Реферат: Теории электрической связи: Расчет приемника, оптимальная фильтрация, эффективное кодирование
Данные к расчетам:
Вид модуляции – ФМ(фазовая модуляция)
Способ приема сигнала –когерентный
Мощность сигнала на выходеприемника (Рс) = 4,2 (В)
Длительность электрическойпосылки (Т) = 15 10-6 (сек.)
Спектральная плотностьпомехи (No) = 1 10-5 (Вт/Гц)
Вероятность передачисигнала “1” Р(1) = 0,90
Число уровней квантования(N) = 128
1. Структурная схема системы связи.
/>
Рис.1.
Источник(передатчик) и получатель (приемник) служат для обмена некоторойинформацией. В одном случае отправителем и получателем информации служитчеловек, в другом случае это может быть компьютер (так называемая телеметрия).При передаче сообщения, сигнал поступает на кодирующее устройство (кодер),в котором происходит преобразование последовательности элементов сообщения внекоторую последовательность кодовых символов. Далее закодированный сигналпроходит через модулятор, в котором первичный (НЧ) сигнал преобразуетсяво вторичный (ВЧ) сигнал, пригодный для передачи по каналу связи на большиерасстояния. Линия связи – это среда, используемая для передачимодулированного сигнала от передатчика к приемнику. Такой средой служат:провод, волновод, эфир). После прохождения по линии связи, сигнал поступает наприемник, в котором происходит обратный процесс. В демодуляторе происходитпреобразование принятого приемником модулированного первичного (ВЧ) сигнала вовторичный (НЧ) сигнал. Далее демодулированный сигнал проходит через декодер, вкотором восстанавливается закодированное сообщение.
Всистемах передачи непрерывных сообщений (аналоговая модуляция) решающая схемаопределяет по вторичному сигналу (ВЧ) наиболее близкий по значению переданныйпервичный сигнал и восстанавливает его.
1.1 Выбор схемы приемника
Система ФМ – являетсяоптимальной, когерентной системой передачи двоичных сигналов. По сравнению С ЧМ– ФМ обеспечивает при одинаковой помехоустойчивости двойной выигрыш по полосечастот и по мощности, занимаемой передаваемым сигналом.
Так как при ФМ необходимо получать информацию офазе принимаемого сигнала, то при этом приеме в обязательном порядке используютметод когерентного приема.
/>
Рис.2
Ф – полосовой фильтр;
ФД – фазовый детектор;
Г – гетеродин;
ФНЧ - фильтр нижней частоты;
РУ - решающее устройство;
СУ – сравнивающее устройство;
ПЗ – полоса задержки.
Всигналах с фазовой манипуляций (ФМ) знак выходного напряжения определяетсяфазой принятого сигнала в фазовом детекторе ФД. Подвоздействием помехи полярность напряжения может измениться на противоположную,что приводит к ошибке. Это может произойти в том случае, если помеха изменитрезультирующего колебания относительно ее номинального значения на угол,лежащий в интервале от />до />. При оптимальном приеме ФМсигналов в присутствии гауссовых помех предварительная фильтрация сигналов дофазового детектора не является обязательной, однако в реальных приемниках дляподавления помех других видов обычно используют полосовые фильтры Фс полосой пропускания />. ГетеродинГ вырабатывает опорный сигнал, частота и фаза колебаний которогополностью совпадает с частотой и фазой одного из сигналов фазового детектора.При когерентном приеме сравниваются не фазы, а полярности посылок, полученныхна выходе ФД. Для сравнения полярностей посылок используются цепь задержки и сравнивающееустройство СУ, на выходе которого образуется положительноенапряжение, если предыдущая и настоящая посылки имеют одинаковую полярность иодинаковое напряжение, когда полярности соседних посылок различные. Вприведенной схеме колебания гетеродина синхронизируются по фазе принимаемымсигналом при помощи системы синхронизации. Фаза колебаний гетеродина такженеоднозначна и имеет два устойчивых состояния 00и 1800,в отличии от схемы с ФМ, переход фазы под воздействием помех из одногосостояния в другое не приводит к обратной работе.
Полосапропускания канальных фильтров: /> ; (1) />
Определимвероятность ошибки на выходе ФМ приемника, при когерентном приеме сигнала.
/> (2)
гдеq – отношение сигал/шум, вычисляется по следующей формуле:
/> (3)
Pc– мощность приходящего сигнала;
/> -полоса пропускания канальных фильтров;
N0– спектральная плотность помехи.
Вданном случае присутствует аддитивная помеха (Белый шум с гауссовским закономраспределения).
/>;/>.
Вформуле (1) присутствует функция Крампа, выражающей интеграл вероятности(табличное значение). [4].
Находимаргумент функции: />; />
Изтаблицы, приведенной в [4] находим, что значение функции крампа при данномаргументе />.
Далееподставим найденные значения в формулу (1), в результате получим:
/>; />
Построим график зависимости вероятности ошибки от мощностисигнала.
Рис.3
Изприведенного выше графика можно сделать вывод, что с ростом мощности сигнала,вероятность ошибки уменьшается по экспоненциальному закону.
2. Сравнение выбранной схемы приемника с идеальнымприемником Котельникова
Обычно приемник получает на вход смесь передаваемогосигнала S(t) и помехи n(t). x(t)=S(t)+n(t). Как правило передаваемыйсигнал S(t) – это сложное колебание, которое содержит кроме времени, множестводругих параметров (амплитуду, фазу, частоту и т.д.), т.е. сигналS(t)=f(a,b,c,…t).Для передачи информации используется один, или группа этихпараметров, и для приемника задача состоит в определении значений этихпараметров в условиях мешающего действия помех.Если поставленная задачарешается наилучшим образом, по сравнению с другими приемниками, то такойприемник можно назвать приемником, обеспечивающим потенциальнуюпомехоустойчивость (идеальный приемник).
Схема идеальногоприемника
/>
Рис 4
Данный приемник содержит двагенератора опорных сигналов S1(t) и S2(t), которыевырабатывают такие-же сигналы, которые могут поступать на вход приемника, атакже два квадратора и два интегратора и схему сравнения, которая выполняетфункции распознавания и выбора, формируя на выходе сигналы S1 и S2.Т.к. данная схема идеального приемника, является приемником Котельникова, токак и многие другие приемники дискретных сигналов, она выдает на выходесигналы, отличные от передаваемых. Для решения этой задачи, в схему включенывыравнивающие устройства.
Как правило способ передачиинформации (кодирование и модуляция) задан и задача сводится к поискуоптимальной помехоустойчивости, которую обеспечивают различные способыприема.
Под помехоустойчивостью системысвязи подразумевается способность системы восстанавливать сигналы с заданнойдостоверностью. Предельно допустимая помехоустойчивость называетсяпотенциальной. Сравнение потенциальной и реальной помехоустойчивости позволяетдать оценку качества приема данного устройства и найти еще не использованныересурсы. Сведения о потенциальной помехоустойчивостиприемника при различных способах передачи позволяют сравнить эти способы междусобой и найти наиболее совершенные.
2.1.Рассмотрим и сравним амплитудную, частотную и фазовую (дискретные) модуляции.
ДИСКРЕТНАЯ АМПЛМТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ (ДАМ).
Сигнал, поступающий на вход приемника (ДАМ)имеет следующий вид:
/>
Вероятность ошибки зависит не от отношения мощностисигнала к мощности ошибки, а от отношения энергии сигнала к спектральнойплотности помехи.
/>(Eэ– равна энергии первого сигнала)
тогда аргумент функции Крампа Ф(x) равна />, подставляя это выражение вформулу вероятности ошибки получим:
/> -вероятность ошибки для ДАМ. (4)
/> S1
ДАМ рис. 5
S2
На рис.5 представлена векторная диаграмма для ДАМ из неевидно, что расстояние между векторами S1и S2равно длине вектора S1.
ДИСКРЕТНАЯ ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ (ДЧМ).
Сигнал, поступающий на вход приемника, при данном видемодуляции имеет вид:
/>
При частотной модуляции сигналы S1(t) иS2(t) являются взаимоортогональными, в связи с этим функциявзаимной корреляции равна нулю. И так как амплитуды сигналов S1(t)иS2(t) равны, то Е1=Е2. Врезультате чего Еэ=2Е1, а аргумент функции Крампабудет равен: h0.
Поэтому подставляя эту величину в формулу вероятностиполучим:/> - вероятность ошибки, приДЧМ. (5)
/>/> S1
ДЧМ /> рис.6
/>
0 S2
На рис.6 представлена векторная диаграмма ДЧМ, на которойможно заметить, что расстояние между векторами (взаимоортогональные сигналы)равно />. Заметим, что по сравнениюс ДАМ, мы получаем двойной выигрыш по мощности.
ДИСКРЕТНАЯ ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ (ДФМ).
При ДФМ сигнал, поступающий на вход приемника имеетследующий вид:
/>
В данном случае аргумент функции Крампа будет равен: />
Поэтому подставляя эту величину в формулу вероятностиошибки получим:
/> (6)
/> S1
/>/> ДФМ 0 рис.7
S2
Из приведенной векторнойдиаграммы видно, что расстояние между векторами сигналов равно 2S1.Энергия пропорциональна квадрату разности сигналов.
Заметим, что по сравнению с ДАМ мы получим четырехкратныйвыигрыш по мощности.
Следует уточнить, что приведенные данные оэнергии сигналов ДАМ, ДЧМ и ДФМ относятся к пиковым мощностям этих сигналов. Вэтом смысле при переходе от ДЧМ к ДАМ мы имеем двукратный выигрыш в пиковоймощности, однако при ДАМ сигналы имеют пассивную паузу, т.е. мощность сигналовв паузе равна нулю, поэтому по потребляемой передатчиком мощности, кроме проигрышапо мощности, имеется еще и двукратный выигрыш. С учетом этого, при переходе отДЧМ к ДАМ проигрыш по мощности компенсируется двукратным выигрышем за счетпассивной паузы ДАМ, в результате чего по потребляемой мощности эти сигналыоказываются равноценными, однако при ДАМ трудно установить необходимый порог всравнивающем устройстве, а при приеме сигналов ДЧМ регулировка порога нетребуется, в связи с этим свойством ДЧМ применяется чаще, чем ЧАМ.
Вероятность ошибки зависит от вероятности некорректногоприема сигналов S1иS2, но при примененииприемника Котельникова предполагается что канал связи – симметричный, т.е.совместные вероятности передачи и приема сигналов
S1иS2 равны. Исходяиз этого запишем формулу вероятности ошибки: /> (7)
Возьмем формулу 7 за основу для определении вероятностиошибки в приемнике Котельникова.
Предположим, что нам известно, что на входприемника поступает сигнал S1(t). в этом случае используяправило приемника Котельникова, в котором должно выполняться следующеенеравенство:
/> (8)
При сильной помехе знак неравенства может измениться напротивоположный, в результате чего вместо сигнала S1(t) на входможет поступить сигнал S2(t), т.е. произойдет ошибка. Поэтомувероятность ошибки можно рассматривать, как вероятность изменения знаканеравенства (8). Подставляя вместо x(t)=S1(t)+n(t). Преобразовываяполучаем:
/> (8)
Вероятность ошибки в приемнике Котельникова, выраженная,через эквивалентную энергию Еэ, которая представляет собойразность сигналов S1(t) иS2(t) и будетопределяться формулой:
/>
Формулы вероятности ошибки для ДАМ, ДЧМ и ДФМ. Приведенысоответственно: 6, 5, 4.
2.1.2. Преобразованиеприемника Котельникова применительно к фазовой модуляции.
Приемник Котельникова, являющийся идеальным иобеспечивающий оптимальную помехоустойчивость использует для приема ираспознавания информации, передаваемой по каналу связи все параметры передаваемогосигнала (фаза, частота, амплитуда), кроме того в приемнике Котельникова, вотличии от реального приемника отсутствуют фильтры на входе, обеспечивающиефильтрацию помех. Схема приемника Котельникова приведена на рис. . Вкачестве опорного генератора применим фазовый опорный гетеродин. Схемапреобразованного приемника приведена на рис.8.
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> /> /> />/>/>/>/>/>
/>
Рис.8
Вычислим отношение энергии сигнала Е к спектральнойплотности N0.
Энергия сигнала при фазовой модуляции вычисляется поформуле:
Eэ=Pc T (2.1.)
/> />
, откуда отношение энергии к спектральной плотностисигнала будет равно:
/>; />
Найдем вероятность ошибки в приемнике Котельникова,применительно к фазовой модуляции.
/>;(2.2.) />; />.
Из сравнения потенциальнойпомехоустойчивости приемника Котельникова с потенциальной помехоустойчивостьюкогерентного приемника с фазовой модуляцией, можно сделать вывод, чтопомехоустойчивость приемника, использующего в качестве информационногопараметра фазу, почти приближена к вероятности ошибки приемника Котельникова.
3. Оптимальная фильтрация.
Отметим, что оптимальный приемник, являетсякорреляционным, сигнал на его выходе представляет собой функцию корреляциипринимаемого и ожидаемого сигналов, благодаря чему обеспечиваетсямаксимально-возможное отношение сигнал/шум.
Так как определение функции корреляции являетсялинейной, то её можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристикикоторого являются такими, что отношение сигнал/шум на его выходе получаетсямаксимальным. Задача оптимальной фильтрации непрерывного сигнала ставится так, чтобыобработав принятый сигнал, получить на выходе приемника сигнал, наименееотличающийся от переданного сигнала. Решение этой задачи основывается на трехосновных предположениях:
1. СигналS(t) и помеха w(t) представляют собой стационарные случайные процессы;
2. Операцияфильтрации предполагается линейной;
3. Критериемоптимальности считается минимум среднеквадратичной ошибки.
Рассмотрим задачу синтезафильтров, которые используются в схемах обнаружения и различения дискретныхсигналов. Как правило эти фильтры ставятся перед решающим устройством, задачакоторого – вынести решение в пользу того или иного сигнала. Нужно отметитьважное обстоятельство, что при приеме дискретных сигналов нет необходимостизаботиться о сохранении формы сигнала. Основная задача – обеспечить минимумошибочных решений при приеме сигналов. Очевидно, что вероятность ошибочногоприема будет уменьшаться. Поэтому при синтезе фильтров для дискретных сигналовиспользуется критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе фильтра.Фильтры, удовлетворяющие данному критерию могут называться оптимальнымифильтрами, или фильтрами, максимизирующими отношение сигнал/шум.
На вход фильтра с передаточной функцией K(jw)подается смесь сигнала S(t) и помехи n(t). Полагаем сигнал полностью известным,неизвестным считается лишь факт его присутствия. Известны также статистическиехарактеристики шума (помехи). Требуется синтезировать такой фильтр (т.е. Копт(jw)),который обеспечивал бы на выходе в заданный момент времени (момент принятиярешения) t0наибольшее отношение пикового значения сигнала y(t0)к среднеквадратичному шуму sn:
/> (3.1.)
Рассмотрим случай, когда шум на входе фильтра имеетравномерный энергетический спектр G(w)=n02(белый шум). Сигнал может быть задан своей временной функцией S(t) иликомплексным спектром.
/>
комплексный коэффициент передачи фильтра представим вформе:
/>
тогда для сигнала и дисперсии шума на выходе фильтраможно записать:
/> (3.2.)
/> (3.3.)
Примем t0 – как некоторый фиксированныймомент времени, при котором амплитуда на выходе фильтра достигает своегомаксимального значения. Для этого значения времени получим:
/> (3.4.)
отношение квадрата пикового значения сигнала к дисперсиишума в момент времени t0 будет равно:
/> (3.5.)
Дальше задача сводиться к отысканию коэффициента передачиKопт(jw), обеспечивающего максимум значения h2.Для этого можно воспользоваться неравенством Шварца-Буняковского длякомплексных функций.
/> (3.6.)
данное неравенство превращается в равенство только приусловии:
/>, где а– некоторая постоянная. (3.7.)
Подставляя неравенство (3.6.) в (3.7.), замечаем, чтомаксимум величины h2 обеспечивается при выполнении условия:
/> (3.8.)
из последнего выражения получим:
K(w)=aS(w), jK(w)+jS(w)+wt0=0
Откуда находим:
jK(w)+jS(w)+wt0=0
jK(w)=-jS(w)-wt0.
Таким образом, передаточная функция оптимального фильтрадолжна определяться выражением:
/> (3.9.),где * обозначает комплексно-сопряженную величину. Тогда отношение сигнал/шум вмомент времени t0 будет равно:
/>, где E– энергия сигнала на входе фильтра. Величина hm2определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы.
Пояснения кполученным результатам.
АЧХ оптимального фильтра отличается постоянныммножителем от амплитудного спектра сигнала, поэтому оптимальный фильтрпропускает различные частотные составляющие сигнала неравномерно с тем большимослаблением, чем меньше интенсивность этих составляющих, в результате полнаямощность шума на выходе фильтра получается меньшей, чем при равномерной АЧХ.
Заметим, что член выражения wt0дляфазовой характеристики означает сдвиг во времени на величину t0всех частотных составляющих сигнала. Приведенные равенства означают, что вмомент времени t0 все спектральные составляющие сигналафильтра имеют одну и ту же начальную фазу. Оптимальный фильтр обеспечиваеткомпенсацию начальных фаз составляющих сигнала. Складываясь в фазе,спектральные составляющие сигнала образуют в момент времени t0пиковый выброс выходного сигнала. На составляющие шума, имеющие случайныеначальные фазы, оптимальный фильтр таково влияния не оказывает.
Вследствие этих двух причин оптимальный фильтробеспечивает максимум пикового напряжения сигнала к среднеквадратичномузначению шума.
Так как частотные характеристики оптимальногофильтра, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум, полностью определяютсяспектром (т.е. формой) сигнала, то говорят, что они согласованы ссигналом, а такой фильтр называют согласованным для данного сигнала. Следуетотметить, что оптимальный фильтр для сигнала S(t) будет являтьсяоптимальным и для всех сигналов той же формы, но отличающихся от негоамплитудой, временным положением и начальной фазой заполнения (длярадиоимпульсов).
Полученные выше результаты относятся к случаюприема сигналов с белым шумом. Рассматривая более общий случай, когда шум имеетнеравномерную спектральную плотность Gn(w), можно показать,что передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением
/> (3.10.)
Оптимальный фильтр в этом случае можно представить в видепоследовательного соединения двух фильтров. Первый из них имеетамплитудно-частотную характеристику />, егоназначение – “обелить” шум, который поступает на вход фильтра. Второй фильтр спередаточной характеристикой K2(jw) является оптимальным дляискаженного сигнала (после первого фильтра), но уже при белом шуме.
Здесь интересно отметить следующееобстоятельство.Если квадрат амплитудно-частотного спектра сигнала совпадает поформе со спектральной плотностью шума, т.е. />,то АЧХ оптимального фильтра должна быть равномерной (K(w)=K=const).
Определим импульсную переходную функциюсогласованного фильтра. Импульсной переходной функцией называется отклик цепина короткий импульс (дельта-функция). Она связана с передаточнойхарактеристикой преобразование Фурье:
/> (3.11.)
Так как для согласованного фильтра />, то для g(t) получим
/> (3.12)
Таким образом, импульсная переходная функциясогласованного фильтра для сигнала S(t) отличается от временной функции,описывающей этот сигнал, только постоянным множителем, смещением во времени навеличину t0 и знаком аргумента t. Другими словами, импульснаяпереходная функция согласованного фильтра является зеркальным отражениемвременной функции сигнала, сдвинутым на величину t0.
/> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> />Величина t0 выбирается из условияфизической реализуемости фильтра, согласно которому отклик цепи не можетопережать воздействие. Если на вход фильтра подается дельта-функция в моментвремени t=0, то отклик (импульсная реакция) фильтра может появиться лишьпри t>0. Только при выполнении этого условия может быть использованався энергия сигнала для создания пикового выброса в момент времени t=t0.Обычно выбирают t0=T. Можно сделать вывод, что согласованиесигналов возможно лишь для сигналов конечной длительности, т.е. импульсныхсигналов.
4. Передача аналоговых сигналов методом ИКМ.
Согласно теореме отсчетов непрерывный сигналможно передавать мгновенными значениями этого сигнала (отсчетами), следующими сопределенной частотой повторения. Последняя должна быть больше не менее, чем в2 раза передаваемой частоты входного сигнала. Такое представление сигала вовремени называется дискретизацией.
Информация о мгновенном значении входногонепрерывного сигнала может быть передана в сторону приемника непосредственно вформе отсчетов – амплитудно-модулированных импульсов, взятых в определенныевременные моменты, причем длительность импульсов, как правило очень мала посравнению с периодом их повторения. В интервалах между двумя соседнимиотсчетами одного сигнала последовательно во времени можно разместить отсчетыдругих передаваемых сигналов, а на приемной стороне эти отсчеты распределитьмежду каналами.
В основе амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) лежитпередача сигналов в виде импульсов, промодулированных по амплитуде. Подвлиянием помех, возникающих в тракте передачи, происходят случайные измененияформы и амплитуды передаваемых импульсов, что при восстановлении исходногонепрерывного сигнала проявляется в виде дополнительного шума. Физическиуменьшение этого шума возможно лишь за счет снижения уровня помех в трактепередачи, что практически приводит к уменьшению дальности связи.
Изменение амплитуды однако можно передавать ввиде изменения длительности импульсов. Амплитуда широтно-модулированныхимпульсов (ШИМ) постоянно, при этом удается снизить влияние внешних помех припередаче импульсов, что дает возможность значительно увеличить дальность связи.
Передача информации путем изменения положенияимпульса постоянной амплитуды и длительности лежит в основе время-импульсноймодуляции (ВИМ).
/>
Описанные виды импульсной модуляции (АИМ, ШИМ,ВИМ) соотносятся как обычные (АМ, ЧМ, ФМ) и являются аналоговыми методамиимпульсной модуляции, общим недостатком которых являются жесткие требования кпараметрам линии связи, т.к. помехи, которые накладываются на передаваемыймодулированный импульс, изменяют его форму, что в приемнике отражается как дополнительныйшум. Этот шум значительно увеличивается при передаче информации на большиерасстояния, т.к. искажения импульсов отдельных участков складываются.Технические ограничения, накладываемые на приведенные выше способы импульсной модуляции вели к дальнейшему поиску способов, при которых для передачиинформации можно было полностью перейти к чисто цифровой форме сигнала,передаваемого по тракту передачи. Результатом этого поиска явиласьимпульсно-кодовая модуляция (ИКМ).
4.1. ПринципИКМ.
Входной непрерывный сигнал x=f(t)дисккретизируется в соответствии с теоремой отсчетов, а амплитуда АИМимпульсов, отображающая мгновенное значение входного сигнала в моментдискретизации, преобразуется кодером в двоичные числа. Так как число символов nв двоичном числе, отражающем амплитуду импульса, ограничено, то ограничено ичисло цифр, позволяющих обозначить амплитуду соответствующего импульса. Поэтомукодер не может в большинстве случаев точно закодировать амплитуду импульсов, апроизводит “округление” до ближайшей нормированной амплитуды, которая можетбыть передана двоичным числом с ограниченным количеством разрядов. Отсюдаследует, что кодер должен последовательно переводить непрерывно изменяющиесяамплитуды АИМ импульсов в квантованные по уровню АИМ импульсы и кодировать,т.е. выражать их через дискретно-квантованные по уровню величины в двоичномкоде. Группа двоичных символов, которая используется для передачи однойдискретно-квантованной амплитуды, называется кодовой группой (кодовое слово).Число уровней квантования в кодовой группе с количеством разрядов nравно:
N=2n
, тогда число разрядов, при известном количестве уровнейквантования будет равно: />, при N=128 />.
Дискретизациясигнала.
Дискретизация – первый шаг припреобразовании аналогового сигнала в цифровую форму. На входе декодера онапоявляется в виде АИМ импульсов, поступающих на выход через фильтр нижнихчастот.
Форма амплитудно-модулированных импульсов можетбыть различной и зависит от схемы дискретизатора и способов кодирования идекодирования. При передаче необходимо получать как можно более узкие импульсыотсчетов, чтобы в интервалах между ними разместить отсчеты сигналов остальныхканалов система, а при приеме, наоборот, как можно более широкие импульсыотсчетов, так как мощность низкочастотного сигнала на входе приемника зависитот энергии импульсов отсчетов, восстановленных на выходе декодера.сигнал навыходе АИМ ключа – самая простая форма дискретизированного сигнала, у котороговершины импульсов повторяют форму исходного непрерывного сигнала.
Передача аналоговых сигналов цифровыми методамисопровождается шумом квантования, возникающим из-за делениядинамическогодиапазона кодека на конечное число дискретных величин (ступенейквантования).
Предположим, что весь динамический диапазон кодера y1,y2,…,yk,…yN-1,yN… разделен на N одинаковых ступенейквантования D. В центре каждойступени расположен уровень, значение которого или его порядковый номер. Кодер впроцессе кодирования может выразить двоичным числом. Обозначим эти уровниквантования через y1, y2, …,yk, …, yN.Далее предположим, что максимальное значение непрерывного входного сигнала x=f(t)не превышает общего динамического диапазона кодера (это предположениеисключает дополнительные шумы из-за ограничения сигналов) и в каждый момент tiдостигает xi=f(t). При выполнении операции квантованиявозникает ошибка квантования di=xi-yk,где yk – ближайший уровень квантования.
Качество передачи в системах с ИКМ оцениваетсяотношением мощности сигнала к мощности шума квантования, дБ
/> (4.2.1.)
качество повышается при увеличении шагов квантования.
Мощность шума квантования можно найти из выражения:
Pкв=D2/12,где D — ступени квантования. D=128, тогда /> Ркв=1365
Вычислим отношение мощности сигнала к мощности шумаквантования.
/>дБ.
Сравнение аналоговых импульсных видов модуляции(АИМ, ШИМ, ВИМ) с ИКМ позволяет сделать следующие выводы:
- Информация о мгновенных параметрах входного непрерывного сигнала прианалоговых импульсных видах модуляции передается при непрерывном изменениианалоговых величин (амплитуды, длительности, временного положения) импульса.Длительность действия систем передачи с этими видами модуляции, как правило,ограничена искажениями, возникающими в процессе передачи, главной причинойкоторых является чувствительность передаваемого сигнала к внешним помехам;
- Информация о мгновенных параметрах непрерывного сигнала в системах с ИКМпередается в виде двоичных чисел (кодовых групп), представленныхпоследовательностью импульсов одинаковой формы и амплитуды. Так как искаженияэтих импульсов при условии безошибочной регенерации не влияют на качествопередачи и их сравнительно легко регенерировать, то практически можно достичьнезависимости качества передачи входного непрерывного сигнала от дальностисвязи. Необходимо помнить, что при ограничении числа уровней квантованиявходного непрерывного сигнала появляется дополнительный шум. Кроме того,цифровые системы передачи по сравнению с аналоговыми занимают более широкуюполосу частот, что объясняется заменой аналогового сигнала группой импульсов.
5. Статистическое (эффективное) кодирование.
Для дискретных каналов без помех К.Шеннономбыла доказана следующая теорема: если производительность источника RИ<C-e, где e — сколь угодно малая величина, то всегда существует способкодирования, позволяющий передавать по каналу все сообщения источника. Передачувсех сообщений при RИ>C осуществить невозможно.
Для рационального использования пропускнойспособности канала необходимо применять соответствующие способы кодированиясообщений. Статическим или оптимальным называется кодирование, при которомпропускная способность канала связи без помех используется наилучшим образом.При оптимальном кодировании фактическая скорость передачи сообщений по каналу Rприближается к пропускной способности С, что достигается путем согласованияисточника с каналом. Сообщения источника кодируются таким образом, чтобы они внаибольшей степени соответствовали ограничениям, которые накладываются насигналы, передаваемые по каналу связи. Поэтому структура оптимального кодазависит как от статистических характеристик источника, так и от особенностейканала.
Кодирование с исправлением ошибок (помехоустойчивоекодирование), по существу, представляет собой метод обработки сигналов,предназначенный для увеличения надежности передачи по цифровым каналам. хотяразличные схемы кодирования очень непохожи друг на друга и основаны наразличных математических теориях, всем им присущи два общих свойства. Одно изних – избыточность. Закодированные цифровые сообщения всегда содержатдополнительные, или избыточные символы. Эти символы используют для того,чтобы подчеркнуть индивидуальность каждого сообщения. Из приведенной вышеинформации можно сделать вывод, что помехоустойчивое кодирование, проигрываетпо скорости передачи с оптимальным кодированием из-за избыточности кода, сдругой стороны оптимальное кодирование применимо лишь в каналах, в которыхвлияние помех незначительно.
Количество информации
Всякая система связи строится для передачисообщений от источников к потребителю. При этом каждое сообщение имеет своесодержание и определенную ценность для потребителя. Однако для канала связисущественным является лишь тот факт, что в передаваемом сообщении содержитсякакое-то количество информации.
Информация представляет собойсовокупность сведений, которые увеличивают знания потребителя о том или иномобъекте, от которого получены эти сведения.
Для того, чтобы иметь возможность сравниватьразличные каналы связи, необходимо иметь некоторую количественную меру,позволяющую оценить содержащуюся в передаваемом сообщении информацию. Такаямера в виде количества передаваемой информации была введена К.Шенноном.
В реальных источниках сообщений выборэлементарного сообщения является для потребителя случайным событием ипроисходит с некоторой априорной вероятностью P(xk). Очевидно, чтоколичество информации, содержащееся в сообщениях xK, должно являтьсянекоторой функцией этой вероятности
/> (5.1.1)
Функция j приэтом удовлетворять требованию аддитивности, согласно которому n одинаковыхсообщений должны содержать в n раз большее количество информации. Для измеренияколичества информации принято использовать логарифмическую функцию, практическинаиболее удобную и отвечающую требованию аддитивности.
/> (5.1.2.)
Таким образом, определение количества информации вэлементарном сообщении xK сводится к вычислению логарифмавероятности появления (выбора) этого сообщения.
В технике связи наиболее часто используютсядвоичные коды. В этом случае за единицу информации удобно принять количествоинформации, содержащееся в сообщении, вероятность выбора которого равна />. Эта единица информацииназывается двоичной или битом.
В некоторых случаях более удобным являетсянатуральный логарифм. Одна натуральная единица соответствует количествуинформации, которое содержится в сообщении с вероятностью выбора />.
/>
Из формулы следует, что сообщение содержит тем большееколичество информации, чем меньше вероятность его появления.
Энтропия источника сообщений.
В теории связи основное значение имеет неколичество информации, содержащееся в отдельном сообщении, а среднее количествоинформации, создаваемое источником сообщений. Среднее значение(математическое ожидание) количества информации, приходящееся на одноэлементарное сообщение, называется энтропией источника сообщений.
/> /> (5.2.1.)
Как видно из формулы, энтропия источникаопределяется распределением вероятностей выбора элементарных сообщений из общейсовокупности. Обычно отмечают, что энтропия характеризует источник с точкизрения неопределенности выбора того или иного сообщения. Энтропия всегдавеличина вещественная, ограниченная и неотрицательная: H(x)>0.
Найдем энтропию источника сообщений:
m-объем алфавита дискретного источника = 2;
вероятность приема “1” (Р(1)) = 0,9;
вероятность приема “0” (Р(0)) = 0,1.
Для вычисления энтропии воспользуемсяформулой .
/>
Производительность источника сообщений.
Отдельные элементы сообщения на входе источникапоявляются через некоторые интервалы времени, что позволяет говорить одлительности элементов сообщения и, следовательно, о производительностиисточника сообщений. Если средняя длительность одного элемента сообщения равна />, то производительностьисточника, равная среднему количеству информации, передаваемой в единицувремени, определяется выражением:
/>; (5.3.1.)
воспользуемся данной формулой для вычисленияпроизводительности источника.
/>; />/>
5.1.Статистическое кодирование элементов сообщения
Осуществим статистическое кодированиетрехбуквенных комбинаций, состоящих из элементов двоичного кода 1 и 0:000,001,010,011,100,101,110,111. Для кодирования воспользуемся алгоритмомнеравномерного кодирования Хаффмана. Для этого вычислим вероятности этихкомбинаций и расположим их в порядке убывания вероятностей.
СимволыZ1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
Z8
Кодовые комбинации 111 110 101 011 100 010 001 000 Вероятности 0,729 0,081 0,081 0,081 0,009 0,009 0,009 0,001Составим сводную таблицу ветвления кодовых комбинаций.
Табл.1.
Символ и нач. вероятность 1 2 3 4 5 6 7Z1
0.729 0.729 0.729 0.729 0.729 0.729 0.729 1Z2
0.081 0.081 0.081 0.081 0.109 0.162 0.271Z3
0.081 0.081 0.081 0.081 0.081 0.109Z4
0.081 0.081 0.081 0.081 0.081Z5
0.009 0.01 0.018 0.028Z6
0.009 0.009 0.01Z7
0.009 0.009Z8
0.001Согласно таблице 1 составляем граф кодового дерева, източки · с вероятностью 1 направляем двеветви с большей вероятностью – влево, с меньшей – вправо. Такое ветвлениепродолжаем до тех пор, пока не дойдем до вероятности р каждой буквы.
Составим графкодового дерева.
/>
Рис. 7
На основании графа кодового дерева выписываем кодовыекомбинации.
СимволыZ1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
Z8
Кодовые комбинации 1 011 010 001 00011 00010 00001 00000Определяем среднюю длину полученных кодовых комбинаций:
/>
Полученные комбинации кода фактически содержатинформацию о трех элементах сигнала, поэтому разделив /> на 3 получим среднюю длинуновых комбинаций в расчете на одну букву первоначального двоичного кода.
/>
в результате получили среднюю скорость, меньше t. Это и есть эффект статистическогокодирования.
Найдем производительность источника после кодирования.
/>
это позволило получить выигрыш производительностиисточника 0,533 раза.
5.2. Пропускная способность канала связи.
Характеристики системы связи в значительноймере зависят от параметров канала вязи, который используется для передачисообщений. Исследуя пропускную способность канала мы предполагали, что ихпараметры сохраняются постоянными. Однако большинство реальных каналов обладаютпеременными параметрами. Параметры канала, как правило изменяются во временислучайным образом. Случайные изменения коэффициента передачи канала m вызывают замирания сигнала, чтоэквивалентно воздействию мультипликативной помехи
Однородный симметричный канал связи полностьюопределяется алфавитом передаваемого сообщения, скоростью передачи элементовсообщения u и вероятностью ошибочногоприема элемента сообщения р (вероятностью ошибки).
Пропускная способность канала будет вычисляться поформуле:
/> (5.2.)
в частном случае для двоичного канала (m=2) получимформулу:
/>, где р=0,003, t=15 10-6
/>
Сравнивая пропускнуюспособность канала связи и производительность источника (после оптимальногокодирования) можем сделать вывод, что условие К.Шеннона выполняется, т.е.производительность источника меньше пропускной способности канала, что позволитнам передавать информацию по данному каналу связи. Для некодированногоисточника это условие выполняется также, т.к. производительностьнекодированного источника меньше производительности оптимально закодированногоисточника.
6. Помехоустойчивое кодирование.
При передаче цифровых данных по каналу с шумомвсегда существует вероятность того, что принятые данные будут содержатьнекоторый уровень частоты появления ошибок. Получатель как правило устанавливаетнекоторый уровень частоты появления ошибок, при превышении которого принятыеданные использовать нельзя. Если частота ошибок в принимаемых данных превышаетдопустимый уровень, то можно использовать кодирование с исправлением ошибок.,которое позволяет уменьшить частоту ошибок до приемлемой.
Кодирование с обнаружением и исправлениемошибок как правило связано с понятием избыточности кода, что приводит вконечном итоге к снижению скорости передачи информационного потока по трактусвязи. Избыточность заключается в том, что цифровые сообщения содержатдополнительные символы, обеспечивающие индивидуальность каждого кодового слова.Вторым свойством связанным с помехоустойчивым кодированием является усреднениешума. Этот эффект заключается в том, что избыточные символы зависят отнескольких информационных символов.
При увеличении длинны кодового блока (т.е.количества избыточных символов) доля ошибочных символов в блоке стремиться ксредней частоте ошибок в канале. Обрабатывая символы блоками, а не одного за другимможно добиться снижения общей частоты ошибок и при фиксированной вероятностиошибки блока долю ошибок, которые нужно исправлять.
Все известные в настоящее время коды могут бытьразделены на две большие группы: блочные и непрерывные. Блочныекоды характеризуются тем, что последовательность передаваемых символовразделена на блоки. Операции кодирования и декодирования в каждом блокепроизводится отдельно. Непрерывные коды характеризуются тем, что первичнаяпоследовательность символов, несущих информацию, непрерывно преобразуется поопределенному закону в другую последовательность, содержащую избыточное числосимволов. При этом процессы кодирования и декодирования не требует делениякодовых символов на блоки.
Разновидностями как блочных, так и непрерывныхкодов являются разделимые ( с возможностью выделения информационных иконтрольных символов) и неразделимые коды. Наиболее многочисленным классомразделимых кодов составляют линейные коды. Их особенность состоит в том, чтоконтрольные символы образуются как линейные комбинации информационных символов.
6.1. Принципобнаружения и исправления ошибок.
Корректирующие коды строятся так, чтобыколичество комбинаций М превышало число сообщений М0источника.Однако в этом случае используется лишь М0комбинаций источника изобщего числа для передачи информации. Такие комбинации называются разрешенными,а остальные – запрещенными М-М0. Приемнику известны всеразрешенные и запрещенные комбинации, поэтому, если при приеме некоторогоразрешенного сообщения в результате ошибки это сообщение попадает в разрядзапрещенных, то такая ошибка будет обнаружена, а при определенных условияхисправлена. Следует заметить, что при ошибке, приводящей к появлению другогоразрешенного сигнала, такая ошибка не обнаружима.
Расстоянием Хемминга d между двумяпоследовательностями называется число позиций, в которых две последовательностиотличаются друг от друга. Наименьшее значение d для всех пар кодовыхпоследовательностей называется кодовым расстоянием.
Ошибка обнаруживается всегда,если её кратность, т.е. число искаженных символов в кодовой комбинации: g<d-1.Если g>d, то некоторые ошибки также обнаруживаются. Однако полнойгарантии обнаружения ошибок нет, т.к. ошибочная комбинация может совпадать скакой-либо разрешенной комбинацией. Минимальное кодовое расстояние, при которомобнаруживаются любые одиночные ошибки, d=2.
Исправление ошибок впроцессе декодирования сводится к определению переданной комбинации поизвестной принятой. Расстояние между переданной разрешенной комбинацией ипринятой запрещенной комбинацией d0равно кратности ошибок g. Еслиошибки в символах комбинации происходят независимо относительно друг друга, товероятность искажения некоторых g символов в n-значной комбинации будет равна:
/>. (6.1.)
6.1. Коды собнаружением ошибок.
Одним из кодов подобного типа является код с четнымчислом единиц. Каждая комбинация этого кода содержит помимо информационныхсимволов – один контрольный, выбираемый равный 0 или 1 так, чтобы суммаколичества единиц в комбинации всегда была четной.
Простейшим примером кода с проверкой начетность является код Бодо, в котором к пятизначным комбинациям информационныхсимволов добавляется шестой контрольный символ: 11001,1; 10001,0. Правиловычисления контрольного символа находится как:
/> (6.1.1.)
откуда вытекает, что для любой комбинации сумма всехсимволов по модулю два будет равна нулю. Это позволяет в декодирующемустройстве сравнительно просто производить обнаружение ошибок путем проверки начетность. Нарушение четности имеет место при появлении однократных,трехкратных и в общем случае нечетной кратности, что и дает возможность ихобнаружить. Появление четных ошибок не изменяет четности суммы, поэтомутакие ошибки не обнаруживаются.
Определим избыточность кода:
k=6 – число символов в помехоустойчивомкоде
n=5 – число символов без избыточности
/>
Далее найдем вероятность необнаруженной кодом ошибки принезависимых однократных ошибках. Для этого найдем число ошибочных комбинаций.
/>
/>
/>
Заключение
В данной работе было рассмотрено:
1. Системакогерентного приемника с ФМ. Рассчитав параметры и сравнив полученные врезультате расчетов данные с другими системами приема сигналов выявленынекоторые преимущества и недостатки данной системы передачи и приемаинформационных сообщений. Также было проведено сравнение с идеальным приемникомКотельникова, обеспечивающим потенциальную помехоустойчивость. Отмечено какможно улучшить характеристики приемника с помощью согласованных фильтров.
2. Передачанепрерывных аналоговых сигналов цифровыми методами. Произведен анализ исравнение дискретных методов (АИМ, ШИМ, ВИМ) с цифровым методом передачинепрерывных аналоговых сигналов ИКМ. Отмечены преимущества цифровых методовпередачи информации по сравнению с аналоговыми.
3. Кодированиесообщений. Сравнивались и определялись характеристики статистического(эффективного кодирования) по сравнению с помехоустойчивым (избыточным)кодированием. Была определена пропускная способность канала связи иустановлено, что данная система является работоспособной (т.е. выполняетсяусловие К.Шеннона).
При рассмотрении передачи иприема сигналов методом ИКМ с кодированием сообщений, можно сделать вывод, чтодля повышения качества получаемых сообщений следует применять помехоустойчивоекодирование. Рассмотренный метод помехоустойчивого кодирования является самымпростейшим. Для более эффективного использования канала связи нужноиспользовать более совершенные алгоритмы кодирования сообщений.
Литература
1. Зюко А.Г.,Коробов Ю.Ф. Теория передачи сигналов – М.Связь 1972.
2. Б.Н.Бондарев,А.А.Макаров “Основы теории передачи сигналов” Новосибирск – 1969 г.
3. Э.Прагер,Б.Шимек, В.П.Дмитриев – “Цифровая техника в связи” – М. Радио и связь.
4. Дж.Кларк, мл., Дж.Кейн “Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи”– М. Радио и связь.
5. В.Н.Кудашов“Методические указания к выполнению курсовой работы по теории передачисигналов” .
6. Конспектлекций.