Реферат: Динамическое представление данных

Р Е Ф Е Р А Тна тему :

“ Динамическое представление сигналов “

Выполнил: ЗазимкоС.А.

Принял: Котоусов А.С.

МОСКВАДинамическоепредставление сигналов.

Многиезадачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Длярешения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значениемсигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в“прошлом” и “будущем”.

ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

Данныйспособ получения моделей сигналов заключается в следующем:

Реальный сигнал представляется суммой некоторыхэлементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь,если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то впределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описаниясигналов называется динамическим представлением, подчеркивая тем самымразвивающийся во времени характер процесса.

Напрактике широкое применение нашли дваспособа динамического представления.

Первыйспособ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции,которые возникают через равные промежутки времени D

. Высота каждой ступенькиравна приращению сигнала на интервале времени D. В результате сигнал может быть представленкак на рисунке 1.

рис. 1

При второмспособе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Этиимпульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность,вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.

рис. 2

Теперьрассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала: используемого длядинамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Допустим имеется сигнал, математическая модель котороговыражается системой :

ì 0, t < -x,

u(t)

= í0.5(t/x+1), -x £ t £ x, (1)

î 1, t > x.

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из“нулевого” в “единичное” состояние.

Переход совершается по линейному закону за время 2x

. Теперь если параметр xустремить к нулю, то в пределе переход изодного состояния в другое будетпроисходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получиланазвание функции включения или функции Хевисайда :

ì 0, t < 0,

s

(t) = í 0.5, t =0, (2)

î

1, t >0.

Вобщем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчетавремени на величину t0. Запись смещенной функции такова :

ì 0, t < t0,

s

(t — t0)= í 0.5, t =t0, (3)

î

1, t >t0.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Рассмотримнекоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D

,2D,3D,...} — последовательность моментов времени и{S1,S2,S3,...} — отвечающая импоследовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значениесигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций :

¥

s(t)

»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD).

k=1

·

Если теперь шаг D устремить к нулю. то дискретнуюпеременную kD можнозаменить непрерывной переменной t.При этом малые приращения значения сигналапревращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt, имы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредствомфункций Хевисайда

¥

ó ds

<img src="/cache/referats/2213/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1026"> S(t)=s

0 s(t) + ô s(t-t) dt (4)

õ dt

0

Переходяко второму способу динамического представления сигнала, когда элементамиразложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.

ДЕЛЬТА — ФУНКЦИЯ .

Рассмотримимпульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :

1 é

x x ù

u(t;x

) = — ês(t + — ) — s(t - — ) ÷ (5)

x

ë 2 2 û <img src="/cache/referats/2213/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Прилюбом выборе параметра x

площадь этого импульса

равна единице :

¥

П = ò

u dt = 1

— ¥

Например,если u - напряжение, то П = 1 В*с.

Теперьустремим величину x

к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому еговысота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функцийпри x®0 носит название дельта-функции, или функции Дирака[1] :

d

(t) = lim u (t;x)

x

®0

Дельтафункция - интересный математический объект. Будучиравной нулю всюдю, кроме как в точке t= 0 [2]дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображениедельта-функции :

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛАПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.

Теперьвернемся к задаче описания аналогового сигнала суммойпримыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2). С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупностипримыкающих импульсов. Если Sk- значениесигнала на k — ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как:

h

k(t) = Sk [ s(t — tk) - s(t — tk — D) ] (6)

Всоответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма такихэлементарных слагаемых :

¥

S(t) = å

h(t) (7)

k= — ¥

Вэтой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, чтоудовлетворяет условию для t :

tk< t < tk+1

Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D

, то

¥

S(t) = å

Sk — [ s(t — tk) - s(t — tk — D) ] D

k=- ¥

D

Переходяк пределу при D

®0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальнойпеременной t, дифференциал которой dt, будет отвечать величине D.

Поскольку

lim[ s

(t — tk) - s(t — tk — D) ] ---

D

®0 D

получимискомую формулу динамического представления сигнала

¥

S (t) = ò

s (t) d(t — t) dt

— ¥

Итак, если непрерывную функциюумножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывнойфункции в той точке, где сосредоточен d

— импульс. Принятоговорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[3]

Изопределения дельта-функции следует (3). Следовательно, интеграл дельта-функции от — ¥ до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать какпроизводную единичного скачка :

d

(t) = 1’(t) ;

d

(t-t0) = 1’(t-t0). Обобщенныефункции как математические модели сигналов.

Вклассической математике полагают, чтофункция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t. Однако рассмотреннаяфункция d

(t) не вписывается в эти рамки — ее значениепри t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичныйинтеграл. Возникает необходимостьрасширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математикебыла введено принципиально новое понятие обобщенной функции.

В основе идеи обобщенной функции лежитпростое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет,то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этогопредмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦

(t) может служить, например,значение интеграла

¥

ò

¦(t) j(t) dt (8)

— ¥

приизвестной функции j

(t), которую называют пробной функцией.

Каждойфункции j

(t)отвечает,в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, чтоформула (8) задает некоторый функционал на множествепробных функций j(t).Непосредственно видно, чтоданный функционал линеен, то есть

(¦

, aj1+bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2).

Еслиэтот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множествепробных функций j

(t)заданаобобщенная функция ¦(t)[4].Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, ане как предел соответствующих интегральных сумм.

Обобщенныефнкции, даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствамиклассических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

И взаключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функцийполучила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методыизучения процессов, для которых средства классического анализа оказываютсянедостаточными.

Литература :

1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В

ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.

2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

И СИГНАЛЫ.

<span Time

еще рефераты

Еще работы по программированию, базе данных

Реферат по программированию, базе данных

Принципы реализации машин БД

29 Августа 2013

Реферат по программированию, базе данных