе сечений спектра важными являютсяследующие положения:

1. При вращении источника плоского луча для каждого изуглов /> получается своя проекция.Число проекций, необходимых для достаточно полного заполнения пространствапреобразований Фурье, очевидно, зависит от формы преобразования Фурьевоспроизводимого распределения. Однако чем меньше шаг по углу, тем плотнеезаполняется пространство спектров (см. рис. 4.21). На практике число проекцийограничивается двумя факторами: 1) увеличением объема вычислений, связанным собработкой дополнительных проекций; 2) увеличением дозы облучения при получениидополнительных проекций (что очень важно в медицинских  приложениях метода).

2. Сечения спектрального пространства образуютравномерную сетку в той системе координат, где на одной из осей откладываетсяугол поворота />. Однакоразмещение отсчетов спектра в каждом из сечений не согласуется  с обычнымидвумерными преобразованиями. Двумерное ДПФ вычисляется на прямоугольной сеткеотсчетов, образующих строки и столбцы, а точки, в которых известны ДПФ сечений,образуют полярный растр, показанный на  рис. 4.21. Поэтому необходимо с помощьюинтерполяции перейти к прямоугольному растру, что несложно с точки зрениятеории, но нетривиально на практике, поскольку каждый отсчет, находящийся наконцентрической полярной сетке, перед интерполяцией необходимо перевести всоответствующую прямоугольную систему координат. Такое преобразование двумерныхкоординат и интерполяцию можно несколько упростить, пользуясь методом такназываемого копцентрично — прямоугольного растра, но зато при этом интервалыдискретизации будут не одинаковыми [50].

3. Как видно из рис. 4.21, двумерное пространствопреобразований Фурье очень плотно заполняется в области низких частот, авысокие частоты представлены гораздо реже. Поэтому для воспроизведения крупноструктурныхэлементов, описываемых низкочастотным спектром, требуется небольшое числопроекций, например 20—30. Для достаточно четкого представления высокочастотныхсоставляющих необходимо большое число проекций (100 и более). Если числопроекций ограничено, то можно воспользоваться имеющимися проекциями и болееплотно заполнить пространство спектров путем интерполяции. Это несколькоулучшает результаты воспроизведения, но возможности данного метода ограничены,поскольку результаты интерполяции могут не соответствовать реальным значениямспектров. Качество и детали изображения определяются именно теми спектральнымисоставляющими, которые нельзя предсказать путем интерполяции.

Другой метод воспроизведения изображений, в которомприменяется цифровая обработка сигналов, называется методом свертки или«размазывания». Для пояснения метода рассмотрим две взаимно перпендикулярныепроекции. Если каждую из проекций «размазать» (т.е. образовать двумернуюфункцию, не изменяющуюся по одной оси и совпадающую с исходной одномернойпроекцией по второй оси) и значения обеих функций сложить как ортогональныевекторы, то получится очень грубая аппроксимация исходного объекта. Читательможет проверить это, взяв для примера квадрат и построив проекции внаправлениях, перпендикулярных его сторонам. В общем представляется возможнымполучить изображение «размазывая» проекции (это можно сделать путем свертки сподходящей функцией) и образуя сумму после соответствующего взвешиванияотдельных слагаемых. Такой метод можно реализовать с помощью цифровой обработки,а также оптическими средствами. Однако данный метод крайне чувствителен кпомехам, поскольку операции свертки и взвешивания влияют на обрабатываемыесигналы примерно так же, как дифференцирование.

Как образец результатов, получаемых привоспроизведении изображений цифровыми методами, на рис. 4.22 показано сечениечеловеческого мозга, полученное с помощью серийного рентгеновского аппарата длявоспроизведения изображений внутреннего строения головы.

Этот краткий обзор не исчерпывает всех вопросов,связанных с воспроизведением изображений на основе проекций. С другими методамиможно познакомиться по работам, указанным в списке литературы, составленномМерсеро и Оппенгеймом [50].

 

4.6. Повышение качества изображений

Цель процесса повышения качества изображения состоит втом, чтобы снимок «выглядел лучше». Неудивительно поэтому, что если цельнамечена так туманно, то и методы, применяемые для  повышения качестваизображений, оказываются весьма разнообразными. Субъективные суждения о том,что изображение «выглядит лучше», связаны также с критериями, зависящими отпредназначения изображения (изображение должно «выглядеть лучше» применительнок определенной задаче). Если использование изображения связано с точныманализом или количественными измерениями, то радикальные операции, приводящие кзначительному изменению пространственных или яркостных соотношений визображении, могут оказаться неприемлемыми. С другой стороны если изображениеприменяется только для субъективных целей, то допустимы операции, существенноизменяющие пространственные или яркостные соотношения или же и те и другие, нов целом улучшающие субъективное восприятие изображения. Следовательно, дляповышения качества изображения можно применять широкий круг методов;пригодность каждого из них зависит от целей повышения качества данногоизображения.

4.6.1.Повышение качества изображенияпутем пространственно-                                 частотной фильтрации

Для улучшения изображений часто используетсяпространственно-частотная фильтрация. Если даже снимок не имеет явных дефектов,можно применить фильтр с небольшим подъемом характеристики на верхних частотах,и снимок будет выглядеть более резким. Столь же полезна режекция постояннойсоставляющей, когда подавляются или ослабляются некоторые (или все)составляющие, расположенные вблизи нулевой частоты. В результате снижаетсянасыщенность больших черных и белых пятен, а изменение масштабов яркостиулучшает различимость мелких деталей. На рис. 4.23, а и б приведенпример повышения качества  рентгенограммы тепловыделяющего элемента ядерногореактора с помощью пространственно-частотной фильтрации. На улучшенном снимкестало заметно гораздо больше деталей, а также видны ядерное топливо и оболочкаэлемента.

Особенно интересный метод повышения качества основанна мультипликативной модели формирования изображения в сочетании с гомоморфнойфильтрацией [19]. Согласно законам поверхностного отражения, изображениеобразуется из двух компонент:

 />                 (4.69)

где i’ — распределение освещающего пучка, а r- коэффициент отражения освещаемого объекта. Как правило,освещающая компонента образуется из низкочастотных пространственныхсоставляющих, для которых коэффициент отражения приближается к зеркальному ибогат деталями. Если прологарифмировать выражение (4.69):

 />          (4.70)

то связь между коэффициентом отражения, освещением иизображением будет выражаться не произведением, а суммой. При фильтрациилогарифма изображения режекторным фильтром, настроенным на нулевую частоту,освещающая компонента будет подавлена, а связанный с этим подъем высоких частотулучшит различимость мелкомасштабных элементов. При потенцировании сигналвозвращается в пространство яркостей и образуется изображение, не содержащееотрицательных яркостей. Заметим также, что логарифмирование обусловливаетфильтрацию в пространстве плотностей пленки; это является еще одним доводом,дополняющим соображения о предпочтительности обработки в пространстве плотностей,высказанные ранее в разделе о восстановлении изображений.

На рис. 4.24, а, б приведен пример повышениякачества изображения методом гомоморфной обработки. Заметим, что изображениестало более резким и на нем лучше различаются предметы, расположенные в тенипод крышей. 

4.6.2. Повышение качества изображений спомощью

          точечных операций

Метод повышения качества изображений, основанный напространственно-частотной фильтрации, можно противопоставить другим методам, вкоторых воздействие не распространяется на некоторую область (как для свертки),а все операции являются точечными изображения преобразуются в точки новогоизображения независимо друг от друга. Точечные операции можно сгруппироватьследующим образом.

Преобразования контрастности. Улучшение изображения происходит за счет измененияего контрастности, что достигается нелинейным преобразованием яркостей. Если,например, корректируемое изображение содержит участки, недодержанные присъемке, то можно воспользоваться преобразованием, «растягивающим» область малыхяркостей и переводящим ее в интервал яркостей, более удобных для зрения.Наглядными примерами, в которых требуется подобное преобразование, служатоперации  коррекции неправильно экспонированных пленок, а так же линеаризациихарактеристик устройств демонстрации изображения, рассмотренные в первомразделе.

Улучшение на основе статистических данных.  Выбор закона преобразования контрастности можночастично автоматизировать, воспользовавшись для подбора его параметровстатистическими    характеристиками изображения (например, средним значениемили дисперсией яркости). Предельным случаем является метод выравниваниягистограмм. В теории информации показано, что равномерная гистограмма соответствуетсообщению с максимальной информацией. Поэтому, если гистограмма квантованногоизображения (дающая число отсчетов, попадающих на каждый из уровнейквантования) после преобразования контраста становится равномерной (т.е. всеуровни квантования проявляются с равной вероятностью), то изображение должносодержать максимальное количество информации. Данный метод обычно даетнаилучшие результаты при квантовании яркостных изображений, гистограммыкоторых, как правило, отличаются  наибольшей неравномерностью [13]. Врезультате можно довольно просто получить значительное улучшение изображения[51].

Оконтуривание (препарирование) изображений.   При   использовании всех рассмотренных методоврешается задача повышения качества

/>

Рис.4.25. Блок-схема устройства отображения, обеспечивающего поточечное улучшение изображении с непосредственным участием оператора.

изображениябез существенного его изменения. Если же цель обработки состоит в том, чтобыоблегчить восприятие определенной информации, то очень часто применяют методыоконтурирования, когда возможно заметное искажение яркостных и (или)пространственных соотношений. Наиболее   распространенным

являетсяметод псевдоцвета, в котором различным яркостям произвольно сопоставляются разныецвета. Демонстрируемое изображение будет содержать отчетливые контуры,проходящие по границам цветных полос. В результате может либо произойти четкоевыделение важных деталей, либо получится обманчивое смешение пятен, скрывающееизображение, либо может образоваться забавная цветная картинка, ничего невыделяющая и ничего не скрывающая. В другом методе производится оконтуриваниеграницами черного и белого цвета путем уменьшения числа уровней квантования(обычно до 10 и менее). Отбрасывание от одного до трех старших разрядов такжесоздает контуры, причем картина, получаемая при выделении деталей такимобразом, может оказаться очень живописной.

Весьма интересными применительно к точечным операциямповышения качества изображений являются последние образцы цифровых устройствотображения информации (рис. 4.25), позволяющие оперативно корректироватьизображение. С помощью быстодействующих постоянных запоминающих устройств(ПЗУ)  удается изменять яркости точек изображения при передаче их из ЗУ наэлектронно-лучевую трубку. Исходное же изображение, записанное на диски, приэтом остается неизменным. Таким образом,  загрузив в ПЗУ различные функции,описывающие закон изменения яркостей, можно очень быстро переходить от одногоспособа преобразования яркости к другому. Нужно видеть такое устройство, чтобыполностью оценить его гибкость в улучшении контрастности, коррекции ошибокэкспонирования, подстановке псевдоцвета и т.д. Подобные цифровые устройстваотображения превращают точечные операции в эффективное и удобное средствоулучшения изображений, обеспечивающее возможность взаимодействия человека смашиной.

Автор хотел бы выразить признательность д-ру Томасу Г.Стокхему мл., который внимательно прочитал рукопись и сделал замечания. Автортакже глубоко благодарен всем, кто оказал любезность, предоставив приведенныевыше снимки: д-ру Вильяму К. Пратту из Университета штата Южная Каролина (рис.4.9 и 4.10 в разделе о сокращении избыточности изображений), д-ру Т. М. Кэннонуиз Лос-Аламосской научной лаборатории (рис. 4.16, а, б и 4.22) д-ру Т.Г.Стокхему (мл.) и д-ру Б. Бекстеру из Университета шт. Юта (рис. 4.23, а, б),а также д-ру Е. Баррету из фирмы ЕСЛ (рис. 4.18, а — в).