Реферат: Численные методы и их реализация в Excel

<p/>/>/>/>/>/>/>

Кыргызский Государственный Национальный Университет

Институт Интеграции Международных Образовательных  Программ

Кыргызско — Американский факультет Компьютерных технологий и ИНТЕРНЕТ

  /> /> />

/>

по предмету: ‘’Моделирование’’

                    натему: ‘’Численные методы  и их реализация в Excel’’

 

Выполнила:студентка 3-курса

                                КамчыбековаБ.

гр. КИС-5-97

 

Проверил:  к.т.н. профессор. Бабак В. Ф.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бишкек – 2000

Глава 1. Подборпараметра…… 3

1.1. Нелинейныеалгебраические уравнения. 3

1.2 Системы двухлинейныхалгебраических  уравнений. 5

Задание1. 5

Задание 2. 5

Глава 2. Матричнаяалгебра. 6

2.1 Определительматрицы… 6

2.2 Умножение матриц. 7

Задание 3. 7

Умножение на число14. 9

Задание 4. 10

2.6 Система линейныхалгебраических уравнений. 14

Задание 5. 14

Глава3. Поискрешения…… 17

1.2Оптимизация. 17

3.2Безусловныйэкстремум… 17

Задание6. 18

3.4 Математическоепрограммирование. 22

3.4.1. Линейноепрограммирование. 23

Задание 7. 23

Задание 8. 25

Задание 9. 25

Задание 12. 27

Глава 1. Подборпараметра…1.1. Нелинейные алгебраические уравнения

Примоделировании экономических ситуаций часто приходится решать уравнение вида:

f (x, p1, p2 ,…, pn)=0                (1)

гдеf-заданная функция, х-неизвестная переменная.

p1, p2,…, pnпараметры модели.

          Решениетаких уравнений может быть как самостоятельной, так и частью более сложныхзадач. Как правило, исследователя интересует поведение решения в зависимости отпараметров    pk<sub/>, k=`1,n   

          Решениямиили корнями уравнения  (1) называют такие значения переменной х, которые приподстановке в уравнение обращают его в тождество.

          Толькодля линейных или простейших нелинейных уравнений удается найти решение ваналитической форме, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину х вявном виде через параметры pk<sub/>(например формула корней квадратного уравнения).

          Вбольшинстве же случаев приходится решать уравнение (1) численными методами, вкоторых процедура решения задается в виде многократного применения некоторогоалгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может бытьсколь угодно близко к точному.

          Рассмотримпоследовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в средеэлектронной таблицы.

          Пустьнадо решить уравнение вида:

         

/>                                 (2)    

Cформируемлист электронной таблицы, как показано на рис.1. Уравнение (2) запишем в клеткуС5, начиная со знака равенства, а вместо переменной xукажем адрес клктки В5, которая содержит значение начального приближения решения.

 

/>

вместо переменной  xукажем адрес клетки В5. которая содержит значение начального приближениярешения

Метод, применяемый в EXCELдля решения таких уравнений -модифицированный конечными разностямиметод Ньютона, который позволяет не сильно заботится о начальном приближении,как этого требуют другие численные методы решения уравнений (метод хорд,дихотомии и др.) Единственно, что следует учесть — это то, что будет' найденорешение ближайшее к выбранному начальному приближению.

Для получения решенияуравнения (2) надо выполнить следующую последовательность действий:

1.Выполнить командуСервис/Подбор параметра...(получим лист электронной таблицы, как показано на Рис. 2);

2.Заполнить диалоговое окноПодбор параметра...:

2,1Щелкнуть левой клавишей мыши в полеУстановить в ячейке, после появленияв нем курсора, переместить указатель мыши и щелкнуть на клетке с формулой, внашем случае это клетка С5, абсолютный адрес которой $С$5 появится в поле рис.1

/> 


Этот адрес можно было бы набрать на клавиатуре, послепоявления курсора в поле.  Установить в ячейке

2.2. В полеЗначениеввс

В нашем случае этозначение равно О.

2.3В поле,Изменяя значение ячейки ввести адресклетки, где задано  начальное приближение решения, в нашем случае это клетка В 5(абсолютный адрес которой $В$5 появится в поле после щелчка левой клавиши мышина клетке В5).После выполнения пунктов 1-2 страница электронной таблицы будетвыглядеть так, как показано на Рис.3.

 Правая часть решаемогоуравнения не обязана быть всегда нулем равнение (2) преобразовать к виду10*х*(х+10)/(х-9)=2. то в поле Значение следовало бы установить 2.

После нажатия на кнопке ОКпоявится окно Результат подбора параметра, в котором дается о томнацдена  ли решение, чему равна и какова точность полученного решения.

 Для нашего примера Результатподбора параметра  показан на Рис.4

При значении аргумента–0,187204141 функция, стоящая в левой части уравнения (2) отличается от нуля на– 0,000484158.

Достигнутая точностьрешения равна – 1.0Е-3

Если полученные значенияследует «отразить на листе электронной таблицы, то надо щелкнуть на кнопкеОК… если же нет то на кнопкуОтмена. В первом случае найденныезначения зафиксируются в клетках  В5 и С5 и лист  электронной таблицы будетвыглядеть как на Рис.5, или как на Рис.6, если установить режим отображениярезультатов, предварительно сняв режим отображения формул, выполнивкомандуСервис/Параметры/Вид/Формулы.

Численные методы решенияуравнений хороши тем, что мoжно  получить приближенное решение с заданной точностью. EXCELиме (возможность управлять выбором точности. Для этого надо выполни'командуСервис/Параметры/Вычисления и в соответствующих полз установить.значения относительной погрешности и количества итераш Рис.7

1.2 Системы двух линейныхалгебраических  уравнений

Вышеизложенный способполучения решения уравнения может быть легко распрастранен для случая решенияситемы двух   уравнений с двумя неизвестными, если ситема имеет следующий вид.

Y=Ф (х)

Y=y(х)

В каждом  уравнениисистемы функции у явна выражена через х

Преобразуем систему (3) водно уравнение вида (+)

Ф (х) -'^(х) =0                  -   (4)

Полученноеуравнение уже можно решить с помощьюПодбора параметра... так как этобыло описано выше.

Вкачестве   примера рассмотрим нахождение равновесных цены и объема продаж длярынка некоторого товара.

Пусть функция спроса натовар имеет вид Q=40/(Р+3) а функция предложения: Q=20Р-14

Найти равновесные цену иобъем, построить графики спроса и предложения.

 

Имеющуюсясистему уравнений Q=40/(p+3)

                                      Q=20Р-14 

 

преобразуемв одно уравнение вида 40 / (р + 3) — 20 р +14=0

Подбором   параметра...   описанным   выше,   находим равновесную цену, онаравна 1,17, подставив это значение в одно из уравнений системы, получим изначение равновесного объема — 9,57. Для построения графика, иллюстрирующегоситуацию равновесия спроса и предложения на рынке, воспользуемся знаниемравновесной цены и возьмем значения цен в некоторой окрестности от нее.например от 0 до 4 с шагом 0,1.

Используя все возможностимастера диаграмм, получим следующую иллюстрацию решения задачи о равновесии нарынке. Рис.8.

Задание1

Найти ближайшее кначальному приближению решение следующих уравнений. Исследовать влияниеначального приближения на найденное решение 

 

10x-x+56=12

 

Задание 2

Подбором параметра...найти   точку равновесия рынка некоторого товара, длячего решить систему уравнений, описывающих спрос и предложение этого товара.Построить и оформить график равновесия.

Функция спроса

Q=50e-3

Функция предложения

Q=3p-4e

0<p<20

Глава 2. Матричная алгебра

По  мнению   крупнейшего   экономиста   нашей   эпохи В.В.Леонтьева.«Дифференциальное исчисление и элементарная алгебра — два традиционныхинструмента экономиста-математика заменяются. или, по крайней мере дополняютсяматричной алгеброй.»4Матричная алгебра тесно связана с линейнымифункциями и с линейными ограничениями в связи с чем находит себе применение вразличных экономических задачах:

в эконометрике, для оценки параметров множественныхлинейных регрессий;

при решении задач линейного программирования;

при макроэкономическом моделировании и т.д. Особоеотношение к матричной алгебре в экономике появилось после       созданиямоделей типа «Затраты — Выпуск», где с помощью матриц технологическихкоэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасли через связь ссоответствующими уровнями во всех прочих отраслях.

Электронная таблица EXCELимеет ряд встроенных функций для работы с матрицами:

ТРАНСП -транспонирование исходной матрицы — вычислениеопределителя квадратной матрицы

МОПРЕД— вычисление определителя  квадратной матрицы

МОБР -вычисление матрицы обратной к данной — нахождениематрицы, являющейся произведением двух матриц.Кроме того возможно выполнениеопераций поэлементного сложения (вычитания ) двух матриц и умножения (деления)матрицы на число.                         Все вышеперечисленные функциивызываются через мастер функций и хотя относятся к разделу математических,   они располагаются в полном алфавитном перечне.

МУМНОЖ— нахождение матрицы, являющейся произведением двухматриц.

Кроме того возможновыполнение операций поэлементного сложения (вычитания ) двух матриц  иумножения (деления) матрицы на число.

Все вышеперечисленныефункции вызываются через мастер функций и хотя относятся к разделуматематических, они располагаются в полном алфавитном перечне.

2.1Определитель матрицы

Для вычисления определителя матрицы сформируем листэлектронной таблицы, как показано на Рис.9. Место записи вычисленногоопределителя матрицы определяется  местоположением табличного курсора.

Пусть на листе электронной таблицы сделаны всепредварительные действия, т.е введена матрица, над которой будут производитьсядействия и определено место записи результата.

Следующим шагом  вызывается  мастер функций  рис10.,левое окно которого содержит перечень разделов, а правое алфавитный списокфункций, составляющих  данный раздел.

В левом окне  выбираем раздел  -« Полный алфавитныйперечень «, а в правом МОПРЕД, В появившемся  диалогом окне  Рис11. Следуетуказать левый верхний  и через двоеточие  правый нижний  адреса матрицы, (илиобвести интересующую нас матрицу, при нажатой клавиши  мыши, штриховой линией,что автоматизирует процесс определения адресов местоположения  матрицы на листеЭТ) Рис.11

Щелкнув  на кнопке   Готово получим значение определителя, размещенного в клеткеС10. Его значение равно 1 Нахождение определителя — это единственноедействие.над матрицей, которое дает в результате число, остальные матричныефункции в результате своих действий дают матрицы и, это, следует, учитывать приподготовке на листе ЭТ места для размещения результата.

2.2Умножение матриц

Вкачестве примера рассмотрим умножение двух матриц.  Пусть надо умножить матрицуА(5*4) на матрицу В(4*3). это умножение возможно, так как число столбцовматрицы А совпадает с числом строк матрицы В. результатом будет матрица С(5*3).

Передвызовом функции умножения матриц сформируем лист ЭТ, так как показано на Рис.12

Затемвыполним следующую последовательность действий:

1.Зададимматрицу А

2.Зададим матрицу В

3Отметим место для матрицы   С7                       

              4.Обратимся к мастеру функций, найдем в полном алфавитном  перечнефункциюМУМНОЖ и выполним постановку задачи так. Как показано на Рис. 13

В качестве массива 1 указывается  диапазон адресов матрицы А, а в качестве массива 2- диапаон адресов  матрицы В.

Щелкнуть  в на кнопкеГотово получим в клетке, где присутствует знак равенства, полную записьфункции умножения. Для получения результата необходимо нажать клавишиShift/Ctrl/Enterодновременно8

7В выделенном под результат месте ЭТ поставить знакравенства.

8Все матричные функции, за исключением вычисленияопределителя. требуют заключительного одновременного нажатия клавиш Shift/Ctrl/Enter

НаРис 15 показан результат умножения после нажатия клавш Shift/Ctrl/Enter, а в строке формул стоитвыражение в „фигурны скобках, {3*B4:D6} что является признакомвыполнения матрично операции

Сложение матриц

Для сложения двух матрицодинаковой размерности10 следует выполнить следующую последовательность действий… Задать две исходных матрицы… Отметить местодля матрицы — результата. •. В выделенном под результат месте ЭТ поставитьзнак равенства и записать сумму так. как показано на Рис. 16… -Завершитьвыполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter, Рис.17“.

Фигурные скобки в строкеформул {В4:D6+F4:H6}-признаквыполнения матричной операции

 

Задание 3

 Найти определительматрицы  В (6*6):. умножить матрицу на 14.

 

/>

/>

 

 

/>

 

Умножение на число 14

/>

результат:

/>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4

 

Транспонированиематрицы А :

/>

 

/>

 

После нажатия Shift/Ctrl/Alt:

/>

Умножение матриц  А на H(t):

/>


После нажатия на ОК:

/>


Вычитание матриц AH(t)  и HA(t):

/>

/>

 

2.6 Система линейных алгебраических уравнений

Решение Система линейныхалгебраических уравнений всегда занимало  математиков  и для решения былоразработано немало численных методов, подразделяющихся на прямые ( Гаусса,Кремера)  и итерационные (простых итераций, Зейделя, верхних релакций… )

                    EXCELзадача получения решение СЛАУ решаются с помощью вышеописанныхматричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричногоуравнения.

Рассмотримпоследовательность  действий  для получения решение СЛАУ на конкретном примере.

Задание 5

Найти решение системы линейных алгебраических уравнение и сделать проверку.

/>

/>

/>

/>

Для того, чтобы  система(5) имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитьсистемы, составленный из коэффициентов при переменных  х, х, х, х, не был равеннулю.

 

          Рассчитаемопределить системы пользуясь функцией МОПРЕД. Рассчитанное значение определителя системы равно 1662723продолжать процесс поиска решения.

                        Излинейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричноепреставление решения.

Перепишем системууравнений (5):

Тогда матричное решениеуравнения выглядит так:

Результат, указанный  нарис18 можно   получить,  выполнив  следующие  действия:

1.  Вычислить определитель ивыяснить  имеет ли система  единственное решение.

2.   Вычислить матрицу обратную к исходной.

3.  Найти произведение обратнойматрицы и вектор столбца свободных членов.

 

 

Глава3.Поиск решения…1.2Оптимизация

Почти любую ситуацию ,встречающуюся в деловой личной  общественной жизни  можно охарактеризовать какситуацию  принятия решения. Для  задач принятия решений  существенными являются следующие общие элементы:

1.Множества переменных и параметров. В их число  входят:

Множестворазрешающих  или эндогенных переменных, значения  которых рассчитываются лицом,принимающим решение.

Множествовнешних   или экзогенных переменных, значения которых не контролируются лицом,принимающим решение.

Множествопараметров, которые так  же контролируется  и считаются в условиях  задачивполне  определенными.

 

Модель-множество соотношений, связывающих все переменные и  параметры.

Целевая функция-функция,функций, значение которой  зависит от значений эндогенных переменных. Эта функция.  Позволяет лицу,принимающему решения оценивать варианты.

Численные методы-методы,с помощью, которых можно систематически  оценивать результаты различныхрешений.

Получение решения  на модели, в конечном итоге, сводится  к математической  задаченахождения  некоторых  вещественных значений  эндогенных переменных, которыеоптимизируют целевую функцию.

Если до недавнего времени все четыре  перечисленные  выше элемента ложились на лицопринимающее  решение, то теперь умение пользоваться  встроенными функциями EXCEL  снимает наиболее утомительный пункт, а  именно, применения  численныхметодов, и делает  исследование задач  принятия решения более эффективными, таккак теперь для решения одной и той же  более эффективными,  так как теперь  длярешения  одной и той же задачи можно быстро  просмотреть  различного видапостановки в том числе и отличающиеся друг от друга по структуре.

 

3.2Безусловныйэкстремум

Excelобладает мощным встроенным средством для нахождения экстремальных значенийфункции одной или нескольких переменных. Для одно-экстремальных  функций  можнонайти безусловный  глобальный экстремум. Для  многоэкстремальных  функций можнонайти  условный локальный экстремум. Забегая вперед отметим, что для многоэкстремальных  функций определить  какой из локальных экстремумов будетнайден  невозможно без построения графика функции на интересующем насинтервале,  так как численные   методы нахождения экстремума  ориентированы напоиск ближайшего  решения к точке начального приближения и  вообще говоря,требуют унимодальности функции.

Посмотримразличные примеры поиска экстремальных  значений  функции.

Задание6

Найти минимум и максимум функции на интервале,построить график.

2.  />

 

 

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

 

 Рис.19

Для поиска безусловного экстремумафункции сформируем  лист электронной таблицы, как показано на рисунке 20.Функцию (6) запишем в клетку  А2 где вместо переменной  х  следует указатьадрес ячейки А1, которая содержит начальное приближение экстремума равное,например 0.

           Для поискаминимума следует выполнить следующую последовательность действий:

1.Выполнить команду Сервис/Поискрешения…(получим лист электронной таблицы, как показано на рис.20).

2.Заполнить диалоговоеокно  Поиск решения… рис21

2.1.Щелкнуть левойклавишей мыши в поле. Установить целевую  ячейку и щелкнуть  на   ячейкес формулой, в нашем случае  это ячейка А2, абсолютный адрес которой. $А$2появится в поле.

2.2. Выбрать полеМинимальное значение.

2.3. В поле.  Изменяяячейки ввести адреса ячеек, значения которых   будут варьироваться впроцессе поиска решения.  В нашем случае это клеикаА1, абсолютный адрескоторой. $А$1.

После выполнения пунктов1-2 лист электронной таблицы будет выглядеть так, как показано на рис 21.

После щелчка на кнопке Выполнитьполучим решение поставленной задачи. В клетке А1 находится значение переменнойХ равное 0.769231  при котором функция (5 ) достигает минимального значенияравного –167,692. Рис22

Условный экстремум

Дляфункции одной переменной поиск экстремума возможен как на всей числовой оси,так и на некотором интервале, поиск на интервале  уже можно считать поискомусловного  экстремума  функции, т.к появляются ограничения  на изменениезначений аргумента.

          Нарис.21 в диалогом окне Поиск решения есть поле Ограничения мсоответствующие ему команды: Добавить, Заменить, Удалить.

 Рассмотрим предыдущуюзадачу, добавив условие поиска минимального значения на интервале [1;5]. Тогда диалоговое окно Поиск решения… следует видоизменить, добавив ограничения:

Щелкнувлевой клавишей мыши в поле Ограничения и затем на кнопке  Добавить ,откроем диалоговое окно Добавление ограничения. Рис23,,,… котороеследует заполнить так как показано на рисунке.

Последобавления  последнего ограничения  диалоговое окноПоиск решения…будетсодержать математическую постановку задачи экстремума и выглядит след.образом.
После щелчка на кнопке Выполнить получим следующее решение:

У=-167 при х=1,отличающееся от решения, полученного в предыдущем случае. Здесь в качествеминимального значения выступает наименьшее значение функции на интервале[1;5],совпадающее  с левой границей интервала.

Все численные методы нахождения оптимальных  значений  для корректной работы  требуют, чтобы функция на интервале  была унимодальной.

При такой постановкезадачи значения труда и капитала определяется как 5 и 2 единицы соответственно.Получающиеся значение целевой функции при этом равно 3.37.  Теперь можнопостроить график, на котором отражены линия безразличия использования труда икапитала при выпуске 3.37 и линия ограничения на средства, предназначенные длярасходов на  труд и капитал.

     Полученные кривые касаются в найденной точке, чтосогласуется с теорией фирмы. Рис 31

/>


3.4Математическое программирование

       Различные методыоптимального управления, получившие заметное развитие во второй половинедвадцатого века, благодаря созданию и распространению компьютерной техники, нетолько отвечают насущным потребностям экономической науки, но и начинают игратьроль важнейшего ее составного элемента. И это вполне естественно, посколькуодной из главных задач экономической науки является разработка теоретическогофундамента управления, т.е. методов наилучшего распределения ограниченныхресурсов (людских, материально -вещественных, финансовых, временных) для поддержанияфункционирования и развития предприятия или экономики страны.

      Однако, чтобыобнаружить глубинную связь между математическим программированием иэкономической наукой, понадобились усилия многих ученых.

     Анализируявозможности Поиска решения … можно заметить, что он применим для решениядостаточно широкого класса задач математического программирования.

Если задачу принятиярешений в области управления можно сформулировать в виде подчиненных mпроизвольным ограничениям.

 

/> при

/>

/>

……………………

gm(x1,x2,…,xn)/>0

то Поиск решения…позволяет найти решение такой задачи, которая в формальной постановке можетбыть задачей:

1.  линейного программирования

2.  нелинейного программирования

3.  целочисленногопрограммирования

4.  частично целочисленногопрограммирования

Кроме того у лиц,принимающего решения есть возможность изменить параметры работы Поискарешения…, повышающие эффективность поиска оптимального решения. Рис.32

 

3.4.1. Линейное программирование

/>  Найти минимум функции  F=5x1+x2/>min

/>  при ограничениях:

/>                                   3x1+4x2/>12

/>-2x1+x2/>

/>x1-2x2/>

/>x1+x2/>          x1,x2–произвольные

Сформируемстраницу электронной таблицы и постановку задачи линейного программирования в диалоговомокне Поиска решения…

Послевыполнения поставленной задачи получаем следующее значение переменных

Каквидим, при найденных значениях x1,x2 целеваяфункция принимает минимальное значение, равное –9.66 и этим удовлетворяются всеограничения поставленной задачи.

Графическоерешение поставленной задачи выглядит так:

 

Задание 7

 Решитьзадачу линейного программирования с помощью Поиска решения…, показатьграфически область допустимых решений и целевую функцию.

 

2.F=-x1+4x2/>

   при

   3x1+2x2/>

   2x1-x2/>

   -3x1+2x2/>

   x1+2x2/>

   x1/>

 

/>

 

/>

 

/>

 

 

Задание 8

Поописанию задачи  сделать математическую постановку, решить.создать отчет ипрокомментировать его.

№2

Фирмаизготовляет два типа электрических выключателей, типа А, доход от которых равен0.4$. На каждый выключатель и типа В – доход от которых равен 0.3$. Наизготовление выключателя А требуется в три раза больше рабочего времени, чем наизготовления типа В.

Если бы изготавливалисьвыключатели только типа В, то дневного рабочего времени хватило бы дляизготовления ровно 1000 выключателей. Поставка медного провода обеспечиваетизготовление только 800 выключателей в день (любого типа). Для выключателейтребуются специальные изоляторы, их можно получить в день для типа А не более400, для типа В не более 700. Задача состоит в максимизации дохода при всехуказанных выше ограничениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 9

Составить задачудвойственную к данной задаче линейного программирования и решить обе с помощью Поискарешения…

 

 

 

 

2.F=-x1+x2/>

   при

   x1+2x2x3£5 />

  2x2+x4£3

   x3+2x4£6

   xj³0.j=1.4

   />

 

 

/>

 

 Задание 12

          С помощьюПоиска решения… найти решение системы нелинейных алгебраических уравнений.Исследовать зависимость получаемого решения от различных начальныхприближений(менее трёх), оформить исследования в виде таблицы.

№2                                

/> 

/>

 

/>

 

/>         

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

1.  EXCEL5.0 Для профессионалов. М-1995

2.  EXCEL7.0 М-1997

3.  А.А.Горчаков, И.В.Орлов.Компьютерные экономико-математические модели. М-1995

4.  И.Л.Акулич. Математическоепрограммирование а в примерах и задачах. М-1986

5.  М.Кубонива. Математическаяэкономика на персональном компьютере. М-1991.

 

 

 

 

еще рефераты
Еще работы по остальным рефератам