Реферат: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Содержание

Введение

§ 1. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа

1.1. «Алгебра, 8», авт. А. Г.Мордкович

1.2. «Алгебра и начала анализа,10-11», авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П.Дудницин и др..

1.3. «Алгебра и начала анализа,10-11», авт. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др..

1.4. «Алгебра и начала анализа,10-11», авт. М. И. Башмаков.

1.5. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Г. Мордкович.

1.6. «Сборник задач по алгебре,8-9», авт. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.

1.7. «Алгебра и математическийанализ, 11», авт. Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд.

§ 2. Методика изученияиррациональных уравнений

2.1. Теоретические основы решенияуравнений

2.1.1. Основные понятия,относящиеся к уравнениям

2.1.2. Наиболее важные приемыпреобразования уравнений

2.2. Методы решенияиррациональных уравнений

2.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств

2.2.2. Метод уединения радикала

2.2.3. Метод введения новойпеременной.

2.2.4. Метод сведения кэквивалентным системам рациональных уравнений

2.2.5. Умножение обеих частейуравнения на функцию.

2.2.6. Решение иррациональныхуравнений с использованием свойств входящих в нихфункций

3. Тождественные преобразованияпри решении иррациональных уравнений

§ 3. Методика решенияиррациональных неравенств

3.1. Теоретические основы решенияиррациональных неравенств

3.2. Методы решенияиррациональных неравенств

3.2.1. Метод сведения кэквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

3.2.2. Умножение обеих частейнеравенства на функцию

3.2.3. Метод введения новойпеременной

3.2.4. Решение иррациональныхнеравенств с использованием свойств входящих в них функций

§ 4. Опытноепреподавание

Заключение

Список библиографии

Приложение А

Приложение Б

Приложение В


Введение

Материал, связанный суравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курсаматематики. Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе,являются иррациональные уравнения и неравенства, так как в школе им уделяютдостаточно мало внимания.

Трудности при изученииданного вида уравнений и неравенств связаны со следующими их особенностями:

· в большинствеслучаев отсутствие четкого алгоритма решения иррациональных уравнений инеравенств;

· при решенииуравнений и неравенств данного вида приходится делать преобразования,приводящие к уравнениям (и неравенствам), не равносильным данному, вследствиечего чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей илиприобретением посторонних корней в процессе решения.

Опыт показывает, чтоучащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать иррациональныеуравнения и неравенства, часто допускают ошибки при их решении. Однако задачипо теме «Иррациональные уравнения и неравенства» встречаются на вступительныхэкзаменах, и они довольно часто становятся «камнем преткновения».

Выше изложенноеобусловило проблему исследования: обучение школьников решению иррациональныхуравнений и неравенств, используя при этом основные методы решенияиррациональных уравнений различных видов.

Объектом исследования является процессобучения алгебре в 7-9 классах и алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются различные видыиррациональных уравнений и неравенств и методы их решения.

Целью работы является разработка методикиизучения учащимися иррациональных уравнений и неравенств в школе.

Гипотеза исследования: освоение умения различать основныевиды иррациональных уравнений и неравенств, умения применять необходимые приемыи методы их решения позволит учащимся решать иррациональные уравнения инеравенства на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный способрешения, применять разные способы решения, в том числе те, которые нерассмотрены в школьных учебниках.

Для достиженияпоставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. проанализироватьдействующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявленияпредставленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств;

2. изучить стандартыобразования по данной теме;

3. изучить статьи иучебно-методическую литературу по данной теме;

4. подобратьтеоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств,равносильностью преобразований, методами решения иррациональных уравнений инеравенств;

5. рассмотретьосновные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений инеравенств;

6. подобрать примерырешения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемойтеории;

7. разработать

8. осуществитьопытное преподавание.


/>§1. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа

При изучении любой новойтемы в основном курсе школы встает проблема изложения данной темы в школьныхучебниках. Пропедевтикой изучения раздела иррациональных уравнений и неравенствв школе является введение понятие арифметического корня и, соответственно,рассмотрение его свойств.

Проанализируем в какихклассах вводится данное понятие разными авторами учебников. Алимов Ш. А. вучебнике «Алгебра. 9класс» вводит понятие арифметического корня натуральнойстепени, а также свойства арифметического корня. Макарычев Н. Г. же разделяетпонятия квадратного корня и корня />-ойстепени. В учебнике «Алгебра. 8 класс» классе вводится понятие арифметическогоквадратного корня и, соответственно, рассматриваются его свойства. В учебнике«Алгебра. 9 класс» вводятся понятия корня />-ойстепени, арифметического корня />-ойстепени и рассматриваются свойства арифметического корня />-ой степени. Колмогоров А.Н. в учебнике «Алгебра. 10 класс» вводит понятия корня />-ой степени, арифметическогокорня />-ой степени и рассматриваетсвойства арифметического корня />-ойстепени перед изучением иррациональных уравнений. Мордкович А. Г. в учебнике«Алгебра. 8 класс» вводит понятие квадратного корня и его свойства. Кроме того,в этом же учебнике есть отдельный параграф, посвященный иррациональнымуравнениям.

 

1.1. «Алгебра, 8», авт. А. Г.Мордкович [27], [28]

Данное учебное пособиесостоит из двух частей: учебника и задачника.

В I части данного учебного пособияматериал, посвященный иррациональным уравнениям, изложен в главе «Квадратныеуравнения» в параграфе «Иррациональные уравнения». Параграф начинается сопределения иррационального уравнения. Далее рассматривается решениеиррационального уравнения /> поопределению квадратного корня из чего выводится метод решения иррациональныхуравнений – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Затем данныйметод демонстрируется на примерах решения иррациональных уравнений вида />, />. Найденные корнипроверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на теслучаи, когда могут появиться посторонние корни. Автор подчеркивает, чтопроверка – обязательный этап решения иррационального уравнения. Далееприводится решение уравнения вида /> методомвведения новой переменной />.Параграф завершается беседой о равносильных и неравносильных преобразованиях:дается определение равносильных уравнений, перечисляются и демонстрируются напримерах равносильные и неравносильные преобразования.

Система задач во II части данного учебного пособиядостаточно разнообразна. В №№ 1011-1014 необходимо решить иррациональныеуравнения вида />, где /> – линейное, квадратное илидробно-рациональное выражение. В № 1015 чтобы решить уравнение необходимосначала уединить радикал. В № 1016 для решения предложены уравнения вида />. №№ 10017-1020 –упражнениядля решения методом замены иррациональных уравнений вида />, />, />. В №№ 1023, 1024необходимо выяснить, равносильны ли уравнения. В №№ 1021, 1022, 1025-1027 нужнорешить уравнения вида />, />, где выражения />, />могут быть как линейнымитак и квадратными, а в №№ 1028-1031 – уравнения вида />.

№№ 1032, 1033 –упражнения повышенной трудности для решения иррациональных уравнений методомзамены.

Теперьпроанализируем действующие учебники по алгебре и началам математическогоанализа для 10-11 классов, чтобы выяснить, как в них представлены методырешения иррациональных уравнений и неравенств.

 

1.2. «Алгебра и начала анализа,10-11», авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др. [13].

Материал по данной темеизложен в IV главе «Показательная илогарифмическая функции», как пункт «Иррациональные уравнения» параграфа«Обобщение понятия степени». Автор рекомендует рассматривать решениеиррациональных уравнений в теме «Уравнения, неравенства, системы», гдесистематизируются сведения об уравнениях.

В пункте «Иррациональныеуравнения» дается понятие иррационального уравнения, приводится несколькопримеров простейших иррациональных уравнений вида /> />, которые решаются спомощью возведения обеих частей уравнения в квадрат. Найденные корнипроверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на теслучаи, когда могут появиться посторонние корни. Показано, что кроме возведенияв квадрат иррациональные уравнения удобно решать, используя равносильныйпереход от уравнения к системе, состоящей из уравнения и неравенства.Рассмотрен пример иррационального уравнения, содержащего корень третьейстепени. Для того чтобы «избавиться от радикала», обе части такого уравнениявозводятся в куб.

После пункта приведеныупражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения. В №№417-420предложены простейшие уравнения вида /> />, решить которые можно спомощью возведения обеих частей уравнения либо в квадрат, либо в куб, а такжеиспользуя равносильные переходы. Такие задачи, по мнению авторов учебниканеобходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Задачи же в№№422-425 чуть сложнее. Здесь уравнения содержат корни выше третьей степени.

Иррациональнымнеравенствам в данном пункте внимания не уделено.

В заключительной главеучебника «Задачи на повторение» помещены практические упражнения для повторениякурса. Здесь в параграфе «Уравнения, неравенства, системы уравнений инеравенств» иррациональным уравнениям и неравенствам посвящен пункт«Иррациональные уравнения и неравенства». То есть, не смотря на то, что восновной части учебника иррациональным неравенствам внимания не уделено, авторвключает в задания для повторения такие неравенства.

/> 

1.3. «Алгебра и начала анализа,10-11», авт. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. [1].

В данном учебнике нетматериала, посвященного иррациональным уравнениям и неравенствам. Лишь в концеученика помещены упражнения для итогового повторения курса алгебры. Здесь естьтолько один номер для решения простейших иррациональных уравнений (№801).Упражнений для решения иррациональных неравенств нет.

Это можно объяснить тем,что, по мнению автора, умение решать иррациональные неравенства не являетсяобязательным для учащихся и соответствующая тема может быть предложена дляизучения самостоятельно или на факультативных занятиях. [14] Поэтому в учебникепредложены задачи для внеклассной работы, где встречаются иррациональныеуравнения (№№934, 947) и неравенства (№942).

/> 

1.4. «Алгебра и начала анализа,10-11», авт. М. И. Башмаков [2].

В данном учебном пособиииррациональные уравнения и неравенства рассматриваются в заключительной VI главе «Уравнения и неравенства».Глава предназначена для систематизации и обобщения сведений об уравнениях, неравенствахи системах уравнений. В начале главы помещена вводная беседа, которая состоитиз трех пунктов.

В пункте «Уравнение»вводятся такие понятия как уравнение, неизвестные, корень уравнения, подробнорассказывается, что значит решить уравнение с одним или двумя неизвестными, чтоозначает найти корни уравнения, приведены некоторые рекомендации о форме записиответа при решении уравнений с одним или двумя неизвестными.

В пункте «Равносильность»выясняется, когда одно уравнение является следствием другого, вводится понятиеравносильных уравнений. Автор подробно останавливается на некоторых полезныхпреобразованиях уравнений:

1)  Перенос членов из одной частиуравнения в другую с противоположным знаком.

2)  Переход к совокупности уравнений.

3)  Переход к системе уравнений.

Все равносильные переходыпредставлены в виде схем и рассмотрены на примерах.

В следующем пункте«Неравенство» приведены примеры верных и неверных числовых неравенств, основныеправила преобразования неравенств, при этом используются знаки следствия иравносильности. Вводятся такие понятия как ОДЗ неравенства, решениенеравенства, равносильные неравенства, выясняется, когда одно неравенствоявляется следствием другого.

§1 «Уравнения с однимнеизвестным» состоит из трех пунктов: «Общие приемы», «Примеры решенияуравнений» и «Приближенные методы вычисления корней». В первом пунктеперечислены стандартные уравнения, которые были изучены ранее. Основным шагом врешении уравнения является преобразование уравнения к одному из стандартных. Приведенынекоторые наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений:

1)  Разложение на множители.

2)  Введение нового неизвестного.

3)  Графический метод.

Отметим, что во второмпункте на ряду со стандартными уравнениями рассматривается решения только одногопростейшего иррационального уравнения с помощью равносильного перехода ксистеме.

В третьем пункте краткорассказывается о таких методах приближенного вычисления корней как методполовинного деления, метод хорд и касательных.

§ 2 «Неравенства с однимнеизвестным» состоит из двух пунктов: «Общие приемы» и «Примеры решениянеравенств». В первом пункте демонстрируется два приема решения неравенств:разложение на множители и метод замены неизвестного.

Во втором пункте напримерах показана техника решения неравенств с помощью переходов, сохраняющихравносильность. Отметим, что на ряду со стандартными неравенствамирассматривается решение только одного простейшего иррационального неравенства.

В конце главы помещенызадания для решения иррациональных уравнений №17, для решения иррациональныхнеравенств – №21, в котором есть задание со звездочкой, то есть относящееся кразделу «трудные задачи».

Иррациональным уравнениями неравенствам в главе уделено недостаточно внимания: приведены решения спомощью переходов, сохраняющих равносильность одного простейшегоиррационального уравнения и одного неравенства.

Цель данной главы –обобщить имеющиеся у учащихся знаний об уравнениях, неравенствах и системахуравнений, поэтому здесь подробно не рассматриваются конкретные виды уравнений,а лишь повторяются сведения об изученных видах уравнений и методах их решения.[14]

1.5. «Алгебраи начала анализа, 10-11», авт. А. Г. Мордкович [10], [11].

Данное учебное пособиесостоит из двух частей: учебника и задачника.

В I части данного учебного пособияматериал, касающийся иррациональных уравнений и неравенств, изучается впоследней VIII главе «Уравнения и неравенства.Системы уравнений и неравенств», завершающей изучение школьного курса алгебры иначал математического анализа. Здесь уравнения и неравенства рассматриваются ссамых общих позиций. Это, с одной стороны, своеобразное подведение итогов и, сдругой стороны, некоторое расширение и углубление знаний.

В первых трех параграфахэтой главы подведены итоги изучения в школе уравнений, неравенств. Использованыследующие термины:

¨ равносильностьуравнений, равносильность неравенств;

¨ следствиеуравнения, следствие неравенства;

¨ равносильноепреобразование уравнения, неравенства;

¨ посторонние корни(для уравнений);

¨ проверка корней(для уравнений).

Сформулированы теоремы:

¨ о равносильностиуравнений;

¨ о равносильностинеравенств.

Даны ответы на четыреглавных вопроса, связанных с решением уравнений:

1) как узнать,является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;

2) какиепреобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие;

3) как сделатьпроверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях;

4) в каких случаяхпри переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и какэтого не допустить?

Перечислены возможныепричины расширения области определенияуравнения, одна из которых –освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени;указаны причины, по которым может произойти потеря корней при решенииуравнений.

Выделены четыре общихметода решения уравнений:

1) замена уравнения h(f(x))=h(g(x))уравнением f(x)=g(x);

2) метод разложенияна множители;

3) метод введенияновых переменных;

4) функционально-графическийметод.

Что касаетсяиррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделено достаточнобольшое внимание.

На примереиррационального уравнения показано как решение любого уравнения осуществляется в три этапа: технический,анализрешения, проверка.

Также на примереиррационального уравнения показано, как сделать проверку, если проверка корнейс помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительнымивычислительными трудностями.

Метод замены уравнения h(f(x))=h(g(x))уравнением f(x)=g(x) применятся при решениииррациональных уравнений для перехода от уравнения /> куравнению />.

Метод введения новойпеременной также разобран и на примере решения иррационального уравнения.

Отдельный пункт посвящениррациональным неравенствам. Здесь с теоретическим обоснованием рассматриваетсярешение неравенств вида />, />. В первом случаеиррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств /> во втором – равносильнойсовокупностью систем неравенств />  />

Система задач во II части данного учебного пособия изложенав той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. В § 55 «Равносильность уравнений» изложены различные типы заданийна равносильность и следствие уравнений, в том числе и иррациональных. В § 56 «Общие методы решения уравнений»помещены задания для использования четырех методов, изложенных в I части данного учебного пособия, длярешения уравнений. Все задачи в соответствии с ними разбиты на четыре блока, вкаждом из которых встречаются иррациональные уравнения. В § 57 «Решениенеравенств с одной переменной» изложены различные типы заданий наравносильность и следствие неравенств, в том числе и иррациональных.

В № 1673 нужно решитьпростейшие иррациональные уравнения. №№1674, 1675, 1712-1719 – упражнения вышесреднего уровня для решения иррациональных уравнений, №№1790, 1791 – неравенств.№ 1792 – упражнение повышенной трудности длярешения иррациональных неравенств.

Много заданий, в которыхтребуется решить «смешанное» уравнение или неравенство, то естьлогарифмическое, показательное или тригонометрическое уравнение или неравенство,в которое входят и иррациональные выражения. Среди этих заданий есть заданиякак базового, так и повышенного уровня.

В I части учебника много вниманиеуделено равносильности уравнений и неравенств, достаточно строго рассмотреныобщие методы решения уравнений, с оговоркой о потере корней и приобретениипосторонних. II часть учебника отличается обилием иразнообразием задач. Достаточно много задач на равносильность и следствиеуравнений и неравенств.

/> 

1.6. «Сборник задач по алгебре,8-9», авт. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич [5].

Даннаякнига представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенныйдля учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики.

В начале параграфа «Степеньс рациональным показателем» помещен справочный материал теоретическогохарактера, посвященный иррациональным уравнениям и неравенствам. Описаны такиепути решения иррациональных уравнений, как:

· возведение обеихчастей уравнения в натуральную степень с последующей проверкой найденныхкорней;

· переход кравносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения итребование того, что бы были неотрицательными обе части уравнения, возводимые вчетную степень.

При решениииррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо с помощьюравносильных преобразований заменяется данное иррациональное неравенствосистемой (или совокупностью систем) рациональных неравенств.

В параграфе рассмотренотри способа решения иррационального уравнения вида />:

1) переход кравносильной системе;

2) введение новойпеременной;

3) использованиесвойства монотонности функций.

Среди упражнений,помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепления умений и навыковрешать иррациональные уравнения и неравенства. В №№115-117 необходимо доказать,что уравнение не имеет решения, в №№118-119 – ответить на вопрос: равносильныли уравнения. №№120-144 предлагаются для решения иррациональных уравнений,№№145-155 – для решения неравенств описанными выше способами.

/> 

1.7. «Алгебра и математическийанализ, 11», авт. Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд [4].

Данное учебное пособиепредставляет собой продолжение книги «Алгебра и начала анализа» для 10 класса ипредназначено как для общеобразовательной школы, так и классов и школ суглубленным изучением курса математики.

Иррациональные уравнения инеравенства изучаются в параграфе «Степенная функция. Иррациональные выражения,уравнения и неравенства» VIIIглавы «Показательная, логарифмическая и степенные функции».

Пункт «Иррациональныеуравнения» начинается с определения иррационального уравнения и примеров такихуравнений. Далее сформулирована и доказана теорема о равносильных уравнениях,на которой основано решение иррациональных уравнений. Из теоремы следует, чтоесли в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе егочасти в степень с четным показателем, то могут появиться посторонние корни.Поэтому, чтобы не было необходимости подставлять найденные корни в данноеуравнение, сформулировано еще два утверждения о равносильном переходе отуравнений вида /> и /> к системам, состоящим изуравнения и неравенства. Далее на примерах решения иррациональных уравненийдемонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует передвозведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», тоесть представить уравнение в виде />. Далееданный метод применяется для решения иррациональных уравнений

После данного пунктапомещены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравненияописанными выше методами – №216. В №215 необходимо доказать, что данныеиррациональные уравнения не имеют решений.

В следующем пункте«Иррациональные неравенства» сформулированы приемы решения иррациональныхнеравенств вида /> и /> с помощью равносильногоперехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств– во втором. Рассматривается решение иррационального неравенства вида /> с помощью равносильногоперехода к неравенству />.Решение каждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.

После данного пунктапомещены упражнения (№217) для закрепления умения решать иррациональныенеравенства с помощью равносильных переходов, описанных выше.

Все утверждения,сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгим обоснованием.Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений – метод «уединениярадикала». Не смотря на то, что учебник не отличается обилием упражнений,предлагаемые задания разнообразны, различной степени сложности

Проведенный анализпозволяет сделать следующие выводы:

1) В учебнике [1]материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В учебниках [13] и[4] материала по теории способов решения иррациональных уравнений достаточно. Вбольшом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебнике [2] и [10].

2) В каждом учебникерассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения встепень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, атакже решение уравнений с помощью равносильных переходов к системе, состоящейиз уравнения и неравенства. В учебниках [2] и [10] рассмотрены такие общиеметоды решения уравнений как метод разложения на множители, метод введения новыхпеременных, функционально-графический метод; некоторые из нихпродемонстрированы на примерах решения иррационального уравнения.

3) В учебниках [1] и[13] не рассмотрено решение иррациональных неравенств. В учебнике [2] материалапо решению иррациональных неравенств не достаточно. В учебниках [4] и [10] подробнои с теоретическим обоснованием рассмотрено решение иррациональных неравенстввида />, /> с помощью равносильногоперехода к системе (или совокупности систем). Только в учебнике [4] рассматриваетсярешение иррационального неравенства вида />.

4) Наиболее большойобъем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенств представленв учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений немного, но они разнообразны.


/>§2. Методика изучения иррациональных уравнений

/> 

2.1. Теоретическиеосновы решения уравнений

/> 

2.1.1.Основные понятия, относящиеся к уравнениям

Равенство вида

/>,                                                 (1)

где /> и /> – некоторые функции, называютуравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x). Это равенство может оказаться верным при однихзначениях x и неверным при других значениях x.

Число a называется корнем (или решением)уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при /> и равенство /> является верным.Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, котороеявляется пересечением (общей частью) областей определения функций /> и /> и называется областьюдопустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Решить уравнение – значит найти все его корниили доказать, что корней нет.

Если в условиях задачи неуказано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать вОДЗ этого уравнения.

В процессе решения частоприходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым (с точки зрениянахождения корней). Есть одно правило, которое не следует забывать припреобразовании уравнений: нельзя выполнять преобразования, которые могутпривести к потере корней.

Назовем преобразованиеуравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходитпотери корней, то есть получается уравнение

/>,                                                (2)

которое либо имеет те жекорни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет хотябы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), посторонний для уравнения(1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.

Уравнение (2) называется следствиемуравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Уравнения (1) и (2)называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравненийявляется следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны,если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот,каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, неимеющие корней, считаются равносильными.

Если уравнения (1) и (2)равносильны, то пишут

/>/>/> или (1)/>(2),

а если уравнение (2)является следствием уравнения (1), то пишут

/>/>/> или (1)/>(2).

Отметим, что еслиисходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причемв процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильнымему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходноеуравнение является обязательной.

Если же при каждомпреобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна (неследует путать проверку с контролем вычислений).

Рассмотрим еще однопонятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильносовокупности уравнений

/>,                                   (3)

если выполнены следующиеусловия:

1) каждый кореньуравнения (1) является корнем, по крайней мере, одного из уравнений (3);

2) любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнения (1).

Если указанные условиявыполнены, то множество корней уравнения (1) является объединением множествкорней уравнений (3).

Если уравнение записано ввиде

/>,                                                (4)

то каждое решение этогоуравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений

/>                                              (5)

Однако нельзя утверждать,что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).

Например, если />, то /> – корень уравнения />, но число 3 не являетсякорнем уравнения (4), так как функция /> неопределена при />.

Таким образом, в общемслучае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений(5). Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений /> и />, а затем отбросить те,которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, накотором определены функции /> и />. В ОДЗ уравнения (4) этоуравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общееутверждение: если функция /> определенапри всех xтаких, что />, а функция /> определена при всех xтаких, что />, то уравнение (4)равносильно совокупности уравнений (5). [18]

/> 

2.1.2.Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Все преобразованияуравнений можно разделить на два типа: [15]

1) Равносильные, тоесть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение,равносильное исходному.

2) Неравносильные,то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря илиприобретение посторонних корней.

Рассмотрим некоторые видыпреобразований уравнений и проанализируем, к каким типам они относятся.

1. Переносчленов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения

/>                                              (1)

к уравнению

/>.                                              (2)

Указанное преобразованиеприводит к равносильному уравнению, то есть (1)/>(2).

В частности, />. Заметим, что здесь речьидет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую безпоследующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]

2. Приведениеподобных членов, то естьпереход от уравнения

/>                                     (3)

к уравнению

/>.                                               (4)

Справедливо следующееутверждение: для любых функций />,/>, /> уравнение (4) являетсяследствием уравнения (3), то есть (3)/>(4).

Переход от уравнения (3)к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корнейневозможна, но могут появиться посторонние корни.

Таким образом, приприведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левойи правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходногоуравнения. [18]

Например, если вуравнении

/>

вычеркнуть в левой иправой его частях слагаемое />, тополучится уравнение

/>,

являющееся следствиемисходного: второе уравнение имеет корни />,/>, а первое – единственныйкорень />.

Отметим еще, что если ОДЗуравнения (4) содержится в области определения функции />, то уравнения (3) и (4)равносильны.

3. Умножениеобеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) куравнению

/>.                                           (5)

Справедливы следующиеутверждения:

1) если ОДЗуравнения (4), то есть пересечение областей определения функций /> и />, содержится в областиопределения функции />, то уравнение(5) является следствием уравнения (4);

2) если функция /> определена и отлична отнуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны. [18]

Заметим, что в общемслучае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим, так как это можетпривести к потере корней.

При решении уравненийвида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением

/>,

затем находят все корниуравнений

/> и />

и, наконец, проверяют,какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).

4. Возведениеобеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения

/>                                                   (6)

к уравнению

/>.                                      (7)

Справедливы следующиеутверждения:

1) при любом /> уравнение (7)является следствием уравнения (6);

2) если /> (n – нечетное число), то уравнения (6)и (7) равносильны;

3) если /> (n – четное число), то уравнение (7) равносильноуравнению

/>,                                                  (8)

а уравнение (8)равносильно совокупности уравнений

/>.                                        (9)

В частности, уравнение

/>                                          (10)

равносильно совокупностиуравнений (9). [18]

Следовательно, исходя изутверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень иизвлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильнымпреобразованием.

Исходя из утверждения 1 и3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеихчастей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием,при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

5. Применениеформулы/> при /> являетсяравносильным преобразованием, при /> –неравносильным. [15], [18]

Преобразования уравнений,рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже.

/> 

2.2. Методырешения иррациональных уравнений

В работе будемпридерживаться следующего определения иррационального уравнения:

Иррациональным уравнением называетсяуравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Прежде чем приступить крешению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшиеиррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятсяуравнения вида: />.

Основная идея решенияиррационального уравнения состоит в сведении его к рациональномуалгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональномууравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавитьсяот корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравненияв одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, ипоследующее «освобождение» от радикалов по формуле />.[6]

Если обе частииррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень иосвободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному. [6]

При возведении уравнения вчетную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтомувозможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней.Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степеньчисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тотже результат.

Так как могут появитьсяпосторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденныезначения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не в какие-топромежуточные.

Рассмотрим применениеданного метода для решения иррациональных уравнений вида />. [7]

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. Возведем обе части этого уравнения вквадрат /> и получим /> /> /> />/>, откуда следует, что /> или />.

Проверка. />:/>/>.Это неверное числовое равенство, значит, число /> неявляется корнем данного уравнения.

/>: />.Это верное числовое равенство, значит, число /> являетсякорнем данного уравнения.

Ответ. />.

Пример 2. Решить уравнение />.

Решение. После возведения в квадрат получаемуравнение />/>/>,откуда следует что /> или />.

Проверка. />:/>/>. Это верное числовоеравенство, значит, число /> являетсякорнем данного уравнения.

/>: />/>. Это неверное числовоеравенство, значит, число /> неявляется корнем данного уравнения.

Ответ. />.

/> 

2.2.1.Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств

Проверка,осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может бытьлегко реализована, если проверяемые корни – «хорошие» числа, а для «громоздких» корней проверка можетбыть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому каждыйобразованный школьник должен уметь решать иррациональные уравнения с помощьюравносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования,можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений. [17]

Аккуратное возведение вчетную степень уравнения вида /> состоитв переходе к равносильной ему системе:

/>

Неравенство /> в этой системе выражаетусловие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекаетпосторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17]

Школьники довольно частодобавляют к этой системе неравенство />. Однакоэтого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие /> автоматически выполняетсядля корней уравнения />, в правой частикоторого стоит неотрицательное выражение. [9]

Пример 3. Решить уравнение />.

Решение. Это уравнение равносильно системе

/>

Решая первое уравнениеэтой системы, равносильное уравнению />,получим корни /> и />.

Второй корень неудовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнемисходного уравнения.

Ответ. />.

Полезно запомнить схемурешения еще одного вида иррациональных уравнений />.Такое уравнение равносильно каждой из двух систем

/>

/>

Поскольку послевозведения в четную степень получаем уравнение-следствие />. Мы должны, решив его,выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то естьвыполняется ли неравенство /> (или />). На практике из этихсистем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]

Пример 4. Решить уравнение />.

Решение. Это уравнение равносильно системе

/>

Решая первое уравнениеэтой системы, равносильное уравнению />,получим корни /> и />. Однако при этих значенияхxне выполняется неравенство />, и потому данное уравнениене имеет корней.

Ответ. Корней нет.

/> 

2.2.2.Метод уединения радикала

При решениииррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения внекоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение ввиде />. Тогда после возведенияобеих частей уравнения в n-ую степеньрадикал справа исчезнет. [4]

Пример 5. Решить уравнение />

Решение. Метод уединения радикала приводит куравнению />. Это уравнение равносильносистеме

/>

Решая первое уравнениеэтой системы, получим корни /> и />, но условие /> выполняется только для />.

Ответ. />.

Пример 6. Решить уравнение />.

Решение. Уединив первый радикал, получаемуравнение

/>,

равносильное исходному.

Возводя обе части этогоуравнения в квадрат, получаем уравнение

/>, />

/>/>.

Последнее уравнениеявляется следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения вквадрат, приходим к уравнению

/>,/>/>.

Это уравнение являетсяследствием уравнения исходного уравнения и имеет корни />, />. Первый кореньудовлетворяет исходному уравнению, а второй – не удовлетворяет.

Ответ. />.

/> 

2.2.3.Метод введения новой переменной.

Мощным средством решенияиррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «методзамены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократновстречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогдаимеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытатьсярешить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найтиисходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногдапозволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачувообще невозможно. [6], [17]

Пример 7. Решить уравнение />.

Решение. Положив />,получим существенно более простое иррациональное уравнение />/>.Возведем обе части уравнения в квадрат: />.

Далее последовательнополучаем:

/>;

/>;

/>;

/>;

/>, />.

Проверка найденныхзначений их подстановкой в уравнение /> показывает,что /> – корень уравнения, а /> – посторонний корень.

Возвращаясь к исходнойпеременной x, получаем уравнение />, то есть квадратноеуравнение />, решив которое находим двакорня: />,/>. Оба корня, как показываетпроверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: />,/>.

Замена особенно полезна,если в результате достигается новое качество, например, иррациональноеуравнение превращается в квадратное.

Пример 8. Решить уравнение />.

Решение. Перепишем уравнение так: />.

Видно, что если ввестиновую переменную />, то уравнениепримет вид />, откуда />, />.

Теперь задача сводится крешению уравнения /> и уравнения />. Первое из этих решений неимеет, а из второго получаем />, />. Оба корня, как показываетпроверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. />,/>.

Отметим, что «бездумное»применение в Примере 8 метода «уединения радикала» и возведение вквадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляетсобой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 9. Решить уравнение />.

Введем новую переменную

/>, />.

Врезультате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

/>,

откуда учитываяограничение />, получаем />. Решая уравнение />, получаем корень />. Как показывает проверка, /> удовлетворяет исходномууравнению.

Ответ. />.

Иногда посредствомнекоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональномувиду, как рассмотренных Примерах 8, 9. В таком случае говорят, что этаподстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, иназывают ее рационализирующей., основанный на применении рационализирующихподстановок, называется способом рационализации.

Со всеми учащимися науроке этот способ решения иррациональных уравнений разбирать не нужно, но он можетбыть рассмотрен в рамках факультативных или кружковых занятий по математике сучащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.

/> 

2.2.4.Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений

Уравнения вида /> (здесь a, b, c, dнекоторые числа, m, nнатуральные числа) и ряд других уравнений частоудается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: /> и />, где /> и последующего перехода к эквивалентнойсистеме рациональных уравнений. [17]

Пример 16. Решить уравнение />.

Решение. Введем новые переменные

/> и />,где />.

Тогда исходное уравнениепринимает вид: />. Полученноеуравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Нозаметим, что величины yиzне являются независимыми переменными– они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим xчерез yиz: /> и />. Теперь,можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть изнего второе, то переменная xисключается,и остается связь только между yиz

/>.

В результате получаемсистему двух уравнений относительно двух неизвестных yи z

/>

Решая эту систему методомподстановки, приходим к уравнению />,корнями которого являются числа /> и />. Корень /> посторонний, поскольку />. Осталось решить уравнение/>, откуда находим />.

Ответ. />.

Пример 17. Решить уравнение />. [6]

Решение. Возведение обеих частей этогоуравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить />, />, то исходное уравнениепереписывается так: />. Поскольку мыввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее yи z. Для этого возведем равенства />,/> в четвертую степень изаметим, что />.

Итак, надо решить системууравнений

/>

она имеет два(действительных) решения: />, />; />, />.

Остается решить системудвух уравнений с одним неизвестным

/>

и систему

/>

первая из них дает />, вторая дает />.

Ответ: />,/>.

Не всегда после введенияновых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренныхПримерах 15, 16.Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения ксистеме может помочь и в таком случае. [17]

Пример 18. Решить уравнение />.

Решение. Введем новые переменные

/> и />, где />.

По стандартной схемеполучим следующую систему уравнений:

/>

откуда следует, что

/>.

Так как />, то yи zдолжны удовлетворять системе

/>

Возведем оба уравненияэтой системы в квадрат, после чего, сложив их, получаем уравнение />.

Также возведем равенства />, /> в квадрат и заметим, что />.

Получаем следующуюсистему уравнений:

/>

из которой получаемуравнение />.

Заметим, что этоуравнение имеет корень />. Тогда, разделивмногочлен на />, получаем разложение левойчасти уравнения на множители

/>.

Отсюда следует, что /> – единственное решениеэтого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.

Ответ: />.


/>2.2.5. Умножение обеих частейуравнения на функцию.

Иногда иррациональноеуравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачноподобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторуюфункцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самойэтой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследованияполучающихся значений. [6]

Пример 19. Решить уравнение />.

Решение. Умножим обе части уравнения на однуи ту же функцию />. Выражение /> называется сопряженнымдля выражения />. Цель такого умноженияясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже несодержит радикалов.

В результате этогоумножения и очевидных преобразований приходим к уравнению

/>,

которое равносильно совокупностиуравнений

/>

Уединив первый радикалвторого уравнения совокупности, возведем его в квадрат и получим

/>/>/>

Если внимательнопосмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечениемножеств /> и /> пусто. Следовательно, уравнение/> решений не имеет. Значит, уравнение /> имеетединственный корень />.

Подстановка в исходноеуравнение показывает, что /> –корень.

Ответ: />.

Впрочем, здесь можно былообойтись и без подстановки: функция /> нигде внуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения /> на эту функцию не приводитк появлению посторонних решений.

Пример 20. Решить уравнение />. [9]

Решение. Умножим обе части уравнения нафункцию />. После преобразованийполучим уравнение

/>.

Оно имеет два корня: />. Проверка показывает, что /> – посторонний корень(нетрудно видеть, /> – корень функции/>). Таким образом, уравнениеимеет единственный корень />.

Ответ: />.

/> 

2.2.6.Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в нихфункций

В школьном курсематематики изучаются свойства многих элементарных функций. Их иногда с успехомможно применять и при решении иррациональных уравнений. Рассмотрим несколькопримеров.

1. Использованиемонотонности функции.

Если уравнение имеет вид

/>

где /> возрастает (убывает), или

/>

где /> и /> «встречно монотонны», т.е./> возрастает, а /> убывает и наоборот, тотакое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это илипривести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он ибудет решением данного уравнения. [9]

Пример 21. />.

Решение. Это уравнение можно попытатьсярешить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнениечетвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: />. Теперь заметим, что леваячасть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит,что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, /> – единственный корень.

Ответ: />.

Пример 22. Решить уравнение />.

Решение. Традиционныйметод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить,что /> – корень. Левая частьуравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данноеуравнение может иметь не более одного корня. Итак, /> –единственный корень.

Ответ: />.

Пример 23. Решить уравнение />.

Решение. Опять-таки имеем стандартноеиррациональное уравнение. Тем не менее, не будем спешить возводить в квадрат.Так, />, />, значит /> (функция /> возрастающая), и леваячасть исходного уравнения не меньше 2. Следовательно, данное уравнение корнейне имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример 24. Решить уравнение />.

Решение. Поскольку /> и функция /> возрастающая, то />. Следовательно, леваячасть данного неравенства области определения принимает только отрицательныезначения, то есть исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: Корней нет.

Пример 25. Решить уравнение />.

Решение. Как и в предыдущих примерах,несложно обнаружить, что /> –корень. ОДЗ исходного уравнения – промежуток />.Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения незадает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на /> указанная функциявозрастает, причем корень /> принадлежитэтому промежутку. Значит, на /> данноеуравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции /> на отрезке />. Очевидно, что при /> />, а />. Следовательно, на /> исходное уравнение корнейне имеет.

Ответ. />.

2. ИспользованиеОДЗ

Иногда знание ОДЗпозволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найтирешения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 26. Решить уравнение />.

Решение. ОДЗэтого уравнения состоит из всех />,одновременно удовлетворяющих условиям /> и/>, то есть ОДЗ есть пустоемножество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одночисло не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 27. Решить уравнение />.

Решение. Конечно, это иррациональноеуравнение можно решить путем традиционного возведения обеих частей в квадрат.Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходногоуравнения – одноэлементное множество {2}. Подставив /> вданное уравнение, приходим к выводу, что /> –корень исходного уравнения.

Ответ: />.

3. Использованиеграфиков функций

При решении уравнений илинеравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей водной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить,на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решениеуравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, чтоэскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следуетответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 28. Решить уравнение />.

/>
Решение. ОДЗ данного уравнения есть все /> из промежутка />. Эскизы графиков функций /> и /> представлены на рисунке 1.

Проведем прямую />. Из рисунка следует, чтографик функции /> лежит не нижеэтой прямой, а график функции /> невыше. При этом эти графики касаются прямой /> вразных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Длякаждого /> имеем />, а />. При этом /> только для />, а /> только для />. Это означает, что исходноеуравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 29. Решить уравнение />.

Решение. Эскизы графиков функций /> и />представлены на рисунке 2.

/>
Легко проверяется, что точка /> является точкойпересечения графиков функций /> и />, то есть /> – решение уравнения.Проведем прямую />. Из рисункаследует, что она расположена между графиками функций /> и />. Это наблюдение и помогаетдоказать, что других решений данное уравнение не имеет.

Для этого докажем, чтодля /> из промежутка /> справедливы неравенства /> и />, а для промежутка /> справедливы неравенства /> и />. Очевидно, что неравенство/> справедливо для />, а неравенство /> для />. Решим неравенство />. Это неравенстворавносильно неравенству />,которое можно переписать в виде />.Решениями этого неравенства являются все />.Точно также показывается, что решениями неравенства /> являютсявсе />.

Следовательно, требуемоеутверждение доказано, и исходное уравнение имеет единственный корень />.

Ответ: />.

Кроме рассмотренных типовиррациональных уравнений существуют еще и уравнения смешанного типа. Кэтой группе относятся иррациональные уравнения, содержащие кроме знака радикалаи другие выражения (логарифмическое, показательное, тригонометрическое), атакже знак модуля и параметр. Уравнения данного типа также чаще всеговключаются в задания ЕГЭ и программу вступительных экзаменов в ВУЗы.

Со всеми учащимися науроке такие уравнения разбирать не нужно, но они могут быть рассмотрены врамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися,повышенный интерес к математике. Примеры решения уравнений смешанного типапомещены в приложении А.

/> 

3. Тождественныепреобразования при решении иррациональных уравнений

При решениииррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественныепреобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, этидействия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четнуюстепень, – могут приобретаться или теряться решения. [17]

Рассмотрим несколькоситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

I.Пример 30. Решить уравнение />.

Решение. При первом же взгляде на этоуравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» />. Но это неверно, так какпри отрицательных значениях xоказывалось бы, что />. Здесь необходимоприменить формулу />. Уравнениетеперь легко решается

/>/>/>.

Ответ. />.

Рассмотрим «обратное»преобразование.

Пример 31. Решить уравнение />.

Решение. Здесь применима формула

/>.

Только необходимо задуматьсяо безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая частиимеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии />. Поэтому исходноеуравнение равносильно системе

/>/>

Решая уравнение этойсистемы, получим корни /> и />. Второй корень неудовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, являетсяпосторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. />.

II.Следующее опасноепреобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой

/>.

Если пользоваться этойформулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения.Действительно, в левой части обе функции /> и/> должны бытьнеотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]

Пример 32. Решить уравнение />.

Решение. Возведем обе части уравнения вквадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из однойчасти равенства в другую и умножение обеих частей на />. В результате получимуравнение

/>,

являющееся следствиемисходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение

/>,

которое приводится к виду

/>.

Это уравнение (такжеявляющееся следствием исходного) имеет корни />,/>. Оба корня, как показываетпроверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. />,/>.

Замечание. При возведении уравнения в квадратучащиеся нередко в уравнении типа /> из Примера32 производят перемножение подкоренных выражений, то есть вместо такогоуравнения пишут уравнение

/>.

Такое «склеивание» неприводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения />. Следует, однако, иметь ввиду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений даетнеравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно былосначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, то есть уединитьодин радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и послевозведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получитсярациональное выражение. [3]

Рассмотрим пример, гдереализуется проблема с использованием формулы />.

Пример 33. Решить уравнение />.

Решение. Попробуем решить это уравнениеразложением на множители

/>.

Заметим, что при этомдействии оказалось потерянным решение />,так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: /> не имеет смысла при />. Поэтому это уравнениелучше решать обычным возведением в квадрат

/>/>/>/>

Решая уравнение этойсистемы, получим корни /> и />. Оба корня удовлетворяютнеравенству системы

Ответ. />,/>.

Вывод. Есть два пути. Или аккуратновозводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения моглибыть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

III.Существует еще более опасноедействие – сокращение на общий множитель. [17]

Пример 34. Решить уравнение />.

Неверное рассуждение: Сократимобе части уравнения на />, получим

/>.

Нет ничего более опасногои неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходногоуравнения /> было потеряно; во-вторых,было приобретено два посторонних решения />.Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильноерешение.

Решение. Перенесем все члены в левую частьуравнения и разложим ее на множители

/>/>/>/>.

Это уравнение равносильносистеме

/>

которая имеетединственное решение />.

Ответ. />.


/>§3. Методика решения иррациональных неравенств

Иррациональныенеравенства – довольно сложный раздел школьного курса математики, а еслиучесть, что на его изучение отведено крайне мало времени, то становится ясно,что учащиеся как правило это раздел не усваивают. Даже у тех учащихся, чтоуспешно решают иррациональные уравнения, часто возникают проблемы при решениииррациональных неравенств. Решение иррациональных неравенств осложняется темобстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки,поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

 

3.1.Теоретические основы решения иррациональных неравенств

Если в любомиррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства:>, />, <, />, то получим иррациональноенеравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем пониматьнеравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. [16]

Способ решения таких неравенствсостоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеихчастей неравенства в степень.

Чтобы избежать ошибок прирешении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значенияпеременной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то естьнайти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильныйпереход на всей ОДЗ или ее частях.

При решениииррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеихчастей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство,равносильное данному неравенству. [16]

Но если при решенииуравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонниекорни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, токорни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременнои теряться, и приобретаться. [8]

Например, возведя вквадрат:

-верное неравенство />, мы получим верноенеравенство />;

-верное неравенство />, мы получим неверноенеравенство />;

-неверное неравенство />, мы получим верноенеравенство />;

-неверное неравенство />, мы получим неверноенеравенство />.

Вы видите, что возможнывсе комбинации верных и неверных неравенств.

Однако верно основноеиспользуемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четнуюстепень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае,если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]

 

3.2. Методырешения иррациональных неравенств

 

3.2.1.Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

Основным методом решенияиррациональных неравенств является сведение исходного неравенства кравносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. [17]

Наиболее простые иррациональныенеравенства имеют вид:

1) /> или />;

2) /> или />;

3) /> или />.

Иррациональноенеравенство /> или /> равносильно системе неравенств

/> или />.                             (1)

Первое неравенство всистеме (1) является результатом возведения исходного неравенства в степень,второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходномнеравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором этонеравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональноенеравенство /> или /> равносильно совокупностидвух систем неравенств

/> или />.                        (2)

Обратимся к первойсистеме схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатомвозведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором этоможно делать.

Вторая система схемы (2)соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадратнельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства –арифметический корень – неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходноенеравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первоенеравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональноенеравенство /> или /> равносильно системенеравенств

/> или />.                             (3)

Поскольку обе частиисходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можновозвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатомвозведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляетсобой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, чтонеравенство /> выполняется при этомавтоматически.

Схемы (1)–(3) – нашосновной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решениепрактически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]

Пример 1. Решить неравенство />.

Решение. Заметим, что правая часто этогонеравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всехзначениях x, при которых она определена. Поэтомунеравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство />.

Решение. Как и в предыдущем примере,заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая частьисходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Этоозначает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию />.

Ответ. />.

Пример 3. Решить неравенство />.

Решение. В соответствии со схемой (1) решениянеравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

/>

Условие /> выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его квыписанной системе.

Ответ. />.

Пример 4. Решить неравенство />.

Решение. Это неравенство решается при помощисхемы (2). В данном случае />,поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному

/>.

Ответ. />.

Пример 5. Решить неравенство />.

Решение. Это неравенство может быть решенопри помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

/>/>/>/>.

Ответ. />.

Пример 6. Решить неравенство />.

Решение. Данное неравенство можно решать спомощью схемы (2). Оно равносильно совокупности двух систем

/>/>/>

Ответ. />.

Пример 7. Решить неравенство />.

Решение. Согласно схеме (3), данноенеравенство равносильно системе

/> />

Ответ. />

Рассмотрим решениеиррациональных неравенств следующего вида

/>.

Поскольку />, />, то должны выполнятсяусловия />, />, /> (соответственно />). На множестве, где этиусловия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству

/>

(соответственнонеравенству />), которое сводится кразобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство />.

Решение. Данное неравенство равносильноследующей системе неравенств:

/>/>/>/>

Решение исходногонеравенства является общей частью решений всех неравенств системы, то естьимеет вид />.

Ответ. />/>.

Теперь перейдем к решениюболее сложных задач, стараясь свести их решение к стандартным ситуациям – к простейшимнеравенствам, рассмотренным выше. Приемы сведения во многом аналогичны приемам,применяемым при решении иррациональных уравнений.

Если в неравенствевстречаются два квадратных радикала, обычно приходится неравенство возводить вквадрат дважды, обеспечивая при этом необходимые для этой операции условия.

Пример 9. Решить неравенство />.

Решение. Перенесем второй радикал в правуючасть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно быловозвести в квадрат:

/>

Мы пришли к простейшемустандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

/>

Ответ. />.

Замечание. При получениинеравенства /> мы не выписывалидопустимые значения неизвестного, так как там фигурировал />, который существует при />, но при этих значениях /> существует и />.

Пример 10. Решить неравенство />.

Решение. Начнем с отыскания допустимыхзначений неизвестного:

/>

Заметим, что дляизбавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но дляэтого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишьпри выполнении условия /> (так как всеостальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этомусловии можно умножить данное неравенство на положительное выражение />.

Итак, если />, данное неравенствопреобразуется и решается так:

/>        В том случае, когда />, данное неравенство будет выполняться,так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ: />.

Замечание. При решении последней задачи мыфактически получили такие новые схемы, легко выводимые из схем (1) и (2):

/>                                  (4)

/>

/>                              (5)

/>

Если в правой частиподобного неравенства стоит не единица, а любое другое число кроме нуля, можноестественно, поделить на него обе части неравенства и, в зависимости от знакаэтого числа, перейти к неравенствам из схем (4) или (5).

/> 

3.2.2.Умножение обеих частей неравенства на функцию

Выражения /> и /> называются сопряженнымидруг другу. Заметим, что их произведение /> ужене содержит корней из /> и />. Поэтому в ряде задачвместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям,разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.

Пример 11. Решить неравенство />.

Решение. Найдем ОДЗ:

/>

Умножим обе части данногонеравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно,положительное в ОДЗ:

/>Дальнейшее решение зависит, очевидно,от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства />.

/>Если он меньше нуля, то есть />, сократив на этототрицательный множитель, переходим к неравенству:

/>,

из которого находимпрямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) />

Во втором случае, если общиймножитель положителен (то есть при />), послесокращения на него получаем неравенство

/>,

из которого прямымвозведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) получаем,что оно справедливо при />.

Осталось указать, что втретьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство невыполняется: мы получаем тогда />, чтоневерно.

Ответ: />.

 

3.2.3.Метод введения новой переменной

Для решенияиррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, суспехом может применяться метод введения новой переменной.

Иногда удаетсяиррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной такимобразом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным. [24]

Пример 12. Решить неравенство />.

Решение. Перепишем исходное уравнение />.

Сделаем замену />, />. Тогда получим

/>

Таким образом, дляопределения /> получаем совокупностьнеравенств

/>

Ответ. />.

Пример 13. Решить неравенство />.

Решение. Введем новую переменную />, />.

Тогда /> и для переменной tполучаем рациональное неравенство

/> />/>.

Осталось сделать обратнуюзамену и найти />:

/>

Ответ. />.

 

3.2.4.Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в нихфункций

1. Использованиемонотонности функции

Пустьна промежутке /> заданавозрастающая функция /> и требуетсярешить неравенство /> (или />). Если /> – корень уравнения />, причем />, то решения данногонеравенства – весь промежуток /> (соответственнопромежуток />). Единственность корняследует из монотонности />.Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том жерассуждении в ответ войдет и число />, а еслифункция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдутсоответствующие концы промежутка. [26]

Пример 14. Решить неравенство />.

Решение. Заметим, что левая часть данногонеравенства – возрастающая функция (обозначим ее через />). При /> левая часть равна правой.Учтем ОДЗ исходного неравенства /> ирассмотрим его на промежутке />. Имеем />, то есть данноенеравенство выполняется. При /> по тойже причине (из-за возрастания функции />)/>, то есть данноенеравенство не выполняется. Так как исследование проведено при всех допустимыхзначениях />, решение закончено.

Ответ: />

2. ИспользованиеОДЗ

Пример 15. Решить неравенство />.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все />, удовлетворяющие условию />. Ясно, что /> не является решениемданного неравенства. Для /> изпромежутка /> имеем />, а />. Следовательно, все /> из промежутка /> являются решениями данногонеравенства.

Ответ: />.

Пример 16. Решить неравенство />.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все /> из промежутка />. Разобьем это множество надва промежутка /> и />.

Для /> из промежутка /> имеем />, />. Следовательно, /> на этом промежутке, ипоэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть /> принадлежит промежутку />, тогда /> и />. Следовательно, /> для таких />, и, значит, на этомпромежутке исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

3. Использованиеграфиков функций

Пример 17. Решить неравенство />.

/> <td/> />
Решение. ОДЗ этого неравенства есть все /> из промежутка />. Эскизы графиков функций /> и /> представлены на рисунке 3.Из рисунка следует, что для все /> из ОДЗданное неравенство справедливо.

Докажем это. Для каждого /> из промежутка /> имеем />, а для каждого такого /> имеем />. Значит, для каждого /> имеем />. Следовательно, решениямиисходного неравенства будут все /> изпромежутка />.

Ответ: />

/> 


§ 4. Опытное преподавание

Опытное преподаваниеприменяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагаетодновременное использование целого ряда методов, например, наблюдение,диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.

Одной из задач опытногопреподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативногокурса по изучению иррациональных уравнений, как предусмотренных школьнойпрограммой, так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитанна систематизацию методов решения иррациональных уравнений. Необходиморассмотреть основные виды иррациональных уравнений наиболее часто встречаемыхна выпускных и вступительных экзаменах.

Цели факультативныхзанятий:

1. Познакомитьучащихся с некоторыми методами решения иррациональных уравнений.

2. Показать применениеразличных методов при решении уравнений одного вида.

3. Формироватьумение видеть рациональный метод для решения конкретных видов уравнений.

4. Формироватьлогическое мышление.

5. Формироватьнастойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение сложных задач.

6. Развиватьматематическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

7. Подготовитьучащихся к поступлению в ВУЗы.

Знания и умения,которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме«Иррациональные уравнения и методы их решения»:

1. Владеть основнымипонятиями, относящимися к уравнениям и неравенствам: корень уравнения, ОДЗуравнения, знать, что значит решить уравнение.

2. Владетьопределениями понятий арифметического квадратного корня и арифметического корня/>-ой степени.

3. Знать свойстваарифметического квадратного корня и свойства арифметического корня />-ой степени.

4. Уметь решатьпростейшие иррациональные уравнения.

5. Уметь решатьпростейшие тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения.

6. Уметь решатьлинейные и квадратные уравнения.

Кроме того, учащиесядолжны иметь представление об общих методах решения уравнений: метод замены,метод разложения на множители, функционально-графический метод.

Цель курса: исследование возможности изучениядополнительно к учебному плану некоторых типов иррациональных уравнений,углубления уже имеющихся знаний по решению иррациональных уравнений.

Этапы курса:

1. Разработкапрограммы факультативных занятий «Иррациональные уравнения и методы их решения»для учащихся 11 класса.

2. Проведениедиагностирующей контрольной работы №1.

3. Проведениеразработанной программы факультативных занятий.

4. Проведениедиагностирующей контрольной работы №2.

5. Анализ полученныхрезультатов опытной работы.

Этап №1

Разработка программыфакультативных занятий «Иррациональные уравнения и методы их решения» дляучащихся 11 класса.

Факультативные занятиябыли разработаны на основе анализа математической, методической и учебнойлитературы.

Этап №2

Проведениедиагностирующей контрольной работы №1.

Контрольная работа былапроведена перед проведением факультативных занятий с учениками 11акласса школы №37 города Кирова. Ее основная задача: определить уровеньподготовки, знаний и умений по теме «Иррациональные уравнения».

Учащимся было предложено8 заданий, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. В классе 25человек. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено вприложении Б.

Задания 1-3 –с выборомответа, задания 4-7 – с кратким ответом, задание 8 – с развернутым ответом.

Результатыдиагностирующей контрольной работы №1 отображены в таблице №1:

№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

Кол-во человек, решивших задание 18 17 18 10 7 6 3 Доля человек, решивших задание в процентах 72% 68% 72% 40% 28% 24% 12% 0%

 

Этап №3

Проведение разработаннойпрограммы факультативных занятий.

Разработанные заданияпроводились 2 раза в неделю. Всего было проведено 6 занятий по 2 часа.

Основные задачипроведения факультативных занятий:

1) проверитьправильность отбора содержания и системы упражнений;

2) выявить тотматериал, который вызывает у учащихся наибольшие затруднения;

3) определитьэффективность усвоения материала посредством текущей проверки;

4) выявитьзаинтересованность учащихся в изучении данной темы.

Этап №4

Проведениедиагностирующей контрольной работы №2.

Контрольная работа былапроведена после проведения факультативных занятий разработанной программы.Задача: выявление знаний и умений решать иррациональные уравнения.

Учащимся было предложено8 заданий, которые было необходимо выполнить в течении 1 часа. Содержание диагностирующейконтрольной работы №1 представлено в приложении Б.

Тематика заданий та же,что и в контрольной работе №1.

Результатыдиагностирующей контрольной работы №2 отображены в таблице №2:

№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

Кол-во человек, решивших задание 24 23 24 17 11 10 5 3 Доля человек, решивших задание в процентах 96% 92% 96% 68% 44% 40% 20% 12%

 

Этап №5

Анализ полученныхрезультатов опытной работы.

/> <td/> />
На основании таблиц №1 и №2можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов контрольныхработ, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после ихпосещения.

Как видно из диаграммы,перед проведением факультативных занятий уровень знаний учащихся был средним, апосле проведения занятий он повысился. Положительная тенденция заметна: учащиесянаучились решать простейшие иррациональные уравнения и справились с заданиями1-3, значительно лучше стало умение решать более сложные уравнения. Так как8-ое задание относится к высокому уровню сложности, с ним справилось лишь 3человека. Учащиеся лучше стали владеть методом введения новых переменных прирешении иррациональных уравнений. Трудным показался материал, связанный срационализирующими подстановками при решении иррациональных уравнений.

Программафакультативных занятий на тему «Иррациональные уравнения и методы их решения»

Ниже предлагаетсяпрограмма факультативных занятий на тему «Иррациональные уравнения и методы ихрешения». Курс лучше изучать в 11 классе, так как уравнения такого видасодержатся в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Программарассчитана на 16 часов. Занятия проводятся по 2 часа.

Занятие №1

Тема: Равносильные инеравносильные преобразования уравнений.

Цели:

1) Познакомитьучащихся с понятием равносильных уравнений.

2) Показать, когдаодно уравнение является следствием другого.

3) Сформулироватьтеоремы о равносильности уравнений.

4) Познакомитьучащихся с равносильными и неравносильными преобразованиями уравнений.

Краткое содержание:Определение равносильности уравнений, следствия уравнений, понятие постороннегокорня уравнения, перечисление и демонстрация на примерах равносильных инеравносильных преобразований уравнений.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №2, №3

Тема: Решение простейшихиррациональных уравнений

Цели:

1) Отработать уучащихся умение решать простейшие иррациональные уравнения вида />, />.

2) Закрепитьизученный ранее материал.

3) Подготовитьучащихся к изучению нового материала.

Краткое содержание:Определение иррационального уравнения, решение простейших иррациональныхуравнений вида />, /> методом возведения обеихчастей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой полученныхкорней, а также методом сведения к равносильной системе уравнений и неравенств.Метод уединения радикала.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №4

Тема: Решениеиррациональных уравнений методом замены.

Цель:Научить учащихся решать иррациональные уравнения методом замены.

Краткое содержание:Применение метода замены в случае, если в уравнении неоднократно встречаетсянекоторое выражение. Решение иррациональных уравнений методом сведения кэквивалентным системам рациональных уравнений при помощи введения двухвспомогательных неизвестных.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №5

Тема: Применениерационализирующих подстановок при решении иррациональных уравнений.

Цель: Научить учащихся решатьиррациональные уравнения при помощи рационализирующих подстановок.

Краткоесодержание: Рассмотрение рационализации некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощьюрационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решениииррациональных уравнений.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №6

Тема:Решение иррациональных уравнений функционально-графическим методом.

Цель: Научить учащихсярешать иррациональные уравнения и неравенства, используя свойства входящих вних функций.

Краткое содержание:Использование ОДЗ, монотонности, графиков функций при решении иррациональныхуравнений.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №7

Тема:Обобщение и систематизация методов решения иррациональных уравнений.

Цель:

1) Показатьучащимся, что иррациональные уравнения можно решать не одним методом.

2) Систематизироватьметоды решения иррациональных уравнений.

3) Научить выбиратьнаиболее рациональный способ решения.

Краткое содержание:Рассмотрение различных методов решения на примере одного иррациональногоуравнения вида />.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №8

Тема: Иррациональные уравнения, содержащие знак модуляили параметр. Решение уравнений смешанного типа.

Цель: Показать учащимсякак решаются уравнения смешанного типа иуравнения, содержащие знак модуля и параметр.

Краткое содержание:Решение иррациональных уравнений с параметром и модулем, а также иррациональныеуравнения, содержащие логарифмические, показательные или тригонометрическиевыражения.

Литература для учителя:

Литература для ученика:


Заключение

В данной работе сделанапопытка разработать методику обучения решению иррациональных уравнений инеравенств в школе.

При проведенииисследования были решены следующие задачи:

1) Проанализированыдействующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявленияпредставленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств.Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

·в средней школенедостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональныхуравнений, в основном программой предусмотрено формирование у учащихся решатьпростейшие иррациональные уравнения и неравенства;

·в учебнике [1]материала, посвященного методам решения иррациональных уравнений нет. Востальных учебниках рассмотрены два основных способа решения: возведение обеихчастей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней висходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильныхпреобразований;

·очень мало материала по методам решенияиррациональных неравенств;

·средипредлагаемых заданий в учебниках много однотипных;

2) Изученаучебно-методическая литература по данной теме;

3) Рассмотреныосновные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений инеравенств;

4) Рассмотреныситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессерешения, показано, как распознавать и предотвращать их;

5) Подобраны примерырешения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемоготеоретического материала;

6) Разработана


/>Списокбиблиографии

1. Алимов Ш. А.Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш.А. Алимов – М.: Просвещение, 1993. – 254 с.

2. Башмаков М. И.Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / М.И. Башмаков – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

3. Болтянский В. Г.Математика: лекции, задачи, решения [Текст] / В. Г. Болтянский – Литва: Альфа,1996. – 637 с.

4. Виленкин Н. Я. идр. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учебное пособие дляучащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин –М.: Просвещение, 1998. – 288 с.

5. Галицкий М. Л.Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие для учащихсяшкол и классов с углубленным изучением математики М. Л. Галицкий – М.:Просвещение, 1999. – 271с.

6. Григорьев А. М.Иррациональные уравнения [Текст] / А. М. Григорьев // Квант. – 1972. – №1. – С.46-49.

7. Денищева Л. О.Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. [Текст] / Л. О.Денищева – М.: Дрофа, 2004. – 120 с.

8. Егоров А.Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. –2002. – №15. – С. 13-14.

9. Егоров А.Иррациональные уравнения [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября – 2002.– №5. – С. 9-13.

10. Мордкович А. Г.Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник дляобщеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315с.

11. Мордкович А. Г.Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник дляобщеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315с.

12. Мордкович А. Г.Кто-то теряет, кто-то находит [Текст] / А. Г. Мордкович // Квант – 1970. – №5. –С. 48-51.

13. Колмогоров А. Н.Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / А. Н. Колмогоров – М.: Просвещение, 1991. – 320с.

14. Кузнецова Г. М.Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11классы [Текст] / Г. М. Кузнецова – М.: Дрофа, 2004 – 320 с.

15. Потапов М. Какрешать уравнения без ОДЗ [Текст] / М. Потапов // Математика. Первое сентября – 2003.– №21. – С. 42-43.

16. Соболь Б. В.Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованномутестированию по математике [Текст] /       Б. В. Соболь – Ростов на Дону:Феникс, 2003. – 352 с.

17. Черкасов О. Ю.Математика [Текст]: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы / О. Ю.Черкасов – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.

18. Шабунин М. Лекциидля абитуриентов. Лекция 1. [Текст] / М. Шабунин // Математика. Первое сентября– 1996. – №24. – С. 24.

19. Шувалова Э. З.Повторим математику [Текст]: учебное пособие для поступающих в вузы / Э. З.Шувалова – М.: Высшая школа, 1974. – 519 с.

20. Моденов В. П.Решение иррациональных уравнений [Текст] / В. П. Моденов // Математика в школе – 1970. –№6. – С. 32-35.

21. Горнштейн П. И.Экзамен по математике и его подводные рифы [Текст] / П. И. Горнштейн – М.:Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, – 236 с.

22. http://www.courier.com.ru

23. http://www.5ballov.ru.

24. Шарова Л. И.Уравнения и неравенства [Текст]: пособие для подготовительныхотделений / Л. И. Шарова – Киев: Вища школа, 1981. – 280 с.

25. Олейних…

26. Егоров А.Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. –2002. – №17. – С. 13-14.

27. Мордкович А. Г.Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательныхучреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

28. Мордкович А. Г.Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательныхучреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2003. – 239 с.


ПриложениеА

 

Решение иррациональных уравнений смешанноготипа

Для каждого видауравнений и неравенств, в том числе и иррациональных, можно составить уравнениеили неравенство «с модулем» и «с параметром».

Иррациональныеуравнения, содержащие знак модуля

Простейшие уравнения смодулем имеют вид: /> и />; будем их решать наосновании определения модуля сведением к совокупности систем.

/>Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. />,

Данное уравнение равносильносовокупности двух систем:

/>

Будем решать каждую изсистем по отдельности.

Решение первой системы:

/>/>/>/>/>/>

/> />

Последняя система неимеет корней, так как дискриминант уравнения /> меньшенуля.

Решение второй системы:

/>/>/>/>/>/>

/>/>/>/>

Ответ: />.

/> Пример 2. Решить уравнение />

Решение. />,

Данное уравнение равносильносовокупности двух систем:

/>

Будем решать каждую изсистем по отдельности.

Решение первой системы:

/>/>/>/>/>

Если внимательнопосмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечениемножеств /> и /> пусто. Следовательно,первая система совокупности корней не имеет.

Решение второй системы:

/>/>/>/>/>/>

/>/>

Ответ: />.

Иррациональныеуравнения, содержащие параметр

Уравнение вида /> называется иррациональнымс параметром относительно неизвестного />,если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно />.

Как и раньше, будемнаходить только действительные корни.

Трудно указатькакой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решенияиррациональных уравнений, содержащих параметр.

Проиллюстрируем некоторыеспособы решения на примерах.

Пример 3. Для каждого действительногозначения параметра /> решить уравнение

/>.

Решение. Исходное уравнение равносильносмешанной системе

/> /> />

При /> эта система решений неимеет.

При /> получим решение

/>

Теперь необходимо найтите значения />, при которых эта системаимеет решение:

/>/>

/>

Ответ: при /> –корней нет;

             при />   />.

Для решения иррациональногоуравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этомполучаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределахнекоторого ограниченного множества значений нового неизвестного.

Пример 4. Решить уравнение />.

Решение. Область определения данногоуравнения:

/>

Так как /> и />, то и />.

Сделаем замену /> />, тогда /> и исходное уравнение можнозаписать в виде системы

/>

которая равносильнасистеме

/>

Корни уравнения /> должны удовлетворятьпервому условию последней системы, то есть необходимо решить систему

/>/>

/>

Итак, при /> исходное уравнение имеетединственный корень />. Отсюда при /> имеем

/>,

/>

Ответ: при /> />;

             при /> – корней нет.

Иррациональные показательныеуравнения

Пример 5. Решить уравнение />.

Решение. Перепишем уравнение так:

/>,

Приведем все степени к одномуоснованию 7:

/>.

Сделаем замену />, />, тогда получаем уравнение />, корнями которого являются/> />

Сделаем обратную замену:

/>                                           или

/> – уравнение не имеет решений.

/>

Ответ: />.

Пример 6. Решить уравнение />.

Решение. Приведем все степени к одномуоснованию:

/>/>/>/>/>.

откуда получаем уравнение /> которое равносильноуравнению:

/>

/>

/>

Ответ: />

Иррациональные логарифмическиеуравнения

Пример 7. Решить уравнение />.

Решение. Преобразуем данное уравнение:

/>.

Учитывая ОДЗ, данное уравнениеравносильно системе:

/>/>/>/>/>/>/>

Ответ: />

Пример 8. Решить уравнение

/>

Решение. Учитывая ОДЗ, данное уравнениеравносильно системе:

/>/>

/>/>/>

/>/>

Уравнение этой системы равносильносовокупности уравнений:

/>

Последнее уравнение этой совокупностиравносильно уравнению:

/>

/>

Из неравенства системы /> следует, что />. Следовательно, /> – посторонний корень.

Ответ: />,/>

Сколько корней имеет уравнение />?

Сколько корней имеет уравнение />?


ПриложениеБ

 

Диагностирующаяконтрольная работа №1

1.  Сколько корней имеет уравнение />?

А. ни одного Б. один В. два Г. четыре

2.  Решите уравнение/>, укажите корень уравнения  (или сумма корней, если их несколько).

А. />

Б. 1 В. 2 Г. корней нет

3.  Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения /> (или сумма корней, если их несколько).

А. />

Б. />

В. />

Г. />

4.  Решите уравнение/>, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).

5.  Решите уравнение />, укажите корень уравнения.

6.  Решите уравнение />, укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший)

7.  Решите уравнение />, укажите корень уравнения.

8.  Решите уравнение />.


Диагностирующаяконтрольная работа №2

1.  Сколько корней имеет уравнение />?

А. четыре Б. два В. один Г. ни одного

2.  Решите уравнение/>, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).

А. 4 Б. 1

В. />

Г. корней нет

3.  Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения /> (или сумма корней, если их несколько).

А. />

Б. />

В. />

Г. />

4.  Решите уравнение/>, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).

5.  Решите уравнение />, укажите корень уравнения.

6.  Решите уравнение />, укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший).

7.  Решите уравнение />, укажите корень уравнения.

8.  Решите уравнение />.


Ответы ирешение заданий диагностирующей контрольной работы №1

1. А.

2. А.

3. Б.

4. Уединивпервый радикал, получаем уравнение />,равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаемуравнение/>, />/>.Последнее уравнение равносильно системе /> Решая уравнение этойсистемы, равносильное уравнению />,получим корни /> и />. Первый корень неудовлетворяет неравенству системы и, следовательно,является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: />.

5. Введем новуюпеременную />, тогда />, причем />. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного/>, откуда учитываяограничение />, получаем />. Решая уравнение />, получаем корень />. Как показывает проверка, /> удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: />.

6. Введем новуюпеременную />. В результате исходноеиррациональное уравнение принимает вид /> Решая первое уравнениеэтой системы, получим корни /> и />. Второй корень неудовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение />,получаем корни /> и />. Как показывает проверка,оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольшийиз корней. Ответ: />.

7. Данноеуравнение равносильно совокупности двух систем: /> и /> Будем решать каждую изсистем по отдельности. Решение первой системы: />/> />/> Если внимательно посмотреть на неравенствапоследней системы, можно заметить,что пересечение множеств /> и /> пусто. Следовательно, первая система совокупностикорней не имеет. Решение второйсистемы: />/>/>/> />/> Решая уравнениеэтой системы, равносильное уравнению />,получим корни /> и />. Второй корень неудовлетворяет неравенству системы и, следовательно,является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: />.

8. Введем новыепеременные /> и />. Тогда исходное уравнениепринимает вид: />. Поскольку мыввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее yи z. Для этого возведем равенства />, /> в третью степень изаметим, что />. Итак, надо решить системууравнений /> она имеет два(действительных) решения: />, />; />, />. Остается решить системудвух уравнений с одним неизвестным /> исистему /> первая из них дает />, вторая дает />. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходномууравнению. Ответ: />, />.

Ответы ирешение заданий диагностирующей контрольной работы №2

1. Б.

2. В.

3. Г.

4. Уединивпервый радикал, получаем уравнение />,равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаемуравнение/>,/>/>.Последнее уравнение равносильно системе /> Решая уравнение этойсистемы, равносильное уравнению />,получим корни /> и />. Оба корня удовлетворяютнеравенству системы и, следовательно,являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указатьпроизведение корней. Ответ: 48.

5. Введем новуюпеременную />, тогда />, причем />. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного/>, откуда учитываяограничение />, получаем />. Решая уравнение />, получаем корень />. Как показывает проверка, /> удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: />.

6. Введем новуюпеременную />. В результате исходноеиррациональное уравнение принимает вид />/> /> Решая первое уравнениеэтой системы, равносильное уравнению />,получим корни /> и />. Первый корень неудовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение />,получаем корни /> и />. Как показывает проверка,оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольшийиз корней. Ответ: />.

7. Данноеуравнение равносильно совокупности двух систем: /> и /> Будем решать каждую изсистем по отдельности. Решение первой системы: />/> />/>/> Решая уравнение этой системы, равносильноеуравнению />, получим корни /> и />. Второй корень неудовлетворяет неравенству системы и, следовательно,является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы: />/>/>/>/> Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению />, получим корни /> и />. Оба корня неудовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются постороннимикорнями исходного уравнения. Ответ: />.

8. Введем новыепеременные /> и />. Тогда исходное уравнениепринимает вид: />. Поскольку мыввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее yи z. Для этого возведем равенства />,/> в четвертую степень изаметим, что />. Итак, надо решить системууравнений /> она имеет два(действительных) решения: />, />; />, />. Остается решить системудвух уравнений с одним неизвестным /> исистему /> первая из них дает />, вторая дает />. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходномууравнению. Ответ: />, />.


ПриложениеВ

 

Разработкафакультативного занятия на тему «Способ рационализации при решениииррациональных уравнений»

Ход занятия

Иногда посредствомнекоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональномувиду. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализируетрассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей.

Способ решенияиррациональных уравнений, основанный на применении рационализирующихподстановок, назовем способом рационализации.

Применяярационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определениянового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки,соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Толькопри этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемоеиррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области егоопределения эквивалентно данному.

Рассмотрим рационализациюнекоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующихподстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.

1. Рационализациявыражения />

Выражение вида

/>,                                                  (1)

где /> обозначает рациональнуюфункцию, /> и /> – постоянные, а /> – любое целоеположительное число, рационализируется подстановкой

/>.                                                    (2)

Действительно, возводяобе части равенства (2) в />-уюстепень, получим />, откуда />, причем функция /> рациональна.Следовательно,

/>.

Поскольку рациональнаяфункция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию,то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, являетсярациональным.

Пример 1. Решить уравнение />.

Решение. ОДЗ рассматриваемого уравнения />. Рационализирующейподстановкой /> /> это уравнение приводится кэквивалентной ему смешанной системе

/>

или (сокращая дробь на />) системе

/>

Решением последней будет />/>.Воспользовавшись подстановкой, получим />.

Ответ: />.

2. Рациональностьдробно-линейных иррациональностей

Аналогично предыдущемудоказывается, что функция вида

/>,                                              (3)

где />, />, /> и /> – некоторые постоянные, а /> – любое целоеположительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии /> приведена к рациональномувиду подстановкой

/>                                                   (4)

Иррациональная функция

/>                                     (5)

рационализируется припомощи подстановки

/>                                                    (6)

где /> – наименьшее общее кратноепоказателей радикалов />, />, …

Пример 2. Решить уравнение />.

Решение. Будем искать корни данногоуравнения в области /> (очевидно, чточисла /> и /> не являются его корнями).Разделим обе части уравнения на />:

/>.

Полученное уравнение врассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки

/> />

сводится к смешаннойсистеме

/>

эквивалентной ему в этойобласти. Определив решения этой системы /> и/> и воспользовавшисьподстановкой, находим корни исходного уравнения.

Ответ: />.

3. Рационализациябиноминальных выражений

Можно доказать, чтовыражение

/>,                                           (7)

где /> и /> – постоянные, а показателистепеней />, /> – некоторые рациональныечисла, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях,когда оказывается целым одно из чисел />,/> или />.

В этих случаях возможныследующие подстановки:

Если /> – целое, то />, где /> – наименьшее общее кратноезнаменателей чисел /> и />.

Если /> – целое, то />, где /> – знаменатель числа />.

Если /> – целое, то />, где /> – знаменатель числа />.

Существование указанныхтрех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения крациональному виду уравнений /> впервом случае и /> во втором итретьем случаях.

Пример 3. Решить уравнение />.

Решение. Так как /> –не является корнем уравнения, разделим обе его части на />. Выделяется биномиальноевыражение:

/>.

Имеет место третий случайрационализации (/> и /> – целое число).Следовательно, будем применять подстановку /> />. Возводя обе части этогоравенства в квадрат, получим />, такчто />. Теперь с помощьюподстановки /> и найденного значения /> получаем

/>

и исходное иррациональноеуравнение приводится к рациональному />, или />. Определив корни этогоуравнения /> />, /> и воспользовавшисьподстановкой, находим />

Ответ: />

4. Рационализацияквадратичных иррациональностейпосредством подстановок Эйлера

Квадратичнойиррациональностьюназовем функцию вида

/>,                                         (9)

где /> /> и /> – некоторые постоянные.Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановокЭйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трёхчлен /> неотрицателен и не имеетравных корней (в противном случае корень можно заменить рациональнымвыражением).

а) Сначаларассмотрим случай, когда дискриминант />.В этом случае знак квадратного трёхчлена /> совпадаетсо знаком />, и поскольку этот трёхчленположителен (в силу условия /> равенствотрёхчлена нулю невозможно), то />.

Таким образом, мы можемсделать следующую подстановку:

/>

(или />)                                   (10)

Подстановку (10) иногда называютпервой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализируетфункцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства

/>

(заметим, что />), получим />, так что

/>,

/>

где функции /> и />рациональные. Такимобразом,

/>.

В правой частиполученного равенства стоит рациональная функция.

б)  Рассмотримтеперь случай, когда дискриминант />, тоесть квадратный трехчлен /> имеет(различные) действительные корни /> и />. Следовательно,

/>.

Аналогично предыдущемудоказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредствомподстановки:

/> />,                                  (11)

называемой часто второйподстановкой Эйлера.

Замечание1. Рационализирующаяподстановка (11) справедлива при условии />.Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения,необходимо проверить, не является ли значение /> корнемданного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).

Замечание2. Если />, то в этом случае можноположить

/>

(или />)                                   (12)

Ответ: />,/>.

Пример 4. Решить уравнение />.

Решение. В данном уравнении дискриминантквадратного трехчлена положителен, корни его /> и/>. Найдем другие корниподстановкой

/>.

Применяя эту подстановку,необходимо проверить, не является ли значение /> корнемданного уравнения. Итак, /> –корень данного уравнения.

Возводя в квадрат обечасти равенства />, получим />, откуда />. Теперь подставим этозначение /> в исходное уравнение ипоследовательно получаем:

/>

/>

/>/>

/>

иисходное уравнение сводится к уравнению />,или />. Это уравнение имеетединственный действительный корень />, тогда />. Итак, исходное уравнениеимеет два корня: /> и />.

Ответ: />, />.

5. Рационализацияс помощью тригонометрических подстановок

Иногда подходящей заменойнеизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическомууравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]

1). Если в уравнениевходит радикал />, то можносделать замену />, /> или />, />.

2). Если в уравнениевходит радикал />, то можносделать замену />tg t, /> или /> ctg t, />.

3). Если в уравнениевходит радикал />, то можносделать замену />, /> или />, />.

Проиллюстрируемиспользование этих замен на следующих примерах.

Пример 5. Решить уравнение />.

Решение. В данное уравнение входит выражение/>, поэтому в соответствии спунктом 2, сделаем замену

/>tg t, где />.

Тогда выражение />, входящее в уравнение,можно преобразовать

/>

и исходное уравнениеможно записать в виде

/>.

Поскольку /> не равен нулю прирассматриваемых значениях t,то полученное уравнение равносильно уравнению

/>.

Решая это уравнение,находим два возможных значения

/> и />.

Из всех корней этихуравнений промежутку /> принадлежитединственное значение />.

Поэтому соответствующеезначение xравно

/>.

Ответ. />.

Пример 6. Решить уравнение />.

Решение. В этом уравнении xпо ОДЗ может принимать толькозначения из отрезка />, что приводит кмысли совершить замену

/>, где />.

В результате такой заменыприходим к уравнению

/>.

Учтем, что

/> и />,

получим уравнение

/>.

В силу ограничения /> выполнено />, поэтому приходим куравнению

/>,

которое, пользуясьформулой приведения, сведем к стандартному виду

/>.

Решая последнееуравнение, находим

/> или />,/>.

Условию /> удовлетворяют лишь тризначения

/>, />,/>.

Поэтому

/>, />,/>.

Ответ. />,/>, />.

В заключение нужно отметить,что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализациииррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональныхвыражений и так далее.

еще рефераты
Еще работы по педагогике