Реферат: Анализ производственных функций
<div v:shape="_x0000_s1041">
<img src="/cache/referats/3744/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">Курсовая работа :
“Анализ производственных функций”
Группа:ДИ 302
Студент:Шеломанов Р.Б.
Руководитель:Зуев Г.М
Москва 1999
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">Содержание
TOC t «Стиль1;2; Стиль2;1»
Теоретическая часть PAGEREF _Toc469656205h 3
Мультипликативная производственная функция PAGEREF _Toc469656206h 3
Линейная производственная функция PAGEREF _Toc469656207h 10
Производственная функция затраты-выпуск PAGEREF _Toc469656208h 10
Практическая часть PAGEREF _Toc469656209h 10
Задача PAGEREF _Toc469656210h 10
Решение PAGEREF _Toc469656211h 10
Заключение PAGEREF _Toc469656212h 11
Литература PAGEREF _Toc469656213h 12
Теоретическая часть
Мультипликативная производственнаяфункция
Производственная функция (ПФ) выражаетзависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики(точнее, еепроизводственнойподсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», навход которого поступают ресурсы R1,..., Rn, а на выходе получается результат в видегодовых объемов производства различных видов продукции Х1, ..., Хm .
В качестве ресурсов (факторовпроизводства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд вформе производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата — валовой выпуск Х (либо валовойвнутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаяхрезультат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальныйдоход.
Остановимся несколько подробнее наобосновании состава фактора К.Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственныхи непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава Kопределяется целью исследования, атакже характером развития производственной и непроизводственной сфер визучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладываетсяпримерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфераоказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основаниемнапрямую учитывать в ПФ только производственные фонды.
Но производственные фонды состоят изосновных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этимисоставными частями производственных фондов примерно постоянное в течение всегоизучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основныепроизводственные фонды.
Если изучаемый период достаточнопродолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составныхчастей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместедо какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.
Таким образом, экономика замещаетсясвоей моделью в форме нелинейной ПФ
Х= F(K, L),
т.е. выпуск(продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).
Теперь рассмотрим экономическую интерпретацию основныххарактеристик ПФ на примере мультипликативной функции (в частности, функцииКобба—Дугласа), некоторые другие ПФ, используемые в экономике, разберем вконце работы.
Производственнаяфункция Х= F(K, L) называется неоклассической,если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимсяестественной экономической интерпретации:
1) F(0, L) = F(K, 0) = 0
— при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;
2) <img src="/cache/referats/3744/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><img src="/cache/referats/3744/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">
-<span Times New Roman"">
сростом ресурсов выпуск растет;3) <img src="/cache/referats/3744/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> <img src="/cache/referats/3744/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">
— с увеличениемресурсов скорость роста выпуска замедляется;
4) f(+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥
, L) = F(K, +<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥) = +<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥<img src="/cache/referats/3744/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> — при неограниченном увеличении одного из ресурсоввыпуск неограниченно растет.
МультипликативнаяПФ задается выражением
a1>0a2>0
где А — коэффициент нейтральноготехнического прогресса; а1,a2-коэффициенты эластичности по труду и фондам .
Таким образом, ПФобладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного изресурсов производство невозможно. Частным случаем этой функции служит функцияКобба-Дугласа
<img src="/cache/referats/3744/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> Где a1=a, a2=1-a
Мультипликативная ПФ определяется повременному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t=1, ..., Т, где T — длина временного ряда, при этомпредполагается, что имеет место Т соотношений
<img src="/cache/referats/3744/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">
где <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">d
t — корректировочный случайныйкоэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск иотражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, М<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">dt = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:In Хt=In A +atIn Kt+ a2InLt+ <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">e
t, где<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">et= In <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">dt, М<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">et=0,получаем модель линейноймножественной регрессии. Параметры функции А,a1, a2 могут бытьопределены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пакетовприкладных программ, содержащих метод множественной регрессии (например, STATGRAF или SAS для персональных ЭВМ).
В качествепримера приведем мультипликативную функцию валового выпуска РоссийскойФедерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов(млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в сопоставимых ценах для этогопериода):
X=0,931K0,539L0,594
Мультипликативнаяфункция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростомзатрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е.
<img src="/cache/referats/3744/image019.gif" v:shapes="_x0000_s1034 _x0000_s1035">
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight: normal;mso-bidi-font-weight:bold">Так как
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language: EN-US;font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold">Так как a2>0
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight:normal; mso-bidi-font-weight:bold">Частныепроизводные выпуска по факторам называютсяпредельными продуктами илипредельными (маржинальными) эффективностямифакторови представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:
<img src="/cache/referats/3744/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1033">предельный продукт фондов, предельнаяфондоотдача (предельная эффективностьфондов);
<img src="/cache/referats/3744/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1034">предельный продукт труда, предельнаяпроизводительность (предельная эффективность труда).
Для мультипликативной функции указанной выше вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна среднейфондоотдаче — <img src="/cache/referats/3744/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> с коэффициентом a1 , а предельнаяпроизводительность труда — средней производительности труда <img src="/cache/referats/3744/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> — с коэффициентом а2:
<img src="/cache/referats/3744/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> <img src="/cache/referats/3744/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
Изчего вытекает, что при а1 < 1, a2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних;при этих же условиях мультипликативная функции обладает свойством 3, котороеочень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса егопредельная отдача падает, т.е.
<img src="/cache/referats/3744/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> так как а1<1
<img src="/cache/referats/3744/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> так как а2<1
Из<img src="/cache/referats/3744/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> также видно, что мультипликативная функцияобладает свойством 4, т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсоввыпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0< а1 < 1, 0<а2 < 1 является неоклассической.
Перейдем теперь кэкономической интерпретации параметров А,а1, а2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального техническогопрогресса: при тех же а1, а2 выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а1, а2 необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмическихпроизводных факторов:
<img src="/cache/referats/3744/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1042">
<img src="/cache/referats/3744/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1043">
Поскольку в нашем случае InХ = InА+ a1lnК + a1lnL, то
<img src="/cache/referats/3744/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> <img src="/cache/referats/3744/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
т.е. а1 — эластичность выпуска по основным фондам, а a2 — эластичностьвыпуска по труду.
Из
<img src="/cache/referats/3744/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1046">
<img src="/cache/referats/3744/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
видно,что коэффициент эластичности фактора показывает, насколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на1%. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594
при увеличении основных фондов (ОФ)на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% — на0,594%.
Если а1 >a2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, впротивном случае — фондосберегающчй(экстенсивный) рост.
Рассмотрим темп роста выпуска
<img src="/cache/referats/3744/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1048">
Если возвести обе части уравненияв степень <img src="/cache/referats/3744/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1049">
<img src="/cache/referats/3744/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1050"><img src="/cache/referats/3744/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1051">
в котором справа —взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом вкачестве весов выступают относительные эластичности факторов
<img src="/cache/referats/3744/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> <img src="/cache/referats/3744/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1053">
Приа1+ а2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растутфакторы, а при а1+ а2 < 1 — медленнее. В самом деле,если факторы растут (т.е. Kt+1>Kt,Lt+1>Lt) тосогласно <img src="/cache/referats/3744/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> растет и выпуск(т.е. Xt+1>Xt),следовательно, при а1+ а2> 1
<img src="/cache/referats/3744/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1055">
т.е. действительно, темп роста выпуска большесреднего темпа роста факторов. Таким образом, при а1+ а2> 1 ПФ описывает растущую экономику.
Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х0=const. Длямультипликативной ПФ изокванта имеет вид:
<img src="/cache/referats/3744/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> или <img src="/cache/referats/3744/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1057">
т.е. является степенной гиперболой, асимптотамикоторой служат оси координат.
Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X0, что эквивалентноутверждению о взаимозаменяемости ресурсов.
Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0= const, то
<img src="/cache/referats/3744/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1058">
В этом соотношении <img src="/cache/referats/3744/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/3744/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> поэтому dK и dL имеют разные знаки: еслиdL<0 что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е выбывший вобъеме <img src="/cache/referats/3744/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> труд замещаетсяфондами в объеме dK.
Поэтомуестественно следующее определение, вытекающее из <img src="/cache/referats/3744/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
Предельнойнормой замены SK труда фондаминазывается отношение модулей дифференциалов ОФ и труда:
<img src="/cache/referats/3744/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1063">
соответственно, предельная норма замены SL фондовтрудом
<img src="/cache/referats/3744/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> при этом Sk SL=1
Для мультипликативной функции нормазамещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:
<img src="/cache/referats/3744/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> , <img src="/cache/referats/3744/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1066">
что совершенноестественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшейфондовооруженностью.
Изоклиналями называются линиинаибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е.изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом
grad <img src="/cache/referats/3744/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> , то уравнениеизоклинали записывается вформе<img src="/cache/referats/3744/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1068">
<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal;font-style:normal">Вчастности, для мультипликативной ПФполучаем, <img src="/cache/referats/3744/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1069">
<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal;font-style:normal">поэтомуизоклиналь задается дифференциальным уравнением,
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial; font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold"><img src="/cache/referats/3744/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1070">
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family: Arial;font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold">, которое имеет решение<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight:normal; mso-bidi-font-weight:bold"><img src="/cache/referats/3744/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> <img src="/cache/referats/3744/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1072">
где (L0; К0) — координаты точки, через которую проходитизоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а= 0 представляет собой прямую
<img src="/cache/referats/3744/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1073">
На рис. 1изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ.
При изучении факторов ростаэкономики выделяют экстенсивные факторыроста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштабапроизводства) и <img src="/cache/referats/3744/image093.jpg" v:shapes="_x0000_i1074">
рис.1
интенсивныефакторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов).
Возникает вопрос: как с помощью ПФвыразить масштаб и эффективностьпроизводства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затратывыражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримойстоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда досих пор не решена удовлетворительнымобразом.Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.Вотносительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:
<img src="/cache/referats/3744/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1075">
те X0, K0L0 — значения выпуска изатрат фондов и труда в базовый год.
Безразмерная форма, указанная выше, легко приводится к первоначальному виду
<img src="/cache/referats/3744/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1076">
Таким образом, коэффициент <img src="/cache/referats/3744/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1077">
получает естественную интерпретацию — это коэффициент,который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы вотносительных (безразмерных) единицах измерения черезx,k, l, то ПФ в форме
<img src="/cache/referats/3744/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1078">
запишется так:
<img src="/cache/referats/3744/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1079">
Найдем теперьэффективность экономики, представленной ПФ. Напомним, что эффективность — этоотношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затратыпрошлого труда ввиде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются двачастных показателя эффективности:<img src="/cache/referats/3744/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> -фондоотдача, <img src="/cache/referats/3744/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> - производитель труда.
Поскольку частныепоказатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны),то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативнойформе, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическоезначение.
Итак, обобщенныйпоказатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическоечастных показателей экономической эффективности:
<img src="/cache/referats/3744/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1082">
в котором роль весов выполняютотносительные эластичности
<img src="/cache/referats/3744/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> <img src="/cache/referats/3744/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> т.е. частныеэффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими жеприоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы.
Из <img src="/cache/referats/3744/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1085">
k=Eka l1-a
в соотношении счем Е- не постоянный коэффициент, а функция от (К, L).
Поскольку масштабпроизводства М проявляется в объемезатраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены прирасчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размериспользованных ресурсов (т.е. масштаб производства)
M=kal1-a
Врезультате получаем, что выпуск Хесть произведение экономической эффективности и масштаба производства:
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight:normal; mso-bidi-font-weight:bold">Х=ЕМ.
Линейная производственная функция
X=F(K,L)=EKK+ELL
Где EK иEL частныеэффективности ресурсов.
EK =<img src="/cache/referats/3744/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> -фондоотдача, EL=<img src="/cache/referats/3744/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> - производитель труда.
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковуюразмерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние изних.
Эластичности замены труда фондами длялинейной ПФ = <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¥
эта величина показывает, на сколькопроцентов надо изменить фондовооруженность, чтобы добиться изменения нормызамены на 1%.
Производственная функция затраты-выпуск
X=F(K,L)=<img src="/cache/referats/3744/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1088">
Где:
<img src="/cache/referats/3744/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1089">
<img src="/cache/referats/3744/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1090">
Коэффициентыэластичности представленные в виде логарифмических производных факторов показывают, насколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%.Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594
при увеличении основных фондов (ОФ)на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% — на0,594%.
Практическая часть
Задача
Дана производственная функция валовоговнутреннего продукта США по данным 1960-1995 гг.
X=2,248K0,404L0,803
Валовой внутренний продукт США,измеренный в млрд. дол. в ценах 1987 г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основныепроизводственные фонды за этот же период увеличились в 2,88 раза, число занятых — в 1,93 раза.
Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства.
Решение
Из условия x= 2,82 k=2,88 l=1,93;
('начала находим относительныеэластичности по фондам и труду
<img src="/cache/referats/3744/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1091">
Затем определяем частные эффективностиресурсов
<img src="/cache/referats/3744/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1092">
<img src="/cache/referats/3744/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1093">
после чего находим обобщенный показательэффективности как среднее геометрическое частных:
<img src="/cache/referats/3744/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1094">
Масштаб устанавливаем как среднеегеометрическое темпов роста ресурсов
<img src="/cache/referats/3744/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1095">
Таким образом,общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштабапроизводства в 2,207 раза и за счет повышении эффективности производства в1,278 раза (2,82 = 1,273 * 2,207).
Заключение
Выше достаточно подробнобыла изучена мультипликативная ПФ F(K,L)<img src="/cache/referats/3744/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1096">. Вчастности, был выяснен экономический смысл ее параметров, показано, что при 0<а1<1,i= 1,2… эта функция –неоклассическая, построены изокванты и изоклинали этойфункции, найдены нормы замены ресурсов… Рассмотрены и другие производственныефункции.
<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Литература
В.А.Колемаев «Математическая экономика»
Г.М. Зуев Ж.В.Самохвалова «Экономико-математические методы и модели. Межотраслевой анализ»