Реферат: Модель рассеяния электромагнитной волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями

Содержание

        Введение.........................................................................................................

        Основныеуравнения.....................................................................................

        Фурье-компонентырассеянной волны......................................................

        УравненияВиннера-Хопфа..........................................................................

        Приближенныерешения..............................................................................

        Примеры расчетови примеры экспериментов.........................................

       Заключение....................................................................................................

МОДЕЛЬРАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМИЗ ДИЭЛЕКТИКА С ПОТЕРЯМИ.

 ВВЕДЕНИЕ.

В настоящей статьеизучается задача рассеяния плоской волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями,причем считается, что размеры параллелепипеда сравнительно больше по отношениюк длине волны. При исследовании используется метод Виннера-Хопфа. А именно,посредством обобщения решения задачи для полубесконечного тела, полученного вработе Джоунса, попытаемся распространить результаты для полубесконечныхпластин из диэлектрика с большим потерями так же, как было получено решение дляпараллелепипеда из проводника. Само собой разумеется, что полученные результатысовпадают с решением для случая идеального проводника, если считать удельнуюэлектрическую проводимость бесконечно большой. В качестве характернойособенности предлагаемого метода, по-видимому, можно указать на то, что этотметод, так же как и метод  в случае параллелепипеда из проводника, оказываетсячрезвычайно эффективным в применении к телам с поперечным сечением в видепродолговатого прямоугольника, большая сторона которого сравнительно велика поотношению к длине волны. Конечно, в случае больших размеров тел приближениегеометрической оптики и приближение физической оптики могут практическиприменяться в качестве наиболее простых методов, однако, для того, чтобы знатьв каком диапазоне размеров эти приближения являются верными, необходимовыполнить точные расчеты и провести эксперименты. В данной работе приводятсятакже и результаты модельных экспериментов, в которых использовались микроволны;проведено сравнительное изучение с результатами расчетов. Что касается среды сбольшими потерями, то в параллелепипеде закреплялся бетон, а в качествепроводника использовалась алюминиевая пластина, изготовленная в виде параллелепипеда.

      На рис.1представлено схематическое изображение параллелепипеда и геометрические данныерассматриваемой задачи. В данном случае исследуется задача рассеяния(двухмерная) плоской волны (Е-волны), падающей на параллелепипед из диэлектрикас большими потерями под углом q к оси х. Ширина параллелепипеда равна 2а,толщина — 2b. Считаем, что изменение во времениописывается фактором />.

P

 

r

 

y

  />                                                                            />/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/>

/>

  /> <td/> <td/> /> /> />/>

Рис.1.Схематическое изображение данных задаче

 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

      Полноеэлектромагнитное поле (t),рассеянная волна (S)и падающая волна (i)связаны следующим соотношением:

                   />                                     (1 )

Считаем, что падающаяплоская волна в рассматриваемой задаче может быть задана в следующем виде:

                 />

         />                                  (2 )

                 />

Здесь: />, /> — диэлектрическаяпроницаемость и магнитная проницаемость в вакууме.

      В силу строениярассеивающего тела (двухмерности задачи) плоскость поляризации неизменна,уравнения Максвелла можно записать в следующем виде:

/>                          (3)

Здесь индекс j=0 относится к волновому уравнению ввакууме, а j=1 — к волновому уравнению в среде спотерями. Кроме того, величины e, s  представляют собой диэлектрическую проницаемость и удельнуюэлектрическую проводимость среды с потерями, /> обозначаеткомплексную относительную диэлектрическую проницаемость.

      Решение уравнений(3) в данной задаче можно отыскивать так, чтобы удовлетворялись следующиеграничные условия:

         (В1)   условияизлучения вовне при  r®  ¥        ;

         (В2) непрерывность />при | y |=b                       ;

         (В3) непрерывность /> при | x |=a, | y |=b   ;

         (В4) непрерывность /> при | y |=b                    ;

    (В5) условия концевой точки при | x |=a, | y |=b .

      При решении задачииспользуется преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, которыеопределяются ниже следующим образом:

/>                             (4)

Здесь контуринтегрирования С в обратном преобразовании представляет собой контуринтегрирования в интеграле с бесконечными пределами, находящийся в общейобласти Д¢,которая может быть получена на основании предположения о том, что в вакуумеимеются незначительные потери (JmK0<0) (область Д, не являющаясяобщей, обусловлена существованием полюса z=z0, сопутствующего падающей волне).

                                                           />

Рис.2.Плоскость комплексной переменной z и контур интегрирования С

 ФУРЬЕ-КОМПОНЕНТЫРАССЕЯНОЙ ВОЛНЫ

      Для проведенияисследования дальше разложим рассеянную волну на три электромагнитные волныследующим образом:

/>,                    (5)

причем считаем, чтокаждая электромагнитная волна при | y | £ b удовлетворяет следующим соотношениям:

/>         (6)

Здесь: L(x) — ступенчатая функция:

                          />                                                         (7)

Смысл индексов, которымиснабжены каждая из электромагнитных волн, как видно из формул (6), определяющихэти электромагнитные волны, заключается в следующем. Нижний индекс«0»соответствует тому, что поле удовлетворяет волновому уравнению в вакууме, аиндекс «1» — тому, что поле удовлетворяет волновому уравнению в среде спотерями. Другими словами, эти индексы соответствуют значениям индекса j=0, 1 в уравнениях (3). Кроме того,верхний значок (+) указывает на то, что данное поле имеет смысл только при x >a, а значок          (-) — на то, что рассматриваемоеполе имеет смысл только при x<-a. В силу этих определений делаютсяособенно ясными аналитические свойства Фурье-компонент каждой электромагнитнойволны и становится возможным выполнение исследования, основанного натеоретико-функциональных рассуждениях.

      Найдем теперьФурье-компоненты рассеянной волны. Прежде всего посредством перехода к прямомупреобразованию Фурье в волновом уравнении (3)   при | y | ³ b можно получить следующее уравнение:

                        />                                      (8)

      Решение этогоуравнения, удовлетворяющее граничным условиям (В1), (В2), может быть записаноследующими образом:

/>   (9)

Считаем здесь, чтоветвление /> выбирается условием />.Кроме того, неизвестные функции представляют собой, как показывают приводимыениже формулы, Фурье-компоненты рассеянной волны при | y | = b. Наконец, точка /> представляетсобой полюс, происходящий от падающей волны:

/>                  (10)

/>                                     (11)

      Здесь значок справау неизвестной функции  /> указывает на то,что в случае значка «+» эта функция регулярна в верхней полуплоскости ( вобласти U ), а в случае значка « — »рассматриваемая функция регулярна в нижней полуплоскости   ( в области L ). В дальнейшем используется этотспособ обозначений.

      С другой стороны,при  |y| £ b существует разрыв в среде. В результате выполнения прямогопреобразования Фурье в волновом уравнении (3) оно превращается в следующиедифференциальные уравнения неодинакового порядка:

/>     (12)

      Здесь «вынужденные»члены в правых частях можно вывести, принимая во внимание то обстоятельство,что величины в соотношениях (6) и падающая волна (/>)непрерывны при | x | = a.

      Из уравнений (3)следует, что /> представляет собойпроизводную />, умноженную на постоянныйкоэффициент, поэтому, полагая

/>                      (13)

можем добиться того,чтобы удовлетворялось граничное условие (В3). В приведенных соотношениях символпроизводной /> означает, что в производной/> выполнен предельный переход/>. Таким образом, разлагаяволну на торцевой плоскости ( при | x | = a ) вследующий ряд, можем легко найти специальные решения уравнений (12):

/>                    (14)

/>                                                         (15)

      Что касаетсясоотношений (14), то они превращаются в специальный способ разложения в рядФурье. Иначе говоря, представляют собой разложения по системе ортогональныхфункций, превращающихся в нуль при | y | =b. Физически они представляют собойсобственные колебания плоскопараллельного волновода. Достаточность такихразложений будет видна из обсуждения свойств регулярности, о которых речь идетниже. Окончательно, в качестве решения уравнений (12), удовлетворяющих граничнымусловиям (В2), (В3), можем записать следующие выражения :

/>(16

      Здесь члены рядовпредставляют собой частные решения. Кроме того, неизвестные функции, снабженныенижними индексами C, S, представляют собой, с учетом свойствчетности в соотношениях (10), следующие выражения ( j=0, 1):

/>                                                             (17)

      Наконец, выполняютсяследующие соотношения ( j=0,1,  q= c, s):

/>                                                                                             (18)

      В заключениеобсудим коэффициенты разложений в формулах (14). Как отмечалось и при разъясненииформул (6), выступающих в качестве определений, за исключением членов,связанных с падающей волной (известные выражения), функция /> определена при x>a, а функция /> определена при x<-a. Это означает, что Фурье-компонентыэтих функций обладают следующим свойствами регулярности, за исключением полюсапри />=/>q:компонента />регулярна в верхней полуплоскости(области U), а компонента /> регулярна в нижнейполуплоскости (области L).С другой стороны, функция /> определенана ограниченном интервале -a<x<b, так что ее Фурье-компонентапредставляет собой целую функцию. Конкретно, записывая в следующем виде

/>                                                                    (19)

заметим, что /> регулярна в верхнейполуплоскости, а /> регулярна внижней полуплоскости. Функции в соотношениях (16) обладают свойствамирегулярности, о которых говорилось здесь, поэтому коэффициенты разложений поформулам (14) не являются произвольными, а их нужно определять таким образом,чтобы исключить полюса в каждой полуплоскости. После выполнения необходимыхпреобразований коэффициенты могут быть заданы в следующем виде:

/>                                         (20)

      Если допустить иныеразложения, чем задаваемые формулами (14), то сохранение описанных здесьсвойств регулярности становится невозможным. Таким образом ясно, что способразложения по формулам (14) оказывается достаточным для рассматриваемой задачи.

 УРАВНЕНИЯВИННЕРА-ХОПФА

      В предыдущемразделе было установлено, что используя только Фурье-компоненты рассеянной волны(конкретно, />) на граничной плоскости | y|=b, можно представить Фурье-компоненты рассеянной волныв каждой из областей    (/>) такимобразом, чтобы удовлетворялись граничные условия (В1), (В2), (В3). Такимобразом, если в конечном счете удастся отыскать эти неизвестныеФурье-компоненты так, чтобы удовлетворить граничному условию (В4), то тем самымпоставленная задача будет решена. Как следует из уравнений (3), граничноеусловие (В4) можно свести к непрерывности производной /> при | y|=b. Если записать это требование, используя формулы (9)и (16), то окончательный результат после выполнения необходимых преобразований,учитывающих свойства четности Фурье-компонент, может быть записан в следующемвиде (q= c, s):

/>                     (21)

Здесь кернфункции(ядра)задаются следующими формулами:

/>                                            (21)

/>                                                                 (22)

      Уравнения (21) посуществу представляют собой систему уравнений Винера-Хопфа. Этот фактстановится еще более очевидным, если применить преобразования по приводимымниже формулам. А именно, если умножить эти уравнения на /> или />, выполнить преобразования сиспользованием соотношений (19), то можно получить два следующих соотношения:

/>                      (24)

При этом имеют местоследующие соотношения:

/>      (25)

/>      (26)

      Тот факт, чтоправые части в формулах (24), а в конечном счете, правые части в формулах (26),являются регулярными в верхней полуплоскости (области U) или в нижней полуплоскости (областиL ), можно установить следующимобразом. Ясно, что с первого взгляда можно заключить, что особенностью функции /> являются только полюса в L. Однако, эти полюса исключаются всилу соотношений, представляемых формулой (20), так что эта функция оказываетсярегулярной в нижней полуплоскости. Аналогично, функция /> является регулярной вверхней полуплоскости.

      Что касаетсясистемы уравнений Винера-Хопфа, представленной формулой (24), то ее решениеможно найти, выполняя интегрирование вдоль разрезов от точек ветвления вразложениях керн-функций на множители. При выполнении расчетов возникаютопределенные затруднения, однако вывод решений проводится автоматически.Сначала выполняем разложение керн-функций на частное (произведение) функций,регулярных в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости, и, сверх того, неимеющих нулей (j=0,1,      q= c, s ):

                   />                                (27)

      Затем, делим(умножаем) правые части и левые части уравнений (24) на эти функции разложения,исключаем их полюса и выполняем интегрирование вдоль разрезов от точекветвления. Если выполнить описанные действия, то обе части уравнений (24) можноразложить таким образом, что они окажутся регулярными соответственно в верхнейполуплоскости (область U)или в нижней полуплоскости (область L). Более того, полученные соотношения окажутсясправедливыми в общей области Д. Следовательно, по теореме Лиувилля обе частивместе оказываются функциями, регулярными во всей плоскости, т.е. постоянными.Однако, эти постоянные в силу граничного условия (В5) концевой точки,оказываются равными нулю, так что решение уравнений (24) определяетсяединственным образом. Здесь в качестве граничного условия концевой точкипринимается условие />-const при | x| ®a, | yb. Окончательный результат представляется в следующемвиде:

/>     (28)   Здесь /> выражаются через интегралывдоль разрезов от точек ветвления (рис. 3, 4). А именно, если считать, чтофункция  регулярна в точках пути интегрирования /> тотогда /> определяются по формулам:

                     />                                        (29)

Наконец, /> обозначают нуликерн-функций, а Res — вычет.

                                                                                 />

Рис.3. Путьинтегрирования />

                                                                                   />

Рис.4. Путьинтегрирования />

      Далее

                      />                                       (30)

      N представляет собой число нулей внижней полуплоскости. Эти нули соответствуют собственным значениям плоскойволны вдоль пластины из диэлектрика с потерями толщины 2b, если интерпретировать их сфизической точки зрения.

      Формулы (28)представляют формальное решение на основании точного исследования. Если в этомрешении перейти к пределу />то /> а /> будет совпадать с решениемдля идеального проводника (подробности доказательства опускаются).

 ПРИБЛИЖЕННЫЕРЕШЕНИЯ

      Рассмотримприближенные решения для случая, когда в среде имеются  потери, а ширина прямоугольногоцилиндра велика по сравнению с длиной волны. Если считать, что в диэлектрикеимеются потери, а ширина прямоугольного цилиндра 2а мала, то можем положить:

                                   />                                           (31)

Если выполнять расчетыдля бетона, используя полученные к настоящему времени данные на основанииэкспериментальных результатов, то даже в диапазоне ультравысоких частот приширине в одну длину волны абсолютные величины в (31) ниже />. Отсюда следует, что можнопренебречь экспоненциальными членами в соотношениях (20) и членами, связаннымис плоской волной, в соотношениях (28), если ширина 2а больше длины волны. Этоозначает, что почти можно пренебречь взаимодействием рассеянных волн на обеихторцевых плоскостях (x= aи x= -a), обусловленных электромагнитной волной,распространяющейся в среде с потерями, и плоской волной, возбужденной впластине из диэлектрика с потерями, поскольку затухание вследствие потерьвелико. Кроме того, функциональные величины /> необходимоопределять алгебраически посредством подстановки /> вформулы (28), но и в этом случае можно пренебречь всеми экспоненциальнымичленами. Следовательно, выполнение расчетов в среде с потерями, в качествекоторой предполагается бетон, значительно упрощается.

      Рассмотрим далееинтегралы вдоль разрезов от точек ветвления, а именно, оценим интегралы (29).Интеграл /> представляет собойвеличину, характерную для задачи с конечной шириной; если ширинамала,то путем выбора пути интегрирования так, чтобы он был параллелен мнимой оси,оценку можно получить по методу наибыстрейшего спуска. С другой стороны,интеграл /> является величиной характернойдля полубесконечной пластины из диэлектрика. В этом случае интеграл можно найтианалитически, если выбрать путь интегрирования параллельным действительной осии предположить, что подынтегральная функция такова, что к ее регулярной частиприменимо приближение ломаными линиями.

      Выполняя расчетычисленно с использованием описанных выше методов приближения, можно сравнительнопросто отыскать неизвестные Фурье-компоненты. Переходя в полученных результатахк обратному преобразованию Фурье, можем найти рассеянную волну. В частности,ограничиваясь дальнейшей рассеянной волной и используя преобразованиепеременных x= rcosjy= rsinj и метод перевала, можно легко выполнитьнеобходимые расчеты.

 ПРИМЕРЫРАСЧЕТОВ И ПРИМЕРЫ ЭКСПИРИМЕНТОВ

      На рис.5,6приведены примеры, в которых найдены дальние рассеянные волны при помощи использованияприближенных методов, описанных в предыдущем разделе. На приведенных рисункахзначения представлены нормированными на максимальное значение в дБ. Результаты,изображенные сплошными линиями относятся к диэлектрику с потерями, аизображенные пунктирными линиями — к идеальному проводнику. Значение/> представляет один изпримеров измеренного значения комплексной относительной диэлектрическойпроницаемости бетона при частоте 100 МГц. Размеры рассеивающих тел, результатыдля которых приведены на рис.5, порядка длины волны ( 2l х 2l), а на рис.6 — сравнительно большие по отношению кдлине волны (приблизительно 13l х 12l), однако,общим для обоих рисунков является то, что на теневой стороне нет различий междусредой с большими потерями и идеальным проводником. Ясно, что отраженная волнаподавляется средой с потерями.

                                                                />

/>

Рис.5.Дальняя рассеянная волна /> (дБ):

/>       1            диэлектрик с большими потерями;/>       2             идеальный проводник

            />

/>/>

Рис.6.Дальняя рассеянная волна />  (дБ)

/>       1            диэлектрик с большими потерями;  2              идеальный проводник.

      Для подтверждениярезультатов численных расчетов были выполнены модельные эксперименты сиспользованием микроволн частоты 15 ГГц. Упрощенное изображениеэкспериментального оборудования, установленного в помещении, изолированном отвлияния электрических волн, показано на рис.7. Излучающая пирамидоидальнаярупорная антенна, центр рассеивающего тела (конечной длины)  и приемнаяпирамидоидальная рупорная антенна устанавливались в одной и той жегоризонтальной плоскости. Излучающая антенна находилась в фиксированномположении, приемная антенна могла передвигаться по рельсам, проложенным поокружности с центром на центральной оси рассеивающего тела. При этом расстояниемежду центральной осью рассеивающего тела и излучающей антенной составляет 3 м.(150 l).

/>

Рис.7.Оборудование для измерения рассеянной волны:

       1 — передатчик (излучающаяантенна); 2 — приемник (приемная антенна)

      То обстоятельство,что при выполнении сравнения экспериментальных  результатов и результатовчисленных расчетов следует соблюдать определенную осторожность, связано с тем,что в экспериментах происходит интерференция падающей и рассеянной волн позадирассеивающего тела и измерение только рассеянной волны с технической точкизрения сопряжено со значительными трудностями. Одним из методов являетсявыполнение сравнения только с отраженной волной. Однако, в данной работе в качествеодной из попыток решено провести сравнение с волной, которая получается врезультате умножения падающей плоской волны на весовую функцию:

                      />                                          (33)

При этом функция f(j) представляет собой функцию, которая зависит отприемопередающих характеристик измерительной системы, а именно от угла, подкоторым происходит прием в электрическом поле принимаемых сигналов приемнойантенной при отсутствии рассеивающего тела. В данной работе используетсяаппроксимация этой функции тригонометрическими  функциями так, чтобы приотклонении от точки на одной прямой с передающим рупором больше, чем ± 30° происходило ослабление на — 20 дБ.

      На рис.8представлены измеренные и рассчитанные значения для рассеянной волны в томслучае, когда параллелепипед из бетона с поперечным сечением в виде квадрата(25,5 см. х 25,5 см.) облучается электрической волной при угле падения 60°. При этом максимум в рассчитанныхзначениях равен 0 дБ, а измеренные значения представляют собой значения,которые сопоставляются рассчитанным значениям через максимальный уровеньотраженной волны. Использованное в расчетах значение комплексной относительнойдиэлектрической проницаемости /> представляетсобой значение, найденное по методу кратковременного открытия (short×open) с заполнением микроволновоговолновода на 15 ГГц бетоном. Это значение, будучи сравнено с результатамиизмерений, выполненных другими исследователями, представляется правильным.

      Из рис.8 видно, чтоизмеренные значения и рассчитанные значения для отраженной волны хорошосогласуются. С другой стороны, в теневой области (30°-90°) обнаруживаются и чрезвычайно отчетливые различия вэтих значениях. В качестве первой причины этих различий можно указать на тообстоятельство, что падающая волна не является плоской волной в реальныхэкспериментах, а близка к сферической волне. Заключение об этом можно с делатьтак же и по тому факту, что, вследствие распространения фронта волны, визмеренных значениях более всего проявляется теневая темная часть. В качествевторой

/>

/>

      Рис.8. рассеяннаяволна на диэлектрике с большими потерями: а) — результаты         измерений (бетон);b) — результаты расчетов (при />); 1 — Æ(град); 2 — (дБ).

      В качестве второйпричины можно считать то обстоятельство, что описанная экспериментальная системане является вполне двухмерной моделью. В экспериментах в качествепараллелепипеда используется тело конечной длины (1 м.), установленное наподставке; это приводит к тому, что нельзя пренебрегать влиянием волны,отраженной от подставки. Эти влияния проявляются в заметной интерференцииизмеренных значений при 10° — 110°. В качестведругих причин можно отметить, что рассеянная волна в формуле (33) представляетсобой величину, полученную применением просто метода перевала, вряд лиявляющуюся хорошим приближением.

      Для изученияразличий между бетоном и проводником на рис.9 приводится пример результатов дляслучая, когда рассеивающее тело заменено на проводник с теми же параметрами,что и на рис.8. Измеренные значения относятся к случаю алюминиевой пластинытолщиной 1 мм., изготовленной для параллелепипеда, а рассчитанные значенияотносятся к случаю идеального проводника. И в этом примере обнаруживается, чтоизмеренные значения для отраженной волны и рассчитанные значения хорошо согласуются.Кроме того очевидно, что предположение о том, идеальным проводником являетсядаже алюминиевая пластина, оказывается достаточно правильным. Наконец,сравнивая рис.8, 9, можем заключить, что подавление отраженной волнынаблюдается в среде с большими потерями. Это заключение совпадает сзаключением, сделанном на основании рис.5, 6.

      На рис.10представлены результаты, которые относятся к случаю, когда ширина равна ширинерассеивающего тела, приведенной на рис.8, а толщина в два раза меньше; уголпадения выбран равным 45°.Очевидно, что в той мере, насколько мала толщина, отраженная волна внаправлении j= 135° слабее волны, отраженной под углом j= -45°. И в этом примере измеренные значения для отраженнойволны хорошо согласуются с рассчитанными значениями.

/>

/>

      Рис.9. Рассеяннаяна проводнике волна: а) — результаты измерений (алюминий); 

b) — результаты расчетов (идеальныйпроводник);  1 — Æ (град.); 2 — (дБ).

/>

/>

      Рис.10. Рассеяннаяволна диэлектриком с большими потерями: а) — результаты измерений (бетон);  b) — результаты расчетов (при />); 1 — Æ (град.); 2 — (дБ)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      Приведена точнаяформулировка задачи рассеяния плоской электромагнитной волны (Е-волны) напараллелепипеде из диэлектрика с большими потерями, в которой используетсяпреобразование Фурье. В терминах преобразований Фурье приведено решение задачи.В том случае, когда ширина рассеивающего тела сравнительно велика по отношениюк длине волны, а в среде этого тела имеются большие потери порядка потерь вбетоне, как показывает исследование, расчеты можно значительно упростить. Обсужденыразличия по сравнению со случаем идеального проводника.

еще рефераты
Еще работы по радиоэлектронике