Реферат: Сопротивление материалов

УО «Пинский государственный аграрнотехнический колледж им. А.Е. Клещева

Техническая механика

Контрольная работа

Учащегося(щейся)

КОЛОДКО АлександрНиколаевич

337 группы

специальности Мелиорацияи водное хозяйств

Задача 1

Для ступенчатогостального бруса требуется: а) определить значения продольной силы и нормальногонапряжения по длине бруса; б) построить эпюры /> и />; в) определить абсолютноеудлинение (укорочение) бруса. Модуль продольной упругости />МПа.

Данные для задачи своеговарианта взять из табл. 1 и схемы на рис. 8

Таблица1

Вариант

/>, м

кН

см2

см 49 220 100 20 18 12 50 70 80

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Решение

1. Определение внутреннихусилий.

Разбиваем стержень научастки, проводим сечения и рассматриваем отсеченные участки со свободногоконца (рис.1, а).

Согласно определениювеличина продольной силы численно равна алгебраической сумме проекций всех сил,действующих на оставшуюся часть стержня, на ось стержня.

Участок />, />м:

/>кН.

Участок />, />м:

/>кН.

Участок />, />м.

/>кН.

По полученным даннымстроим эпюру продольных сил /> (рис.1, б).

Рис.1. Расчетные схемы кзадаче 1

2. Определяем нормальныенапряжения />.

Участок />:

/>Па/>МПа.

Участок />:

/>Па/>МПа.

Участок />:

/>Па/>МПа.

Строим эпюру нормальныхнапряжений /> (рис.1, в).

3. Определениеабсолютного удлинения (укорочения) бруса.

Для определенияабсолютного удлинения (укорочения) бруса найдем значения перемещений каждогоучастка бруса, используя формулу закона Гука.

При этом учтем, что вточке /> (жесткаязаделка) перемещение сечения бруса отсутствует. С этой точки будем отсчитыватьординаты перемещений.

/>;

/>м;

/>м.

Таким образом, абсолютнобрус укоротится на величину

/>м/>мм.

Ответ: />мм (брус укоротится).

Задача 2

Подобрать сечениястержней 1 и 2 шарнирно-стержневой конструкции, приняв для растянутых – дваравнополочных, для сжатых – два неравнополочных уголка. Расчет произвести попредельному состоянию. Расчетное сопротивление />МПа, коэффициент перегрузки />. Коэффициентусловия работы />.

Данные для задачи своеговарианта взять из табл. 2 и схемы на рис. 9.

Таблица 2

Вариант

Углы, град кН

49 90 30 90 110

Решение

1. Определение реакцийстержней.

В точке /> пересекаются линиидействия заданной силы /> реакций стержней /> и />, поэтому выделяем узел /> (рис.2),который рассматриваем как объект равновесия. Прикладываем к этому узлу заданнуюсилу />,направленную вдоль троса. При этом учитываем, что неподвижный блок /> изменяетнаправление силы, но не влияет на ее значение. Освобождаем узел /> от связей, которыеосуществляются стержнями /> и />. Прикладываем вместо них реакциистержней /> и/>,направляем их вдоль стержня от узла, то есть полагаем, что оба стержня растянуты.

Рис.2. Расчетная схема кзадаче 2

Выбираем координатные оси/> и />, и составляемуравнения равновесия:

/>; />; (1)

/>; />; (2)

Решаем уравненияравновесия и находим реакции стержней.

Из уравнения (2) находим

/>кН.

Из уравнения (1) получаем

/>кН.

Знаки реакций показывают,что в действительности стержень /> сжат, а стержень /> растянут.

2. Подбор сеченийстержней.

При проектированииконструкций условие прочности по первому предельному состоянию записывается вследующем виде:

/>, (1)

где />– наибольшая расчетнаянагрузка в стержне;

/> – площадь сечения стержня;

/> – коэффициент условий работы;

/> – расчетное сопротивлениематериала стержня.

Из условия (1) находимтребуемую площадь поперечного сечения стержня

/>.

Для сжатого стержня /> будем иметь

/>м2/>см2

По табл. 4 сортамента [1,с.291], выбираем для заданного сечения стержня два неравнополочных уголка №2,5/1,6, для каждого из которых площадь профиля />см2. Тогда суммарнаяплощадь сечения стержня будет />см2/>см2.

Для растянутого стержня /> получим

/>м2/>см2

По табл. 3 сортамента [1,с.286] выбираем для сечения стержня два равнополочных уголка № 4 (40´5), для каждого из которых площадьпрофиля />см2.Тогда суммарная площадь сечения второго стержня будет равна />см2/>см2.

Ответ: материал сжатого стержня АВ – дванеравнополочных уголка № 2,5/1,6;

материал растянутогостержня ВС – два равнополочных уголка № 4 (40´5).

Задача 3

Найти главные центральныемоменты инерции сечения: а) геометрической формы; б) составленного изстандартных профилей проката. Данные для задачи своего варианта взять из табл.3 и схемы на рис. 10.

Таблица 3

Вариант

Швеллер, № Полоса, мм см 49 15 40 20 15 20 30

Решение

a) Сечение геометрической формы.

1. Определяем координатыцентра тяжести фигуры.

Для этого проводим вспомогательныеоси />, /> таким образом,что ось /> совпадаетс нижним основанием фигуры, а ось /> совпадает с ее вертикальной осьюсимметрии. Относительно выбранных осей координат определим положение лишьвертикальной координаты центра тяжести фигуры. Для этого разбиваем сечение на трипрямоугольника I, II и два треугольника III (рис.3).

Ординату центра тяжестисечения определяем по формуле

/>,

где />– площадь прямоугольникаI;

/>см2;

/> – расстояние от оси /> до центратяжести прямоугольника I;

/>см;

/> – площадь прямоугольника II;

/>см2;

/> – расстояние от оси /> до центратяжести прямоугольников II;

/>см;

/> – площадь треугольника III;

/>см2;

/> – расстояние от оси /> до центратяжести треугольников III;

/>см;

Подставляя числовыезначения, получим

/>см.

Кроме того, />.

По этим данным наносимточку /> –центр тяжести сечения и проводим главные центральные оси сечения /> и />.

2. Вычисляем главныецентральные моменты инерции сечения:

/>; />.

Для вычисления моментаинерции прямоугольника I /> относительно оси /> используемформулу IV.10 [1, с.82]

/>,

где />– момент инерции прямоугольникаотносительно собственной центральной оси />;

/>см4;

/> – расстояние от оси /> до центратяжести прямоугольника I

/>см.

Подставляя числовыезначения, получим

/>см4.

Аналогично находим моментыинерции прямоугольников II итреугольников III относительно оси />:

/>,

где />см4;/>см.

/>см4.

/>;

где />см4; />см;

/>см4.

Суммарный момент инерцииотносительно главной оси />

/>см4.

Точно также вычисляеммомент инерции относительно главной оси />.

Для прямоугольника I

/>,

где />см4;

/>см4.

Для прямоугольника II

/>,

где />см4; />см.

/>см4.

Для треугольника III

/>,

где />см4; />см.

/>см4.

Суммарный момент инерцииотносительно оси />

/>см4.

5. Вычерчиваем сечение вмасштабе 1:5 с указанием на нем всех осей и размеров (рис.2).

Рис.3. Сечениегеометрической формы

a) Сечение, составленное изстандартных профилей проката.

1. Определяем координатыцентра тяжести.

Для этого проводимвспомогательные оси />, /> таким образом, что ось /> совпадает с нижнимоснованием полосы, а ось /> совпадает с осью симметрии фигуры.Разбиваем сечение на три фигуры: прямоугольную полосу и два швеллера № 30, длякоторых все необходимые данные выбираем из таблиц сортамента [1, c.284].

Фигура Размеры, см

Площадь сечения />, см2

Моменты инерции относительно собственных центральных осей, см4

/> Швеллер № 30 30 10 40,5 5810 327 />

Находим геометрическиехарактеристики прямоугольной полосы:

/>см2;

/>см4;

/>см4.

Поскольку ось /> является осьюсимметрии сечения, то она будет являться главной центральной осью сечения />

Ординату центра тяжестисечения определяем по формуле

/>,

где />– расстояние от оси /> до центратяжести сечения прямоугольной полосы;

/>см;

/> – расстояние от оси /> до центратяжести швеллеров;

/>см.

Подставляя числовыезначения, получим

/>см.

По этим данным наносимточку /> –центр тяжести сечения и проводим главные центральные оси /> и />.

2. Вычисляем главные моментыинерции относительно осей /> и />:

/>; />.

Вычисляем момент инерции полосы/> относительнооси />

/>см4,

где />– расстояние от оси /> до центратяжести прямоугольника

/>см.

Аналогично находим моментинерции швеллера относительно оси />:

/>,

где />см;

/>см4.

Главный момент инерции

/>см4.

Точно также вычисляем главныймомент инерции сечения относительно оси />.

Для прямоугольной полосы

/>см4.

Для швеллера

/>,

где />см.

/>см4.

Суммарный момент инерцииотносительно оси />

/>см4.

3. Вычерчиваем сечение вмасштабе 1:2 с указанием на нем всех осей и размеров (в см) (рис.4).

Рис.4. Сечение, составленноеиз стандартных профилей проката

Задача 4

Построить эпюрыпоперечных сил и изгибающих моментов от расчетной нагрузки. Проверить несущуюспособность деревянной балки.

Данные для задачи своеговарианта взять из табл. 4 и схемы на рис. 11.

Таблица 4

Вариант

/>, кН

/>, кН/м

/>, кН∙м

м 49 3 6 1 20 12 6

Решение

1. Выполняем расчетнуюсхему согласно исходных данных (рис.5, а).

Отбросим опоры и заменимих влияние на балку опорными реакциями /> и /> (рис.5, б).

Определяем опорныереакции.

Составим сумму моментоввсех сил относительно точки />:

/>; />,

откуда

/>кН.

Составим сумму моментоввсех сил относительно точки />:

/>; />,

откуда

/>кН.

Проверка:

/>.

Следовательно, реакцииопределены правильно.

2. Балка имеет триучастка. Обозначим через /> расстояние от левого или правогоконцов балки до некоторого его сечения. Составим выражения для поперечных сил /> и изгибающихмоментов />,возникающих в поперечных сечениях балки и по ним установим значения ординатэпюр в ее характерных сечениях.

Участок I />:

/>;

/>.

При />

/>кН;

/>.

При />м

/>кН;

/>кН∙м.

Поскольку уравнениеизгибающего момента – уравнение параболы, то для построения эпюры /> определим ещеодно значение момента:

при />м

/>кН∙м.

Участок II />:

/>;

/>.

При />м

/>кН;

/> кН∙м.

При />м

/>кН;

/>кН∙м.

Участок III />:

/>;

/>.

При />

/>кН;

/>.

При />м

/>кН;

/>кН∙м.

3. По полученнымординатам строим эпюры /> и /> балки (рис.5, в, г).

Рис. 5. Расчетные схемы кзадаче 4

4. Условие прочностидеревянной балки записывается в виде

/>, (1)

где />– максимальныйизгибающий момент, действующий в поперечном сечении балки. Из эпюры изгибающихмоментов имеем />кН∙м;

/> – момент сопротивления сеченияпри изгибе; для сечения прямоугольной формы

/>,

где />мм/>м – ширина прямоугольногосечения балки;

/>мм/>м – высота прямоугольного сечениябалки;

/>м3;

/> – допускаемые напряжения приизгибе; для дерева принимаем />МПа.

Проверяем несущуюспособность деревянной балки

/>Па/>МПа,

что значительно большедопускаемых напряжений. Следовательно, несущая способность балки несоблюдается.

Ответ: Прочность балки недостаточна.

Задача 5

Для двухопорной балкиподобрать сечение двутавра из условия прочности.

Проверить прочность покасательным напряжениям. Построить эпюры /> и /> для сечений, в которых /> и />. Нагрузкупринять состоящей: 1) из 80% постоянной, коэффициент перегрузки /> 2) из 20% временной,коэффициент перегрузки />.

Данные для задачи своеговарианта взять из табл. 5 и схемы на рис. 12.

Таблица 5

Вариант

/>, кН/м

/>, кН∙м

м 49 4 4 12 6

Решение

1. Определяемдействительные значения нагрузок, действующих на балку, используя метод расчетапредельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилиев балке (в нашем случае /> и />) определяем как сумму усилий откаждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующихкаждой нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

/>кН∙м;

/>кН/м.

2. Выполняем расчетнуюсхему согласно исходных данных (рис.6, а).

Отбросим опоры и заменимих влияние на балку опорными реакциями /> и /> (рис.6, б). Учитываясимметричность конструкции, получим

/>кН.

Участок I />:

/>;

/>.

При />

/>кН;

/>кН∙м.

При />м

/>кН;

/>кН∙м.

Участок II />:

/>;

/>.

При />м

/>кН;

/> кН∙м.

При />м

/>кН;

/>кН∙м.

Так как на концах участкаII поперечная сила меняет свой знак сплюса на минус, то на данном участке изгибающий момент принимает максимальноезначение.

Из условия /> найдем абсциссу /> сечения, вкотором действует изгибающий момент />:

/>,

откуда

/>м.

Тогда при />м

/>кН∙м.

Участок III />:

/>;

/>.

При />

/>кН;

/>.

При />м

/>кН;

/>кН∙м.

3. По полученнымординатам строим эпюры /> и /> балки (рис.6, в, г).

Рис. 3. Расчетные схемы кзадаче 3

4. Определяем из условияпрочности необходимый момент сопротивления сечения

/>, (1)

/> – момент сопротивления сеченияпри изгибе;

/> – допускаемые напряжения приизгибе; принимаем для стали Ст3

/>МПа.

Из выражения (1) находимтребуемый момент сопротивления сечения

/>м3/>см3.

Для подбора сечения балкив виде двутавра используем таблицу сортамента [1, с.283], откуда выбираем длязаданного сечения балки двутавр № 40, для которого />см3. Перегрузка приэтом составит

/>,

что вполне допустимо(< 3%).

5. Построим эпюры /> и /> для сечений, вкоторых /> и/>.

Сечение С (расположено посередине пролета />). В данномсечении действуют только нормальные напряжения, так как поперечная сила равнанулю.

Нормальные напряжениявычисляем по формуле Навье

/>.

В данном сечении />кН∙м, />кН.

Данные для двутавра №40: />мм; />мм; />мм; />мм; />см2;/>см4;/>см3.

Обозначим характерныеточки по высоте сечения (рис.7).

Точка 1:

/>мм/>м;

/>Па/>МПа.

Поскольку изгибающиймомент положительный, то точки 1 и 2 лежат в сжатой зоне и напряжения в этихточках имеют отрицательный знак.

Точка 2:

/>мм/>м;

/>Па/>МПа.

Точка 3:

/>, так как />. Ось, проходящая через точку 3,называется нейтральной осью.

Точки 4 и 5. В этихточках значения нормальных напряжений те же, что и в точках 2 и 1, толькоположительные, так как точки 4 и 5 лежат в растянутой зоне.

/>МПа;

/>МПа.

По полученным значениямстроим эпюру /> (рис.7).

Рис.7. Эпюра нормальныхнапряжений в сечении С

Сечение D. Здесь действует максимальнаяпоперечная сила />кН, а изгибающий момент равен />кН∙м.

Касательные напряжения /> вычисляем поформуле

/>.

В точках 1 и 5 /> (рис.8).

Точки 2 и 4. Вычисляемстатический момент площади поперечного сечения

/>,

где />– отсеченная частьплощади поперечного сечения;

/> – координата центра тяжестиотсеченной площади.

/>м3.

При />мм

/>Па/>МПа.

При />мм

/>Па/>МПа.

Точка 3. Это точка,расположенная на уровне нейтральной оси. Для нее имеем [2, с.257]

/>м3.

/>Па/>МПа.

Нормальные напряжения всечении D

/>Па/>МПа (сжатие);

/>МПа (растяжение).

Строим эпюры напряжений всечении D (рис.8).

Рис. 8. Эпюра касательныхнапряжений в сечении А

Максимальное касательноенапряжение имеет место на нейтральной линии, то есть />МПа.

Допускаемое касательноенапряжение по 3-й теории прочности принимаем равным />МПа.

Следовательно, для балкидвутаврового сечения

/>МПа<96МПа/>.

Условие прочностивыполняется.

Задача 6

Подобрать сечениеравноустойчивой центрально сжатой колонны из двух швеллеров или двутавров (взависимости от варианта выполняемой задачи), соединенных планками способомсварки. Материал — сталь Ст3, расчетное сопротивление />МПа. Данные для задачи своеговарианта взять из табл. 7 и рис. 13. Принять />.

Вариант Схема на рис.

/>, м

/>, МН

% от />

49 V 6 0,6 30 70 1,3 1

Решение

1. Определяемдействительное значение нагрузки, действующей на колонну, используя методрасчета предельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилиев колонне (в нашем случае />) определяем как сумму усилий откаждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующихданной нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

/>МН/>кН.

2. Равноустойчивостьколонны во всех направлениях будет обеспечена при равенстве моментов инерцииотносительно осей /> и />. Момент инерции сеченияотносительно оси /> не зависит от расстояния />, поэтомуподбор сечения произведем, учитывая это обстоятельство.

3. Принимая в качествепервого приближения значение коэффициента />, находим площадь поперечногосечения колонны

/>м2/>см2.

Из таблиц сортамента [1,с.284] выбираем два швеллера № 30, для которых суммарная площадь сечения равна />см2.

Наименьший радиус инерциииз той же таблицы для составного сечения

/>см.

Определяем гибкость колонны

/>.

Коэффициент /> из табл.X.1[1] получаем равным />.

Повторим расчет, принимая

/>.

Далее находим

/>м2/>см2.

Из таблиц сортамента [1,с.284] выбираем два швеллера № 20а, для которых суммарная площадь сечения равна/>см2;/>см.Гибкость колонны при этом будет равна

/>.

Коэффициент /> из табл.X.1 получаем равным />.

Еще раз повторим расчет,приняв

/>.

Далее получаем

/>м2/>см2.

Выбираем швеллер № 18а.Тогда />см2;/>см.

Гибкость

/>.

Коэффициент продольногоизгиба при этом равен />.

Еще раз произведем расчет

/>.

Далее получаем

/>м2/>см2.

Выбираем швеллер № 18.Тогда />см2;/>см.

Гибкость

/>.

Коэффициент продольногоизгиба при этом равен /> и очень мало отличается от />. Расчетзаканчиваем и принимаем швеллер № 18, для которого />см4; />см4; />см2.

Момент инерции сеченияколонны относительно оси /> равно

/>см4.

Момент инерции сеченияколонны относительно оси /> равно

/>.

Условие равноустойчивостиимеет вид

/>.

Подставляя сюда значениямоментов инерции, получим

/>,

откуда находим расстояниеот центра тяжести швеллера до оси />

/>см.

Определяем длину пластин

/>см