Реферат: Математическое моделирование при активном эксперименте

Министерство образования РФ

Волгоградский государственный технический университет

Кафедра «САПР и ПК»

Курсовая работа

по моделированию

на тему:

«Математическое моделирование при активном эксперименте»

Выполнил: студент II-го курса

группы ИВТ-263

Б********  Ю.В.

Проверил: Фоменков С.А.

Волгоград 2001

Основные положения теории планирования эксперимента.

         Оптимизация технологического процесса производства любой продукциисодержит важный этап — определение (отыскание) математической модели — уравнения связи выходного показателя качества изделия (целевой функции,параметра оптимизации) с параметрами этого изделия или технологическогопроцесса (входными факторами). Модель — это упрощенная система, отражающаяотдельные стороны явлений изучаемого объекта. Каждый изучаемый процесс можноописать различными моделями, при этом ни одна модель не может сделать этоабсолютно полно и всесторонне. Однако использование упрощенной модели,отражающей отдельные черты исследуемого объекта, позволяет яснее увидетьвзаимосвязь причин и следствий, входов и выходов, быстрее сделать необходимыевыводы, принять правильные решения.

           Различают физическое и математическое моделирование.При физическом моделировании исследование объекта происходит при его воспроизведениив ином масштабе. Здесь возможен количественный перенос результатов экспериментас модели на оригинал. Однако для анализа сложных объектов и процессов, каковымиявляются большинство электронных схем, конструкций и технологических процессовпроизводства радиоэлектронной техники, приборостроения, машиностроения и другихпромышленных отраслей, применение физического моделирования затруднительно,поскольку приходится использовать большое число критериев и ограничений,которые могут быть несовместимы, а зачастую и невыполнимы.

           Математическое моделирование является методомкачественного или количественного описания объектов или процессов, при этомреальный объект, процесс или явление упрощается, схематизируется и описываетсяопределенным уравнением. В большинстве случаев математическая модельпредставляет собой уравнение регрессии, то есть геометрическое место точекматематических ожиданий условных распределений целевой функции. Простейшимпримером такой модели является уравнение парной корреляции, где на целевуюфункцию воздействует один фактор. На практике в реальном производстве нацелевую функцию воздействуют много факторов и искомое уравнение регрессиистановится многомерным.

         Существует много методовотыскания уравнения регрессии, которые можно условно разделить на два класса:методы активного и методы пассивного эксперимента. Под активнымэкспериментом будем понимать эксперимент, предварительный план которогосоставлен так, чтобы получить максимальную информацию о целевой функции приминимальной ее дисперсии и проведении минимального числа опытов (эффективныйплан). Такой план (например, полный факторный эксперимент) требуетискусственного одновременного варьирования всеми факторами в довольно широкихпределах. Методы активного эксперимента довольно хорошо разработаны вспециальном разделе математической статистики, который называется «Теорияпланирования эксперимента».

         Под математической теориейпланирования эксперимента будем понимать науку о способах составленияэкономных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшееколичество информации об объекте, о способах проведения эксперимента, оспособах обработки экспериментальных данных, о способах использованияполученных результатов для оптимизации исследуемых объектов (например,технологических процессов производства массовой продукции). Математическийаппарат теории планирования эксперимента построен на сочетании методовматематической статистики и методов решения экстремальных задач.

         В настоящее время выделяют два основныхнаправления теории планирования эксперимента:

планирование экстремальных экспериментов; планирование экспериментов по выявлению механизма явлений.

В этой курсовой работе описываются в основном методы первого направления.

Любое экспериментальное исследование содержит три этапа:

этап постановки задачи; этап планирования и проведения эксперимента; анализ и интерпретация результатов.

         Главной трудностью на этапепостановки задачи является переход с языка специальности на язык планированияэксперимента, на язык математики.

        Построение математическоймодели технологического процесса в зависимости от поставленной задачи можетпреследовать следующие цели: минимизировать расход материала на единицувыпускаемой продукции при сохранении качества, произвести замену дорогостоящихматериалов на более дешевые или дефицитных на распространение; сократить времяобработки в целом или на отдельных операциях, перевести отдельные режимы внекритические зоны, снизить трудовые затраты на единицу продукции и т.п.;улучшить частные показатели и общее количество готовой продукции, повыситьоднородность продукции, улучшить показатели надежности и т.п.; увеличитьнадежность и быстродействие управления, увеличить эффективность контроля качества,создать условия для автоматизации процесса управления и т.п.

         Прежде всего, необходимовыбрать зависимую переменную Y, которую впредь будем называть целевой функциейили параметром оптимизации, за который принимают один из показателей качества продукциилибо по каждой технологической операции отдельно, либо по всемутехнологическому процессу сразу. Параметр оптимизации должен соответствоватьследующим требованиям:

параметр должен измеряться при любом изменении (комбинации) режимов технологического процесса; параметр должен быть статистически эффективным, то есть измеряться с наибольшей точностью; параметр должен быть информационным, то есть всесторонне характеризовать технологический процесс (операцию); параметр должен иметь физический смысл, то есть должна быть возможность достижения полезных результатов при соответствующих условиях процесса; параметр должен быть однозначным, то есть должно минимизироваться или максимизироваться только одно свойство изделия.

            За фактор принимают контролируемуювеличину объекта (изделия, процесса, операции), то есть величину,характеризующую то или иное свойство объекта или режим технологическогооборудования. Эта величина, числовое значение которой измеряется в пределах(границах) изменения, должна влиять на параметр оптимизации.

         При определении величинколичественных оценок во внимание должны приниматься только те факторы, которыеимеют четкий метрологический смысл (возможность измерения фактора сопределенной точностью).

         Описание исследуемого объектанельзя получить в виде точной формулы функции, справедливой во всем диапазонесуществования аргументов. Оно может быть лишь приближенным и на небольшомучастке в окрестностях выбранной базовой точки. Аппроксимация искомойматематической зависимости представляет собой некоторый полином — отрезок рядаТейлора, в который разлагается неизвестная зависимость:

/>

(1)

где:

/>

В силу наличия неуправляемых и даже неконтролируемых входныхпеременных Xi изменение величины Y носит случайный характер, а потому уравнение(1) не дает нам точной связи между входом и выходом объекта и является лишьусловным математическим ожиданием случайной величины Y, т.е. уравнениемрегрессии.

Чтобы отыскать коэффициенты уравнения регрессии по результатамэкспериментов в N точках факторного пространства (что является типичной задачейрегрессионного анализа), необходимо выполнение следующих предпосылок:

Результаты наблюдений Y1, Y2,...,Yn выходной величины в N точках факторного пространства представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины. Выборочные дисперсии опытов />однородны, т.е. статистически неразличимы. Это требование означает независимость выборочной дисперсии от местоположения точки факторного пространства, в которой проводится конкретный опыт (ротатабельность). Независимые переменные X1, X2,...,Xn измеряются с ошибкой много меньшей, чем величина возможного отклонения выходного параметра Y под влиянием неучтенных факторов.

Тогда задача отыскания коэффициентов уравнения регрессиисводится к решению системы так называемых нормальных уравнений:

/>

(2)

где Yg-экспериментальные значения выходного параметра, полученные в g-й точкефакторного пространства;
/>-значение выходного параметра, найденные по уравнению регрессии в тех же точках;
d — количество членов в уравнении регрессии.

Выражение (2) является основным критерием проверки правильностинайденного уравнения регрессии.

Чтобы система нормальных уравнений, которая может бытьпредставлена в виде матрицы, имела единственное решение, необходимо, чтобыматрица была невырожденной, т.е. чтобы вектор – столбцы были линейно –независимы. Чтобы величины коэффициентов уравнения регрессии не зависели отчисла членов матрицы, нужно на нее наложить дополнительное условиеортогональности вектор столбцов.

1. Полный факторный эксперимент

          Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называетсяэксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровнейнезависимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двухуровнях (Рис 1)

/>

Рис. 1 Схема перехода в относительные координаты

Число этих комбинаций N=2nопределяет тип планирования.

         Для гарантированного получения единственного решениясистемы нормальных уравнений необходимо иметь ортогональную матрицупланирования, что невозможно обеспечить в абсолютной системе единиц факторов Xi, то есть тогда, когда факторы именованные(например, трудно представить 17 километров ортогональными к 12 килограммам).Поэтому необходимо провести предварительное преобразование каждого фактора — его перевод в систему относительных координат. Такое преобразование легкосделать с помощью переноса начала координат в базовую точку X* и выбора единицыотсчета DXi по каждой координате Xi.

/>

(3)

Это дает возможность легко построить ортогональную матрицупланирования и значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случаеверхние и нижние уровни варьирования Xiви Xiн в относительных единицах будутравны соответственно xiв= +1 и xiн = -1.

          Шаг варьирования по каждой переменной выбираетсятаким, чтобы приращение величины выходного параметра Y к базовому значению Y* при реализации шагаможно было выделить на фоне «шума» при небольшом числе параллельныхопытов. Если нет никаких указаний на величину шага DXi,то в первом приближении можно выбрать DXi= 0,15X*i, т.е. принять за шаг 15%-ное отклонениеот базового уровня X*i. Такой шаг даетдостаточную гарантию того, что фактор Xiвызовет заметную реакцию Y, если связь между ними существует.

Матрица планирования должна отвечать следующимусловиям:

1.   Ортогональность
/>

2.    Условиенормированости
/>

3.    Симметричностьотносительно центра экстремума
/>

4.   Ротатабельность, т.е. координаты точек факторного пространства в матрицепланирования подстраиваются так, что точность предсказания значения параметраоптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (базовойточки) и не зависит от направления.

Матрица планирования составляется по следующимправилам:

1.  Каждая g-я строка матрицы представляет собой набор координат точки />g, в которойпроизводится эксперимент;

2.  Поскольку переменные xgi принимаютлишь значения +1 и -1, то все остальные переменные могут принимать те жезначения, что позволяет в целях упрощения записывать в таблицу вместо +1 и -1их знаки + и -;

3.  Первая строка />1 выбирается так, чтобы управляемыепеременные находились на нижнем уровне, т.е. xi1 = -1. Последующие строки присоставлении матрицы планирования набираются по правилу: при построчном переборевсех вариантов частота смены знака управляемых переменных для каждойпоследующей переменной вдвое меньше, чем для предыдущей (см. табл. 1)

Таблица 1 Матрица планирования трехфакторного эксперимента g x1 x2 x3

 

1 - - -

 

2 + - -

 

3 - + -

 

4 + + -

 

5 - - +

 

6 + - +

 

7 - + +

 

8 + + +

 

Следует отметить, что суть матрицы не изменится, если перваястрока />1 будет выбрана так,чтобы управляемые переменные находились на верхнем уровне, т.е. xi1 = +1.

Матрицы планирования любого другого типа, например, 24, 25 и т.д. могут бытьполучены описаным выше способом.

Поскольку изменение выходной величины Y носит случайныйхарактер, необходимо в каждой точке />g (т.е. в точке с координатами,записаными в g-й строке) проводить m параллельных опытов и результатынаблюдений Y1g,Y2g,...,Ymg усреднять

/>

(4)

Величина m может быть любой, но не меньше m=3. Тогдаэксперимент делится на m серий опытов, в каждой из которых полностьюреализуется матрица планирования (т.е. эксперимент проводится в N=2n точках факторногопространства).

Одним из важнейших положений современной теории планированияэксперимента является рандомизация. План эксперимента составляется так,чтобы рандомизировать, т.е. сделать случайными те систематически действующиефакторы, которые трудно поддаются учету и контролю, для того, чтобырассматривать их как случайные величины и учитывать статистически.

Перед реализацией плана на объекте необходимо произвестирандомизацию — с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел(табл.П.6) определить последовательность реализации матрицы планирования вкаждой из m серий опытов. Для этого в качестве начала выбирается любое число изтабл.П.6 и записывается в столбец k1 из табл.2 на место g=1. Остальные места этого столбцазаполняют числа от 1 до N, следующие по порядку из табл.П.6 за выбраннымначальным. Следует обращать внимание на то, чтобы числа в столбцах табл.2 неповторялись дважды. Пусть, например, при g=4 k14=8, это значит, что в первой сериииспытаний точка />4 реализуется восьмой по порядку.

Аналогично рандомизируются испытания в каждой из оставшихсясерий экспериментов; порядок реализации записывается в столбцах k2,k3,...,km. Результаты эксперимента в каждой изсерий испытаний записываются в столбцах Y1,Y2,...,Ym.

Проверка воспроизводимости — это проверка на выполнение второйпредпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий S2g. Задача состоит в проверке гипотезы оравенстве дисперсий s2{Y1}=s2{Y2}=...s2{YN} при экспериментах соответственно вточках />1,/>2,...,/>g,...,/>N.

Оценки дисперсий находятся по формуле

/>

(5)

Так как все дисперсии получены по выборкам одинакового объема m, то числостепеней свободы для всех дисперсий одинаково и равно

v1 = m-1 (6)

Для проверки гипотезы об однородности оценок дисперсий следуетпользоваться критерием Кохрена, который основан на законе распределенияотношения максимальной эмперической дисперсии к сумме всех дисперсий, т.е.

/>

(7)

Если вычисленное значение критерия G окажется меньше табличногозначения Gкр,найденного для q%-ного уровня значимости, vзн = v2 = N — числа степеней свободызнаменателя (например для q=5%; vчисл = 3 — 1 = 2; vзн=8, Gкр = 0,5157, см. табл.П.5), то гипотезаоб однородности дисперсий принимается. При этом всю группу дисперсий S2g можно считать оценкой S2{Y} одной и той жегенеральной дисперсии воспроизводимости s2{Y}, откуда

/>

(8)

Если проверка на воспроизводимость дала отрицательныйрезультат, то остается признать либо невоспроизводимость экспериментаотносительно управляемых переменных вследствие наличия флуктуаций неуправляемыхи неконтролируемых переменных, создающих на выходе большой уровень«шума», либо наличие грубого промаха в строке, откуда взята дисперсияmax{S2g}. В первом случаеследует увеличить число параллельных опытов, во втором — найти грубый промах изаменить его на результат доброкачественного измерения при соответствующейкомбинации факторов. Если это по каким-то причинам невозможно, то, чтобы ненарушать предпосылки использования критерия Кохрена, на место грубого промахаследует поместить среднюю арифметическую величину />g данной строки.

Следует также отметить, что критерий Кохрена можно применять нек любой группе выборок, а только к группе выборок одинакового объема, что какраз и имеет место при полном факторном эксперименте.

Легко заметить, что исходный план (табл.1) содержит многобольше строк, чем столбцев и, следовательно, из результатов экспериментасогласно условию решения нормальных уравнений (2) можно получить дополнительнуюинформацию, т.е. расширить модель. Безусловно, это относится к среднейарифметической всего эксперимента, т.е. к отклику в базовой точке b0, для расчетакоторого можно ввести фиктивную переменную xод = +1 для всех строк. Оставшиесясвободными столбцы можно использовать для нахождения оценок коэффициентов припарных взаимодействиях и т.п. При этом соответствующие величины xixj, xixjxl получаются простым перемножениемсоответствующих столбцов исходного плана.

Тогда математическая модель объекта, получающаяся в результате ПФЭ можетбыть представлена в виде

Y = b0 + b0x1 + bnxn + b12x1x2 + b(n-1)x1x2 + b123x1x2x3 + b123...nx1x2x3x3 (9)

Однако вследствие того, что из ограниченного числа опытовнельзя получить точные значения коэффициентов bi, а только ихнезависимые оценки bi, вся математическаямодель становится оценочной

/>= b0 + b1x1 +...+ bnxn + b12x1x2 + b1...nx1...xn

(10)

Пример матрицы планирования, принцыпа ее реализации ипоследующей обработки экспериментальных данных приведен в табл.2 на базетрехфакторного эксперимента. В разделе «Матрица планированияэксперимента» включены не только относительные переменные xi, сочетание которых иявляется собственно настоящей матрицей планирования, ни и их парные и тройныевзаимодействия, знание которых необходимо лишь на этапе обработкиэкспериментальных данных.

Таблица 2 Матрица планирования ПФЭ типа N=23 и обработка его результатов

номер
строки

g

Порядок реализации опытов Матрица планирования эксперимента Результаты эксперимента

Первичная
обра ботка
результатов

Проверка
адекватности

l

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

Yg1

...

Ygl

...

Ygm

/>g

S2g

/>g

(/>g-/>g)2

k1 ... kl ...

km

x0 x1 x2 x3

x1x2

x1x3

x2x3

x1x2x3

1 1 ... 6 ... 8 + - - - + + + -     2 7 ... 5 ... 4 + + - - - - + +   3 3 ... 7 ... 6 + - + - - + - +     4 8 ... 2 ... 7 + + + - + - - -   5 6 ... 3 ... 2 + - - + + - - + 6 4 ... 4 ... 1 + + - + - + - - 7 2 ... 1 ... 5 + - + + - - + - 8 5 ... 8 ... 3 + + + + + + + +

Для удобства расчетов и представления формул каждый столбецможет быть представлен в виде новой переменной Zig. Тогда оценки коэффициентов уравнениярегрессии легко найти по формуле

/>

(11)

         Легко заметить, что матрица планирования/>являетсяортогональной с линейно независимыми вектор-столбцами; отсюда следуетдиагональность матрицы нормальной системы уравнений, а следовательно, ивзаимная независимость оценок коэффициентов уравнения регрессии.

         Необходимо отметить, что получаемая модель не даетчленов типа x2ii и, таким образом, являетсянеполной. В большинстве случаев это не отражается на качестве модели, так какчаще всего bii=0.Однако в случаях, когда bii¹0, модель становится неточной(неадекватной), тогда следует от ПФЭ переходить к другим принципам планирования(как правило, это случается в окрестностях частного или глобального экстремумацелевой функции).

         После определения оценок коэффициентов регрессиинеобходимо проверить гипотезу о значимости коэффициентов bi. Лучше всего это сделать в виденуль-гипотезы, т.е. гипотезы о равенстве bi = 0. Если она подтвердилась, токоэффициент biследует признать статистически незначимым и отбросить из искомой модели; еслигипотеза не подтвердилась, то соответствующий коэффициент bi следует признать значимым и включить вмодель.

          Проверка гипотезы проводится с помощью t — критерияСтъюдента, который при проверка нуль-гипотезы формируется в виде

/>

(12)

где S2{bi}- дисперсия ошибкиопределения коэффициента bi.При полном и дробном факторном планировании для всех i

/>

(13)

Если вычисленная величина параметра ti превышает табличное значение tкр, найденное дляq%-ного уровня значимости и vз=N(m-1)числа степеней свободы (например для q = 5%; vз = 16; tкр =2,199, см.табл.П.2) то нуль-гипотеза отвергается и коэффициент считаетсянезначимым и его следует отбросить, не включая в искомую модель.

Статистическая незначимость коэффициента biможет быть обусловлена следующими причинами:

уровень базового режима />* близок к точке частного экстремума по переменной Xi или по произведению переменных; шаг варьирования DXi выбран малым; данная переменная (или произведение переменных) не имеет функциональной связи с выходным параметром Y; велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных.

         Поскольку ортогональное планирование позволяетопределять доверительные границы для каждого из коэффициентов регрессии вотдельности, то, если какой-либо из коэффициентов окажется незначимым, он можетбыть отброшен без пересчета всех остальных. После этого математическая модельобъекта составляется в виде уравнения связи выходного параметра Y и переменныхxi, включающеготолько значимые коэффициенты.

        Чтобы проверить гипотезу об адекватности представлениярезультатов эксперимента найденному уравнению связи (иными словами, чтобыпроверить, насколько найденное уравнение соответствует экспериментальнымрезультатам), достаточно оценить отклонение выходной величины Yg, предсказанноеуравнением регрессии, от результатов экспериментов />g в точках />факторного пространства.

        Рассеяние результатов эксперимента вблизи уравнениясвязи, аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можноохарактеризовать с помощью дисперсии неадекватности s2ад, оценка которой S2ад находится по формуле

/>

(14)

с числом степеней свободы vад= N-d, где d — число членов аппроксимирующего полинома.

Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения междудисперсией неадекватности s2ад и дисперсией воспроизводимости s2{Y}. Если s2ад не превышает дисперсии опыта, тополученная математическая модель адекватно представляет результатыэксперимента, если же s2ад>s2{Y}, то описание считается неадекватнымобъекту.

Проверка гипотезы об адекватности проводится с использованием F-критерияФишера.

Критерий Фишера позволяет проверить нуль-гипотезу о равенстведвух генеральных дисперсий s2ад и s2{Y}. В связи с тем,что самих генеральных дисперсий мы не знаем, F-критерий формируется какотношение

/>

(15)

Если вычисленное по формуле (15) значение критерия F меньшетабличного Fкр,найденного для q%-ного уровня значимости, vчисл = vад = v4 = N-d числа степеней свободы числителяи vзн = vз = N(m-1) числастепеней свободы знаменателя, то нуль-гипотеза принимается. В противном случаеона отвергается и описание (модель) признается неадекватным объекту. Некоторыезначения Fкр(q=5%;v4;vз) приведены в табл.П.4

         В ходе работы может возникнуть ситуация, когдавыборочная дисперсия неадекватности S2адне превосходит оценки дисперсии воспроизводимости S2{Y} (т.е. когда S2ад£S2{Y}). Тогдасоотношение (15) будет равно F£1и неравенство F<Fкр выполняется для любого числа степенейсвободы v4 и v3, т.е. гипотеза s2ад£s2{Y} не противоречит выборочным данным иматематическая модель адекватно представляет объект.

Проверка адекватности возможна только при vад = v4 > 0. Число вариантов варьированияплана ПФЭ равно числу оцениваемых коэффициентов регрессии уравнения связи (N =d). Следовательно, не остается степеней свободы (vад = 0) для проверки нуль-гипотезы обадекватности представления экспериментальных данных выбранной формойаппроксимирующего полинома. Если же некоторые коэффициенты регрессии оказалисьнезначимыми или ими можно пренебречь в силу их малости, то число членовпроверяемого уравнения в этом случае будет меньше числа вариантов варьирования(d<N), и одна или несколько степеней свободы (vад>0) останется для проверки гипотезыадекватности.

Если гипотеза адекватности отвергается, то модель признаетсянеадекватной экспериментальным данным. Неадекватность модели не означаетее неправильности! Неадекватность модели может означать, что не весьперечень влияющих факторов был принят во внимание, или что необходимо перейти кболее сложной форме уравнения связи, или выбрать другой шаг варьирования поодному или нескольким факторам и т.п. Однако все достижения неадекватноймодели: отсев незначимых факторов, оценка дисперсии эксперимента и др. остаютсяв силе.

Пример 1. Методом ПФЭ найти математическую модель процесса напылениярезисторов.

После консультации с экспертами и некоторых предварительныхисследований было определено, что на величину сопротивления напыляемыхрезисторов могут оказывать влияние следующие факторы:

Состояние испарителя — «чистое», т.е. порошок для напыления сыпется в стакан испарителя впервые после промывки его сторон, или «грязное», т.е. порошок сыпется в испаритель, в котором осталось некоторое его количество от предыдущего цикла напыления; обозначим этот фактор как x1, причем величина x1 = +1соответствует «чистому», а величина x1 = -1 соответствует «грязному» состоянию испарителя; Температура подогрева подложки x2, причем x2 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а x2 = -1 — нижней; Температура испарителя x3, причем x3 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а х3 = -1 — нижней.

План эксперимента, его пятикратнаяреализация с учетом рандомизации и первичная обработка результатов представленав таблице.

номер
строки

g

Циклы z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

Результаты, кOм Обработка Адекватность

 

/>g

S2g

/>g

(/>g-/>g)2

/> k1 k2 k3 k4 k5 x0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3

x2x3

x1x2x3

Yg1

Yg2

Yg3

Yg4

Yg5

 

1 4 2 3 6 8 + - - - + + + - 11,4 10,5 13,8 14,0 12,1 12,36 2,303 12,10 0,0676 /> 2 3 3 6 2 5 + + - - - - + + 18,1 17,4 15,2 16,8 19,2 17,34 2,228 17,08 0,0676

 

3 8 6 2 4 1 + - + - - + - + 10,8 9,3 11,6 12,1 9,8 10,72 1,387 10,98 0,0676

 

4 6 1 7 1 6 + + + - + - - - 18,8 29,6 22,0 22,8 20,7 21,38 2,752 21,64 0,0676

 

5 5 8 1 3 4 + - - + + - - + 12,9 12,8 13,6 15,2 14,0 13,70 0,950 13,98 0,0784

 

6 2 5 5 7 2 + + - + - + - - 12,0 11,6 14,2 13,4 12,5 12,74 1,118 13,00 0,0676

 

7 1 7 4 8 7 + - + + - - + - 15,1 14,8 16,8 18,1 17,0 16,36 1,913 16,10 0,0676

 

8 7 4 8 5 3 + + + + + + + + 13,5 11,9 14,3 17,0 16,2 14,58 4,227 14,32 0,0676

 

å 119,18 16,878 - 0,5410

 

При первичнойобработке результатов экспериментов пользуемся формулами (4) и (5), а затемпроверяем воспроизводимость опытов по (7)

/>

Таким образом, подтверждена воспроизводимость опытов(отсутствие в данных грубых промахов), что позволяет, в свою очередь, найтисреднюю дисперсию строчных выборок (дисперсию опытов) по (8)

/>

C v3 = 8·(5-1) = 32 степенями свободы

Оценки коэффициентов уравнения регрессии ищутся по формуле (11)

/>

/>

/>

и т.д. Аналогичнонаходим b3 = -0,55; b12 = +0,61; b13 = -2,30; b23 = +0,26; b123 = -0,81

Проверяемзначимость оценок коэффициентов по критерию Стьюдента по формуле (12),предварительно найдя дисперсию оценок по формуле (13)

/>

;

/>

Тогда

/>

;

/>

;

/>

/> /> /> /> /> /> /> /> далее аналогично t12 = 2,602 ; t13 = 9,812 ; t23 = 1,109 ; t123 = 3,455

Табличное значение критерия ti (табл.П.2) tкр(5%;v3=32) = 2,046, поэтому все найденныеоценки коэффициентов, кроме b23,признаются значимыми и должны войти в модель

/>= 14,90 + 1,61x1 + 0,86x2 -0,55x3 + 0,61x1x2 -2,30x1x3 — 0,81x1x2x3

Для определения дисперсии адекватности поформуле (14) необходимо сначала найти числовые значения модели />gдля каждой g-ой строки матрицы планирования, а затем подсчитать сумму квадратовразностей между модельным значением и средним арифметическим />gтой же строки

/>

Тогда критерий Фишера (15) дает

/>

что доказывает адекватностьнайденной модели. Ее можно использовать для управления технологическимпроцессом испытания резисторов

2. Дробный факторный эксперимент

           Полный факторный эксперимент целесообразноиспользовать при сравнительно небольшом числе независимых факторов (обычно небольше 5), в противном случае число вариантов варьирования N = 2n становится непомернобольшим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинствепрактических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то ивторого), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне многостепеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранеепренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получитьматематическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, атолько его часть (дробную реплику).

          Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику)полного факторного эксперимента, называется дробным факторнымэкспериментом (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить приближение искомойфункциональной зависимости Y = f(X1,...,Xn)в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.

Так, для решения трехфакторной задачи можно ограничитьсячетырьмя вариантами (N = 4), если в планировании ПФЭ типа 22 произведение x1x2 приравнять к третьей независимойпеременной x3.Такое планирование, представленное матрицей табл 3, позволяет оценить свободныйчлен b0 и трикоэффициента регрессии при линейных членах b1,b2,b3 (из четырех опытов нельзя получитьболее четырех коэффициентов).

Таблица 3 Полуреплика от ПФЭ типа 23 (планирование типа 23-1)

g

z

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

x

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2x3

x1x2x3

1

+ - - + + - - +

2

+ + - - - - + +

3

+ - + - - + - +

4

+ + + + + + + +

       Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е.совместной оценкой нескольких коэффициентов уравнения связи. В нашем примере,если коэффициенты регрессии bijпри парных произведениях отличны от нуля, то каждый из найденных коэффициентовбудет оценкой двух теоретических коэффициентов:

b0 ®b0 + b123; b2 ® b2 + b13 ;

b1 ®b1 + b23; b3 ® b3 + b12 .

Действительно, указанные коэффициенты в таком планировании немогут быть найдены раздельно, поскольку столбцы матрицы для линейных членов ипарных произведений совпадают (полностью скоррелированы). Рассмотренный планДФЭ представляет половину плана ДФЭ типа 23 и называется «полурепликой»от ПФЭ типа 23или планированием типа N = 23-1.

При большом числе переменных можно построить дробные репликивысокой степени дробности (1/4, 1/8, 1/16 и т.д.). Дробная реплика обозначаетсячерез 2n-p, еслиp переменных приравнены к соответствующим произведениям переменных.

Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать всеполученные ранее сведения об объекте теоретического и интуитивного характера ивыделить из них те переменные и произведения переменных, влияние которых напроцесс минимально. При этом смешивание нужно производить так, чтобы основныеоценки b0,b1,...,bn были смешаны свзаимодействиями, о которых заранее известно, что они не оказывают влияния наобъект. Следовательно, произвольное разбиение матрицы планирования 23 на две частивыделения полуреплики типа 23-1недопустимо.

       Генерирующее соотношение служит для построения дробной реплики. Так, врассмотренном планировании 23-1 мы задавали полуреплику типа 23с помощью генерирующего соотношения x3 = x1x2.

        Определяющим контрастом (ОК)называется соотношение, задающее элемент первого столбца матрицы планированиядля фиктивной переменной (все они равны 1). Выражение ОК в нашем примереполучается умножением левой и правой частей приведенного генерирующегосоотношения на его левую часть x3

1 = x1x2x3,

так как всегда x2ig= 1.

        Знание ОК позволяет определить всю систему совместныхоценок не изучая матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки,можно найти, последовательно перемножив независимые переменные на ОК

x1 = x2x3; x2 = x1x3; x3 = x1x2.

Отсюда легко находим смешиваемые теоретические коэффициентырегрессии и их оценки

b1 ®b1 + b23; b2 ® b2 + b13; b3® b3 + b12 .

Разрешающая способность дробных реплик определяетсягенерирующими соотношениями. Она тем выше, чем выше порядок взаимодействий, скоторыми смешаны линейные коэффициенты, и увеличивается с ростом числанезависимых переменных.

         Для четверти реплики в пятифакторном планировании типа25-2 могут быть заданы, например генерирующее соотношение

x4 =x1x2x3; x5 = x1x2

заранее полагая, что b123 = b12 = 0, т.е. что пара x1x2 и тройка x1x2x3 не дает значимого эффектавзаимодействия. Определяющими контрастами для этой четверть-реплики согласновышеприведенным правилам будут соотношения

1 =x1x2x3x4; 1 = x1x2x5.

Если у дробной реплики имеются два и более определяющихконтраста, их необходимо перемножить между собой, используя все возможныекомбинации. В случае четвертьреплики получается одна комбинация

1 = x3x4x5

          Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов,полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степенидробности

1 = x1x2x3x4 = x1x2x5 = x3x4x5.

Совместные оценки здесь будут определяться соответствиями

x0 = x1x2x3x4 = x1x2x5 = x3x4x5 ;
x1 = x2x3x4 = x2x5 = x1x3x4x5;
x2 = x1x3x4 = x1x5 = x2x3x4x5 ;
x3 = x1x2x4 = x1x2x3x5 =x4x5 ;
x4 = x1x2x3 = x1x2x4x5 =x3x5 ;
x5 = x1x2x3x4x5 = x1x2 = x3x4 ;
x1x3 = x2x4 = x2x3x5 = x1x4x5 ;
x2x3 = x1x4 = x1x3x5 =x2x4x5 ;

Эти соотношения позволяют установить, оценкой какихтеоретических коэффициентов является тот или иной коэффициент регрессии,полученный при обработке результатов эксперимента

b0 = b0 + b1234 + b125 + b345 ;
b1 = b1 + b234 + b25 + b1345 ;
b2 = b2 + b134 + b15 + b2345 ;
b3 = b3 + b124 + b1235 + b45 ;
b4 = b4 + b123 + b1245 + b35 ;
b5 = b5 + b12345 + b12 + b34 ;
b13 = b13 + b24 + b235 + b145 ;
b23 = b23 + b14 + b135 + b245;

Разрешающая способность этой четверти репликиневысокая, так как все линейные коэффициенты смешаны с парнымивзаимодействиями. Матрица планирования такой четверти реплики представлена втабл.4.

Следует иметь в виду, что ДФЭ всегда можнодополнить до ПФЭ, реализовав недостающие дробные реплики.

Вся дальнейшая работа по реализации матрицыпланирования ДФЭ, проверке воспроизводимости полученных результатов,определению оценок коэффициентов регрессии и их значимости, проверкеадекватности полученной математической модели не отличается от соответствующихпроцедур в ПФЭ.

Таблица 4

Четверть реплики от ПФЭ типа 25 (планирование типа 25-2)

g

z

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

z8

z9

z10

z11

z12

z13

z14

z15

z16

z17

z18

z19

z20

z21

z22

z23

Z24

z25

z26

z27

z28

z29

z30

z31

x

x1

x2

x3

x4

x5

x1x2

x1x3

x1x4

x1x5

x2x3

x2x4

x2x5

x3x4

x3x5

x4x5

x1x2x3

x1x2x4

x1x2x5

x1x3x4

x1x3x5

x1x4x5

x2x3x4

x2x3x5

x2x4x5

x3x4x5

x1x2x3x4

x1x2x3x5

x1x2x4x5

x1x3x4x5

x2x3x4x5

x1x2x3x4x5

1

+ - - - - + + + + - + + - + - - - - + - + + - + + + + - - - - +

2

+ + - - + - - - + - + - + - + - + - + - + - + - + + + - + + - -

3

+ - + - + - - + - + - + - - + - + - + + - + - + - + + - + - + -

4

+ + + - - + + - - + - - + + - - - - + + - - + - - + + - - + + +

5

+ - - + + + + - - - - - - + + + + + + - - - - - - + + + + - - +

6

+ + - + - - - + - - - + + - - + - + + - - + + + - + + + - + - -

7

+ - + + - - - - + + + - - - - + - + + + + - - - + + + + - - + -

8

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Пример2. Методом ДФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов.

          Воспользуемся результатами Примера 1 и положим вкачестве генерирующего соотношения равениство x1 = x2x3 (т.к. b23 = 0). Тогда матрица планирования ирезультаты эксперимента (опуская промежуточные данные) будут выглядеть так

g x0 x1 x2 x3

/>

S2g

/>

(/>-/>)2

1 + + - - 17,34 2,228 17,41 0,0049 2 + - + - 10,72 1,387 10,77 0,0025 3 + - - + 13,70 0,950 13,65 0,0025 4 + + + + 14,58 4,227 14,53 0,0025

Проверим воспроизводимость опытов

/>

откуда следует, что результаты опытов получены правильно,дисперсия строчных выборок равна S2{y} = 8,792 / 4 = 2,198 с числом степеней свободы v3 = 4·4 = 16.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии

/>

;

/>

аналогично b2= -1,44; b3 =0,05.

Проверка значимости полученных оценок начинается с определенияих СКО

/>

откуда

/>

;

/>

;

/>

Табличные значения критерия tкр(5%;16) = 2,131, следовательно, модельнайдена в виде

/>= 14,09 + 1,88x1 — 1,44x2.

Проверка адекватности модели дает

/>

, откуда

/>

,

т.е. модель признается адекватной экспериментальным данным.

           Сравнение моделей примера 1 и примера 2 показывает,что они имеют совершенно разный вид, а по некоторым факторам — противоположныепо смыслу оценки коэффициентов. Отсюда можно сделать несколько общих выводов ирекомендаций (без подробного обоснования), пригодных для использования в рамкахтеории планирования экспериментов:

по одним и тем же экспериментальным данным можно построить несколько математических моделей, каждая из которых будет адекватна для своего набора оценок коэффициентов регрессии; из всех моделей наилучшей признается та, у которой меньше членов и меньше критерий Фишера (или, если угодно, меньше дисперсия адекватности); при большом числе факторов работу по математическому моделированию следует начинать с ДФЭ возможно большей дробности. Если модель получилась неадекватной, ее всегда можно достроить до следующей реплики вплоть до ПФЭ. Это сэкономит количество опытов, время, затраты и т.п.

Заключение.

         Применение описанных выше методов математическогомоделирования полностью оправдало себя в условиях с небольшим числом факторов.Но при очень большом числе факторов и привлечение их к составлениюматематического описания исследуемого объекта методами ПФЭ или ДФЭ можетпотребовать увеличения объема экспериментальной работы, что редко можетвыполняться из-за экономических, технологических и прочих ограничений. Такимобразом, возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных ивыделении тех факторов процесса, которые оказывают наиболее заметное влияние нацелевую функцию. Другим существенным затруднением для применения ПФЭ или ДФЭ впроизводственных условиях является метод получения оценок коэффициентоврегрессии. Оценки вида (11) считаются оптимальными в смысле эффективности(минимума дисперсии), поскольку их вычисление базируется на методе наименьшихквадратов, однако предварительным условием такой оптимальности являютсятребования независимости факторов, ортогональности и симметричности планаэксперимента, а также требование равенства дисперсий условных распределенийплотности вероятности f(y/xk).В свою очередь симметричность плана требует равного количества наблюдений,соответствующих положительным и отрицательным значениям k-го фактора.

           На практике в производственных условиях требованиясимметричности плана и равенства дисперсий условных распределений плотностивероятности f(y/xk)эксперимента, как правило, нарушаются, особенно в случаях, когда исследовательпытается построить модель по результатам, зафиксированными для случайнойсистемы комбинаций производственных факторов. При этом всегда имеется выбор:либо нарушить одно из требований факторного анализа, либо потерять частьинформации, пытаясь выбрать из нее только то, что согласуется с правиламиведения ПФЭ (ДФЭ).