Реферат: Численный расчет диода Ганна
ДиодГаннаМетодика расчетаВведениеДиоды Ганна, как твердотельные генераторы токов вдиапазоне СВЧ находят очень широкое применение в разнообразнейших устройствахблагодаря своим несомненным преимуществам: легкости, компактности, надежности,эффективности и др.
Со времен своего появления диоды Ганна неоднократносовершенствовались. Шло повышение рабочих частот, приводящее к соответственномууменьшению размеров кристалла; принимались различные меры по увеличению КПДдиодов и их выходной мощности.
Все это время рассчет диодов Ганна представлял собойочень длительный и трудоемкий процесс, даже с использованием компьютеров первыхпоколений. Однако, в наше время, в век стремительного роста материально-научнойбазы компьютерной техники становится возможным построить программноеобеспечение, позволяющее произвести рассчет диода Ганна легко и просто.
Теоретические сведения/> <td/> />Эффект, применяемый в диодах Ганна, проявляетсяв особом классе полупроводниковх веществ – многодолинных полупроводниках. Чащевсего диоды Ганна изготавливаются на основе арсенида галлия (GaAs),поэтому в данной работе он и берется за основу. Арсенид галлия – двухдолинныйполупроводник, имеющий разность энергий между долинами в 0,36 Эв. При этом,из-за различия эффективных масс в разных долинах, зависимость скоростиэлектронов от величины приложенного поля такова:
Это происходит в силу того, что электроны, набираяначальную скорость, находятся в нижней долине, где их эквивалентная масса мала.При некотором значении энергии электроны начинают попадать во вторую долину,теряя при этом 0,36 Эв энергии. Кроме того, в верхней долине их эквивалентнаямасса велика, поэтому они ускоряются полем значительно медленнее, чем в нижней.
Диод Ганна работает в импульсном режиме, когдаактивизируется его отрицательное дифференциальное сопротивление. Для этого втеле полупроводника возле катода создается область повышенного легирования,излучающая порции (сгустки) электронной плазмы. При этом электроныконцентрируются благодаря эффекту Ганна, и сгусток устремляется к аноду,вызывая во внешней цепи импульс тока.
Температурная модель диодов ГаннаИсследования данной проблемы методом Монте-Карлопоказали, что основным недостатком применяемых до сих пор методов (например,локально-полевого) является то, что они не учитывают конечность времениразогрева электронов в нижней долине и конечность времени междолинногоперехода, что делает их непригодными в диапазоне миллиметровых волн. Болееперспективными в этом случае являются различные модификации гидродинамических илитемпературных моделей, в которых имеется четкое разделение электронов по нижнейи верхней долинам, и конечность времени разогрева учитывается уравнениемсохранения энергии.
Существуют различные гидродинамические модели. Мырассмотрим так называемую двухтемпературную модель, в которой энергияэлектронов характеризуется максвелловской функцией распределения с различнойтемпературой электронов в разных долинах, причем в верхней долине температураэлектронов предполагается равной температуре решетки. Эта модель относительнопроста и достаточно оправдана физически.
Уравнения двухтемпературной модели доидов Ганна можноопределить следующим образом.
/> <td/> />Уравнение Пуассона.
Тут n1,2– концентрация свобоных электронов внижней и верхней долине соответственно; Е – напряженность электрического поля; n0– концентрация неподвижных доноров.
/> <td/> />Уравнения сохранения заряда для нижней и верхнейдолины соответственно:
/>
Тут u1,2– скорость потока электронов в верхней инижней долинах соответственно; t12и t21 – времяперехода из нижней долины в верхнюю и из верхней в нижнюю соответственно.Уравнение сохранения энергии для нижней долины можно переписать следующимобразом:
/>
В данной формуле E1 – средняя энергия электронов в нижней долине; аиндекс «ст» означает скорость изменения энергии электрона в нижней долиневследствие столкновения с фононами; индекс «1-2» означает скорость измененияэнергии вследствие междолинного перехода; n1u1E – скорость разогрева электронов полем.
Скорость изменения энергии электронов вследствие столкновенийи междолинных переходов может быть представлена в виде
/>
где Е0– энергия, соответствующаятемпературе решетки; te1– время релаксации электронов по энергии.
Появление в данной формуле Δ связано с тем, чтоиз нижней долины в верхнюю могут попасть только высокоэнергетичные электроны сэнергией, большей Δ.
/> <td/> />Если предположить, что распределение электроновв нижней долине характеризуется статистикой Максвелла, когда/> <td/> />
и обозначить в качестве температуры (в вольтах)величину/> <td/> />
то окончательно уравнение закона сохраненияэнергии в нижней долине примет вид:
В верхней долине температура электронов принимаетсяравной Т2=Т0.
Статическая температурная модельНедостатком температурной модели является тот факт,что величины t12,<sub/>t21 и te1 не являются такими четко измеряемымихарактеристиками, как пороговое поле эффекта Ганна, пороговая скорость,скорость насыщения. Поэтому, для определения параметров модели необходимоопределить их соответствие измеряемым характеристикам, прежде всего –характеристики скорость-поле. Для этого надо вычислить статическуюхарактеристику скорость-поле по температурной модели и подобрать параметрымодели так, чтоб она соответствовала измеряемой характеристике.
Для этого в уравнениях динамической модели необходимоприравнять нулю производные по времени и пространственной координате. Крометого, требуется учесть еще несколько физических моментов.
/> <td/> />Рассмотрим скорость перехода электронов издолины в долину. В стационарном режиме скорости этих переходов равновероятны. Внижней долине переход могут совершить только электроны с энергией, большей, чемширина междолинного зазора. Вероятность иметь эту энергию:
где А зависит от общего количества электронов в долинеи плотности состояний в верхней долине. В верхней долине вероятность (скорость)перехода пропорциональна количеству электронов в верхней долине и плотностисостояний в нижней. В итоге должно выполняться равенство:
/> <td/> />При этом R=P2/P1 – отношение плотности состояний в верхней долине кплотности состояний в нижней долине определяется соотношением эффективных масси количеством долин. Для арсенида галлия R составляетоколо 60. Соответственно:
Из принципа детального равновесия, т.е. условияравенства скоростей перехода, должно выполняться:
/> <td/> />Что и дает соотношение между временами миждолинногоперехода.
Рассмотрение баланса импульса следует проводить впредположении, что после перехода из долины в долину средний импульс перешедшихэлектронов равен нулю, и они должны будут набирать характерный импульс miVi.
/> <td/> />Тогда в нижней долине баланс импульса запишетсяв виде:/> <td/> />
В данной формуле tm1 –среднее время релаксации по импульсу в нижней долине. Отсюда для соотношениямежду скоростью и полем, т.е. подвижностью в нижней долине можно получить такоесоотношение:/> <td/> />
Таким образом получается, что подвижностьзависит от интенсивности междолинных переходов. Аналогично для верхней долиныможно записать/> <td/> />
В итоге для статической характеристики в рамкахдвухтемпературной модели получаем систему трансцендентных уравнений /> <td/> />
Решая эту систему, можно получить зависимость:
Сравнивая данную зависимость, полученную теоретически,с экспериментальной зависимостью скорость-поле, можно подобрать значенияпостоянных времени. Расчеты показывают, что оптимальными являются параметры:
t21=2,0·10-12 сек,
te1=0,8·10-12 сек,
tm1=0,4·10-12 cек.
Динамическая двухтемпературная модельОсновные уравнения двухтемпературной модели имеют вид:
Уравнение Пуассона
/> <td/> />Уравнения сохранения заряда для нижней и верхнейдолин
/>
Уравнение сохранения энергии для нижней долины
/> <td/> />Кроме того, необходимы граничные условия,имеющие вид
/>
Два последних граничных условия являются неточными идля снижения погрешности от этой неточности необходимо в приконтактной областизадавать область повышенного легирования.
Начальные условия точно заданы быть не могут. Однако,если метод решения уравнения выбран правильно, то независимо от начальныхусловий через некоторое время счета задача сойдется к правильному решению.Типичным видом записи начальных условий является запист в виде:
Е=VD/L,n1=n0, n2=0, T1=T0.
Уравнения, описывающие процессы в кристалле, должныбыть дополнены уравнениями внешней схемы. Наиболее простыми и распространеннымивариантами задания внешней схемы являются такие подходы:
1. Решение самосогласованной задачи свнешней схемой в виде колебательного контура;
2. Метод заданного напряжения.
В первом случае в явном виде записываютсядифференциальные чравнения внешней схемы и решаются совместно с уравнениями,описывающими процессы в кристалле. Этот метод называется также решением вовременной области и используется, как правило, для исследования переходныхпроцессов.
/> <td/> />Во втором случае, называемом также решением вчастотной области, параметры внешней схемы задаются в виде напряжения,приложенного к кристаллу, например, в виде
Перебирая значения V0,V≈,Ω, точно так же, как и параметры кристалла, можнополучить полную информацию о величине отрицательного дифференциальногосопротивления и его зависимости от параметров внешней схемы и структурыкристалла, и, как следствие, об энергетических характеристиках.
/> <td/> />Суть метода в том, что задав внешнее напряжениена кристалле путем решения уравнений, описывающих процессы в кристалле, находимполный ток через кристалл:/> <td/> />
Разложив его в ряд Фурье, получим:/> <td/> />
Тогда активная проводимость кристалла определяетсякак:/> <td/> />
В то же время реактивная проводимостьопределяется по формуле:/> <td/> />
Выходная мощность и коэффициент полезногодействия могут при этом быть вычислены по формулам:
/>
В последних двух записях предполагается, что токнаходится в противофазе к приложенному напряжению и проводимость кристаллаотрицательна.