Реферат: Методичні вказівки до виконання розрахунко роботи дослідження за допомогою еом коливань системи з одним ступенем вільності
Міністерство транспорту України
Дніпропетровський державний технічний університет
залізничного транспорту
Кафедра “ Теоретична механіка “
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВОЇ
РОБОТИ “ДОСЛІДЖЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮЕОМ КОЛИВАНЬ СИСТЕМИ З ОДНИМ
СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ ”
Вільні коливання та вимушені коливання точки
при негармонічному збуренні
ЧастинаІІ
Укладачі: Л. А. Манашкін
Л. Г. Маслєєва
Д. Б. Астраханцев
А.Ю. Журавльов
Для студентів других курсів
спеціальностей : 7.092107,
7.100501, 7.092202, 7.090603,
7.092203, 7.100502
Дніпропетровськ 2001
Зміст.
Вступ.......................................................................................................
Постановка задачі Складання диференціального рівняння вимушених коливань механічної системи Визначення амплітудно- та фозово- частотних характеристик системи Розкладання функції /> в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили Дослідження вимушених коливань механічної системи.5.1. Визначення (за допомогоюЕОМ) “точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.
5.2. Підбір (за допомогою ЕОМ)раціональної кількості гармонік /> в розкладенні функції />.
5.3. Побудова аналітичногорішення диференціального рівняння. Підбір раціональної кількості гармонік /> в розкладенні функції />.
Стисла характеристика програми />. Порядок підготовки вихідних даних для виконання розрахунку на ЕОМ. Схеми механічних систем та розрахункові дані до них. Перелік літератури.Вступ.
Другачастина розрахункової роботи по дослідженню коливань системи з одним ступенемвільності включає задачу про дослідження малих вимушених коливань системи тіл зпружними елементами (пружинами) при дії на одне з тіл системи періодичноїзбурюючої сили негармонічного типу. Рішення задачі зводиться до визначеннязакону руху системи (в узагальнених координатах) при нульових початковихумовах. При цьому використовується як аналітичний метод рішення задачі, так іметод численного інтегрування диференціального рівняння руху системи звикористанням персональної ЕОМ.
Методичні вказівки містять приклад виконаннярозрахункової роботи. Тут приведені також стисла характеристика програми />, що розроблена для рішеннявище вказаної задачі за допомогою ЕОМ (автори програми – студенти ф-ту УППАстраханцев Д. Б., Журавльов А. Ю.), порядок підготовки вихідних даних длявиконання на ЕОМ, схеми механічних систем та розрахункові данні до них.
Виконання розрахункової роботи складається із слідуючиетапів:
- складання диференціальногорівняння руху механічної системи (в узагальнених координатах);
- виконання розрахунку наЕОМ;
- визначення аналітичногорішення;
- зіставлення результатіврозрахунків на ЕОМ і аналітичного рішення.
Постановка задачі
Методику дослідження малих коливань системи при дії негармонічноїперіодичної сили /> розглянемо нанаступному прикладі.
Механічна система, що зображена на рис.1, складається з трьох тіл масою/>= 200/>, />= 0, />= 800/>, та двох пружин жорсткістю /> та />. Тіло 2 представляє собоюсуцільній однорідний диск радіуса />, а тіло3 – ступінчатий диск (/>м; />м) з радіусом інерцій />м.
Така механічна система має один ступінь вільності.
Нехай рух системи викликається періодичною збурюючисилою />, що прикладена до тіла 1 івідноситься до сил “прямокутного” типу (рис. ) з параметрами />кН, />, де /> - амплітуда збурюючой сили, /> і />– відповідно її частота таперіод.
Будемо вважати, що рух системи починається ізположення статичної рівноваги.
Розрахунки проведемо у наступному порядку:
1.1. За допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду складемо рівняння руху механічної системи. За узагальненуприймемо координату, яка визначає положення тіла 1 відносно його положеннястатичної рівноваги: />. При цьомукоефіцієнт /> в’язкого опору рухупідберемо із умови [ ], щоб вільні коливання системи згасали до 0,1 початковоїамплітуди за час />, де Т – періодвласних коливань системи.
Початкові умови задачі візьмемо нульовими, так як рухсистеми починається із положення статичної рівноваги:
1.2. Визначимо (за допомогоюЕОМ) амплітудно-частотну (АЧХ) та фазово-частотну (ФЧХ) характеристики системи.
1.3. Розкладемо функцію /> вряд Фур’є і визначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік в розкладенні.
1.4. Визначимо (за допомогоюЕОМ) рішення /> диференціального рівнянняруху механичної системи для випадку, коли збурююча сила /> задається кусочно-лінійноюфункцією (“точне” рішення).
Розглянемо також випадок, коли сила /> задається сумою /> гармонік. При цьомувстановимо, при якому раціональному значенні />=/> функція /> визначається з 5% точністю(по відношенню до “точного рішення”).
Проаналізуємо характер коливального процесу при різнихзначеннях /></>.
1.5. Користуючись АЧХ и ФЧХсистеми та знайденими параметрами гармонік у розкладенні сили />, побудуємо (за принципомсуперпозиції) аналітичне рішення /> диференціального рівняння, руху механічної системи.
При цьому встановимо, при якомураціональне значені /> аналітичне рішення визначається з 5%точністю по відношенню до “точного” рішення.
Співставлення рішень будемо проводити для контрольногомоменту часу />, який рекомендуєтьсявибирати із умови: />.
2. Складання диференціального рівняння вимушенихколивань механічної системи.
Рівняння вимушених коливань заданоїмеханічної системи (рис.1) складемо за допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду:
/>, ( )
де /> і /> -узагальнена координата та швидкість, /> і /> - кінетична і потенціальнаенергії системи відповідно, /> -функція розсіювання, /> - узагальненанепотенціальна сила.
Складемо вираз кінетичної енергії системи в їїдовільному положенні, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, а тіла 2і 3 – обертальний рух; при цьому швидкості усіх тіл виразимо черезузагальнену швидкість />:
/>;
/>; />; />; />;
/>= />.
У виразі /> та /> -моменти інерції тіл 2 і 3 відносно центральної осі.
Позначимо коефіцієнт />=/>, де /> - зведена маса системи.Тоді:
/>/>/>. ( )
Складемо вираз потенціальної енергіїсистеми: />, де /> - потенціальна енергія сил ваги, а /> - потенціальна енергія силпружності, що діють на тіла системи.
Обчислемо потенціальну енергію системи в її довільномуположенні як роботу потенціальних сил на переміщенні системи із довільногоположення в положення статичної рівноваги:
/>;
/>,
де />; /> /> />;
тут />, /> - статичні подовженняпружин; />, /> - зміна довжини відповідноїпружини при відхиленні системи від стану статичної рівноваги; />,/> -подовження пружини в довільному положенні системи.
Врахуємо, що />, />=/>,а в стані статичної рівноваги />.
Вираз потенціальної енергії системи та її похідноїмають вигляд:
/>;
/>.
При рівновазі системи (/>) маємо:
/>, тобто />.
Тоді вираз потенціальної енергії системиприймає вигляд:
/>=/>, ( )
де />=/>.
Функцію розсіювання /> будемовважати залежною від узагальненої швидкості />,а її похідну представимо у вигляді:
/>,
де /> - коефіцієнтв’язкості (дисипативний коефіцієнт).
До непотенціальних сил, що діють на систему,відноситься тільки збурююча сила />, можливаробота якої />; тоді
/>.
Візьмемо відповідні похідні і складеморівняння Лагранжа для заданої системи:
/>/>; />/>; />0;/>/>;
/>=/>;
/>/>;
/>/>;
/>/>;
/>/>, ( )
де /> і />.
Диференціальне рівняння ( ) представляє собоюнеоднорідне диференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненоїкоординати />зі сталими коефіцієнтами.
Рішення задачі про дослідження вимушених коливаньсистеми зводиться до рішення цього диференціального рівняння при заданихпочаткових умовах задачі. Оскільки у розглянутому випадку рух системипочинається із стану статичної рівноваги, то початкові умови будуть нульовими:
при />: />; />. ( )
Як відомо, аналітичне рішення рівняння ( )складається із суми двох рішень /> />, де /> — загальне рішенняоднорідного рівняння, /> — частинне рішеннянеоднорідного диференціального рівняння.
Слід зауважити, що рішення /> вданому випадку (при відповідному підборі коефіцієнта />) практично згасає через />. Тоді получається, що при /> />.
Визначимо чисельні значення параметрів системи такоефіцієнтів в рівнянні ( ):
/>=/>= 0,2 +0 +/>= 0,2 + 0,056 = 0,256т;
/>=/>= />+ 10 = 3,56 + 10 = 13,6кН.м–1;
/>/>=7,29с–1; />/>=0,861с;
/>/>/>/>= 0,456кН.с.м –1;
/>=/>=0,891с–1.
Для перевірки вірності визначення коефіцієнту /> рекомендується підрахуватизначення співмножника /> в рішенні /> при />=5.0,861= 4,31с:
/>.
Таке значення співмножника (наближене до нуля) врішенні />підтверджує факт, що вільніколивання системи на цей момент часу практично згасають; значить коефіцієнт /> знайдено вірно.
3. Визначення амплітудних- та фазово-частотниххарактеристик системи.
Шляхом виведення, за допомогою ЕОМ, для заданоїмеханічної системи з параметрами />= 0,256т;/>= 13,6кН.м –1;/>=0,456кН.с.м–1 получимо (шляхом введення надрукарський пристрій – принтер) амплітудно- та фазово-частотніх характеристикисистеми та приведемо їх на рис.2 і рис.3 (відповідно).
4. Розкладання функції F(t) вряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили.
Розкладемофункцію /> в ряд Фур’є:
/>, ( )
де />-номер гармоніки, а /> — число гармонік врозкладенні.
Визначимо (за допомогою ЕОМ) параметригармонік: амплітуди />, частоти /> та початкової фази />.
Для заданої сили “прямокутного” типу з параметрами />кН, /> значення параметрівгармонік наведені у табл.1.
Таблиця 1.
Номер гармоніки,
/>
/>,
кН
/>,
/>
/>,
рад.
1 0,764 2 2 0,255 6 3 0,153 10 4 0,109 14 5 0,085 185. Дослідження вимушених коливаньмеханічної системи.
5.1. Визначення (за допомогою ЕОМ)“точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.
Визначимо за допомогою ЕОМ “точне” рішення/> диференціального рівняння для випадку, колисила /> представлена однією гармонікою (/>=1). Два графіка функцій /> для відповідних випадківвиводяться на екран ЕОМ. Перед виводом графіків на друкарський пристрій їхтреба “промасштабувати”, тобто получити рішення на заданому відрізкуінтегрування 0/>, де /> рекомендується задавати рівним8/>10/>. На рис.4 приведені вказаніграфіки функцій /> для заданоїмеханічної системи. Лінія 1 відображає “точне” рішення, а лінія 2 – рішення увипадку />= 1 (тобто, коли />).
Із графіків видно, що функції /> получаються періодичними, тобто рух механічноїсистеми получається періодичним-коливальним. І в першому, і в другому випадкупри />с процеси получилися явноусталеними, тобто без вільних коливань. Але в “точному” рішенні навіть при /> явно виражені дві частоти –одна дорівнює /> (див. лінію 2 для випадку />=1; це частота першої гармоніки), а друга частота – втричі більша (це частотадругої гармоніки, див. табл. 1). Рішення, що відповідають лініям 1 і 2, значновідрізняються одне від одного. Наприклад, в момент часу />с (/>=4,31с) значення />м (точнерішення) і />м (випадок />= 1).
5.2. Підбір (за допомогою ЕОМ)раціональної кількості гармонік /> врозкладанні функції />.
Визначимо (за допомогою ЕОМ) функції /> для випадків />= 2, 3. На рис. 5, а, б лініями 1 показані графіки /> для “точного” рішення, алініями 2 – графіки тих же функцій для випадків />=2; />= 3 (відповідно). Ізрисунків випливає, що при />= 2графік відрізняється від “точного” рішення, але в значно меншій степені, ніжпри />= 1. А у випадку />= 3 графік /> практично не відрізняєтьсявід “точного” рішення.
Значення відповідних функції при />с становлять />м(/>= 2) і />м (/>= 3), тобто при />= 2 різниця в значенняхвідповідає D= 5,7%, а при />= 3 — D = 3,7%.
За одержаним результатам можна зробитивисновок, що для отримання рішення /> з 5% точністю достатньо взяти кількість гармонік />= 3 в розкладенні збурюючої сили /> в ряд Фур’є.
5.3. Побудова аналітичного рішення диференціальногорівняння. Підбірраціональної кількості гармонік /> врозкладанні функції />.
Побудуємо аналітичне рішення диференціального рівняння( ), представивши збурюючу силу /> розкладеннямв ряд Фур’є:
/>.
Врахуемо, що при /> рішення/> практично згасає. Тоді дляцих моментів часу:
/>=/>. ( ).
Відмітимо, що рішення /> змінюєтьсяз частотою />, яка є частотою відповідноїгармоніки збурюючої сили.
Користуючись даними табл. 1 та графіками АЧХ і ФЧХсистеми, визначимо значення коефіцієнта динамічності /> та зсуву фаз /> для />
гармонік (/>), атакож амплітуди коливань механічної системи />/>, що відповідають цим гармонікам.
Значення знайдених величин зведемо у табл.2.
Таблиця 2.
Номер гармоніки, />
/>, с-1
/>
/>
/>, м
/>, м
/>, рад
1 2 0,274 1,08 0,0562 0,0607 0,088 2 6 0,823 2,63 0,0188 0,0497 0,076 3 10 1,37 1,06 0,0113 0,012 3,09 4 14 1,92 0,366 0,008 0,0029 3,09 5 18 2,47 0,195 0,006 0,0012 3,09Із табл. 2 випливає, що визначальними єамплітуди /> коливань першої (/>)та другої (/>) гармоніки в рішенні />, значення цих амплітуд одного порядку; амплітуди третьоїгармоніки (/>) майже в 6 разівменша, а четверта (/>) – в 20 разівменша, ніж амплітуди перших двох гармонік. Цим пояснюється факт виділеннячастот перших двох гармонік функції /> в рішенні />.
Обмежимося значенням />=3 і побудуємо рішення /> длявипадку усталених вимушених коливань (/>).Оскільки />(табл. 1), рішення /> має вигляд:
/>=
=/> (м).
Знайдемо значення узагальненої координати /> в момент часу />с:
/>
D = 4,2%.
Із розрахунків випливає, щовизначальними є значення рішення для перших двох гармонік. При />= 3 аналітичне рішення /> добрезбігається з “точним” рішенням на ЕОМ (відхилення рішення не перевищує D = 5%).
6. Стисла характеристика програми />.
Если надо – gardemarin@rambler.ru