Реферат: Решение инженерных задач на ЭВМ
Содержание<span Times New Roman",«serif»">Введение
<span Times New Roman",«serif»">……………………………………………………………………………………………………………………….4<span Times New Roman",«serif»">1. Глава 1.Погрешности
<span Times New Roman",«serif»">……………………………………………………………………………………………………..4<span Times New Roman",«serif»">§ 1 Общая схема вычислительного эксперимента…………………………………………………………………………...4
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§
<span Times New Roman",«serif»">2.Абсолютная и относительная погрешность……………………………………………………………………………..5<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 3. Основные источники погрешностей……………………………………………………………………………………..6
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 4. Десятичная запись приближенныхчисел. Значащая цифра. Число верных знаков…………………………………..7
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 5. Связь относительной погрешностиприближенного числа с количеством верных знаков этого числа……………..8
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 6. Погрешность суммы……………………………………………………………………………………………………….9
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 7. Погрешность разности……………………………………………………………………………………………………..9
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 8. Погрешность произведения……………………………………………………………………………………………….10
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 9. Число верных знаков произведения………………………………………………………………………………………11
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 10. Погрешность частного……………………………………………………………………………………………………11
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 11. Число верных знаков частного…………………………………………………………………………………………..11
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 12. Относительная погрешность степени…………………………………………………………………………………...12
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 13. Относительная погрешность корня……………………………………………………………………………………...12
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§ 14. Общая формула для погрешности……………………………………………………………………………………….12
<span Times New Roman",«serif»;color:black">§
<span Times New Roman",«serif»">15.Обратнаязадача теории погрешностей………………………………………………………………………………….13Лабораторнаяработа № 1 «Вычисление сопротивлений в электрических цепях»………………………………………..14
Лабораторнаяработа № 2 «Определение абсолютной и относительный погрешности»………………………………….17
Лабораторнаяработа № 3 «Действия над приближенными значениями чисел»…………………………………………..18
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………19
<span Times New Roman",«serif»">Глава 2.Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
<span Times New Roman",«serif»">………………………………….20<span Times New Roman",«serif»">§ 1. Сравнение линейных и нелинейных уравнений…………………………………………………………………………20
<span Times New Roman",«serif»">§ 2. Отделение корней………………………………………………………………………………………………………….20
§3. Графическое решение уравнений…………………………………………………………………………………………20
Лабораторная работа № 4. «Расчет цепи содержащей диод, графическимспособом»……………………………………21Лабораторнаяработа № 5. «Расчет и анализ неразветвленной электрической цепи переменноготока»………………..23
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§ 4.
<span Times New Roman",«serif»"> Метод половинного деления………………………………………………………………………………………………25<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа № 6. «Расчет цепи содержащейдиод, методом дихотомии»……………………………………….25
<span Times New Roman",«serif»">§ 5. Метод хорд…………………………………………………………………………………………………………………26
<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа № 7. «Расчет цепи содержащейдиод, методом хорд»………………………………………………28
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§
<span Times New Roman",«serif»"> 6. Метод Ньютона (метод касательных)…………………………………………………………………………………….28<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа № 8. «Расчет цепи содержащейдиод, методом Ньютона»………………………………………….29
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§ 7.
<span Times New Roman",«serif»"> Метод итерации……………………………………………………………………………………………………………30<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа № 9. «Расчет цепи содержащейдиод, методом итерации»…………………………………………31
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………33
<span Times New Roman",«serif»">Глава 3.
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes"> <span Times New Roman",«serif»">Алгебраматриц<span Times New Roman",«serif»">…………………………………………………………………………………………………….34<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§1.
<span Times New Roman",«serif»"> Основные определения……………………………………………………………………………………………………34<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-language:KO">2. Действия с матрицами…………………………………………………………………………………………………….35<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§3.
<span Times New Roman",«serif»"> Транспонированная матрица……………………………………………………………………………………………..37<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§4.
<span Times New Roman",«serif»"> Обратная матрица…………………………………………………………………………………………………………38<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§5
<span Times New Roman",«serif»">Степениматрицы…………………………………………………………………………………………………………..40<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§6.
<span Times New Roman",«serif»">Рациональныефункции матрицы…………………………………………………………………………………………41<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§7. Абсолютная величина и нормаматрица………………………………………………………………………………….42
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§8. Треугольные матрицы……………………………………………………………………………………………………..43
<span Times New Roman",«serif»">§ 9. Элементарные преобразования матриц………………………………………………………………………………….44
<span Times New Roman",«serif»">§10. Вычисление определителей………………………………………………………………………………………………44
Лабораторная работа № 10. «Работа с матрицами»………………………………………………………………………….45
Лабораторнаяработа № 11. «Обращение с помощью треугольных матриц»………………………………………………48
Лабораторнаяработа № 12. «Метод контурных токов»……………………………………………………………………..48
<span Times New Roman",«serif»">Глава 4. Системалинейных алгебраических уравнений
<span Times New Roman",«serif»">………………………………………………………………..51<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§ 1. Определения, обозначения,основные сведения…………………………………………………………………………51
<span Times New Roman",«serif»"><span Times New Roman",«serif»;layout-grid-mode:line">§
<span Times New Roman",«serif»">2. Решение систем линейныхуравнений по способу Гаусса……………………………………………………………….51Лабораторнаяработа № 13. «Расчет цепи постоянного тока, методом Гаусса»…………………………………………...53
<span Times New Roman",«serif»;layout-grid-mode:line">§
<span Times New Roman",«serif»">3. Решение систем линейныхуравнений по методу Зейделя………………………………………………………………59<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа № 14. «Расчет цепи постоянноготока, методом Зейделя»………………………………………….61
<span Times New Roman",«serif»;layout-grid-mode:line">§4.
<span Times New Roman",«serif»"> Решение систем линейныхуравнений методом итераций………………………………………………………………64<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа № 15. «Расчет цепи постоянноготока, методом итерации»………………………………………..66
<span Times New Roman",«serif»">§5. Применение метода Гаусса для вычисленияопределителей……………………………………………………………70
<span Times New Roman",«serif»">§6. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса…………………………………………………………………………70
<span Times New Roman",«serif»">§7. Метод квадратных корней…………………………………………………………………………………………………71
<span Times New Roman",«serif»">§ 8. Метод скорейшего спуска(градиента) для случая системы линейных алгебраических уравнений
<span Times New Roman",«serif»">…………………72Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………75
<span Times New Roman",«serif»">Глава 5.Приближённое решение систем нелинейных уравнений
<span Times New Roman",«serif»">……………………………………………………..76<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§1.
<span Times New Roman",«serif»">Метод Ньютона…………………………………………………………………………………………………………….76<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§
<span Times New Roman",«serif»">2. Метод градиента (методскорейшего спуска)<span Times New Roman",«serif»">……………………………………………………………………………79Лабораторнаяработа № 16. «Нелинейные уравнения»……………………………………………………………………...81
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………82
<span Times New Roman",«serif»">Глава 6.Интерполирование функций
<span Times New Roman",«serif»">……………………………………………………………………………………..83<span Times New Roman",«serif»">§1. Введение……………………………………………………………………………………………………………………83
<span Times New Roman",«serif»">§2. Интерполяция многочленами…………………………………………………………………………………………….83
2.1.Метод Лагранжа…………………………………………………………………………………………………………..83
Лабораторнаяработа № 17. «Интерполяционный многочлен Лагранжа»…………………………………………………83
2.2. Интерполяционная формула Ньютона…………………………………………………………………………………..852.3. Сходимость интерполяционного процесса……………………………………………………………………………..862.4. Задача обратного интерполирования……………………………………………………………………………………86Лабораторнаяработа № 18. «Интерполяционный многочлен Ньютона»…………………………………………………87
2.5.Сплайн-аппроксимация…………………………………………………………………………………………………..88Лабораторная работа № 19. «Сплайн-аппроксимация»……………………………………………………………………..88
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………89
<span Times New Roman",«serif»">Глава 7. Численноеинтегрирование
<span Times New Roman",«serif»">……………………………………………………………………………………….90§1.Формулыпрямоугольников……………………………………………………………………………………………….90
Лабораторная работа № 20. «Метод прямоугольников»……………………………………………………………………90
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§2.
<span Times New Roman",«serif»">Формулы трапеций…………………………………………………………………………………………………………91Лабораторная работа № 21. «Метод трапеций»………………………………………………………………………………91
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§3
<span Times New Roman",«serif»">. Формула Симпсона…………………………………………………………………………………………………………92Лабораторная работа № 22. «Определение тока инапряжения методом Симпсона»……………………………………..93
<span Times New Roman",«serif»;mso-no-proof:yes">§4.
<span Times New Roman",«serif»"> Вычисление интегралов методом Монте-Карло…………………………………………………………………………95Лабораторнаяработа № 23. «Вычисление интеграла методом Монте-Карло»……………………………………………96
Вопросыдля самопроверки……………………………………………………………………………………………………97
<span Times New Roman",«serif»">Глава 8. Решениедифференциальных уравнений
<span Times New Roman",«serif»">………………………………………………………………………..98<span Times New Roman",«serif»">§1. Введение…………………………………………………………………………………………………………………….98
§2.Решение дифференциальных уравнений в Mathcad……………………………………………………………………..98
2.1. Модель «хищник-жертва»(Лотки-Вольтерра)………………………………………………………………………….98
<span Times New Roman",«serif»">2.2. Движение ракеты в поле тяготения небесных тел………………………………………………………………………99
<span Times New Roman",«serif»">§3. Теорема существования и единственности……………………………………………………………………………..103
<span Times New Roman",«serif»">§4. Приближенное решение дифференциального уравненияметодом Эйлера…………………………………………..106
Лабораторнаяработа № 24. «МетодЭйлера»………………………………………………………………………………106
<span Times New Roman",«serif»">§5. Метод Адамса……………………………………………………………………………………………………………..108
<span Times New Roman",«serif»">§6. Приближенное решение дифференциального уравненияметодом Рунге-Кутта…………………………………….108
Лабораторнаяработа № 25. «МетодРунге-Кутта»…………………………………………………………………………109
Лабораторная работа № 26. «Ток переходного режима»…………………………………………………………………..110
Вопросыдля самопроверки………………………………………………………………………………………………….113
<span Times New Roman",«serif»">Глава 9. М
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-language:KO">етод наименьших квадратов<span Times New Roman",«serif»"> …………………………………………………………………………………114<span Times New Roman",«serif»">§1. «Закон Мура»……………………………………………………………………………………………………………..114
<span Times New Roman",«serif»">§2. Линейная зависимость……………………………………………………………………………………………………118
<span Times New Roman",«serif»">§3. Квадратичная зависимость………………………………………………………………………………………………120
<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-language:KO">№ 27. <span Times New Roman",«serif»">«Квадратичная зависимость»………………………………………………………………..120<span Times New Roman",«serif»">§4. Экспоненциальная зависимость…………………………………………………………………………………………123
<span Times New Roman",«serif»">§5. Логарифмическая зависимость………………………………………………………………………………………….124
<span Times New Roman",«serif»">§6. Дробно-рациональная зависимость x/(a*x+b)………………………………………………………………………….126
Вопросыдля самопроверки………………………………………………………………………………………………….127
<span Times New Roman",«serif»">Глава 10. П
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-language:KO">риближенные методы решения дифференциальных уравнений<span Times New Roman",«serif»">с частными производными<span Times New Roman",«serif»">…….12810.1.Уравнения гиперболического типа……………………………………………………………………………………12810.2. Уравнения параболического типа……………………………………………………………………………………..129<span Times New Roman",«serif»">Лабораторная работа № 28. «Уравнений Лапласа и Пуассона»…………………………………………………………..130
10.3. Телеграфное уравнение………………………………………………………………………………………………..133
Задания
<span Times New Roman",«serif»;layout-grid-mode: line">Глава 11. Тестовые задания…
<span Times New Roman",«serif»; layout-grid-mode:line">…………………………………………………………………………………………….133<span Times New Roman",«serif»"><span Times New Roman",«serif»;layout-grid-mode:line">§1.
<span Times New Roman",«serif»">Тесты для проверки начальногоуровня знаний студента……………………………………………………………..133§2. Тестовые задания(промежуточный контроль)…………………………………………………………………………133
§3. Тестовые задания (Зачет)…………………………………………………………………………………………………138
§4. Тестовые вопросы…………………………………………………………………………………………………………149
<span Times New Roman",«serif»">Списокиспользованной литературы
<span Times New Roman",«serif»">……………………………………………………………………………………..151<span Times New Roman",«serif»">
<span Times New Roman",«serif»">
<span Times New Roman",«serif»">
<span Times New Roman",«serif»">
<span Times New Roman",«serif»">
Введение.
Сегодня не часто вспоминают о том, чтокомпьютеры были созданы в первую очередь для проведения научных расчетов. Досих пор научные и инженерные расчеты остаются одной из важнейших, хотя,пожалуй, и не самой бросающейся в глаза сфер приложения компьютеров.
Во все времена инженерам,исследователям (т.е. специалистам в своих областях) был необходим удобный идостаточно эффективный (для своего времени) инструмент для решения своих задач.В этот «инструментальный» ряд можно включить логарифмическую линейку,арифмометр, калькулятор, универсальную ЭВМ, персональный компьютер. Прииспользовании вычислительной техники встала проблема реализации алгоритмоврешения в виде так называемых программ. Для решения этой проблемы в различныегоды использовались следующие средства:
§<span Times New Roman"">
программирование в машинных кодах (включая языки типаАссемблер);§<span Times New Roman"">
программирование на языках высокого уровня(включая объектно-ориентированное программирование);§<span Times New Roman"">
системыкомпьютерной математики.Поэтому, начиная с 90-х годов прошлоговека, широкую известность и заслуженную популярность приобрели так называемыесистемы компьютерной математики или, проще, математические пакеты. К ним можноотнести MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple.
Пакет Mathcadпопулярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научнойсреде. Характерной особенностью пакета является использование привычныхстандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядитточно так же обычный математический расчет. Для использования пакета нетребуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematicaили Maple. Пакеториентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеетвстроенный символический процессор Maple,что позволяет выполнять аналитические преобразования. В последних версияхпредусмотрена возможность создавать связки документов Mathcadс документами Mathlab. В отличие от упомянутых выше пакетов, Mathcad являетсясредой визуального программирования, то есть не требует знания специфическогонабора команд.
Простота освоения пакета, дружественныйинтерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явилисьглавными причинами того, что именно этот пакет был выбран для обучениястудентов численным методам.
В последнее время просматриваетсятенденция к сближению и интеграции различных пакетов. Например, последниевыпуски пакетов Mathematicaи Mapleимеют хорошие возможности для визуальногопрограммирования; в Matlabвключена библиотекааналитических преобразований Maple; Mathcadпозволяет работать совместно с Matlab.
В настоящем пособии мы рассмотрим намногочисленных примерах, каким образом решаются на Mathcad’eразнообразныезадачи численного анализа (решение систем линейных и нелинейных уравнений,решение дифференциальных уравнений, аппроксимация функций и т. д.).Предполагается, что читатель имеет только знакомиться с основными численнымиметодами и не умеет пользоваться пакетом Mathcad.
Учебное пособие предназначено длястудентов, изучающих дисциплины «Численные методы в строительстве», «Численныеметоды», «Численные методы решения задач» и т.д., а также для аспирантов иинженеров, использующих в своих расчетахэтот математический пакет.
Пособие, безусловно, будет полезно всем,использующим MathCADпри решении «своих» задачи желающим познать радость от эффективной работы «своей» программы.
Глава 1. Погрешности§ 1 Общая схема вычислительного экспериментаВсякую ли задачу и при всех ли обстоятельства нужно решать на ЭВМ?Разумеется, нет. Машинные расчеты являются исключительно мощным, но вовсе неединственным средством в арсенале инженера – исследователя. Аналитическиеметоды (они рассматриваются здесь, как компонент машинного решения, а не каксамостоятельный внемашинный путь), так же как и моделирование, будут широкоиспользоваться и в дальнейшем.
Отдавать предпочтение ЭВМ следует лишь тогда,когда их применение позволить получить результат быстрее либо точнее илидешевле, чем иными средствами.
Явиться ли обращение к ЭВМ практичным ирациональным, будет зависеть от множества факторов и особенностей ситуации,складывающейся вокруг новой возникшей задачи. И совсем не исключено, чтонесколько часов размышлений с калькулятором, лучше послужить основной цели исследования,чем многоэтапный процесс решения на ЭВМ.
Численные методы — это такие методы решения задач, которые сводятся или могут быть сведенык арифметическим действиям над числами.
Искусство вычислений состоит не столько в получении числовых результатов, сколько вобосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью.
Анализ, проводимый на базечисловых результатов, составляет основу любойинженерной деятельности.
Решение задачи на компьютеревключает в себя следующие основные этапы, часть из которых осуществляется безучастия компьютера,
1.Постановка задачи, разработка математической модели.
<span Times New Roman",«serif»">Решение задачи, особеннодостаточно сложной — достаточно трудное дело, требующее много времени. И еслизадача выбрана неудачно, то это может привести к потере времени и разочарованиюв применении ЭВМ для принятия решений.Каким же основным требованиям должна удовлетворять задача?
<span Times New Roman",«serif»">а. Должно существовать какминимум один вариант ее решения, ведь если вариантов решения нет, значитвыбирать не из чего.
<span Times New Roman",«serif»">б. Надо четко знать, в какомсмысле искомое решение должно быть наилучшим, ведь если, мы не знаем чегохотим, ЭВМ помочь нам выбрать наилучшее решение не сможет.
<span Times New Roman",«serif»"> Выбор задачизавершается ее содержательной постановкой.
На этом этапе, на основе словесной формулировкизадачи исследования выбираются переменные, подлежащие определению, записываютсяограничения, связи с переменными в совокупности образующие математическуюзадачу решаемой проблемы. В результате инженерная задача приобретает видформализованной математической задачи.
2.Выбор численного метода решения.
Для поставленнойматематической задачи необходимо выбрать метод ее численного решения, сводящийрешение к последовательности арифметических и логических операций.
3. Разработка алгоритма и структуры данных.
<span Times New Roman",«serif»">Алгоритм — это конечный наборправил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу изнекоторого класса однотипных задач. При этом подразумевается:
<span Times New Roman",«serif»"> а. — исходные данные могут изменяться вопределенных пределах: {массовость алгоритма}
<span Times New Roman",«serif»"> б. — процесс применения правил к исходнымданным (путь решения задачи) определен однозначно: {детерминированностьалгоритма}
<span Times New Roman",«serif»"> в. — на каждом шаге процесса примененияправил известно, что считать результатом этого процесса: {результативность алгоритма}
<span Times New Roman",«serif»"> Если модель описывает зависимость междуисходными данными и искомыми величинами, то алгоритм представляет собойпоследовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данныхперейти к искомым величинам.
Если выбранный для решения задачи численныйметод реализован в виде стандартных библиотечных подпрограмм, то алгоритмобычно сводится описанию и вводу исходных данных. Более характерен случай,когда стандартные программы решают лишь часть задачи. Если и задача сложная, тоне нужно решать все проблемы. Сложившийся в настоящее время к разработкесложных программ состоит в последовательном использовании принципов проектированиясверху вниз, модульного, структурного и объектно — ориентированного программирования.Четкая структуризация, разбиение ее на последовательные подзадачи, реализацияподзадач отдельного модуля, постепенная детализация логики алгоритма,использование типовых логических конструкций.
<span Times New Roman",«serif»;color:black">4 Реализация алгоритма:
<span Times New Roman",«serif»">Алгоритм записывают с помощьюобычных математических символов. Для того чтобы он мог быть прочитан ЭВМ,необходимо составить программу. Программа — это описание алгоритма решениязадачи, заданное на языке ЭВМ. Алгоритмы и программы объединяются понятием«математическое обеспечение». В настоящее время затраты наматематическое обеспечение составляют примерно полторы стоимости ЭВМ, и постоянно происходит дальнейшееотносительное удорожание математического обеспечения. Уже сегодня предметомприобретения является именноматематическое обеспечение, а сама ЭВМ лишь тарой, упаковкой для него.<span Times New Roman",«serif»"> Далеко не для каждой задачи необходимосоставлять индивидуальную программу. На сегодняшний день созданы мощныесовременные программные средства — пакеты прикладных программ (ППП).
<span Times New Roman",«serif»"> Зачастую, к задаче можно подобрать готовыйпакет, который прекрасно работает, решает многие задач, среди которых можнонайти и наши. При таком подходе многие задачи будут решены достаточно быстро,ведь не надо заниматься программированием.
<span Times New Roman",«serif»;color:black">5. Подготовка задания, ввод, отладка ииспытание программы.
<span Times New Roman",«serif»">Преждечем ввести исходные данные в ЭВМ, их, естественно, необходимо собрать. Причемне все имеющиеся на производстве исходные данные, как это часто пытаютсяделать, а лишь те, которые входят в задачу. Следовательно, сбор исходных данныхне только целесообразно, но и необходимо производить лишь после того, как будетизвестна задача. Имея программу и вводя в ЭВМ исходные данные, мы получимрешение задачи.Программа вводится обычно с клавиатуры.При программировании и вводе данных с клавиатуры могут быть допущены ошибки. Ихобнаружение, локализация и устранение выполняют на этапе отладки и тестирования,на это тратится 50-70% времени.
<span Times New Roman",«serif»;color:black">6. Реализация задачи на компьютере, обработка иоформление.
<span Times New Roman",«serif»">Ксожалению, достаточно часто математическое моделирование смешивают содноразовым решением конкретной задачи с начальными, зачастую недостоверными данными. Дляуспешного управления сложными объектами необходимо постоянно перестраиватьмодель на ЭВМ, корректируя исходныеданные с учетом изменившейся обстановки.<span Times New Roman",«serif»"> Нецелесообразно тратить время и средства на составление математической модели, чтобы по ней выполнитьодин единственный расчет. Математическая модель является прекрасным средством получения ответов на широкий кругвопросов, возникающих при планировании,проектировании и в ходе производства. Математическая модель может стать надежным помощником при принятиикаждодневных решений, возникающих в ходе оперативного управления производством.
Решение задачи компьютер выдает на дисплей.Чтобы облегчить следующую работу, надо выводить решение задачи на экран спояснениями.
Понятие прямых и приближенных методов.
Точныеметоды позволяют выразитьрешение (например, дифференциальное) через элементарные функции.
Приближенные методы — это методы, в которых решение получается как предел некоторойпоследовательности у(х), причем у(х) выражается через элементарные функции.
§2.Абсолютная и относительная погрешность.
Приближённымчислом аназывается число,незначительно отличающееся от точного числа Аи заменяющее его в вычислениях. Если а<А,то говорят, что число а является приближённым значением числа А по недостатку; если а>А приближённым значением по избытку.
Если аесть приближенное значение числа А, то пишут а <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">»А. Под ошибкой или погрешностью <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dа приближенного числа обычно понимается разность между соответствующимточным числом А и данным приближенным, т.е. <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dа = А – а. Если а<А, то А-а>0; если а>А, тоА-а<0. Чтобы получить точное числоА, нужно к приближенному числу а прибавить его ошибку <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dа, т.е. А = а + <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dа.Как правило, знак ошибки вычислителя не интересует,поэтому пользуются абсолютной ошибкой, или абсолютнойпогрешностью приближенного числа.
<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">D
= <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">|<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dа<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">|Абсолютной погрешностью <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">D
приближённого числа а называется абсолютная величинаразности между точным числом А и его приближённым значением а:<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">D
= <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">|А -а<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">|(1)Здесьвозможны два случая:
1. Точное число Анам известно. Тогда абсолютная погрешность приближённого числа легко находитсяпо формуле (1).
2. число А нам неизвестно, что практически бывает чаще всего, и, следовательно, мы не можемопределить и абсолютную погрешность ∆а по формуле (1).
В этом случаеполезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ ввестиее оценку сверху, так называемую предельнуюабсолютную погрешность.
Под предельнойабсолютной погрешностью приближенногочисла понимается всякое число, неменьшее абсолютной погрешности этого числа.
Такимобразом, если ∆а — предельная абсолютная погрешностьприближенного числа а, заменяющего числаА, то
<img src="/cache/referats/25535/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/25535/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> ≤ ∆а (2)
Отсюда следует, что точное число Азаключено в границах
а-∆а ≤ А ≤ а + ∆а (3)
Следовательно, а — ∆а есть приближение числа А по недостатку, а + ∆а — приближение числа А по избытку. В этом случае для краткостипользуются записью А = а <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">±
∆аПример1.Определить предельнуюабсолютную погрешность числа а = 3,14, заменяющего число <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">p
.Решение.Таккак имеет место неравенство 3.14 <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol"><
<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">p< 3.15,то <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;color:black; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">|а- <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">p<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">|< 0.01 и, следовательно, можно принять∆а = 0,01.Если учесть, что 3.14< <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">p
<3.142, то будем иметь лучшую оценку: ∆а = 0.002.Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа апонимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел ∆а, удовлетворяющих, неравенству (2).
В записи приближенного числа, полученного врезультате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность.Например, если длина отрезка l= 214 см с точностью до0.5 см, то пишут l= 214 см<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;color:black; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">±
0,5 см. Здесьпредельная абсолютная погрешность ∆l=0,5см, а точная величина длины lотрезка заключена в границах 213,5 см <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£l <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£ 214,5 см.Абсолютная погрешность (или предельнаяабсолютная погрешность) не достаточна для характеристики точности измерения иливычисления. Так, например, если при измерении длин двух стержней полученырезультаты l1= 100,8см <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">±
0,1 см,и l2= 5,2 см<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;color:black; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">±0,1 см, то,несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первогоизмерения выше, чем второго. Для точности данных измерений существеннаабсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины, которая носит название относительной погрешности.Относительной погрешностью <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">d
приближенного числа а называетсяотношение абсолютной погрешности <span Times New Roman";mso-hansi-font-family