Реферат: Переходные процессы в электрических цепях

/>Примеррешения задачи

по разделу«Переходные процессы»

Задача.Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепидействует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения вовремени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачуследует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученногоаналитического выражения построить график изменения искомой величины в функциивремени в интервале от t = 0 до t =/>, где />– меньший по модулю кореньхарактеристического уравнения.

Параметрыцепи: R1 = 15 Ом; R2= 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.

Классический метод.

Решение задачи получается в виде суммы принужденногои свободного параметра:

i(t) = iпр(t) + iсв(t); u(t) = uпр(t)+ uсв(t), (1)

где />,а />.

/>1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима длямомента времени t = (0–). Так как сопротивлениеиндуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, торасчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2.Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме толькоодна ветвь, то ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всегоодин контур.

Составляем уравнение по второмузакону Кирхгофа для этого контура:

/>,

откуда

/> = 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [uC(0–)= 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно послекоммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схемаприведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL(0–)= iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4 А.По второму закону коммутации uC(0–) = uC(0+)= 0.

/>Для контура,образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 иемкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

или

/>;

i1(0+)= i2(0+) + i3(0+) = 14 А.

Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC(0+) =100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

/>3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для />. Как и длядокоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостьюисключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметровдокоммутационого режима.

/> = 10 А;

/> = 100 В; />; />

4. Определяемсвободные составляющие токов и напряжений для момента времени t= 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+)+ iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+)+ uсв(0+).

iсв1(0+)= 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+)= –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) = 0; />.

5. Определяемпроизводные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно послекоммутации (t = 0+), для чего составим системууравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положивЕ = 0.

/>;

/> (2)

Производную тока через индуктивность можно найти,используя выражение: />, а производнуюнапряжения на емкости – из уравнения />. Т.е.

/> и />,

откуда

/>; /> (3)

Подставляя (3) в (2), после решения получаем:

/>; />; />; />

Все полученные результаты заносим в таблицу.

uR2

t = 0+ 14 10 4 100

10 10 100

4 10 –6

–105

106

–106

6. Составляемхарактеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схемеисточник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входноесопротивление для синусоидального тока />.Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:

/>.

Заменим jw на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:

или

R2CLp2+ pL + R2 = 0.

Откуда находим корни р1 и р2.

/> р1 = –1127, р2 = –8873.

7. Определимпостоянные интегрирования А1 и<sub/>А2. Для чегосоставим систему уравнений:

/>;

или

/>;

Например, определим постоянные интегрирования для тока i1и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде:

4 = А1i + А2i;