Реферат: Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

тема

:

«Вычисление определённого интеграла

с помощью метода трапеций

на компьютере»

Выполнил:

студент ф-та

ЭОУС-1-12

Зыков И.

Принял:

Зоткин С. П.

Москва 2001

1.

Введение:

Определенный интеграл от функции, имеющейнеэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или инойприближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, можновоспользоваться

формуламипрямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается формулатрапеций.

Пусть

I=òf(x)dx, гдеf(x) –непрерывная функция, которую мы для наглядности будем предполагатьположительной. ТогдаIпредставит собой площадькриволинейной трапеции, ограниченной линиямиx=a, x=b, y=0, y=f(x). Выберем какое-нибудь натуральное числоnи разложим отрезок[a,b] наnравных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямыеx=xiразбивают интересующую наскриволинейную трапецию на nполосок. Примем каждую из этихполосок за обыкновенную прямолинейную трапецию (рис. 1, гдеn=4).

рис. 1

Тогда площадь первой слева полоски будет приближенно выражаться числом

((f(x0)+f(x1))/2)*(x1-x0)=((y0+y1)/2)*((b-a)/n),

ибо основания трапеции, за которую мыпринимаем полоску, равны

f(x0)=y0и f(x1)=y1, а высота её

x1-x0=(b-a)/n.

Аналогично площади дальнейших полосоквыразятся числами

(y1+y2)*((b-a)/2*n),(y2+y3)*((b-a)/2*n), …, (yn-1+yn)*((b-a)/2*n).

Значит, для нашего интеграла получаетсяформула

I»

((b-a)/2*n)*[y0+2*(y1+…+yn-1)+yn].

Пологая для краткости

y0+yn=Yкр(крайние), y1+y2+…+yn-1=Yпром (промежуточные), получим

ò

ydx »((b-a)/2* n)*(Yкр+2*Yпром)

Эту формулу можно записать в другом виде

ò

f(x)dx »(h/2)*[f(a)+f(b)+2åf(xi)]

(где

h– длина одного изnравных отрезков,xi=a+i*h). Эта приближенная формула и называется формулой трапеций. Она оказывается тем более точной, чембольше взятое нами число n. Погрешность одного шага вычисляется поформуле: -(h^3)/12.

Задача.

Пусть нужно проинтегрировать функциюf(x) = x³ +2x²-3x-8 наотрезке [0, 6]. На этом отрезке функция непрерывна.

Для выполнения поставленной задачисоставлена нижеописанная программа, приближенно вычисляющая определенный интеграл с помощью

методатрапеций. Программа состоит из трехфункций main, fиtrap. Функцияmainпозволяет ввести интервалы интегрирования изадать точность вычисления интеграла, а такжевызывает функциюtrapдля вычисления интеграла ираспечатывает на экране результат. Функцияfпринимает аргументxтипаfloatи возвращает значениеинтегрируемой функции в этой точке. Trap– основная функция программы: она выполняет все вычисления, связанные снахождением определенного интеграла.Trapпринимает четыре параметра: пределыинтегрирования типаfloat(aи b), допустимую относительную ошибкутипаfloatи указатель на интегрируемую функцию. Вычисления выполняются до техпор, пока относительная ошибка, вычисляемая по формуле | S-Sn |, не будет меньше или равнатребуемой. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что S0 постоянная и S1=S1+f(a+(2*i+1)*h), поэтому эти значениявычисляются единожды. Методтрапеций обладает высокой скоростьювычисления, но меньшей точностью, чем метод Симпсона, поэтому его применение удобно там, где нетребуется очень высокая точность.

Ниже предлагается

блок-схема,листинг, спецификации, ручной счет и результат работы программы на примере поставленной выше задачи. Блок-схема позволяет отследить и понять особенностиалгоритма программы, спецификации дают представление о назначении каждойпеременной в основной функции trap, листинг - исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализироватьрезультаты выполнения программы.

2.

Блок-схема программы:

Ввод

a, b, eps

n = 4, S=1, Sn = 101

S0=(f(a)+f(b))*0.5

S1=f(0.5*(a+b))

| S-Sn | > eps

ДА

НЕТ

Sn=S

h=(b-a)/n

Вывод

S

i=1

S1=S1+f(a+(2*i+1)*h)

<img src="/cache/referats/9483/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1037"> i=n/2

S=h*(S0+S1)

n=n*2

3.

Листинг:

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

main()

{

doublea,b,er,eps,f(double),s,trap(double,double,double,double(*)(double));

clrscr();

printf(" Задайте пределы интегрирования иточность: ");

scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&eps);

s=trap(a,b,eps,f);

printf(" Интеграл от a=%3.2lf до b=%3.2lfравен %lf",a,b,s);

getch();

}

double f(double x)

{

return x*x*x+2*(x*x)-3*x-8;

}

double trap(double a,double b,doubleeps,double(*f)(double))

{

double h,s,s0,s1,sn;

int i,n;

s=1; sn=101;

n=4;

s0=(f(a)+f(b))/2;

s1=f((a+b)/2);

while(fabs(s-sn)>eps){

sn=s;

h=(b-a)/n;

for(i=0; i<n/2; i++)

s1+=f(a+(2*i+1)*h);

s=h*(s0+s1);

n*=2;

}

return s;

}

4.

Спецификации:

Имя переменной

Тип

Назначение

int

число разбиений отрезка

[a, b]

int

счетчик циклов

double

Нижний предел интегрирования

double

Верхний предел интегрирования

double

шаг разбиения отрезка

eps

double

допустимая относительная ошибка

double(*)

указатель на интегрируемую фун — цию

double

аргумент ф-ии

f

double

текущий результат интегрирования

double

половина суммы значений функции в точках

a и b

double

сумма значений функции в промежуточных точках

double

предыдущий результат интегрирования

5.

Ручной счет:

-8

0,75

-8,703125

1,5

-4,625

2,25

6,765625

3,75

61,609375

4,5

110,125

5,25

176,078125

262

6.

Результат работы программы:

приeps=0.1 приeps= 0.001

Введите

a, b, eps: Введите a, b,eps:

0 0

6 6

.1 .001

Интеграл=

366.024170 Интеграл= 366.000094

<img src="/cache/referats/9483/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1082"><img src="/cache/referats/9483/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1086"> т.е с помощью этой программы можно вычислить интеграл от функции сточностью до 1/10000.

еще рефераты

Еще работы по программированию, базе данных

Реферат по программированию, базе данных

Метод Симпсона на компьютере

29 Августа 2013

Реферат по программированию, базе данных

Разработка игровой программы "Морской бой"

29 Августа 2013

Реферат по программированию, базе данных

Разработка лабораторного практикума "Создание тестирующей программы"

29 Августа 2013

Реферат по программированию, базе данных

Программирование на С++

29 Августа 2013