Реферат: Реализация эвристического обучения учащихся на уроках математики

БЕЛОРУССКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-математическийфакультет

Кафедра педагогики ипроблем развития преподавания

Курсовая работа

РЕАЛИЗАЦИЯЭВРИСТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Студентки 4 курса

Старпович А. С.

Научный руководитель

Жук О.Л.

Допустить к защите

Зав. кафедрой

Жук О.Л. _______________

«      »  мая 2004 г

Минск — 2004

СОДЕРЖАНИЕВведение ……………………………………………………

Глава 1.  Понятие — эвристический методобучения. Теоретические основы эвристического обучения школьников………………………………………………

1.1.          Эвристическоеобучение: история и опыт ………………

1.2.          Сущностныехарактеристики современной системы эвристического обучения……………………………………………….…

1.3.          Творческое мышление как результат эвристического обучения.………………………

Глава2.

2.1.Пути и условия реализации творческого обучения…………….

                   2.1.2.Эвристические приемы и задания на уроках математики……………..

2.2.Характеристика эвристических методов.

2.3.Нестандартные, эвристические задачи.

2.3.1.Примеры эвристических уроков

Заключение

Введение

Тема курсового проекта посвящена проблеме эвристического обучения, ееактуальность заключается в том, что она предполагает отказ от готовых знаний,от их репродукции, основываясь на добыче и поиске информации, которые вусловиях научно-технического прогресса, информатизации общества, когда быстрымитемпами увеличивается объем информации, стремительно устаревают знания,предъявляют новые требования к личностному и профессиональному развитию человека. Небывалый рост объема информации требует отсовременного человека таких качеств, как инициативность, изобретательность,предприимчивость, способность быстро и безошибочно принимать решения, а этоневозможно без умения работать творчески, самостоятельно. Мы думаем, что школа должна прореагировать на этиизменяющиеся условия развитием творческих способностей учащихся и воспитаниемактивной личности.

В настоящее время вниманиек проблеме развития творческих способностей школьников усиливается во многихстранах мира. Задатки творческих способностей присущи любому ребенку, тольконужно суметь раскрыть и развить их. Выпускники средних школ должны не толькоовладевать материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы; а это возможно только в результате педагогической деятельности, создающей условия  для творческого развитияучащихся. Поэтому проблема развития творческих способностей учащихсяпосредством эвристического метода обучения является одной из наиболееактуальных.

В своей работе мы придерживаемсямногоаспектного подхода к определению творчества: творчество – это и процесс, ипродукт деятельности, это и личностное качество, и среда, создающая условия дляразвития творческих способностей.

Я.А. Коменский писал: «… школа не показывает самые вещи, как онипроисходят из самих себя и каковы они в себе, но сообщала, что о том и другомпредмете думает и пишет один, другой, третий и десятый автор».   А это значит,что тот, кто за ребенка определяет его цель, берет на себя ответственностьсудьбы, рискует деформировать характер, навязать ложные стереотипы мышления. «Ребенка надо учить и развивать всесторонне, чтобы дать возможность проявитсяего скрытым, может быть очень глубоко, способностям».[5; 108]

Известно, что в разное время вопросами эвристического обучения занималисьпреподаватели различных школ и направлений.  В результате их работы  невозникло ничего принципиально нового, а происходило лишь перекомбинацияисходных элементов, положенных на какую-либо новую тему, что в последствииоблегчало работу других учителей в выборе нового метода или технологии. 

Целесообразно отметить,что при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходитсяпризнать, что конкретного фактического материала, позволяющего строить обучениешкольников математике по технологии эвристического обучения (ТЭО), нет.Эвристическое обучение — предмет многих публикаций, но пласт проблемы еще неподнят.

Эвристическое обучениеизвестно нам уже со времен Сократа, который мастерски использовал беседу некак предоставление новых знаний, а как  нахождение их людьми скоторыми он беседовал.  Процесс познания для Сократа есть перевод уже имеющихсязнаний человека из скрытого состояния в явное, реальное и соответствующеедействительности. Он  учил своих воспитанников вести  диалог, полемику,логически мыслить. Сократ побуждал их последовательно развивать спорноеположение, приводил к постижению абсурдности исходного утверждения, а затемметодом поиска истины наводил на верный путь.

Существует множествометодических пособий по курсу математики в средней школе, но в ходе моей работымне не встретилось ни одного, в котором были бы собраны и обобщены данные,позволяющие учителям работать по ТЭО на уроках математики не выходя за рамкишкольного  курса.

Целью курсовой работы являлось определениеоптимальных условий и реализации эвристических методов на уроках математики всредней школе.

Объектом работы выступает учебно-воспитательный процесс в школе.

Предметом – выступают теоретико-практические проблемыорганизации эвристического обучения учащихся на уроках математики (7 кл.).

Назовем конкретныезадачи, которые определили содержание и структуру проведенного  исследования вего теоретической и экспериментальной частях:

1.   Провести историко-теоретическийанализ проблемы эвристического обучения.

2.   Изучить основные особенности ТЭО науроках математики. Исследование творческого мышления учащихся 7 кл.

3.   Определить условия и конкретныеприемы активизации мыслительной деятельности посредством ТЭО на уроках математикиу учащихся 7ых классов общеобразовательной средней школы.

4.   Разработать нестандартные задачи какэлемент эвристического обучения.

Всоответствии с этими задачами использовались следующие методы исследования:

-     теоретическиеметоды: анализ литературных источников по философии, психологии, педагогике,связанных с проблемой ЭО;

-     экспериментально-эмпирическиеметоды: анализ содержания учебников, пособий для учителей по математике,изучение и обобщение опыта работы учителей математики и физики по организацииэвристической учебной деятельности старшеклассников; беседы с учителями,классными руководителями, учащимися; анкетирование учителей и учащихся;

В процессе этогоисследования была проведена серия уроков по экспериментальной методикеиспользования нестандартных задач для эффективной активизации креативноймыслительной деятельности учащихся используя ТЭО. 

Наша задача — вовлечь в творческуюдеятельность всех учащихся, и помочь всем ученикам открыть в себеспособности, о которых они раньше и не подозревали. Все приемы должныбыть направлены на развитие у ребят самой потребности в творческойдеятельности, стремления к самоактуализации через различные виды творчества.

 Согласно исследованиямдидактов[1],обучение творчеству школьников – это вооружение их умением осознавать проблему,намеченную учителем, а позднее – формулировать ее самому. Это развитиеспособностей выдвигать гипотезы и соотносить их с условиями задачи,осуществлять поэтапную или итоговую проверку решения несколькими способами;способностей переноса знаний и действий в нестандартную ситуацию или созданиянового способа действий.

В соответствии с требованиями, предъявляемыми современной школой,обучение в ней должно ориентироваться на развитие эвристического мышления,обеспечивающего возмож­ность самостоятельно приобретать новые знания, применятьих в многообразных условиях окружающей действительности.

1. История эвристического обучения.Общая характеристика эвристического метода обучения.Эвристика (от греч. heurisko — нахожу) — методология научного исследования, а также методика обучения, основанная наоткрытии или догадке. 1) в Древней Греции — система обучения путем наводящихвопросов; 2) совокупность логических приемов и методических правилтеоретического исследования и отыскания истины; метод обучения и отысканияистины; метод обучения, способствующий развитию находчивости, активности.Большой Энциклопедический Словарь, в одной из трех трактовок эвристики,определил ее так: «Восходящий к Сократу метод обучения (т.н. сократическиебеседы)».

Беседу относят к наиболеестарым методам дидактической работы. Ее мастерски использовал еще Сократ, отимени которого и произошло понятие «сократическая беседа».  Считая, что сам онне обладает истиной, Сократ помогал родиться ей в душе своего собеседника. Свойметод он уподоблял повивальному искусству—профессии его матери, называя его майевтикой.  Подобно тому как та помогала рождаться детям, Сократ помогалрождаться истине. «Истинане рождается и не находится в голове отдельного человека, она рождается междулюдьми, совместно ищущими истину в процессе их диалогического общения”.[2]

Метод Сократа развивалсяи совершенствовался в трудах великих мыслителей и педагогов. Различные аспектыэвристического обучения нашли свое отражение в трудах Я.А. Коменского, И.Г.Песталоцци, Дж. Дьюи и др.

Ян Амос Коменский писал,что правильно обучать – это не значит вбивать в головы какую-то полезнуюинформацию, а  значит «раскрывать способности понимать вещи, чтобы именно изэтой способности, точно из живого источника, потекли ручейки», ручейки живоймысли. [6; 11-106]

Считается, что сложностьучительского труда в том, чтобы найти путь к каждому ученику, создать условиядля развития способностей заложенных  в каждом. Мы считаем, что это наиболеевозможно тогда, когда при обучении используется эвристический метод.

Несмотря на огромныйвклад в науку советскими учителями-педагогами эвристический метод обученияпрактически не затрагивался. Анализ этих литературныхисточников                   [7, 8, 9] показал, что большинство практиков итеоретиков образования относят эвристику к одному из методов или приемовобучения. Нередко эвристику относят к одному из методов обучения, эти методытак и называют «эвристики». В теории и практике обучения 80х годов эвристикечасто приписывались несвойственные ей функции сообщения новых знаний, кпримеру, Т.А. Ильина писала: «В педагогике распространен еще один термин,характеризующий беседу по сообщению новых знаний, — эвристическая беседа».Теперь мы понимаем, что это мнение было ошибочно.

Идеи об эвристическомобучении в современной дидактике разрабатывались в трудах А.В. Хуторского, М.М.Левиной и многих других.   Среди работ, посвященных вопросам развитияэвристического метода обучения математике следует отметить работы В. А.Крутецкого, Д. Пойа, Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого.  

Развитие эвристических подходов к обучению в нашей стране не было связанос инновационными дидактическими системами; эвристический аспект обучения болеевсего оказался присущ проблемному и развивающему обучению. На самом делеэвристическое обучение имеет свою специфику, которое отличает его как отпроблемного, так и от развивающего обучения. Эвристическое обучение также тесносвязано с личностно-ориентированным обучением.[22; 20-26]

Таблица №1. [13, 22, 23, 24]

Проблемное обучение Развивающее обучение Личностно-ориентированное обучение Эвристическое обучение

Это система методов, приемов, правил учения и преподавания с учетом логики развития мыслительных операций и закономерностей УПД учащихся

Усвоение учениками заданного предметного материала путем выдвижения учителем специальных познавательных задач-проблем

Организация учителем проблемных ситуаций в уч.-позн. работе учащихся и управление поисковой деятельностью учащихся

Знает ответ, подводит учащихся к нему

Под руководством учителя самостоятельно решает, рассуждает, делает выводы

Выращивает свое собственное знание, открывает его для себя заново, но «пошагово»

Построена так, что ученики «наводятся» учителем на известное решение или направление решения задачи

В темах и

интеллектуальный

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Это ориентированность учебного процесса на потенциальные возможности учащегося и их реализацию[3]

ЦЕЛЬ

Усвоение учащимися сообщаемых им знаний, но не репродуктивно, а в процессе их собственной деятельности

СУЩНОСТЬ

Ученик не только усваивает конкретные знания и навыки, но и овладевает способами действия, обучается конструировать и управлять своей учебной деятельностью

УЧИТЕЛЬ

Направляет деятельность учащихся

УЧАЩИЙСЯ

Рассматривается как само изменяющийся субъект учения;

Однако ему не предоставляется право самому выбирать способы и формы учебной деятельности Каждый его шаг направляется и корректируется педагогом

МЕТОДИКА

Вовлекая учеников в уч. д-сть, педагог конструирует пед-ое воздействие на основе учета зоны ближайшего развития ребенка и его личный опыт

ПРИМЕНЕНИЕ

предметах, где

подход

Это единый процесс развития индивидуальности личности, в котором личность становится субъектом собственного становления и развития

Создание психолого-педагогических  и организационно-управленческих условий для «создания учеником собственного образовательного продукта или целой системы жизненных смыслов»[4]

Ориентация на создание условий для личностной самореализации учащихся; формирование у них потребности в самообразовании и саморазвитии

Совместный поиск по разрешению проблемы

взаимодействие опыта учителя и учащегося

Субъект познания (Якиманская И.С.), субъект жизнедеятельности (Сериков В.В.), субъект культуры в целом (Бондаревская Е.В.)

является  полноценным субъектом деятельности

Создание личностно-ориентированной ситуации.

Ориентирована на эффективное развитие личности обучающегося (методы проблемного и развивающего обучения)

требуется

Эвристический метод — это обусловленная принципами обучения система регулятивных правил подготовки учебного материала и проведения эвристической беседы с решением познавательных задач

Эвристический подход к образованию позволяет расширить возможность проблемного обучения, поскольку ориентирует учителя и ученика на достижение неизвестного им заранее результата

Неизвестность образовательного продукта может относится не только к ученику, но и к учителю

сочетает частичное объяснение нового с постановкой проблемных заданий.

Полученный учеником продукт деятельности (гипотеза, сочинение, модель и т.п.) сопоставляется затем с помощью педагога с культурно-историческими аналогами, в результате чего данный продукт переосмысливается, достраивается или драматизируется, вызывая необходимость новой деятельности.

Сам ставит собственные цели, «самостоятельно» открывает зна­ния, производит методологическую и учебную продукцию.

сам строит свое образование; он полноправный источник и организатор сво­их знаний,

выполняют самостоятельные работы поискового типа: анализируют проблемные ситуации, ставят проблемы и решают их, находят новые знания и способы действий

ЭО определяет методологию образования и относится к учебному целеполаганию, созданию учащимися собственного содержания образования, рефлексивному конструированию ими теоретических элементов знаний

Более универсально;

1) при изучении нового материала, имеющего противоречивый характер, или при совершенствовании ранее усвоенных знаний с целью обобщения полученных ранее впечатлений, стимулирования многоаспектного осмысления явлений, самостоятельного поиска учащимися новых способов деятельности, которым их ранее не обучали;

2)в форме эвристической беседы во время семинара, дискуссии, учебной конференции

Основныефункции: самостоятельное усвоение знаний и способов действий; развитиетворческого мышления (перенос знаний и умений в новую ситуацию; видение новойпроблемы в традиционной ситуации; видение новых признаков изучаемого объекта;преобразование известных способов деятельности и самостоятельное созданиеновых); развитие качеств ума, мыслительных навыков, формирование познавательныхумений; обучение учащихся приемам активного познавательного общения; развитиемотивации учения, мотивации достижения.

Правила: 1) формирование новых знаний происходит наоснове эвристической беседы и должно сочетаться с самостоятельной работойучащихся (участие в эвристической беседе — задавание учащимися встречных,проблемных вопросов, ответы на проблемные вопросы, решение познавательныхзадач); 2) учитель преднамеренно создает проблемные ситуации, учащиеся должныих анализировать и ставить проблемы, выдвигать и доказывать гипотезы, делатьвыводы; 3) оценка ставится в основном за умение применять ранее полученные знания,за умение выдвигать и обосновывать гипотезы, доказывать их, за овладениеспособами деятельности.

 «Эвристическоеобучение отличается от развивающего и проблемного качественно новой задачей:развитием не только ученика, но и траектории его образования включая развитиецелей, технологий, содержания образования.»[5]

 Эвристическийпоход используется не только в педагогике, но и в психологии, инженерии,физике, информатике, кибернетике, философии и других научных областях.Специалисты каждой из этих наук рассматривают эвристику со своих позиций,придают своеобразное толкование ее основным понятиям и положениям. Так,кибернетики считают, что эвристика — методы и способы, связанные с улучшениемэффективности системы (человека или машины), решающей задачи. В последние годык эвристике относят и те исследования представителей кибернетики, которыепытаются моделировать высшие проявления интеллекта. Психологи считают эвристикуразделом психологии, изучающим творческое мышление. Педагоги считают эвристикойнауку о средствах и методах решения задач. Философы термин«эвристический» приписывают таким правилам или утверждениям, которыеспособствуют открытию нового.

Все же основой эвристикиявляется психология, особенно тот ее раздел, который получил названиепсихологии творческого, или продуктивного, мышления. Например, использованиеэвристических методов технического творчества (прямая и обратная мозговаяатака, метод эвристических приемов и метод морфологического анализа и синтеза)в компьютерной инженерии позволяют развить творческое воображение и способностиучащихся сделать первые шаги к изобретательству — созданию новых техническихрешений. Эвристические приемы как готовые схемы действия составляют объектэвристической логики, а реальный процесс эвристической деятельности — объектпсихологии. Но если эвристические приемы могут быть представлены в видеопределенной логической схемы, т. е. могут быть описаны математическим языком,то эвристическая деятельность на современном этапе развития науки не имеетсвоего математического выражения.

В эвристике как молодой,развивающейся науке не все понятия достаточно четко определены. Это преждевсего относится к понятию «эвристический метод». Многие исследователипонимают под ним определенный эффективный, но недостаточно надежный способрешения задач. Он позволяет ограничивать перебор вариантов решения, т. е.сокращать число вариантов, изучаемых перед тем, как выбрать окончательноерешение. Понятно, что это определение понятия «эвристический метод»не может быть признано удовлетворительным, так как в нем представлена лишьвнешняя характеристика явления, но не раскрыты существенные его черты.

Чтобы раскрыть существоэтого понятия, необходимо иметь в виду, что сам термин«эвристический» применим к явлениям двоякого рода. Во-первых, можнорассмотреть как эвристическую деятельность человека, которая приводит к решениюсложной, нестандартной задачи, во-вторых, эвристическими можно считать испецифические приемы, которые человек сформировал у себя в ходе решения однихзадач и более или менее сознательно переносит на решение других задач.

Начало примененияэвристического метода (как метода обучения математике) можно найти еще в книгеизвестного французского педагога — математика Лезана «Развитиематематической инициативы». В этой книге эвристический метод не имеет ещесовременного названия и выступает в виде советов учителю. [10; 12-65]

Лезан приводит множествопримеров, наглядно показывая, как сделать обучение математике болееэффективным, опираясь на явную заинтересованность учащихся процессом обучения.

Дистервег пытался напримере преподавания стереометрии обосновать преимущества эвристическогометода. Он пришел к выводу, «что для учащихся гораздо важнее узнать пути кдоказательству, нежели само доказательство».[6]

Долгое время основное внимание учителей былоприковано к первой функции методов — усвоению знаний. Вторая же их функция — развитие познавательных способностей — оставалась в тени. В результате в школахсложился определенный тип учебного процесса, характеризующийся стремлением учителяпреподнести все знания в готовом виде. Такая методика обучения приводит к тому,что познавательная деятельность учащихся приобретает одностороннийвоспроизводящий характер: главные усилия учащихся направлены на восприятиеготовых знаний, их запоминание и последующее воспроизведение.

Творческую ориентацию заявляют не такмного учебных заведений,  в Минске таких заведений пока еще нет, хотя некоторыеучителя все же пытаются работать по эвристическим технологиям и методикам, ноуровень творчества, конечно, еще низок. Причиной этого в школах является гонказа требованиями, которые диктуют вузы. В результате более необходимым дляучителей является «натаскивание» учеников под определённые, отнюдь нетворческие требования. В результате — отчуждение образования от того, на чтодействительно способен ученик, которому приходится искать лазейки, чтобы«найти и сдать» контрольные нормативы, вместо того, чтобы уделитьвнимание тому, к чему у него действительно есть способности. Г.Г.Воробьёв подчеркивает: «Когда учитель не совсемуверен, что получит нужный ему ответ, он…дарит идею. Дарить – в данном случаеозначает, что… получивший не догадывается о дарении, полагая, что это егособственная идея. Как известно, свои идеи больше волнуют, увлекают и побуждаютк самореализации». [23, 61]

1.2.Сущностные характеристики современной системы эвристического обучения.

Внутренняяпотребность в творческой деятельности рассматривается психологами и педагогамикак объективная закономерность развития личности. По утверждениюЛ.С.Выготского, творчество – норма детского развития, склонность к творчествувообще присуща любому ребенку. Однако, принимая участие в творческойдеятельности, человек может действовать, руководствуясь определенным образцом (пассивно-подражательнаядеятельность), может из многих предложенных вариантов решениясамостоятельно выбрать  один (активно-подражательная), и, наконец, онможет придумать, создать качественно новое (творческая деятельность). Каждыйученик на определенном этапе способен к какому-то из этих типов деятельности вбольшей или меньшей степени.  Это и должен учитывать учитель. [12; 536]

Надо учитывать то, что учебный процесс по развитию творческихспособностей выстраиваются с учетом творческой активности учащихся. Планируемаяпедагогическая ситуация продумывается с опорой на достижения учащихся, на то,что они умеют и знают, с учетом их творческих возможностей.

Математическое развитие школьников нужно осуществлять в русле творчества. Уроки математикипрежде всего требуют атмосферы креативности, так как акт глубокого еепостижения и прочного усвоения  немыслим без личностного включения, безтворческой направленности.

Работы, посвященные проблеме творческогоразвития учащихся,  можно найти в трудах И.Я.Лернера, В.А.Сухомлинского,А.Н.Окунева и др. И.Я.Лернер выделил следующие элементы творческихспособностей:

— видение новой проблемы в знакомойситуации;

— перенос знаний и умений в нестандартнуюситуацию;

— видение новых (скрытых) функцийизвестных объектов;

— видение всех взаимосвязей структурыобъекта;

— видение альтернативных и вариативныхспособов решения задачи;

— комбинирование известных способовдействий и создание на этой основе нового способа;

— построение принципиально нового способарешения, отличающегося от известных. [13]

«Творческая деятельность  —  создание качественно нового, никогда ранее несуществовавшего».[7]Стимулом к творческой деятельности служит проблемная ситуация, которуюневозможно разрешить традиционными способами. Оригинальный продукт деятельностиполучается в результате формулирования нестандартной гипотезы, усмотрениянетрадиционных взаимосвязей элементов проблемной ситуации, привлечения неявносвязанных элементов, установления между ними новых видов взаимозависимости.

Особенностью творческой деятельностишкольников является то, что врезультате этой деятельности они создают новые для себя ценности, важныедля формирования личности как общественного субъекта. Обучение творчеству детейглавным образом осуществляется на проблемах, уже решенных или решаемыхобществом. 

По мнению дидактов [14, 15, 16], способности выступают икак предпосылки усвоения знаний, умений и навыков, и как результат, и критерийуровня обучаемости. Применительно к ситуации школьного обучения творческиеспособности проявляются в решении творческих задач, но оптимальнымусловием, обеспечивающим интенсивное развитие творческих способностейшкольников, выступает не эпизодическое решение отдельных творческихпознавательных задач, а планомерное, целенаправленное предъявление их в системе.

Эвристическийметод обучения позволяет педагогу предоставить  учащимся большесамостоятельности и творческого поиска.

Проблема в том, что при разработке методики формирования творческихспособностей посредством эвристического метода учитель должен учитывать:

а) общий уровень развития ученическогоколлектива;

б) возрастные особенности формированиякреативной сферы;

в) личностные особенности учащихся;

г) специфические черты и особенностиучебного предмета.

Условия формирования творческихспособностей:

а) положительные мотивы учения;

б) интерес учащихся;

в) творческая активность;

г) положительный микроклимат в коллективе;

д) сильные эмоции;

е) предоставление свободы выбора действий,вариативность работы.

Принципы деятельности:

а) креативность обучения (реализациятворческих возможностей учителя и учащихся);

б) опора на субъективный опыт учащихся(один из источников обучения);

в) актуализация результатов обучения(применение на практике приобретенных знаний, умений и навыков);

г) индивидуализация и дифференциацияобучения (индивидуальный и дифференцированный подход к учащимся);

д) системность обучения;

е) творческое взаимодействия учащихся иучителя в процессе обучения.

Следовательно,  задачами учителя будутвыступать:

а) постоянное пополнение запаса знаний учащихсяпо математике;

б) развитие общеучебных умений и навыков;

в) развитие креативного мышления;

г) развитие творческой самостоятельностиучеников;

д) воспитаниетворческой личности.

«Степень сложности задачиопределяется числом существенных взаимосвязей в ее условии, числомопосредований и преобразований, приводящих к нахождению искомого.»[8]Зависит она и от уровня самостоятельности учащихся при постановке и решениипроблемы.

Таковы некоторые болеевнешние, поддающиеся объективной оценке условия, определяющие эвристичностьзадач.

1.3Творческое  мышление как результат эвристического обучения.

Эвристический и другиепринципы развития творческого мышления не могут быть реализованы без учетавозрастных и индивидуально-типических особенностей мышления. Возрастнымособенностям интеллектуального развития посвящено немало исследований. В нихвыявлена стадиальность развития интеллекта, дана характеристика каждой стадии взависимости от ведущего вида мыслительной деятельности.

На первой стадии ведущимявляется наглядно-действенное, практическое мышление, которое осуществляется вконкретной ситуации, в процессе практических действий с реальными предметами. Умаленьких детей это «мышление руками». Малыш тянется к игрушке, не может еёдостать и после ряда попыток использует палку или лезет на табуретку, чтобыполучить заинтересовавший его предмет.

На второй стадиипреобладает наглядно-образное мышление; оно позволяет решать задачи на основеоперирования уже не реальными предметами, а образами восприятия и представлений,содержащимися в детском опыте. Связь мышления с практическими действиями хоть исохраняется, но не является такой прямой, непосредственной, как раньше. Чтобырешать задачи ребенок должен отчетливо воспринимать, наглядно представлять рисуемуюв них ситуацию.

На третьей, высшей,ступени развития ведущую роль в мыслительной деятельности приобретаетотвлеченное, абстрактно-теоретическое мышление. Мышление выступает здесь вформе отвлеченных понятий и рассуждений, отражающих существенные стороны окружающейдействительности, закономерные связи между ними. Овладение в ходе усвоенияоснов наук понятиями, законами, теориями оказывает значительное влияние наумственное развитие школьников. Оно раскрывает богатые возможностисамостоятельного творческого приобретения знаний, их широкого применения напрактике.

Мы полагаем, что одним из важнейших принципов развития эвристическогомышления является оптимальное (отвечающее целям обучения и психическимособенностям индивида) развитие разных видов мыслительной деятельности: и абстрактно-теоретического,и наглядно-образного, и наглядно-действенного, практического мышления./>

Эвристическое мышлениехарактеризуется высокой степенью новизны получаемого на его основе продукта,его оригинальностью. Это мышление появляется тогда, когда человек, попытавшисьрешить задачу на основе ее формально-логического анализа с прямымиспользованием ему известных способов, убеждается в бесплодности таких попытоки у него возникает потребность в новых знаниях, которые позволяют решить проблему:эта потребность и обеспечивает высокую активность решающего проблему субъекта.Осознание самой потребности говорит о создании у человека проблемной ситуации(А. М. Матюшкин).

Хотя мышление как процессобобщенного и опосредованного познания действительности всегда включает в себяэлементы продуктивности, удельный вес ее в процессе мыслительной деятельностиможет быть различным. Там, где удельный вес продуктивности достаточно высок,говорят о собственно творческом мышлении как особом виде мыслительнойдеятельности. В результате креативного мышления возникает нечто оригинальное,принципиально новое для субъекта, т. е. степень новизны здесь высока.Условие возникновения такого мышления — наличие проблемной ситуации,способствующей осознанию потребности в открытии новых знаний, стимулирующейвысокую активность решающего проблему субъекта.

Нахождение искомогопредполагает открытие не известных субъекту признаков, существенных для решенияпроблемы отношений, закономерных связей между признаками, тех способов, спомощью которых они могут быть найдены. Человек вынужден действовать в условияхнеопределенности, намечать и проверять ряд возможных решений, осуществлятьвыбор между ними, подчас не имея к тому достаточных оснований. Он ищет ключ крешению на основе выдвижения гипотез и их проверки, т. е. способы опираются наизвестное предвидение того, что может быть получено в результатепреобразований. Существенную роль в этом играют обобщения, позволяющиесокращать количество той информации, на основе анализа которой человек приходитк открытию новых знаний, уменьшать число проводимых при этом операций, «шагов»к достижению цели.

Как подчеркиваетЛ. Л. Гурова, весьма плодотворным в поиске пути решения проблемыоказывается ее содержательный, семантический анализ, направленный на раскрытиенатуральных отношений объектов, о которых говорится в задаче. В немсущественную роль играют образные компоненты мышления, которые позволяютнепосредственно оперировать этими натуральными отношениями объектов. Онипредставляют собой особую, образную логику, дающую возможность устанавливатьсвязи не с двумя, как при словесном рассуждении, а со многими звеньямианализируемой ситуации, действовать, по словам Л. Л. Гуровой, вмногомерном пространстве.

Новизна проблемы диктуетновый путь ее решения: скачкообразность, включение эвристических, «поиско­вых»проб, большую роль семантики, содержательного анализа проблемы. В этом процессенаряду с словесно-логическими, хорошо осознанными обобщениями, очень важныобобщения интуитивно-практические, не находящие сначала своего адекватногоотражения в слове. Они возникают в процессе анализа наглядных ситуаций, решенияконкретно-практических задач, реальных действий с предметами или их моделями,что значительно облегчает поиск неизвестного, однако сам процесс этого поисканаходится вне ясного поля сознания, осуществляется интуитивно.

Вплетаясь в сознательнуюдеятельность, будучи подчас растянутым во времени, нередко весьма длительном,процесс интуитивно-практического мышления осознается как мгновенный акт, как«инсайт» благодаря тому, что в сознание сначала «прорывается» результат решения,в то время как путь к нему остается вне его и осознается на основе последующейболее развернутой, осознанной мыслительной деятельности.

В этом процессе, какотмечают многие исследователи, нередко имеет место внешне внезапное усмотрениепути решения — инсайт, «ага-переживание», причем оно часто возникает тогда,когда человек непосредственно не был занят решением проблемы. Реально такоерешение подготовлено прошлым опытом, зависит от предшествующейаналитико-синтетической деятельности и прежде всего — от достигнутого решающимуровня словесно-логического понятийного обобщения (К. А. Славская).Однако, сам процесс поисков решения в значительной своей части осуществляетсяинтуитивно, под порогом сознания, не находя своего адекватного отражения вслове, и именно потому его результат, «прорвавшийся» в сферу сознания,осознается как инсайт, якобы не связанный с ранее осуществлявшейся субъектомдеятельностью, направленной на открытие новых знаний.

В результате творческогомышления происходит становление психических новообразований — новых системсвязи, новых форм психической саморегуляции, свойств личности, ее способностей,что знаменует сдвиг в умственном развитии.

Итак, креативное мышлениехарактеризуется высокой новизной своего продукта, своеобразием процесса егополучения и, наконец, существенным влиянием на умственное развитие. Оноявляется решающим звеном в умственной деятельности, так как обеспечивает реальноедвижение к новым знаниям.

Эвристическаядеятельность или эвристические процессы, хотя и включают в себя умственныеоперации в качестве важного своего компонента, вместе с тем обладают некоторойспецификой. Именно поэтому эвристическую деятельность следует рассматривать кактакую разновидность человеческого мышления, которая создает новую системудействий или открывает неизвестные ранее закономерности окружающих человекаобъектов (или объектов изучаемой науки).

Некоторыепсихологи-теоретики для того чтобы как-то обозначить эти различия большинствоисследователей предпочитают в отношении такого вида мышления школьниковупотреблять термин «продуктивное мышление», а термином «творческое мышление»обозначать высшую ступень мыслительной деятельности, осуществляемую теми, кто открываетпринципиально новые для человечества знания, создает нечто оригинальное, неимеющее себе аналога. Мы же так их не различаем – для нас творческое,креативное, продуктивное, мышление – синонимы.

Созданы целые батареитестов, направленные на выявление указанных особенностей мыслительнойдеятельности. На их основе вычисляется специальный «коэффициент творческогопотенциала детей» («creativity»).

Во многих работах окреативном мышлении основными его показателями считаются такие, которыеотражают степень отклонения от привычного решения, преодоления «барьеровпрошлого опыта». С целью их выявления используются искусственные проблемы,предполагающие резкое столкновение имеющегося опыта с требованиями задачи, онипредполагают необычные решения, зачастую нарушающие то, что диктуется опытомжизни.

Креативное мышлениепредполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и преодолениебарьера прошлого опыта, отхода от привычных ходов мысли, разрешениепротиворечий между актуализированными знаниями и требованиями проблемнойситуации, оригинальность решений, их своеобразие, переключения от однихдействий к другим, в длительной задержке на уже известных действиях, несмотряна наличие отрицательного подкрепления и т. д.

Для творческого решенияпроблем важно не только выделить требуемые ситуацией существенные признаки, нои, удерживая в уме всю их совокупность, действовать в соответствии с ними неподдаваясь на влияние внешних, случайных признаков анализируемых ситуаций.Открытие принципиально новых знаний, столь характерное для эвристическогомышления, представляет собой скачкообразный, циклический процесс, в котором вдиалектически противоречивом единстве выступают как хорошо осознанные,словесно-логические компоненты, так и не находящие адекватного отражения вслове, подсознательные, интуитивно-практические компоненты. Включение интуициив процесс поиска нового закономерно.

2. 1. Пути и условия организации эвристического обучения в школе

Мы считаем, что развитиетворческого мышления у учащихся в процессе изучения ими математики являетсяодной из актуальных задач, стоящих перед преподавателями математики всовременной школе. Основным средством такого воспитания и развитияматематических способностей учащихся являются задачи. Не случайно известныйсовременный математик и методист Д. Пойа пишет: «Что значит владениематематикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но итребующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности,изобретательности».

При обучении математикена решение задач отводиться бóльшая часть учебного времени. Отсюданапрашивается вывод, что учебное время, отводимое на решение задач в школе,используется неэффективно, а это отрицательно сказывается на качестве обученияматематике в целом.

Одна из главных причинзатруднений учащихся, испытываемых ими при решении задач, заключается в том,что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников,как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний,умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и непредусматривает широких связей между различными разделами школьного курсаматематики. Роль и значение таких задач исчерпываются в течении тогонепродолжительного периода, который отводиться на изучение (повторение) тогоили иного вопроса программы. Функция таких задач чаще всего сводиться киллюстрации изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла.Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногдаподсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой науроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения ученикомздесь минимален. При решении задач на повторение, требующих знания несколькихтем, у учащихся, как правило, возникают определенные трудности.

К сожалению, в практикеобучения математике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средствосознательного усвоения школьниками программного материала. И даже задачиповышенной трудности специальных сборников, предназначенных для внекласснойработы, в основном имеют целью закрепление умений и навыков учащихся в решениистандартных задач, задач определенного типа. А между тем функции задач оченьразнообразны: обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие.[8; 25-47]

Каждая предлагаемая длярешения учащимся задача может служить многим конкретным целям обучения. И всеже главная цель задач — развить творческое мышление учащихся, заинтересовать ихматематикой, привести к «открытию» математических фактов.

Достичь этой цели спомощью одних стандартных задач невозможно, хотя стандартные задачи,безусловно, полезны и необходимы, если они даны вовремя и в нужном количестве.Мы считаем, что следует избегать большого числа стандартных задач как на уроке,так и во внеклассной работе, так как в этом случае сильные ученики могутпотерять интерес к математике.

Ознакомление учащихсялишь со специальными способами решения отдельных типов задач создают, на нашвзгляд, реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением однихшаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно решать незнакомыезадачи («Мы такие задачи не решали»,— часто заявляют учащиеся, встретившись сзадачей незнакомого типа).

В системе задач школьногокурса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку тогоили иного математического навыка, задачи иллюстративного характера,тренировочные упражнения, выполняемые по образцу. Но не менее необходимызадачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучениюматематики, творческого отношения к учебной деятельности математическогохарактера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способамсамостоятельной деятельности, общим приемам решения задач, для овладения имиметодами научного познания реальной действительности и приемам продуктивнойумственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту илииную задачу.

Осуществляяцеленаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специальноподобранных упражнений, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией,индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы. Необходимо, как мысчитаем, прививать учащимся прочные навыки творческого мышления.

В школьных учебникахматематики (и не только ныне действующих) мало задач, с помощью которых можнопоказать учащимся роль наблюдения, аналогии, индукции, эксперимента.

Мы исходим из того, чтонесмотря на ошибочные гипотезы, которые можно получить в результате наблюденийи неполной индукции, учитель должен использовать все предоставляемые емупрограммой и учебниками (в том числе и ранее действующими, и пробными,экспериментальными) возможности, чтобы развить у учащихся навыки творческогомышления. С этой целью, например, можно предложить учащимся следующую задачу:«Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простымчислом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простымчислом?» (18, №1168).

Иногда для развитиянавыков креативного мышления нужно несколько изменять условия задач,встречающихся в школьных и других учебниках.

Перед решением задачи«Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанноетеми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученнойразности будет делиться на 9 и 11» (18, № 949) целесообразно дляматематического развития учащихся предложить им установить (с помощьюиндукции), каким свойством обладает рассматриваемая разность (делиться на 9,11, 99), и только после этого доказать подмеченную на частных примерах закономерностьв общем виде.

Задача «Докажите, что длятого, чтобы найти квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5 иимеющего п десятков достаточно число десятков п умножить на п +1 и к результату приписать 25» (21, № 969) безусловно имеет определеннуюпознавательную ценность: учащиеся знакомятся с правилом возведения в квадратдвузначных чисел, оканчивающихся на 5. Но роль этой задачи возрастет, если еесформулировать так: «Найдите и обоснуйте правило возведения в квадратдвузначных чисел, оканчивающихся на цифрой 5».

Полезно предложитьучащимся VII класса самим установить с помощью наблюдений и индукции следующиеформулы для подсчета сумм:

1 + 3 + 5 + … + (2п– 1) = п2,

13 + 23+ 33 + … + п3 = (1 + 2 + 3 + … + п)2.

Учащиеся, не знакомые с методомматематический индукции, используемым для доказательства этих формул, именно спомощью такого рода задач поймут необходимость изучения этого метода вдальнейшем.

Мы исходим из того, чтонеобходимо на уроках систематически использовать задачи, способствующиецеленаправленному развитию творческого мышления учащихся, их математическомуразвитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности.Такие задачи требуют от школьников наблюдательности, творчества и оригинальности.

Эффективное развитиематематических способностей у учащихся невозможно без использования в учебномпроцессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

Эвристическая задача- лучший способ мгновенно возбудить внимание и учебныйинтерес, приблизить возможность открытия. Эвристические задачи могут быть предложены как для классной,так и для домашней работы, причем ученик должен иметь право выбора любоговарианта задания. Большинство наших эвристических задач построены настатистических данных Беларуси и других стран, что способствует не толькоразвитию эвристического мышления, но и расширяет кругозор детей и стимулируетих к самостоятельной познавательной деятельности.

Весьмаинтересна с точки зрения применения эвристического метода в школе книгаамериканского педагога У. Сойера «Прелюдия к математике» [17].«Для всех математиков, — пишет Сойер, — характерна дерзость ума. Математикне любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет дойти довсего». Эта «дерзость ума», по словам Сойера, особенно сильнопроявляется у детей.

«Если вы, например,преподаете геометрию 9-10-летним ребятам, — говорит Сойер, — и рассказываете,что никто еще не смог разделить угол на три равные части при помощи линейки ициркуля, вы непременно увидите, что один-два мальчика останутся после уроков ибудут пытаться найти решение. То обстоятельство, что в течение 2000 лет никтоне решил эту задачу, не помешает им надеяться, что они смогут это сделать втечение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно, но и несвидетельствует об их самонадеянности. Они просто готовы принять любой вызов. Аведь в действительности уже доказано, что невозможно разделить угол на триравные части при помощи линейки и циркуля. Их попытка найти решение — того жерода, что попытка представить „корень из двух“ в виде рациональнойдроби p/q.Хороший ученик всегда старается забежать вперед. Если вы емуобъясните, как решать квадратное уравнение дополнением до полного квадрата, оннепременно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение дополнением дополного куба. Вот это желание исследовать является отличительной чертойматематика. Это одна из сил, содействующих росту математика. Математик получаетудовольствие от знаний, которыми он уже овладел, и всегда стремится к новымзнаниям».

Другимнеобходимым качеством математика является интерес к закономерностям.Закономерность — это наиболее стабильная характеристика постоянно меняющегосямира. Сегодняшний день не может быть похожим на вчерашний. Нельзя увидетьдважды одно и то же лицо под одним и тем же углом зрения. Закономерностивстречаются уже в самом начале арифметики. В таблице умножения имеется немалоэлементарных примеров закономерностей. Вот один из них. Обычно дети любятумножать на 2 и на 5, потому что последние цифры ответа легко запомнить: приумножении на 2 всегда получаются четные цифры, а при умножении на 5, еще проще,всегда 0 или 5. Но даже в умножении на 7 есть свои закономерности. Если мыпосмотрим последние цифры произведений 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,т.е. на 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0, то увидим, что разность между последующейи предыдущей цифрами составляет:-3; +7;-3;-3; +7; -3; -3, -3. В этом рядучувствуется совершенно определенный ритм.

Еслипрочесть конечные цифры ответов при умножении на 7 в обратном порядке, то мыполучаем конечные цифры от умножения на 3. Даже в начальной школе можно развитьнавык наблюдения за математическими закономерностями.

2.1.2.Эвристические приемы и задания на уроках математики

Формы и методыэвристического обучения направлены на развитие эвристических качеств личностиучащихся и имеют в своей основе соответствующие типы заданий. Наиболее полноони описаны у Хуторского А.В.[22] Ниже приведены примеры заданий и приемов,применение которых обеспечивает развитие когнитивных, креативных,оргдеятельностных качеств учащихся.

Задания когнитивноготипа:

-    Решить реальную проблему, котораясуществует в науке: доказать математическую закономерность, лемму, теорему;объяснить графическую форму цифр их взаимосвязь и последовательность.

-    Исследование объекта (число,уравнение, задача); установить его происхождение, смысл. Строение, признаки,функции, связи. Применение разно научных подходов к исследованию одного итогоже объекта.

-    Проведение математического опыта,эксперимента.

-    Исследование исторических фактов(создание десятеричной системы счисления.

-    Вычленение общего и отличного вразных системах, например, в разных типах языков, к примеру, чисел, форм.

Заданиякреативного типа:

-    Предложить ученикам по-своемувыполнить то, что учителю уже известно: а) придумать обозначение числа,понятия; б) дать определение изучаемому объекту, явлению; в) сформулироватьматематическую закономерность и т.д.

-    Сочинить задачу, математическуюсказку.

-    Составить математический кроссворд,игру, викторину, сборник своих задач.

-    Изготовить модель, математическуюфигуру, геометрический сад.

-    Провести урок в роли учителя.Разработать свои учебные пособия, памятки, алгоритмы решения задач.

Заданияоргдеятельностного типа:

-    Разработать цели своих занятий по математикена день, на четверть, на год; разработать план домашней, классной илитворческой работы по математике.

-    Составить и провести викторину поматематике, кроссворд, урок для младших классов.

Эвристические приемы изадания на уроках математики

Формы и методыэвристического обучения направлены на развитие эвристических качеств личностиучащихся и имеют в своей основе соответствующие типы заданий.

Ниже приведены примерызаданий и приемов, применение которых обеспечивает развитие когнитивных,креативных, оргдеятельностных качеств учащихся.

Задания когнитивноготипа:

-    Решить реальную проблему, котораясуществует в науке: доказать математическую закономерность, лемму, теорему;объяснить графическую форму цифр их взаимосвязь и последовательность.

-    Исследование объекта (число,уравнение, задача); установить его происхождение, смысл. Строение, признаки,функции, связи. Применение разно научных подходов к исследованию одного итогоже объекта.

-    Проведение математического опыта,эксперимента.

-    Исследование исторических фактов(создание десятеричной системы счисления.

-    Вычленение общего и отличного вразных системах, например, в разных типах языков, к примеру, чисел, форм.

Заданиякреативного типа:

-    Предложить ученикам по-своемувыполнить то, что учителю уже известно: а) придумать обозначение числа,понятия; б) дать определение изучаемому объекту, явлению; в) сформулироватьматематическую закономерность и т.д.

-    Сочинить задачу, математическуюсказку.

-    Составить математический кроссворд,игру, викторину, сборник своих задач.

-    Изготовить модель, математическуюфигуру, геометрический сад.

-    Провести урок в роли учителя.Разработать свои учебные пособия, памятки, алгоритмы решения задач.

2.1.3.Характеристика эвристических методов

Для выбора основанияклассификации методов эвристического обучения Хуторской А.В. обратился косновным видам эвристической образовательной деятельности, классифицировав ихсогласно этим видам – на оргдеятельностные, когнитивные и креативные.[22;195-210].

/>

Когнитивные

креативные

оргдеятельностные

Методы наук Интуитивные Методы Методы учеников Методы учебных предметов Алгоритмические Методы Методы учителя Метапредметные Методы Эвристики Административные Методы

Когнитивные методы: метод вживания, родственный с нимметод смыслового видения, метод образного видения и символического видения,метод эвристических вопросов (Кто? Что? Где? Зачем? Чем? Как? Когда?), методсравнения близкий ему метод отличения фактов от нефактов (ищем факты, потом«отличаем» от нефактов), метод эвристического наблюдения (его цель – научитьдетей добывать и конструировать знания с помощью наблюдений), методэвристического исследования, метод конструирования понятий, методконструирования правил, метод гипотез, метод прогнозирования, метод ошибок,метод конструирования теорий.

Рассмотрим некоторые изних.

Метод вживания: посредством чувственно – образных имысленных представлений ученик пытается «переселиться» в изучаемый объект,почувствовать и познать его изнутри. Например, можно предложить ученикупредставить себя равнобедренным треугольником. Такие упражнения развиваютспособность мыслить и понимать явления с многообразных точек зрения, учатвключать в познание и осознание разум и мысль.

Метод эвристическогоисследования: выбираетсяобъект исследования и предлагается учащимся исследовать его по следующемуплану: цели исследования, план работы – факты об объекте – опыты – рисункиопытов – новые факты – возникшие вопросы и проблемы – версии ответов – гипотезы– выводы. Например, так можно исследовать геометрическую фигуру – ромб. 

Креативные методы: метод придумывания, метод «Еслибы…», метод образной картины, метод гиперболизации, метод агглютинации(соединение несоединимостей), метод синектики, «мозговой штурм», метод инверсии(метод обращений).

Метод придумывания – это способ создания неизвестногоученикам ранее продукта в результате их определенных умственных действий.Например, одну сторону в параллелограмме заменить на полуось и описать свойствановой фигуры.

Метод «мозговогоштурма» — основнойзадачей этого метода является сбор как можно большего числа идей по какой-либотеме в результате освобождения участников обсуждения от инерции мышления истереотипов.

Метод «Если бы……» — учащимся предлагается представитьи описать, что произойдет, если в мире что-то случится. Например, все объемныегеометрические фигуры превратятся в плоские и наоборот.

Оргдеятельностныеметоды: методыученического целеполагания и планирования, методы создания образовательныхпрограмм учеников, методы нормотворчества, методы самоорганизации обучения,методы взаимообучения, метод рецензий, методы контроля эвристическойдеятельности, методы рефлексии, методы самооценки и рефлексии.

2.3. Нестандартные, эвристические задачи.

Какая задача называется нестандартной? «Нестан­дартные задачи — это такие,для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющихточную программу их решения»[9].

Однако следует заметить,что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задачаможет быть стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком решающийзадачу со способами решения задач такого типа или нет. Например, задача«Представьте выражение 2х2 + 2у2 в виде суммыдвух квадратов» ([5], № 1264) является для учащихся нестандартной до тех пор,пока учащиеся не познакомились со способами решения таких задач. Но если послерешения этой задачи учащимся предложить несколько аналогичных задач, такиезадачи становятся для них стандартными. Аналогично задача «При какихнатуральных значениях х и у верно равенство 3х + 7у= 23?» ([5], № 1278) является нестандартной для учащихся VII класса до тех пор,пока учитель не познакомит их со способами решения таких задач (что, кстатисказать, можно сделать при обучении учащихся математике уже в VI классе).

Таким образом,нестандартная задача — это задача, алгоритм решения которой учащимсянеизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того,на какой учебный материал опирается решение.

К сожалению, иногдаучителя единственным способом обучения решению задач считают показ способоврешения определенных видов задач, после чего следует порой изнурительнаяпрактика по овладению ими. Нельзя не согласиться с мнением известногоамериканского математика и методиста Д. Пойа, что, если преподаватель математики«заполнит отведенное ему учебное время натаскиванию учащихся в шаблонныхупражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упуститсвои возможности».

Как же помочь учащимсянаучиться решать нестандартные задачи?

Универсального метода,позволяющего решить любую нестандартную задачу, к сожалению, видимо нет, таккак нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако опыт работымногих передовых учителей, добивающихся хороших результатов в математическомразвитии учащихся как у нас в стране, так и за рубежом, позволяетсформулировать некоторые методические приемы обучения учащихся способам решениянестандартных задач.

В литературе(отечественной и зарубежной) методические принципы обучения учащихся умениемрешать нестандартные задачи описаны неплохо. Наиболее удачными, на наш взгляд,в этом отношении являются книги Д. Пойа «Как решать задачу»,«Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения»Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого «Как научиться решатьзадачу», Ю. М. Колягина, В. А. Оганесяна «Учись решатьзадачи». И хотя некоторые из них адресованы учащимся, желающим научиться решатьзадачи, они, без сомнения, могут быть использовании учителями при обучениишкольников умениям решать нестандартные задачи.

Прежде всего отметим, чтонаучить учащихся решать задачи (в том числе и нестандартные) можно только в томслучае, если у учащихся будет желание их решать, то есть если задачи будутсодержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому проблемапервостепенной важности, стоящая перед учителем,— вызвать у учащихся интерес крешению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи иделать их привлекательными для учащихся. Как это сделать — решать самомуучителю. Наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей ихжизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами,опытом, служащие понятной ученику цели.

Другой пример. Желаянаучить учащихся решать в натуральных числах уравнения вида ах + by =с, можно, конечно, предложить учащимся выполнить упражнение № 1278 из[20] (При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х+7у=23?).Но, как показывают наши наблюдения, учащиеся легче и с бóльшим интересомучатся способам решения таких уравнений, если им предложить, например, следующуюзадачу: «Чтобы купить вещь, нужно уплатить 19 р. У покупателя только трехрублёвыекупюры, у кассира только десятирублевые. Может ли покупатель расплатиться запокупку? А если у кассира только пятирублевые купюры?» Много таких жеинтересных задач на соответствующую тематику имеется в журнале «Квант».

Мы понимаем, конечно, чтонельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у нихинтерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свойинтерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести ина «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики.

Таким образом, учитель,желающий научить школьников решать задачи, должен, на наш взгляд, вызвать у нихинтерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получитьтакое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.

Задачи не должны бытьслишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решивзадачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерятьверу в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности,что они смогут ее решить. Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс,для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать,догадываться. Необходимо также хорошее знание фактического материала, владениеобщими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

В процессе решения каждойзадачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач,целесообразно четко разделять четыре ступени: 1) изучение условия задачи; 2)поиск плана решения и его составление; 3) осуществление плана, то естьоформление найденного решения; 4) изучение полученного решения — критическийанализ результата решения и отбор полезной информации.

Даже при решениинесложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за чтовзяться, с чего начать. «Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач,учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытатьсяувидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия внаиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумнуюдолю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математическиеспособности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь крешению новых задач.»[10]

«Лучшее, что можетсделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощиподсказать ему блестящую идею… Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыти ранее приобретенные знания… Часто оказывается уместным начать работу свопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» (Пойа Д.). Такимобразом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахожденияплана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательныезадачи свидетельствует о том, что учащийся уже владеет определенным запасомразличных приемов решения задач. Если этот запас не велик (что вполне очевиднодля учащихся VII классов), то учитель, видя затруднения учащегося, должен сампредложить вспомогательные задачи. «Умело поставленные вспомогательные вопросы,вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идеюрешения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащийся испытал радость от решениятрудной для него задачи, полученного с помощью вспомогательных задач илинаводящих вопросов, предложенных учителем.»[11]

Так, когда учащиесязатрудняются решить с помощью составления уравнения задачу «К некоторомудвузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получиличисло в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число» ([21], №1254), то в качестве вспомогательных задач можно предложить следующие:

            К числу хприписали справа цифру 4. Представьте полученное число в виде суммы, если х:а) двузначное число; б) трехзначное число.

            К числу уприписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у:а) двузначное число; б) трехзначное число.

Для приобретения навыковрешения довольно сложных задач нужно приучать школьников больше вниманияуделять изучению полученного решения. Для этого можно предложить учащимсявидоизменять условия задачи, чтобы закрепить способ ее решения, придумыватьзадачи аналогичные решенным, более или менее трудные, с использованием найденногопри решении основной задачи способа решения.

Например, решив задачу «Вдвух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначалауменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочкесначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке сталобольше воды?» ([21], №1245), нужно задать учащимся вопросы: если вместо 10%взять 20%, 30%, а%? Какой вывод можно сделать?

Систематическая работа поизучению способов решения задач помогает учащимся не только научиться решатьзадачи, но и самим их составлять.

Так, после решения задачи«Докажите, что уравнение х2 – у2 = 30 неимеет решений в целых числах» ([21], № 1272), можно предложить учащимсяпопытаться сформулировать рассмотренную задачу в общем виде. Это будетвыглядеть так: «Докажите, что уравнение х2 ‑ у2 = 4р+ 2 (р — простое число) не имеет решения в целых числах».

Конструирование задач —интересное занятие, один из верных способов решать задачи.

Умение учащихся составлятьнестандартные задачи, решаемые нестандартными способами, свидетельствует окультуре их мышления, хорошо развитых математических способностях.

Мы думаем, учитель долженпостоянно помнить, что решение задач является не самоцелью, а средством обучения.Обсуждение найденного решения, поиск других способов решения, закрепление впамяти тех приемов, которые были использованы, выявление условий возможностиприменения этих приемов, обобщение данной задачи — все это дает возможностьшкольникам учиться на задаче.

Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые математическиефакты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт,сформировать умения самостоятельно, и творчески применять полученные знания.

О нахождении способов решения задач.

Огромная значимостьнахождения школьниками различных способов решения задач по математике не разотмечалась на страницах методической литературы. Однако наши наблюденияпоказывают, что на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способоврешения задачи, причем не всегда наиболее рациональный. Приводимая в такихслучаях аргументация в виде отсутствия достаточного количества времени нарешение одной задачи различными способами не имеет под собой основы: дляматематического развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздополезнее одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и нежалеть на это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Изразличных способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимсявыбрать наиболее рациональный, красивый.

«При отыскании различныхспособов решения задач у школьников формируется познавательный интерес,развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки.После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило,получает большое моральное удовлетворение. Учителю, как нам кажется, важнопоощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязыватьсвое решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достояниемучащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использоватьиндивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именноотход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешногоее решения».[12]

«Целостная эвристическаязадача требует следующих умений: анализировать её условие; преобразовыватьосновные проблемы в ряд частных, подчинённых главной; проектировать план иэтапы решения; формулировать гипотезу; синтезировать различные направленияпоисков; проверять решение и т.д.»[13]Система специально разработанных эвристических задач помогает школьникуовладеть умением самостоятельно выполнять каждый из этапов решения.

Эвристическими можносчитать те задачи, решение которых предполагает хотя и управляемый учителем, носамостоятельный поиск еще неизвестных школьнику закономерностей, способовдействия, правил. Такие задачи возбуждают активную мыслительную деятельность,поддерживаемую интересом, а сделанное самими учащимися «открытие» приносит имэмоциональное удовлетворение и гораздо прочнее закрепляется в их памяти, чемзнания преподнесенные в «готовом» виде. Эта активная самостоятельнаямыслительная деятельность приводит к формированию новых связей, свойствличности, положительных качеств ума и тем самым — к микросдвигу в их умственномразвитии (Н. А. Менчинская, А. М. Матюшкин).

Выбор задач дляэвристического обучения прежде всего зависит от специфики их содержания.Материал описательного характера, подлежащий усвоению, вряд ли может служитсредством эвристического обучения. «Такими могут стать задачи на применение ужеизвестных закономерностей в относительно новых условиях, но таких, которыепредполагают более или менее значительную перестройку знакомых способоврешения, выбор из многих возможных вариантов наиболее рационального способадействия, применение общих теоретических положений, принципов решений вреальных практических условиях, требующих внесения в них конструктивныхизменений, и т. д.» [14] (таких задач немало в производственной деятельности человека).

Наибольший эффект приэвристическом обучении дают задачи, предполагающие открытие новых для учащихсяпричинно-следственных связей, закономерностей, общих признаков решения целогокласса задач, в основе которых лежат еще не известные субъекту отношения междуопределенными компонентами исследуемых конкретных ситуаций. Ранее уже было отмечено, что наиболеевыразительной формой эвристического метода является эвристическая беседа,состоящая из серии взаимосвязанных вопросов, каждый из которых служит шагом напути решения проблемы и которые требуют от учащихся осуществления небольшогопоиска. «Учитель направляет поиск, последовательно ставит проблемы, формулируетпротиворечия и т.д. [15]»

«Степень сложности задачиопределяется числом существенных взаимосвязей в ее условии, числомопосредований и преобразований, приводящих к нахождению искомого.»[16]Зависит она и от уровня самостоятельности при постановке и решении проблемы.

Таковы некоторые болеевнешние, поддающиеся объективной оценке условия, определяющие эвристичностьзадач.

Наиболее эффективноесредства для создания у школьников эвристических ситуаций — использованиепротиворечий, конфликта между усвоенными знаниями, знакомыми способами решенияопределенного класса задач и теми требованиями, которые предъявляет новаязадача; школьники должны убедиться в том, что решение задач на основе ужеимеющихся знаний приводит к ошибкам. Учитель сознательно заостряет конфликт,подчеркивает возникающее противоречие, стимулирует попытки найти выход изсоздавшегося положения, разрешить противоречие.

2.3.1. Примеры эвристических уроков

Рассмотрим некоторые виды уроков, которыеможно провести в качестве эвристических.

   Творческие лаборатории

  Структура уроков при эвристическомобучении предполагает организацию творческой, поисковой математическойдеятельности учащихся с различным уровнем учебных и математическихспособностей. Дифференцированный подход помогает в условиях классно-урочнойсистемы обучения реализовать творческие возможности всех учащихся.

 Например, при изучении в 7 классетемы «Выражения» можно предложить учащимся дифференцированные творческиезадания на уроке:

1.        составить задачу для самостоятельной работы на следующем урокке;

2.        выполнить упражнение [22; №58]с графическим комментированием;

3.        написать творческую работу, используя слова по данной теме.

Задание на дом тоже выбираетсяшкольниками. Таким образом, начиная с 7 класса, учащиеся будут вовлекаться вдоступную им творческую деятельность по математике: подбирать и создаватьзадачи; подбирать задачи-иллюстрации для демонстрации рассматриваемых единиц;искать нестандартные задачи, парадоксы, шутки, кроссворды; будет оченьпознавательно сделать иллюстрации к урокам алгебры по типу «Алгебра в рисунках»или выпустить математический листок «Знаете ли вы?».

Работа по развитию мматематическойречи учащихся на основе иллюстративного материала.

 Речевые ситуации, созданные с  помощью слова учителя и средствнаглядности, являются ситуациями воображаемыми, поэтому при создании такихситуаций от преподавателя и ученика требуется немалая доля творчества. Надопоставить школьника в такие условия, чтобы он говорил не потому, что обязан, апрежде всего потому, что ему интересно выразить свое отношение. В учебниках поматематике [18-21,27] мало  творческих заданий по рисункам. Творческие заданияна основе изобразительной наглядности не только обеспечивают мотивациювысказывания, но и развивают у детей творческое воображение, наблюдательность,содействуют формированию математических коммуникативных умений.

Например, можно предоставить каждомуребенку следующий рисунок (домик из знакомых геометрических фигур) и попроситьрассказать его о том, какие фигуры он заметил и какие они имеют свойтсва:

 

В ряде случаев будут уместны корректирование иредактированиезадач, примеров, которые содержат опечатки или жеих решения с ошибками. Подобные упражнения обеспечивают концентрацию внимания,а также самопроверку – при непременном контроле со стороны учителя. Вниманиеактивизируется творческим заданием, предполагающим обоюдную готовность учителяи ученика к нестандартным творческим решениям.

Этимологические экскурсы(Толкование математических терминов) неизменно будет привлекать и концентрировать вниманиеребят всех возрастных групп как вероятный фактор ассоциаций.

Например, на уроках можно познакомить ребят сосведениями из истории математических слов или наоборот — дать домашнее заданиеобъяснить какие-то математические термины.

Составление опорных сигналов чтобы закрепить математическую закономерность иокончательно освоить её, не боясь ошибки в дальнейшем, учащийся должен«увидеть» правило в системе небольшого количества ярких и запоминающихсязнаков, схем [28]. Этому и служит прием составления схем. Не стоит давать их вготовом виде, т.к. их использование малопродуктивно. Ребята должны составлятьих сами. Индивидуальные опорные схемы должны соответствовать следующимтребованиям:

 1)информационная насыщенность;  2) яркость и контрастность;  3) минимум текста и графическихобозначений;  4) закрепление примерами;  5) возможность текстовойинтерпретации.

Индивидуальная работа над ошибками. Рядучащихся делает ошибки в определенных местах, в определенных задачах, причемнередко это объясняют невнимательностью, что не всегда справедливо.Обнаруженные у некоторых вполне внимательных учеников традиционные ошибкитребуют индивидуальной работы.

Когда ошибка сделана, учитель требует еёпрокомментировать. Но отклик будет чисто формальным, если он основан нанавязываемой позиции: «Почему не так?» Важно, чтобы была избранааргументированная позиция: «В силу чего ошибка сделана? »- или творческая:«Ошибка ли это?» Диалог при этом должен вестись как поблемно-поисковый,позволяющий избегнуть долгого поиска нужного правила.

Стандартная работа над ошибками создаетпсихологический дискомфорт, поскольку не учитывает сомнения и вопросы, нередковозникающие у ребят. Необходим отклик, которого в этом случае учитель неслышит, да и не предполагает.  Творческая работа над ошибками, наоборот, делаетвозможным отклик: она действительно актуальна для ученика.

Таким образом, можно сделать вывод, что творческиеспособности развиваются не тогда, когда мы говорим детям о необходимости ихразвития, а тогда, когда мы сумеем развивать их  сами и показывать это ребятам в общении; что следует поощрять сомнения,  возникающие поотношению к общепринятым предположениям. Творческим личностям свойственносомневаться в решениях, принимаемых другими людьми. Конечно, учащиеся не должныподвергать сомнению любое исходное положение, но каждый должен уметь находитьобъект, достойный сомнения. Так же нужно разрешать делать ошибки — «Неошибается только тот, кто ничего не делает».[17]Надо поощрять разумный поиск, творческиеидеи и результаты творческой деятельности. Креативность не изнашивается с возрастом, а подавляется учениками,учителями. Позволяя ученикам рисковать, и даже поощряя их в этом, мы поможемраскрыть их творческий потенциал. Например, если ученик пошел на разумный риск,работая над контрольной работой (задачей), ища свое «новое» решение, надопоощрять его, даже если результат работы не очень удовлетворителен. Необходимовключать в программу обучения разделы, которые позволили бы учащимсядемонстрировать их творческие способности, проводить проверку усвоенияматериала таким образом, чтобы у учащихся была возможность применить ипродемонстрировать их творческий потенциал. Следует подготовить к препятствиям, встречающимся на пути творческой личности.Творчество – это не только умение мыслить творчески, но и умение не сдаваться,встречая сопротивление,  отстаивать свое мнение, добиваясь признания. 

Заключение

 Таким образом, одним изосновных методов, который позволяет учащимся проявить творческую активность впроцессе обучения математике, является эвристический метод.

 Известно, что в процессеизучения математики школьники часто сталкиваются с различными трудностями.Однако в обучении, построенном эвристически, эти трудности часто становятсясвоеобразным стимулом для изучения. Так, например, если у школьниковобнаруживается недостаточный запас знаний для решения какой-либо задачи илидоказательства теоремы, то они сами стремятся восполнить этот пробел,самостоятельно «открывая» то или иное свойство и тем самым сразу обнаруживаяполезность его изучения. В этом случае роль учителя сводится к тому, чтобыорганизовать и направить работу ученика, чтобы трудности, которые ученикпреодолевает, были ему по силам.

Нередко эвристическийметод выступает в практике обучения в форме так называемой эвристическойбеседы. Опыт многих учителей, широко применяющих эвристический метод, показал,что он влияет на отношение учащихся к учебной деятельности. Приобретя«вкус» к эвристике, учащиеся начинают расценивать работу по«готовым указаниям», как работу неинтересную и скучную. Наиболеезначимыми моментами их учебной деятельности на уроке и в домашних условияхстановятся самостоятельные «открытия» того или иного способа решениязадачи. Явно возрастает интерес учащихся к тем видам работ, в которых находятприменение эвристические методы и приемы. [8]

Ценность эвристических уроков поматематике заключается в том, что учащиеся самостоятельно добывают новыезнания, учаться их применять исходя из уже имеющегося опыта, учитель лишьподводит их правильному решению. Эвристическое обучение на уроке математики  способствуетформированию своей точки зрения, своей позиции, своего математического и нетолько миропонимания.

Важно помнить, что как бы ни хорошбыл метод эвристической беседы, его нельзя гипертрофировать и считатьуниверсальным методом. Выделив познавательную задачу урока, учитель долженрешить, целесообразно ли давать ее методом эвристической беседы. К сожалению,на частое применение эвристического метода в процессе обучения поставленныхучебных проблем требуется гораздо больше учебного времени, чем на изучениеэтого же вопроса методом сообщения учителем готового решения (доказательства,результата). Поэтому учитель не может использовать эвристический методпреподавания на каждом уроке. К тому же длительное использование только одного(даже весьма эффективного метода) противопоказано в обучении. Однако следуетотметить, что «время, затраченное на фундаментальные вопросы,проработанные с личным участием учащихся,- не потерянное время: новые знания приобретаютсяпочти без затраты усилий благодаря ранее полученному глубокому мыслительномуопыту». [18]

У эвристического метода обучения есть еще одиннедостаток — в большой степени применение этого метода зависит от уровняобученности и развития учащихся, особенно от сформированности их познавательныхумений, а опыта и образованности учителя.

Необходимо и далееразрабатывать и усовершенствовать приемы и методы эвристического обучения науроках математики.

Анализируя проделаннуюработу можно сделать ряд выводов:

1. Намудалось достичь основной цели данного исследования — составить рядэвристических методических приемов и задач, включенных в обычные программныеуроки.

2. Анализучебного материала, предшествующий практической части работы, позволилструктурировать отобранный материал наиболее логичным и приемлемым способом, всоответствии с целями исследования.

3. Результатомпроведенной работы являются несколько методических рекомендаций к курсуматематики:

1) Вцелях совершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшаяразработка новых методик использования нестандартных задач.

2) Систематическииспользовать на уроках эвристические задачи, способствующие формированию уучащихся познавательного интереса и самостоятельности.

3) Целесообразноиспользование на уроках задач на сообразительность, задач-шуток, математическихребусов, софизмов.

4) Учитыватьиндивидуальные особенности школьника, дифференциацию познавательных процессов укаждого из них, используя эвристические задания различного типа.

Таким образом, работа надпутями и условиями реализации творческого обучения дело важное и необходимое.Поиск новых путей активизации творческой деятельности школьников является однойиз неотложных задач современной психологии и педагогики.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А.Н.Чанышев. «Курс лекций по древней философии», М.: «Высшая школа», 1981. Д.Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения», М.: «Наука».,1975. Ушинский К.Д. Собр. Соч. «К технологиям интенсификации творчества в процессах профессионального образования», Обр. и наука, 2002. — № 3. — С.10-29.  (статья) И.П. Волков, «Педагогический поиск», М.:  Педагогика, 1987 Коменский Я.А., «Великая дидактика», М.: Педагогика, 1989 Андреев В.И., «Диалектика воспитангия и самовоспитания творческой личности. Основы педагогики творчества», Казань, 1988 Кулюткин Ю.К., «Эвристические методы в структуре решений», М.: Педагогика, 1970 Ильина Т.А.,  «Педагогика», М.: Просвещение, 1984 Лезан Ф., «Развитие математической инициативы», М.: Наука, 1989 Выготский Л.С., «Педагогическая психология», М.: Педагогика-Пресс, 1996 Окунев  А.А., «Как учит не уча», Спб.: Питер-пресс, 1996 Лернер И.Я., «Прооблемное обучение», М.: Знание, 1974 Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968. Пономарев Я. А., «Психология творческого мышления»,  М.: Наука, 1960. Рубинштейн С. Л., «О мышлении и путях его исследования», М.: Просвещение, 1958.  Сойер У. У.,  «Прелюдия к математике», М.: 1972, Просвещение. Алгебра: Пробный учебник для 6 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988. Алгебра: Пробный учебник для 7 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988. Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987. Хуторской А.В., «Эвристическое обучения», М.: 1998 Воробьёв Г.Г. «Школа будущего начинается сегодня», М., 1991 Жук О.Л. «Педагогика», Минск, Бгу, 2003 Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи», М., Просвящение,  1989. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи, М., 1985 Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1989 Шаталов В.Ф.
еще рефераты
Еще работы по педагогике