Реферат: Способ определения живучести связи (вероятности связности)

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ.

            Определениюживучести связи (вероятности связности) между двумя конкретными узлами сети i и jпосвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет точного ее назначения сопряжен сбольшими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способопределения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно ивручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов ихпостроения.

            Рассмотримсеть той же мостиковой структуры, что и в [1] (рис.1). Для простоты будемполагать вероятности исправного функционирования всех ребер сети одинаковыми иравными р , а неисправного функционирования — равными q=1-p.Для оценки живучести воспользуемсяметодом прямого перебора состояний элементов сети связи [5]. На основаниибиноминального закона вероятность пребывания сети связи в состоянии, когда iлюбых ребер сети отказали,/>, где /> — биноминальныйкоэффициент; N – число ребер сети.

Например, для сети, изображенной на рис. 1, живучестьсвязи р13 зависит от следующей

/>


совокупностинезависимых событий: исправного состояния сети в целом – вероятность этогособытия равна  р3; повреждения любого одного ребра сети –вероятность /> одновременного повреждениялюбых двух ребер сети, за исключением двух случаев, когда оба ребра подходят кузлу 1 или к узлу 3 – вероятность/> одновременногоповреждения трех ребер сети, подходящих к узлу 2 или 4 – вероятность 2р2q3.

            Суммируявсе вероятности независимых событий, получаем искомое выражение :

/>

чтополностью совпадает полученными результатами в [1].

Аналагично для всех остальных пар узлов сети рис. № 1.

/>

/>

Из анализа видно, что

/>

          Связанной сетью являются сеть, в которой любой из узлов соединен состальными узлами сети. Вероятность связанности сети рис. № 1

/>

так как эта сеть допускает все одиночные поврежденияребер и восемь двойных повреждений ребер. Вероятность связности сети меньше илиравна живучести связи между любой парой узлов сети, в данном случае рс<р13.

            Сточки зрения характеристики сети интерес представляют вероятность рс,минимальная рмин   и максимальная рмакс живучести связимежду любой парой узлов сети и соотношения между ними. Для сети рис №1: рс<sub/>< рмин<sub/>=р13<sub/>< р12<sub/>=р14<sub/>=р23<sub/>=р34<sub/>< р24=рмакс.

          Аналогично можно найти выражения для вероятностисвязности полносвязных сетей. Для сети с тремя вершинами (n=3)

/>                      (1)

дляn=4;

/>     (2)

дляn=5;

/>        (3)

дляn=6;

/>   (4)

            Длярс при n=7….10 расчетные формулы не приводятся из-загромоздкости.

            Вероятность связности для кольцевых сетей связи, т.е. сетей, у которых степень для каждойвершины равна 2 (степенью вершины d называются число граней графасети, инцидентных данной вершине [6]),

/>

            На рис 2 определена зависимость рсот р для кольцевых сетей при различных n.Из ее анализа видно, что вероятность связности кольцевых сетей  падает сувеличением числа узлов сети при одних и тех же значениях р.

/>


Рис № 2. 

/>


            Напрактике довольно редко встречаются полносвязные сети. Обычно бывают сети снебольшими степенями вершин. Имеется большое семейство графов (так называемыхравнопрочных), в которых степень вершины d, число вершин nи общее число граней m связаны следующим соотношением: d=2m/n (приn>2).

            Напримердля шестиугольника (n=6) без резервирования связей можно построить четыреразличных графа с d=2, 3, 4,5. Вероятности связности этих графов определяется следующими выражениями:

При d=2 (рис.3, а)

/>                         (5)

приd=3 (рис. 3, б)

/>  (6)

приd=4 (рис. 3, в)

/>   (7)

            Приn=8 можно построить шесть различных графов с d=2…..7;вероятность связности  этих графов определится следующими выражениями:

d=2 (рис. 4, а)

/>                      (8)

d=3 (рис. 4, б)

/>    (9)

d=4 (рис. 4, в)

/>(10)

/> /> /> /> /> /> <td/> />

            Расчетныеформулы для рс при d=5 и 6 из-за громоздкости неприводятся.

            Нарис 5 и 6 представлены зависимости вероятности связности сети с n=6,8 соответственно при различных d (сплошные линии), построенные по формулам (5) – (10).Из рисунков видно, что увеличение вероятности связности сети с увеличением d принеизменном p объясняется тем, что с увеличением dвозрастает разветвленность сети связи.

            Ксожалению, ловольно трудно получить аналитическое выражение для вероятностисвязности сети рассматренного семейство графов при различных d и n, за исключением полносвязных сетей с  d = n – 1 [см.выражение (1) – (4)]. По этому целесобразно определять верхнююгруницу вероятности связности графов. Если граф связный, то в нем не может бытьизолированных вершин. В этом случае каждой вершине должна быть инцидента покрайней мере одна ветвь.

            Пусть Ai – событие, когда не существует неповрежденных ветвей,инцидентных вершине i, p(Ai)– вероятность этого события; 1 – p(Ai) – вероятность дополнительного события, когда существуетпо крайней мере одна целая ветвь, инцидентная вершине i, Поэтомувероятность того, что у всех вершин есть по крайне мере одна целая ветвь, т.е.есть связана,  ограничена неравенством: 

/>                   (11)

            На рис. 5,6 представлены зависимости (11)для n=6, и d=2…..7(штриховые линии). Сравнение кривых показывает, что верхнюю границу вероятностисвязности сети, особенно при больших d.

            Такимобразом, полученная простая верхняя оценка вероятности связности равнопрочныхсетей связи дает шорошее приближение к точному значению вероятности связностисети при больших значениях d.

еще рефераты
Еще работы по радиоэлектронике