Реферат: Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

.

 

Оглавление

Введение

Постановка проблем,формулировка задач

Глава 1.Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анализа.

1.1. Введение в спектральное оценивание

·1.1.1. Задачаспектрального оценивания

·1.1.2. Проблемыв области спектрального оценивания.

·1.1.3. Спектральныеоценки по конечным последовательностям данных

·1.1.4. Общаякартина

1.2. Основныеопределения и теоремы классического спектрального анализа

·1.2.2 Операциидискретизации и взвешивания для получения дискретно- временных рядовФурье.

·1.2.3. Анализ эргодичныхдискретных процессов.

1.3. Классические методыспектрального анализа.

·1.3.1. Введение.

·1.3.2. Окнаданных и корреляционные окна в спектральном анализе.

·1.3.3. Периодограммныеоценки спектральной плотности мощности.

·1.3.4. Коррелограммныеоценки спектра.

·1.3.5. Областьприменения.

1.4. Авторегрессионноеспектральное оценивание.

·1.4.1. Введение.

·1.4.2. Оцениваниекорреляционной функции — метод Юла-Уалкера.

·1.4.3. Методыоценивания коэффициентов отражения.

·1.4.3.1. Геометрическийалгоритм.

·1.4.3.2. Гармоническийалгоритм Берга.

·1.4.4. Оцениваниелинейного предсказания по методу наименьших квадратов.

·1.4.5. Градиентныйадаптивный авторегрессионный метод

·1.4.6. Рекурсивныйавторегрессионный метод наименьших квадратов

1.5. Спектральноеоценивание на основе моделей авторегрессии — скользящего среднего .

1.6. Спектральноеоценивание по методу минимума дисперсии.

1.7. Методыоценивания частоты,основанные на анализе собственных значений.

·1.7.1. Введение.

·1.7.2. Процедурыоценки частоты в пространстве сигнала.

·1.7.3. Оценкичастоты в пространстве шума.

Глава 2.Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.

Особенностиреализации.

Заключение.

Выводы.

ПриложениeА. Смещениепериодограммы Уэлча.

ПриложениeВ. Методы иинтерфейсы межзадачного системного и межсистемного обмена в среде Windows ’95 (Delphi 3.0)

ПриложениeС. Достоверностьполученных оценок спектральной плотности мощности.

ПриложениeD. Таблицаэкспериментальных результатов по разрешающей способности методов спектральногоанализа.

ПриложениeE. Таблица играфики «Слабыесинусоидальные составляющие»

ПриложениeF. Дисперсииоценок СПМ как функции частоты.

ПриложениeG. Таблицанаилучших в смысле структурной устойчивости параметров адаптивного градиентногометода.

ПриложениeН. Графикиоценок СПМ при  различных значениях порядка авторегрессионной модели.

ПриложениeI. Списокиспользуемой литературы.


Введение

Спектральныйанализ — это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризоватьчастотный  состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье являетсяматематической основой,которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторуюмодель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Методы статистикииграют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой илислучайный характер.Если бы основные статистические характеристики сигнала были известны точно илиже их можно было бы без ошибки определить на конечном интервале этого сигнала, то спектральныйанализ представлял бы собой отрасль точной науки. Однако в действительности  поодному-единственному отрезку сигнала можно получить только некоторую оценку егоспектра.[1]

Кобработке сигналов в реальном масштабе времени относятся задачи анализа аудио, речевых, мультимедийных сигналов, в которых помимотрудностей, связанныхнепосредственно с анализом спектрального содержания и дальнейшей классификациейпоследовательности отсчетов (как в задаче распознавания речи) или изменения формыспектра — фильтрации в частотной области (в основном относится к  мультимедийнымсигналам), возникаетпроблема управления потоком данных в современных вычислительных системах. Реальностьнакладывает отпечаток как на сами вычислительные алгоритмы, так и нарезультаты экспериментов,поднимая вопросы,с которыми не сталкиваются при обработке всей доступной информации.

Приобработке сигналов обычно приходится решать задачи двух типов — задачуобнаружения и задачу оценивания.При обнаружении нужно дать ответ на вопрос, присутствует ли в данное время навходе некоторый сигнал с априорно известными параметрами. Оценивание — этозадача измерения значений параметров, описывающих сигнал [1].

Сигналчасто зашумлен,на него могут накладываться мешающие сигналы. Поэтому для упрощения указанныхзадач сигнал обычно разлагают по базисным составляющим пространства сигналов. Для многихприложений наибольший интерес представляют периодические сигналы. Вполне естественно, что используются Sin иCos. Такое разложениеможно выполнить с помощью классического преобразования Фурье.

Приобработке сигналов конечной длительности возникают интересные и взаимозависимыевопросы,которые необходимо учитывать в ходе гармонического анализа. Конечностьинтервала наблюдения влияет на обнаружимость тонов в присутствии сильных шумов, на разрешимостьтонов меняющейся частоты и на точность оценок параметров всех вышеупомянутыхсигналов.


Постановкапроблемы,формулировка задачи

Нанастоящее время существует большое количество алгоритмов и групп алгоритмов, которые так илииначе решают основную задачу спектрального анализа: оцениваниеспектральной плотности мощности, стем чтобы по полученному результату судить о характере обрабатываемого сигнала.Основной вкладсделан такими исследователями как: Голд Б. (Gold B.), РабинерЛ. (Rabiner L.R.), БартлеттM. (Bartlett M.S.) Однако каждый из алгоритмов имеетсвою область приложения.Например, градиентныеадаптивные авторегрессионные методы не могут быть применены к обработке данныхс быстро меняющимся во времени спектром. Классические методы имеют широкуюобласть применения,но проигрывают авторегрессионным и методах, основанных на собственных значениях, по качествуоценивания. Нов реальном масштабе времени использование последних затруднено из-завычислительной сложности.

Болеетого,применение каждого из методов обычно требует выбора значений параметров (выбор окна данных икорреляционного окна в классических методах, порядка модели в авторегрессионномалгоритме и алгоритме линейного предсказания, предполагаемого числа собственныхвекторов в пространстве шума в методе Писаренко) и правильный выбор требуетэкспериментальных результатов с каждым классом алгоритмов.

Такимобразом, имеетсяследующая задача :

Наоснове существующих алгоритмов проанализировать возможность их применения  какк последовательной обработке сигналов в реальном времени,так и к блочной обработке и оценить качество получаемых результатов . Критериями «качества» оценкиспектральной плотности мощности в общем случае являются смещение этой оценки иее дисперсия.Однако аналитическое определение этих  величин наталкивается на определенныематематические трудности и в каждом конкретном случае на практике простовизуально совмещают графики нескольких реализаций спектральной оценки ивизуально определяют смещение и дисперсии к функции частоты. Те областисовмещенных графиков спектральных оценок, где экспериментально определенноезначение дисперсии велико,будет свидетельствовать о том,что спектральные особенности видимые в спектре одной реализации не могутсчитаться статистически значимыми. С другой стороны, особенностисовмещенных спектров в тех областях, где эта дисперсия мала, с большой достоверностьюмогут быть соотнесены с действительными составляющими анализируемого сигнала. 

 

Извышесказанного сформулируем следующие подзадачи:

I.  теоретическоеи практическое исследование алгоритмов блочной обработки

IIанализ классических алгоритмовблочной обработки всей последовательности в частиприменения окон данных и корреляционных окон

III. анализалгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе времени

Кромеэтих теоретических проблем,существует ряд практических вопросов, специфичных для обработки сигналовв реальном времени.Среди них выбелим :

· Необходимостьв «одновременном» выполненииследующих основных этапов обработки данных:

1.) Непосредственноеполучение последовательности входных данных (цифровые отсчеты аудио-сигнала, речевого сигнала).

2.) Обработкаполучаемых отсчетов сигнала.

3.) Представлениеобработанной информации

4.) Возможностьконтролировать процесс обработки информации

· Ограничениедлительности интервала выборки поступающих данных вычислительными ресурсами

· Ограничениедлительности интервала выборки характером сигнала

Еслипервый вопрос очевиден в рамках обработки данных в реальном времени, то второй и третийвопросы требуют осмысления причин этих ограничений.

Ксформулированным выше задачам добавим:

IV. задачупостроения схемы управления обработкой данных в реальномвремени,основанной,в силу первой проблемы,на параллельных вычислениях и протоколах взаимодействия и синхронизации;

V.  экспериментальныйанализ по второй проблеме,то есть исследование влияния вычислительных ресурсов и методов оцифровки данныхна максимально допустимую длину интервала выборки;

VI. анализдлительности интервала выборки,исходя из характера сигнала.

Вкачестве основного подхода к решению проблем и исследования применимметодологию математического моделирования и вычислительного эксперимента. Экспериментальныевходные данные будем формировать следующим образом

·для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всей последовательностиотсчетов формируем дискретизированные отсчеты данных тест-сигнала из суммыкомплексных синусоид и аддитивных окрашенных шумовых процессов, сформированныепосредством пропускания белого шума через фильтр с частотной характеристикойтипа приподнятого косинуса или окна Хэмминга. Таким образом, в этом случаеэксперимент определяется набором />, где /> — последовательностькомплексных синусоид с амплитудами /> дБ и частотами />Гц, а /> - последовательностьшумовых процессов с параметрами: центральная частота />Гц.,  динамический диапазон перекрываемыхчастот /> Гц.,мощность шума />дБ.

·для анализа классических алгоритмов блочной обработки всейпоследовательности в части применения окон данных и корреляционных оконэксперимент и подсчет основных характеристик окон будем производить наддискретизированными отсчетами соответствующих функций.

·для анализа алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе временииспользуем аудио и речевой сигналы.

Выходнымиданными экспериментов будем считать:

·для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всей последовательностиотсчетов:

1.) оценку спектральной плотностимощности,полученную с помощью того или иного метода спектрального анализа, по которой можносудить о качестве применяемого метода, сравнивая истинную спектральнуюплотность мощности сформированного сигнала с полученной оценкой

2.) вычислительныеи временные затраты метода

·для анализа окон данных и корреляционных окон — расчетные основныехарактеристики такиекак: максимальныйуровень боковых лепестков, эквивалентная ширина полосы,ширина полосы по уровню половинной мощности,степень корреляции ит.д..

·для анализа сигналов в реальном масштабе времени: спектральная плотность мощности(функция,зависящая в этом эксперименте также и от времени). Для оценки составляющих вспектре сигнала вданный момент времени.

 

Глава1. Теоретическийанализ существующих алгоритмов спектрального анализа.

1.1. Введение в спектральноеоценивание

 

1.1.1. Задачаспектрального оценивания

Задачаспектрального оценивания подразумевает оценивание некоторой функции частоты. О характеристикахспектральной оценки судят по тому, насколько хорошо она согласуется сизвестным спектром тест-сигнала в некоторой непрерывной области частот.[1]

1.1.2. Проблемыв области спектрального оценивания.

Интереск альтернативным методам спектрального анализа поддерживается тем улучшениемхарактеристик,которое они обещают,а именно более высоким частотным разрешением, повышенной способностью кобнаружению слабых сигналов или же сохранением  «достоверности»  формы спектра применьшем числе используемых параметров. Аналитически описать характеристикибольшинства методов в случае ограниченного времени анализа (то есть в случаекороткой записи данных) весьма  затруднительно[1]

Спектральноеразрешение относится к числу главных проблем современного спектрального оценивания, в особенностиприменительно к анализу коротких последовательностей данных. При этом то, что понимается подтермином «разрешение», носит весьма субъективныйхарактер.Принято характеризовать относительные величины разрешающей способности двухспектральных оценок на основе визуальных впечатлений. [1]

1.1.3. Спектральныеоценки по конечным последовательностям данных

Спектральнаяоценка,получаемая по конечной записи данных, характеризует некоторое предположениеотносительно той истинной спектральной функции, которая была бы получена, если бы в нашемраспоряжении имелась запись данных бесконечной длины. Именно поэтомуповедение и характеристики спектральных оценок должны описываться с помощьюстатистических терминов.Общепринятыми статистическими критериями качества оценки являются ее смещение идисперсия.Аналитическое определение этих величин обычно наталкивается на определенныематематические трудности,поэтому на практике просто совмещают графики нескольких реализаций спектральнойоценки и визуально определяют смещение и дисперсию как функции частоты. Те областисовмещенных графиков спектральных оценок, где экспериментально определенноезначение дисперсии велико,будут свидетельствовать о том, чтоспектральные особенности,видимые в спектре отдельной реализации, не могут считаться статистическизначимыми.С другой стороны,особенности совмещенных спектров в тех областях, где эта дисперсия мала, с большой достоверностьюмогут быть соотнесены с действительными частотными  составляющимианализируемого сигнала.Однако в случае коротких  записей данных часто не удается  получить несколько спектральных оценок,да и сам статистический анализ отдельных спектральных оценок, полученных покоротким записям данных,в общем, случае представляет собой весьма трудную проблему.[1] 

1.1.4.Общаякартина

Изформального определения спектра,следует,что спектр является некоторой функцией  одних лишь статистик второго порядка, относительнокоторых в свою очередь предполагается, что они остаются неизменными, или стационарнымиво времени. Следовательно, такой спектр непередает полной статистической информации об анализируемом случайном процессе, а значит, дополнительная информацияможет содержаться в статистиках третьего и более высокого порядка. Кроме того, многие обычныесигналы,которые приходится анализировать на практике, не являются стационарными. Однако короткиесегменты данных,получаемые из более длинной записи данных, можно считать локально стационарными. Анализируяизменения спектральных оценок от одного такого сегмента к другому, можно затемсоставить представление и об изменяющихся во времени статистиках сигналов, то естьнестационарных.    


1.2.Основныеопределения и теоремы классического спектрального анализа

1.2.1.Непрерывно-временноепреобразование Фурье.

Определение: Непрерывно-временнымпреобразованием Фурье называется функция

/>

Вспектральном анализе переменная />в комплекснойсинусоиде />  соответствуетчастоте,измеряемой в герцах,если переменная />измеряется вединицах времени (всекундах).По сути дела,непрерывно-временное преобразование Фурье идентифицирует частоты и  амплитудытех комплексных синусоид,на которые разлагается некоторое произвольное колебание.

Определение:Обратное преобразование Фурье определяется выражением

/>

Существованиепрямого и обратного преобразований Фурье с непрерывным временем для даннойфункции определяется целым рядом условий. Одно из достаточных условий состоитв том, чтосигнал />долженбыть абсолютно интегрируемым в смысле

/> 

 

1.2.2 Операциидискретизации и взвешивания для получения дискретно-временных рядов Фурье.

Определение:  Функциейотсчетов с интервалом />называетсяследующая функция :

 /> 

Предположим, что берутся отсчетынепрерывного действительнозначного сигнала/>с ограниченнымспектром,верхняя частота которого равна/> герц, так чтопреобразование Фурье равно нулю при частотах больше />. Отсчеты сигнала/>синтервалом Т могут быть получены посредством умножения этого сигнала на функциюотсчетов:

/>

Теперьнайдем непрерывное преобразование Фурье />, это свертка спектра сигнала /> ипреобразования Фурье функции отсчетов по времени с интервалом Т секунд :

 />

Тоесть свертка /> с преобразованиемФурье функции отсчетов />просто периодическипродолжает /> счастотным интервалом 1/T Гц, соответствующимчастотному интервалу между импульсными функциями. В общем случае отсчеты в однойобласти (например,временной) приводят к периодическому продолжению в области преобразования(например,частотной). Есличастота отсчетов выбрана достаточно низкой, так что />, то периодическипродолженные спектры будут перекрываться с соседними (эффект наложения вчастотной области).Частота отсчетов />получила название частотыотсчетов Найквиста.

Длятого чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, то есть осуществитьинтерполяцию некоторого континуума значений между этими отсчетами, можно пропуститьдискретизованные данные через идеальный фильтр нижних частот, обладающий прямоугольной частотной характеристикой (взвешивание в частотной области ), используятеоремы о свертке во временной и частотной областях, получим :

/>

Полученноевыражение представляет собой математическую запись теоремы отсчетов вовременной области,которая утверждает,что с помощью этой интерполяционной формулы  действительный сигнал сограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному счетномучислу известных временных отсчетов, взятых с частотой />. Аналогичныйрезультат может быть получен и для комплексных сигналов с ограниченным спектром.

Дуальнойк теореме отсчетов во временной области является следующая
Теорема. Дляограниченного временем /> по длительностисигнала /> верно, что

/>

где />

Такимобразом,преобразование Фурье /> некоторого сигналас ограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено поэквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервалотсчетов по частоте удовлетворяет условию />герц.

Пустьдан произвольный непрерывный сигнал /> и егопреобразование />, которые в общем случае могут бытьнеограниченными по спектру и по длительности. Если положить, что N отсчетов/> вовремени взяты с равномерным интервалом T секунд, то ограничим спектрэтого сигнала частотами /> герц взвешиванием вчастотной области: />, здесь /> — функция окна вчастотной области.При этом сигнал трансформируется следующим образом />. Далее берутся отсчетыво временной области сформированного первой операцией и ограниченного поспектру сигнала />, соответствующие изменения в спектреможно представить как />. Теперь ограничимся длительностьюсигнала NT :/>. И снова свертка вчастотной области для спектра полученного на этапе 2 />. Последнее что осталосьсделать — взятие отсчетов по частоте с интервалом 1/NT герц, это приводит кпериодическому продолжению исходных N временныхотсчетов.Сигнал на последнем этапе принимает следующий вид: />, а его преобразование: />.

Окончательно можно получить, что если исходныйсигнал /> и/>-его преобразование, тона четвертом шаге  /> и /> связаныследующими соотношениями :

/> 

/>,где />

/>Последниесоотношения называют дискретно-временными рядами Фурье. Исходя из процесса построениядискретно-временных рядов Фурье,можно установить требуемое точное соотношение между рядом Фурье временнойпоследовательности и соответствующей непрерывно-временной функцией или междурядом Фурье преобразования и исходной функции преобразования. Если ширина спектра/> ограниченачастотой 1/T герц, то ряд Фурье временной последовательности будет сохранять исходные значения /> вотсчетных точках,однако ряд Фурье последовательности преобразований будет состоять из отсчетовнекоторого «размытого» варианта исходногопреобразования />. С другой стороны, если длительность /> фактическиограничена интервалом NT секунд, то ряд Фурьепоследовательности преобразований сохраняет исходные значения /> вотсчетных точках,однако ряд Фурье  временной последовательности будет состоять из некоторого «размытого» варианта исходногосигнала />. Эффекты размытияможно ослабить за счет уменьшения T  (так что 1/T будет соответствовать более широкойполосе) илиувеличения N(такчто NT будетсоответствовать большей длительности), в результате чего дискретно-временнойрад Фурье будет точнее аппроксимировать  непрерывное преобразование. Ряд будетидентичным непрерывному преобразованию только в случае периодических сигналов, которые можнопредставить в виде суммы из комплексных  синусоид с частотами k/NT герц, где k=0,1,...N-1.

1.2.3. Анализэргодичных дискретных процессов.

Определение:Дискретный случайный процесс /> эргодичен всреднем  если

/>

Определение:Дискретный случайный процесс /> автокорреляционноэргодичен  если

/>

Допущениеоб эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времениопределения для среднего значения и автокорреляции, но позволяет дать подобное  определение спектральной плотности мощности :

Определение:

/>

Этаэквивалентная форма спектральной плотности мощности получается посредствомстатистического усреднения модуля дискретно-временного преобразования Фурьевзвешенной совокупности данных,для случая когда число отсчетов данных увеличивается до бесконечности. Статистическоеусреднение необходимо здесь потому, что дискретно-временноепреобразование само является случайной величиной, изменяющейся для каждойиспользуемой реализации />. Это определение эквивалентноопределению спектральной плотности мощности как дискретно-временноепреобразование Фурье автокорреляционной последовательности.

Еслив последнем определении не учитывать операцию математического ожидания, то получим оценкуспектральной плотности мощности, котораяназывается выборочным спектром :

/>

Хотявыборочный спектр не является состоятельной оценкой истинной спектральнойплотности мощности,эта оценка может быть использована если выполнять некоторого рода усреднениеили сглаживания. Наиспользовании этой оценки основан классический периодограммый метод определенияспектральной плотности мощности.

 

1.3. Классическиеметоды спектрального анализа.

1.3.1 Введение

ОценкиСПМ,основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получили названиепериодограмм.Оценки СПМ,для получения которых по исходным данным сначала формируется корреляционныеоценки,получили название коррелограммных методов спектрального оценивания.

Прииспользовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится приниматьмножество компромиссных решений,с тем,чтобы по конечному количеству отсчетов данных получать статистически устойчивыеспектральные оценки с максимально возможным разрешением. К этимкомпромиссным решениям относятся, в частности, выбор такихфункций окна для взвешивания данных и корреляционных функций и таких параметровусреднения во временной и в частотной областях, которые позволяют сбалансироватьтребования к снижению уровня боковых лепестков, выполнению эффективногоусреднения по ансамблю и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения. Устойчивыерезультаты (малыеспектральные флюктуации) и хорошая точность (малое смещение относительно истинныхспектральных значений на всех частотах) достижимы только тогда, когда произведениеTB,  где Т — полный интервал записи данных, аB — эффективноеразрешение по частоте,значительно превышает единицу.Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случае гауссовскихпроцессов,для которых подробно теоретически изучены статистические характеристикиклассических спектральных оценок. Однако выбор конкретного методаспектрального оценивания в случае негауссовских процессов зачастуюобосновывается только экспериментальными данными. Да и выбор функции окна оченьчасто основывается на данных экспериментальных, а не теоретическихисследований.

1.3.2. Окнаданных и корреляционные окна в спектральном анализе.

Окнапредставляют собой весовые функции, используемые для уменьшенияразмывания спектральных компонент, обусловленного конечностью интерваловнаблюдения.Так,можно считать,что воздействие окна на массив данных (как мультипликативной весовой функции)состоит в уменьшении порядка разрыва на границе периодического продолжения. Этого добиваются, согласуя награнице возможно большее число производных взвешенных данных. Проще всегообеспечить такое согласование,сделав эти производные равными или, по крайней мере, близкими к нулю. Таким образом, вблизи границинтервала взвешенные данные плавно стремятся к нулю, так, что периодическоепродолжение сигнала оказывается непрерывным вплоть до производных высшихпорядков.

Сдругой стороны,можно считать,что окно мультипликативно воздействует на базисное множество так, чтобы сигналпроизвольной частоты имел значительные проекции только на те базисные векторы, частоты которыхблизки к частоте сигнала.Обаподхода ведут,конечно,к одинаковым результатам.

1.3.3. Периодограммныеоценки Спектральной Плотности Мощности.

Пренебрегаяоперацией  вычисления математического ожидания и полагая, что конечное множестводанных содержит N отсчетов, получаемвыборочный спектр

/>

которыйможет быть вычислен по конечной последовательности данных. Однако посколькубыла опущена операция математического ожидания, эта оценка будет неустойчивойили несостоятельной.И для сглаживания применяется что-то вроде псевдоусреднения  по ансамблю. Существует триразличных типа сглаживания быстрых флюктуаций спектра.

Первыйметод заключается в усреднении по соседним спектральным частотам. Если для вычисленныйвыборочный спектр на сетке частот />, то модифицированная оценкапериодограммы на частоте />может быть полученапосредством усреднения в P точкахс каждой стороны от этой частоты

/> 

Обобщениемэтого подхода является обработка выборочного спектра с помощью фильтра нижнихчастот с частотной характеристикой /> . В этом случае модифицированнуюпериодограмму можно записать в виде свертки частотной характеристики фильтранижних частот и самого выборочного спектра

/>

Вторымметодом сглаживания выборочного спектра является усреднение по псевдоансамблюпериодограмм за счет деления последовательности из N отсчетов данных наPнеперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом, так что DP<N (называемым периодограмма Бартлетта). Тогда p-ыйсегмент будет состоять из отсчетов />, где n=0,1,..,D-1,p=0,1,..P-1. Для каждого сегмента независимовычисляется выборочный спектр в диапазоне частот />

/>

Далеена каждой частоте,представляющей интерес, P отдельныхнемодифицированных  периодограмм усредняются, с тем чтобы получить окончательнуюоценку:

 /> 

Математическоеожидание и дисперсия даются следующими выражениями:

/>

/>

Извыражения для дисперсии видно,что устойчивость спектральной оценки Бартлетта улучшается как величина, обратная числусегментов P.

Третьими одним из самых эффективных методов является метод периодограмм Уэлча. Основное отличиеот периодограммы Бартлетта состоит в том, что здесь используется окно данныхи осуществлено перекрывающееся сегментирование последовательности отсчетов. Применение окнаданных дает незначительное ухудшение разрешения по частоте, так как сам спектрокна вносит погрешности в результирующий спектр, однако удается достичьуменьшения влияния боковых лепестков спектра прямоугольного окна, которое косвенноприменяется при сегментировании последовательности данных. Целью перекрытиясегментов является увеличение числа усредняемых сегментов и тем самымуменьшение дисперсии оценки спектральной плотности мощности. Сам метод состоитв следующем.Пусть дана запись комплексных данных />, которая разбивается на числосегментовD сосдвигомSотсчетов между соседними сегментами, тогда взвешенный p-ыйсегмент будет состоять из /> отсчетов, где n = 0,1..D-1, p =0,1..P-1, P=[(N-D)/S+1]. А выборочный спектрвзвешенного p-ого сегмента вдиапазоне частот />

/>, где

/>

Иокончательный вид периодограммы Бартлетта приобретает вид :

/>

Среднееи дисперсия оценки выглядят следующим образом (доказательство первого соотношения в приложении А):

/>

/>

Прииспользовании перекрытия соседних сегментов можно сформировать большее числопсевдореализаций,чем  в методе Бартлетта,а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча, хотя порядок имееттот же самый.Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.3.4. Коррелограммныеоценки Спектральной Плотности Мощности.

Альтернативнымметодом является коррелограммный метод. Косвенный метод основан на использованиибесконечной последовательности значений данных для расчета автокорреляционнойпоследовательности,  преобразованиеФурье которой дает искомую СПМ. Вотличии от прямого метода,который основан на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье длябесконечной последовательности данных с использованием соответствующегостатистического усреднения.Показано,что результирующая функция,получаемая без использования такого усреднения и называемая выборочным спектром, оказывается  неудовлетворительнойиз-за статистической несостоятельности получаемых  с ее помощью оценок, посколькусреднеквадратичная ошибка таких оценок сравнима по величине со среднимзначением оценки. 

Автокорреляционнаяпоследовательность на практике может быть оценена по конечной записи данныхследующим образом (несмещеннаяоценка):

/>,  где />

илисмещенной оценкой автокорреляции, которая имеет меньшую, по сравнению снесмещенной оценкой,дисперсию:

/>,  где />

 Коррелограммныйметод заключается в подстановке в определение спектральной плотности мощностиоценку автокорреляционной последовательности (коррелограммы). Таким образом, имея две оценкиавтокорреляционной последовательности получаем две оценки спектральнойплотности мощности:

/>, />, где />

/>, где /> -ядро Дирихле

/>

Эффектнеявно присутствующего окна из-за конечности данных приводит к свертке истиннойспектральной плотности с преобразованием Фурье дискретно-временногопрямоугольного или треугольного (как в случае со смещенными оценками) окна. Для уменьшенияэтого эффекта используется корреляционное окно />и коррелограммнаяоценка спектральной плотности мощности в общем виде выглядит следующим образом:

/>

Экспериментальныерезультаты приведены в соответствующем разделе.

1.3.5. Областьприменения.

Классическиеметоды спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумов в предположении остационарности.Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основанана использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье. Недостатком всехметодов спектрального анализа является искажения в спектральных составляющих побоковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна. Сравнениеэкспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающихокон приведены в соответствующем разделе.

1.4. Авторегрессионное спектральноеоценивание.

1.4.1. Введение

Однаиз причин применения параметрических моделей случайных и процессов и построенияна их основе методов получения оценок спектральной плотности мощностиобусловлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами. Еще одна важная причина - более высокое спектральное разрешение. Далее рассматриваются следующиеметоды: метод Юла-Уалкера оцениванияавторегрессионных параметров по последовательности оценок автокорреляционнойфункции, методБерга оценивания авторегрессионных параметров попоследовательности оценок коэффициентов отражения, метод раздельнойминимизации квадратичных ошибок линейного предсказания вперед и назад — ковариационныйметод, методсовместной минимизации квадратичных ошибок прямого и обратного линейногопредсказания — модифицированный ковариационный.  

Модельвременного ряда (называемаямодели авторегрессии-скользящего среднего в случае входнойпоследовательности — белого шума), которая пригодна для аппроксимациимногих встречающихся на практике детерминированных и стохастических процессов сдискретным временем,описывается следующим разностным уравнением:

/>

Системная функция />, связывающая вход ивыход этого фильтра имеет рациональную форму:

/>

Если в качествевходной последовательности использовать белый шум, то приходим к АРСС-модели. Спектральнуюплотность для АРСС-модели получаем, подставляя />, что дает

/>, где

/>

/>, />,а /> -дисперсия

возбуждающегобелого шума

В частных случаяхдля авторегрессионной модели и модели скользящего среднегополучаем соответственно:

/>

/>

1.4.2. Оцениваниекорреляционной функции — метод Юла-Уалкера.

Из соотношения, связывающегопараметры АРСС-модели с порядком авторегрессии pискользящего среднего q:

/>

Посколькуполагается,что u[k] — белый шум, то  

/>, />

/>, m>q

/>, m<0

В частном случаедля авторегрессионных параметров, получаем:

/>, />

/>, m=

/>, m<0

В матричном видеэти соотношения выглядят следующим образом :

/>/>

Таким образом, если заданаавтокорреляционная последовательность для />, то АР-параметры можно найти врезультате решения последнего матричного соотношения (называемого нормальнымиуравнениями Юла-Уалкера), гдеавтокорреляционная матрица является и теплицевой, и эрмитовой.

Наиболее очевиднымподходом к авторегрессионному оцениванию является решение нормальных уравненийЮла-Уалкера,в которые вместо значений неизвестной автокорреляционной функции подставляем ихоценки. Результатыэкспериментов с этим,первым методом АР-оценивания и сравнение с другими методами этого классаприведены в соответствующем разделе.

1.4.3.Методы оценивания коэффициентов отражения.

Рекурсивное решениеуравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p c параметрами порядкаp-1 выражением :

/>, где n=1,2,..p-1

Коэффициентотражения />определяетсяпо известным значениям автокорреляционной функции :

/>

/>, где />

Из всех величинтолько /> непосредственнозависит от автокорреляционной функции. В разное время предлагалосьнесколько различных процедур оценки коэффициента отражения, рассмотримнекоторые из них.

1.4.3.1. Геометрическийалгоритм.

Ошибки линейногопредсказания вперед и назад определяются соответственно следующими выражениями:

/>

 />

Рекурсивныевыражения, связывающиеошибки линейного предсказания моделей порядков p и p-1,определяются простой подстановкой  /> и />врекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров:

/>

/>

Несложно показать, что коэффициентотражения обладает следующим свойством (является коэффициентом частнойкорреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад) :

/>

Используя оценкивзаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад, получим:

 />

Таким образом, геометрическийалгоритм использует алгоритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициентаотражения,вычисляемого по известной автокорреляционной функции, используется егооценка  />

Окончательный видвыражений геометрического алгоритма :

/>, где n=1,2,..p-1

/>

/>, /> 

/>

/>, где />

1.4.3.2. Гармоническийалгоритм Берга.

Алгоритм Бергаидентичен геометрическому,однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений, а именно: при каждом значенийпараметра pв нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейногопредсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания):

/>

Приравниваяпроизводные к нулю,имеем оценку для /> :

/>

Некоторымобобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания дляуменьшения частотного смещения,наблюдаемого при использовании базового метода Берга:

/>

что приводит кследующей оценке :

/>

1.4.4. Оцениваниелинейного предсказания по методу наименьших квадратов.

Налагая ограниченияна авторегрессионные параметры, стем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Бергапроисходит минимизация по одного параметра — коэффициента отражения />. Более общий подходсостоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания.

Итак, пусть дляоценивания авторегрессионных параметров порядка p используютсяпоследовательность данных />.Оценка линейного предсказания впередпорядка pдляотсчета />будетиметь форму:

/>

где /> -коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p.

Ошибка линейногопредсказания :

/>

В матричном видеэто выражение записывается как :

/>

и соотношение дляошибки:

/>

Однако еслирассматривать,в котором  минимизируется следующая, невзвешенная  выборочная дисперсия :

/>

то матрица />принимаеттеплицевый вид (далееее будем обозначать />).

Нормальныеуравнения,минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид:

/> 

Элементы эрмитовойматрицы />имеют видкорреляционных форм

/>, где />

Таким образом, авторегрессионные параметрымогут быть получены в результате решения нормальных уравнений. Рассмотрималгоритм,который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитоваматрица /> получена как произведениедвух теплицевых  и в результате этого сводит количество вычислений к /> . При использованииалгоритма Холецкого потребовалось бы />операций.

Ошибки линейногопредсказания вперед и назад p-ого порядка

/>

/>

Здесь вектор данных/>, векторкоэффициентов линейного предсказания вперед /> и вектор линейногопредсказания назад />определяетсяследующими выражениями:

 />,/>, />

На основе отсчетовизмеренных комплексных данных />ковариационныйметод линейного предсказания позволяет раздельно  минимизировать суммыквадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад:

/>/>

что приводит кследующим нормальным уравнениям :

/>, />

/>

Введем необходимыедля дальнейшего определения :

/>,  />

исходя из вида /> и/> можнозаписать :

/>, />,

где вектор столбцы /> и/>даютсявыражениями :

/>, />

Важными такжеявляются следующие выражения :

/>

/>

Паравекторов-столбцов />и /> определяютсяиз выражений :

/>

/>

Аналогичноопределяются вектора />и />, а также />и/> черезматрицы /> и/>.

Процедура, используемая дляобновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующимобразом :

/>, где />,вкотором

/>

/>

Соответствующий видимеет процедура обновления порядка для вектора предсказания назад:

/>, где />,

/>

Векторы />и/>должныудовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка:

/>

/>

Используя тот факт, что /> являетсяэрмитовой матрицей имеем следующие выражения для /> и />:

/>

/>

 

Введем скалярныемножители

 />

/>

Соответствующиерекуррентные выражения для /> и />имеютследующий вид :

/>

/>

Наконец, еще одна рекурсияобновления порядка необходима для вектора /> :

 />

Обновлениевременного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания впередосуществляется в соответствии с выражением :

/>

Выражение дляобновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания вперед :

/>

Аналогичным образомобновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказанияназад ведется в соответствии с выражением :

/>

Выражение дляобновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания назад :

/>

/>,  />

где комплексныйскаляр />удовлетворяетвыражениям :

/>

Соответствующиерекурсии по временному индексу для действительных скаляров /> и/> даютсяследующими выражениями:

/>, />

Начальные условиянеобходимы для того,чтобы начать рекурсивное решение с порядка равного нулю:

/>, />, />,

/>, />,

/>, />

Экспериментальныерезультаты приведены в соответствующем разделе.

1.4.5. Градиентныйадаптивный авторегрессионный метод

 

1.4.6. Рекурсивныйавторегрессионный метод наименьших квадратов


1.5.Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии — скользящего среднего .

Модельавторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чемавторегрессионная модель,поэтому следует ожидать,что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будутобладать большими возможностями для передачи формы различных спектров. Основой спектральногооценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего являетсяаппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка. Пусть

/>  - системная функция СС(q)-процесса

/>-системнаяфункция АР-процесса,

эквивалентногоэтому СС(q)-процессу, то есть />

Применим обратное z-преобразование кобеим частям последнего равенства, используя теорему об обратномпреобразовании произведения функций, получим:

/>причем

/>

Таким образом, СС-параметры можноопределить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной моделипосредством решения произвольной подсистемы из q уравнений. Используя АР-оценкивысокого порядка />можно записатьследующую систему уравнений :

/>

В идеальном случаеошибка />должна быть равнанулю при всех значениях m,заисключением m=0,однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будетравна нулю, поэтомуоценки для CC-параметров должныопределятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки:

/> 

Из структурыуравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценкиможно найти,решив соответствующие нормальные уравнения (здесь используется либо «Оцениваниекорреляционной функции — метод Юла-Уалкера», либо

«Оценивание линейногопредсказания по методу наименьших квадратов»)  

Общая процедурараздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящегосреднего заключается в следующем. Этап первый — определениеавторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходнуюпоследовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получениявременного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеетсистемную функцию вида :

/>, где />-оценки

авторегрессионныхпараметров,определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функцияпроцесса авторегресии-скользящего среднего равна />, поэтому

/>

 Таким образом, пропуская записьизмеренных данных через фильтр с системной функцией />, получаем на еговыходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Этап третий: для оцениванияСС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела. Оценкаспектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид:

/>, где

/> — оценкаавтокорреляции,полученная по фильтрованной последовательности />

Экспериментальныерезультаты приведены в соответствующем разделе.

.

 

1.6.Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.

Оценка спектральнойплотности мощности по методу минимума дисперсии не является 

истинной функциейСПМ,поскольку площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощностьизмеряемого процесса.Обратное преобразование Фурье,соответствующее МД-оценке,также не совпадает с автокорреляционной последовательностью. Таким образом, МД-оценку можносчитать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает относительныеинтенсивности компонент частотного спектра, но не является  оценкой истиннойСПМ. Минимальнаядисперсия — это характеристика, которая болееинформативна вблизи начала координат оценки. Она получается посредствомминимизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра, частотнаяхарактеристика которого адаптируется к спектральным компонентам входногопроцесса на каждой представляющей интерес частоте.

Рассмотрим фильтр сp+1 коэффициентами />. Выход />этогофильтра,соответствующий входу />, определяется сверткой:

/>

Дисперсия на выходерассматриваемого фильтра определяется выражением :

/>

Коэффициентыфильтра необходимо выбирать таким образом, чтобы на частоте /> частотнаяхарактеристика этого фильтра имела единичный коэффициент усиления. Это ограничениеможно записать следующим образом:

/>, где

/>

Отсюда следует, что синусоида счастотой />, поданная на входтакого фильтра,пройдет без искажений.Для режекции компонент спектра,удаленных от частоты />, необходимо минимизировать дисперсиюна выходе рассматриваемого фильтра при последнем ограничении. То естьрассматривается задача условной минимизации:

/>/>

Несложно показать, что при такомограничении решение по методу минимума дисперсии для коэффициентов фильтрабудет удовлетворять уравнению:

/> 

Само значениедисперсии:

/>

Отсюда получаетсявыражение для спектральной оценки минимальной дисперсии:

/>

Экспериментальныерезультаты приведены в соответствующем разделе.

1.7. Методы оценивания частоты,основанные на анализе собственных значений.

1.7.1. Введение

Ключевой операциейв методах,основанных на анализе собственных значений, является разделение информации, содержащейся вавтокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства- подпространство сигнала и подпространство шума. В этих подпространствах можноопределять различные функции от векторов сигнала и шума для получения оценокчастоты.Однако эти оценкине сохраняют мощность анализируемого процесса и, следовательно, не являютсяоценками истинной СПМ.Далее будет рассмотрен метод классификации множественных сигналов.

Основная формулапрактически всех методов  оценивания частоты, основанных на анализе собственныхзначений имеет следующий вид:

/>, здесь

/> — собственныезначения автокорреляционной матрицы, упорядоченные по степени ихубывания; главныесобственные вектора /> (/>),соответствующие собственным значениям />.На собственные векторы />  натянутоподпространство шума матрицы />и всем им соответствуетодно и то же собственное значение />. На главные собственные векторы  />натянутоподпространство сигнала матрицы />.

Разложениеавтокорреляционной матрицы на собственные значения можно двумя способамииспользовать для получения спектральных оценок или, точнее говоря, улучшенных процедуроценок частоты. Сохранениеодной лишь информации,соответствующей собственным векторам пространства сигнала, то есть формированиедля матриц />аппроксимациипониженного порядка,эффективно способствует увеличению отношения сигнал/шум, посколькуустраняет вклад мощности компонент подпространства шума. Этот факт лежит воснове процедур оценок частоты главных компонент (подпространства сигнала). Свойство инвариантныхпрямых подпространств (подпространств шума и сигнала) положено в основупроцедур оценок частоты в подпространстве шума.

1.7.2.Процедурыоценки частоты в пространстве сигнала.

 

1.7.3.Оценкичастоты в пространстве шума.


Глава2.Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.

В данной работематематическое моделирование и вычислительные эксперименты преследовали следующиезадачи:

1.) Провестисравнительный анализ численных методов спектрального анализа на различных типахтестовых сигналах.

2.) Выявитьособенности каждого из методов и на их основе сделать вывод о целесообразностиприменения того или иного алгоритма в следующих условиях вычислительногоэксперимента:

2.0.) Тест-сигналсостоит из смеси комплексных синусоид и шумовых процессов (белых шумов, пропущенных черезфильтры с частотными характеристиками типа приподнятого косинуса) (используемдля проверки способности метода к сохранению «достоверности» формы спектра)

2.1.) Несколькокомплексных синусоид,присутствующие в анализируемом сигнале,  имеют близкие частоты (этот типтестовых сигналов используем для получения предельной разрешающей способностипо частоте)

2.2.) Всигнале присутствуют слабые синусоидальные составляющие на фоне сильных шумовыхпроцессов (анализируемспособность спектральных оценок обеспечивать обнаружение слабых компонентсигнала).

2.3.) Проводимсерию испытаний с одним методом и формируем при этом различные реализациипроцесса (здесьанализируем качество оценки СПМ, рассматриваемое как функция дисперсии оценки,зависящая от частоты;меньшим значениям функции соответствует лучшая оценка на заданной частоте). Здесь же вводитсяв рассмотрение равномерный критерий оценки качества получаемых оценок СПМ и наоснове его делается вывод о наилучшем методе в рамках своего класса и, вообще, о лучшем из всехисследованных врамках данной работы.

2.4.) Длявычислительных схем функционирующих в реальном масштабе времени проводим сериюэкспериментов,направленных на выявление влияния   значений параметров на структурнуюустойчивость алгоритма.

2.5.) Серияэкспериментов,направленных на решение вопроса о  выборе значений параметров в параметрическихметодах оценки СПМ (выборпорядка в авторегрессионном  методе и методе авторегрессии-скользящего среднего, а также порядокмодели линейного предсказания в ковариационном методе; шаг адаптации вадаптивном авторегрессионном алгоритме; действительный весовой множитель врекурсивном алгоритме наименьших квадратов; количество главных собственныхвекторов, отвечающихподпространству сигнала в методе, основанном на собственных значениях; тип окна вклассических методах спектрального анализа).

Сохранение «достоверности» формы спектра — одно из свойств,которое присуще практически всем исследованным методам. Однако меру «достоверности» сложно определитьаналитически и затем количественно для каждого из методов, поэтому «достоверность» относится к числусубъективных критериев качества получаемых оценок и основным подходом ксравнению алгоритмов является визуальное сравнение получаемых оценок с истиннымаприорно известным спектром тест-сигнала. Результаты сравнения полученныхкаждым из исследованных методов оценок приведены в приложении C.

Максимальнодопустимое разрешение оценки СПМ для всех рассмотренных методовприведены в приложении D. Как и следовалоожидать наилучшими в смысле спектрального разрешения являются альтернативныенеклассические методы. Основнойнедостаток классических методов заключается в искажающем воздействии какого быто ни было взвешивающего окна.А псевдоусреднение по ансамблю за счет сегментации данных приводит к еще более худшему разрешению (приложение DграфикN). От этого недостаткасвободны все остальные взятые в рассмотрение методы. Однако в случаеавторегрессионных методов увеличение порядка модели наряду с улучшениемразрешающей способности приводит к эффекту появления ложного спектрального пикаили к расщеплению спектральной линии (что продемонстрировано на графике NприложенияD). Оценки по методуминимума дисперсии и оценки, полученныеавторегрессионными методам, связанынекоторыми соотношениями,поэтому эти же эффекты присутствуют и в МД-оценках. В случаеалгоритмов, основанныхна сингулярном разложении матрицы данных, значительные ложные пики такжеимеют место при увеличении порядка модели.    

Практически всеметоды позволяют экспериментально обнаружить слабые синусоидальныесоставляющие.В таблице приложения Е приведены максимально допустимое соотношениесигнал/шум для всех методов,при котором еще возможно обнаружить составляющие сигнала, а также графики, иллюстрирующиерезультаты исследования.

Приложение Fвключаетв себя получение и исследование дисперсии оценок СПМ как функции частоты.

Выбор правильныхпараметров в методах,функционирующих в реальном масштабе времени сопряжен со значительнымитрудностями.С одной стороны,если рассматривать градиентный адаптивный авторегрессионный метод, выбор большегопараметра адаптации приводит к улучшению разрешающей способности и к увеличению«достоверности» спектра, с другой стороныэто приводит к возрастанию структурной неустойчивости всей вычислительной схемы, а на большихпорядках модели,вообще,к разрушению алгоритма.В эксперименте с аудио сигналом для каждого представления отсчетов (подпредставлением понимается следующий набор установок: частотадискретизации из диапазона 8 Кгц. — 44 Кгц.,количествоканалов — 1 (моно)/ 2(стерео), количествобитов на отсчет 8 бит/16 бит ) и для каждого наборапараметров схемы,осуществляющей сбор данных в реальном масштабе времени (количество (значения издиапазона: 3,...,128) идлина буферных областей задержек данных на входе и выходе (значения издиапазона:256,...,16384 отчета)) было выбрано компромиссное решение. Результатыприведены в приложении G.   

Поскольку наилучшеезначение порядка фильтра в авторегрессионной модели, как правило, не известно, на практикеприходится испытывать несколько порядков моделей. Базируясь на этом, вводят тот илииной критерий ошибки,по которому затем определяем требуемый порядок модели. Если порядокмодели выбран слишком  малым,получаются сильно сглаженные спектральные оценки, если излишне большим — увеличиваетсяразрешение,но в оценке появляются ложные спектральные пики. Таким образом, применительно кавторегрессионному спектральному оцениванию  выбор порядка моделей эквивалентенкомпромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методовспектрального оценивания.Очевидно, что следуетувеличивать порядок АР-модели до тех пор, пока вычисляемая ошибка предсказанияне достигнет минимума.Однако вовсех исследованных методах оценка дисперсии монотонно уменьшается с увеличениемпорядка модели.Следовательно,одной дисперсии обычно не достаточно для того, чтобы определить моментокончания процедуры изменения порядка.

Для выбора порядкаАР-модели предложено много различных критериев — своего рода целевых функций. Рассмотримнекоторые из них.Первый критерий называется окончательная ошибка предсказания(ООП). Согласноэтому критерию,выбор порядка осуществляется таким образом, чтобы минимизировать среднююдисперсию ошибки на каждом шагу предсказания.

/>, где   

N — число отсчетов данных, p-порядок АР-процессаи /> -оценочное значение дисперсии белого шума (которая будет использоваться вкачестве ошибки линейного предсказания).Выбирается такое значение порядка, при которомвеличина ООП минимальна.Однако использование этого и последующих критериев дает отличные результатытолько  для идеальных авторегрессионных процессов, а в случае реальных данныхрезультат оказывается сильно заниженным.

Вторым критерием, основанным наметодике максимального правдоподобия является информационный критерий Акаике(онпредставляет исключительно теоретический интерес,а на практике используется как нижняя граница порядка модели)  

/>

На практике обычнопорядок модели выбирают в интервале от N/3 доN/2 где N — длинаобрабатываемой последовательности отсчетов. В приложении Н приведеныграфики оценок СПМ,полученных при различных значениях порядка модели.

 

Особенностиреализации

Длярешения поставленных задач был разработан и реализован язык проектирования алгоритмов, включающий в себясредства межзадачного обмена данными, то есть построение распределенныхпо процессам вычислительных алгоритмов, определенные части которогоисполняются параллельно несколькими процессам. Дальнейшим развитием этогоподхода является построение сетевых распределенных  схем алгоритмов. Существует большоеколичество приложений этого подхода.

 

Заключение

В данной работе :

1.   Tеоретически проанализированы методы спектрального анализа,а также возможность применения этих методов в современных вычислительныхсистемах для обработки данных в  реальном масштабе времени.

2.   Полученырезультаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящийметод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексныхсинусоид и окрашенного стационарного шумового процесса для каждого изтипов экспериментов, сформулированныхв разделе экспериментальных результатов.

3.   Даноописание и выполнена реализация  схемы управления процессом обработки данных вреальном времени,использующая преимущества параллельной архитектуры вычислительных систем.

4.   Cформулирован рядтребований по вычислительным ресурсам при реальной обработке, сделан анализдлины выборки данных при различном представлении входного сигнала.

5.   Полученырезультаты по эксперименту вычисления характеристик окон и на их основевыбранонаилучшее решение в смысле разрешения (недостаточное качество разрешения почастоте в классических спектральных методах может быть улучшено исключительновыбором весового окна,а выбор параметров метода второстепенен по отношению к  выбору окна)  в каждомэксперименте по оцениванию спектральной плотности мощности тест-сигнала.

 

ПриложениeА.

Смещениепериодограммы Уэлча.

Здесь доказываетсяфакт,который используется в разделе классических методов. Среднеепериодограммы Уэлча можно записать в следующем виде:

/>

Докажем, что его можнопредставить в виде свертки истинного спектра (спектральной плотности мощности)и нормированного квадрата модуля дискретно-временного преобразованияиспользуемого окна данных,тоесть как

 />,где  /> и />

Рассмотримвыборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот />:

/>

Найдемнепосредственно квадрат модуля в последнем равенстве

/>

/>

Подставив в формулудля математического ожидания периодограммы Уэлча, получим следующее выражение:

/>

/>

/>

Введем врассмотрение следующее окно данных (свертка используемого окна данных с тем жекомплексно сопряженным,но в обратном времени,окном):

/>

Егодискретно-временное преобразование Фурье равно, по теореме о свертке вовременной области, произведениюпреобразований Фурье окна данных  />иокна />. Еслизаметить,что преобразование окна /> равнокомплексно-сопряженному преобразованию окна />,тоискомое выражение для /> будетравно квадрату  модуля />, где

/> 

Заменяя кратнуюсумму в выражении

/> 

и учитывая, то обстоятельство, что за пределамиинтервала шириной D отсчетов окно данныхтождественно равно нулю,имеем:

/>

/>/>

 

ПриложениeI.

Списокиспользуемой литературы.

еще рефераты
Еще работы по радиоэлектронике