Реферат: Анализ производственных функций

<div v:shape="_x0000_s1041">

<img src="/cache/referats/3744/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">

Курсовая  работа :

“Анализ производственных функций”

Группа:ДИ 302

Студент:Шеломанов Р.Б.

Руководитель:Зуев Г.М

Москва 1999

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Содержание

 TOC t «Стиль1;2; Стиль2;1»

Теоретическая часть                                                         PAGEREF _Toc469656205h 3

Мультипликативная производственная функция                                                    PAGEREF _Toc469656206h 3

Линейная производственная функция                                                                      PAGEREF _Toc469656207h 10

Производственная функция затраты-выпуск                                                          PAGEREF _Toc469656208h 10

Практическая часть                                                          PAGEREF _Toc469656209h 10

Задача                                                                                                                                 PAGEREF _Toc469656210h 10

Решение                                                                                                                              PAGEREF _Toc469656211h 10

Заключение                                                                             PAGEREF _Toc469656212h 11

Литература                                                                               PAGEREF _Toc469656213h 12


Теоретическая часть

Мультипликативная производственнаяфункция

Производственная функция (ПФ) выражаетзависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики(точнее, еепроизводственнойподсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рас­сматривается как «черный ящик», навход которого поступают ресурсы R1,..., Rn, а на выходе получается результат в видегодовых объемов производства различных видов продукции Х1, ..., Хm .

В качестве ресурсов (факторовпроизводства) на макроуровне наи­более часто рассматриваются накопленный труд вформе производст­венных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата — валовой выпуск Х (либо валовойвнутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаяхрезультат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой вы­пуск, и ВВП, и национальныйдоход.

Остановимся несколько подробнее наобосновании состава факто­ра К.Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборот­ных, производственныхи непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава Kопределяется целью исследования, атакже характером развития производственной и непроизводственной сфер визучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладываетсяпримерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизвод­ственная сфераоказывает на производство примерно одинаковое вли­яние, это служит основаниемнапрямую учитывать в ПФ только произ­водственные фонды.

Но производственные фонды состоят изосновных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этимисоставны­ми частями производственных фондов примерно постоянное в течение всегоизучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основныепроизводственные фонды.

Если изучаемый период достаточнопродолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составныхчастей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместедо какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.

Таким образом, экономика замещаетсясвоей моделью в форме нелинейной ПФ

Х= F(K, L),

т.е. выпуск(продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).

Теперь рассмотрим  экономическую интерпретацию основныххарактерис­тик ПФ на примере мультипликативной функции (в частности, функ­цииКобба—Дугласа), некоторые дру­гие ПФ, используемые в экономике, разберем вконце работы.

Производственнаяфункция  Х= F(K, L) называется неоклассичес­кой,если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимсяестественной экономической интерпретации:

1) F(0, L) = F(K, 0) = 0

— при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

2) <img src="/cache/referats/3744/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><img src="/cache/referats/3744/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

-<span Times New Roman"">         

сростом ресурсов выпуск растет;

3) <img src="/cache/referats/3744/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> <img src="/cache/referats/3744/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

— с увеличениемресурсов скорость роста выпуска замедляется;

4) f(+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥

, L) = F(K, +<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥) = +<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥

<img src="/cache/referats/3744/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> — при неограниченном увеличении одного из ресурсоввыпуск неогра­ниченно растет.

МультипликативнаяПФ задается выражением

 a1>0a2>0

где А — коэффициент нейтральноготехнического прогресса; а1,a2-коэффициенты эластичности по труду и фондам .

Таким образом, ПФобладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного изресурсов производство не­возможно. Частным случаем этой функции служит функцияКобба-Дугласа

<img src="/cache/referats/3744/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">  Где  a1=a, a2=1-a

Мультипликативная ПФ определяется повременному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t=1, ..., Т, где T — длина временного ряда, при этомпредполагается, что имеет место Т соотношений

<img src="/cache/referats/3744/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

где <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">d

t — корректировочный случайныйкоэффициент, который приво­дит в соответствие фактический и расчетный выпуск иотражает флюк­туацию результата под воздействием других факторов, М<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">dt = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:

In Хt=In A +atIn Kt+ a2InLt+ <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">e

t, где<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">et= In <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">dt, М<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">et=0,

получаем модель линейноймножественной регрессии. Параметры функ­ции А,a1, a2 могут бытьопределены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пакетовприкладных программ, содержащих метод множественной регрессии (например, STATGRAF или SAS для пер­сональных ЭВМ).

В качествепримера приведем мультипликативную функцию валово­го выпуска РоссийскойФедерации (млрд. руб.) в зависимости от стои­мости основных производственных фондов(млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за1960-1994 гг. (все стои­мостные показатели даны в сопоставимых ценах для этогопериода):

X=0,931K0,539L0,594

Мультипликативнаяфункция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростомзатрат ресурсов выпуск увели­чивается, т.е.

<img src="/cache/referats/3744/image019.gif" v:shapes="_x0000_s1034 _x0000_s1035">
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight: normal;mso-bidi-font-weight:bold">Так как

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US; font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold">a1<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight: normal;mso-bidi-font-weight:bold"> <span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language:EN-US; font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold">>0

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;mso-ansi-language: EN-US;font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold">Так как  a2>0

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight:normal; mso-bidi-font-weight:bold">

Частныепроизводные выпуска по факторам называютсяпредель­ными продуктами илипредельными (маржинальными) эффективностямифакторови представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:

<img src="/cache/referats/3744/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1033">предельный продукт фондов, предельнаяфондоотдача (предельная  эффективностьфондов);

<img src="/cache/referats/3744/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1034">предельный продукт труда, предельнаяпроизводительность (предельная эффективность труда).

Для мультипликативной функции указанной выше  вытекает, что предельная  фондоотдача пропорциональна среднейфондоотдаче — <img src="/cache/referats/3744/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> с коэффициентом a1 , а предельнаяпроизводительность труда — средней производительности труда <img src="/cache/referats/3744/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> — с коэффициентом а2:

<img src="/cache/referats/3744/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1037">  <img src="/cache/referats/3744/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

Изчего вытекает, что при а1 < 1, a2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних;при этих же условиях мультипликативная функ­ции обладает свойством 3, котороеочень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса егопредельная отдача падает, т.е.

<img src="/cache/referats/3744/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> так как а1<1

<img src="/cache/referats/3744/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> так как а2<1

Из<img src="/cache/referats/3744/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1041">  также видно, что мультипликативная функцияобладает свойством 4, т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсоввыпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функ­ция при 0< а1 < 1, 0<а2 < 1 является неоклассической.

Перейдем теперь кэкономической интерпретации параметров А,а1, а2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется   как параметр нейтрального техническогопрогресса: при тех же а1, а2  выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а1, а2  необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмическихпроизводных факторов:

<img src="/cache/referats/3744/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

<img src="/cache/referats/3744/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Поскольку в нашем случае InХ = InА+ a1lnК + a1lnL, то

 

<img src="/cache/referats/3744/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> <img src="/cache/referats/3744/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

 

т.е. а1 — эластичность выпуска по основным фондам, а a2 — эластич­ностьвыпуска по труду.

Из 

<img src="/cache/referats/3744/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

<img src="/cache/referats/3744/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

видно,что коэффициент эластичности фактора показы­вает, насколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на1%. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594

при увеличении основных фон­дов (ОФ)на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе­нии занятых на 1% — на0,594%.

Если а1 >a2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, впротивном случае — фондосберегающчй(экстенсивный) рост.

Рассмотрим темп роста выпуска

<img src="/cache/referats/3744/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

Если возвести обе части уравненияв степень <img src="/cache/referats/3744/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

<img src="/cache/referats/3744/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1050"><img src="/cache/referats/3744/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

в котором справа —взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом вкачестве весов выступают относительные эластичности факторов

<img src="/cache/referats/3744/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1052">  <img src="/cache/referats/3744/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

Приа1+ а2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растутфакторы, а при а1+ а2 < 1 — медленнее. В самом деле,если факторы растут (т.е. Kt+1>Kt,Lt+1>Lt)  тосогласно <img src="/cache/referats/3744/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> растет и выпуск(т.е. Xt+1>Xt),следовательно, при а1+ а2> 1

<img src="/cache/referats/3744/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

т.е.   действительно, темп роста выпуска большесреднего темпа роста факторов. Таким образом, при а1+ а2> 1 ПФ описывает растущую экономику.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х0=const. Длямультипликативной  ПФ изокванта имеет вид:

<img src="/cache/referats/3744/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> или <img src="/cache/referats/3744/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1057">

т.е.  является степенной гиперболой, асимптотамикоторой служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен  одному и тому же значению X0, что эквивалентноутверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0= const, то

<img src="/cache/referats/3744/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1058">

В этом соотношении  <img src="/cache/referats/3744/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/3744/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> поэтому dK и dL имеют разные знаки: еслиdL<0  что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е выбывший вобъеме <img src="/cache/referats/3744/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> труд замещаетсяфондами в объеме dK.

Поэтомуестественно следующее определение, вытекающее из <img src="/cache/referats/3744/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1062">

Предельнойнормой замены SK труда фондаминазывается отно­шение модулей дифференциалов ОФ и труда:

<img src="/cache/referats/3744/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

соответственно, предельная норма замены SL фондовтрудом

<img src="/cache/referats/3744/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> при этом Sk SL=1

Для мультипликативной функции нормазамещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:

<img src="/cache/referats/3744/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> , <img src="/cache/referats/3744/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> 

что совершенноестественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшейфондовооруженностью.

Изоклиналями называются линиинаибольшего роста ПФ. Изокли­нали ортогональны линиям нулевого роста, т.е.изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом

grad <img src="/cache/referats/3744/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1067">  , то уравнениеизоклинали записывается вформе<img src="/cache/referats/3744/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1068">

<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal;font-style:normal">Вчастности, для мультипликативной      ПФполучаем, <img src="/cache/referats/3744/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1069">

<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal;font-style:normal">поэтомуизоклиналь задается дифференциальным уравнением,

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial; font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold"><img src="/cache/referats/3744/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family: Arial;font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold">, которое имеет решение

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight:normal; mso-bidi-font-weight:bold"><img src="/cache/referats/3744/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1071">   <img src="/cache/referats/3744/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

где (L0; К0) — координаты точки, через которую проходитизоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а= 0 представляет собой прямую

<img src="/cache/referats/3744/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

На рис. 1изображены изокванты и изоклинали мультипликатив­ной ПФ.

При изучении факторов ростаэкономики выделяют экстенсивные факторыроста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштабапроизводства) и <img src="/cache/referats/3744/image093.jpg" v:shapes="_x0000_i1074">

рис.1

интенсивныефакторы роста (за счет повы­шения эффективности использования ресурсов).

Возникает вопрос: как с помощью ПФвыразить масштаб и эффек­тивностьпроизводства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затратывыражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримойстоимостной форме. Однако проблема соизмерения на­стоящего и прошлого труда досих пор не решена удовлетворительнымобразом.Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безраз­мерным) показателям.Вотносительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

<img src="/cache/referats/3744/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1075">

те X0, K0L0 — значения выпуска изатрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма, указанная выше, легко приводится к первоначальному виду

<img src="/cache/referats/3744/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

Таким образом, коэффициент <img src="/cache/referats/3744/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

получает естественную интер­претацию — это коэффициент,который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы вотносительных (безразмер­ных) единицах измерения черезx,k, l, то ПФ в форме

<img src="/cache/referats/3744/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1078">

запи­шется так:

<img src="/cache/referats/3744/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1079">

Найдем теперьэффективность экономики, представленной ПФ. Напомним, что эффективность — этоотношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затратыпрошлого труда ввиде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются двачастных  показателя эффективности:<img src="/cache/referats/3744/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> -фондоотдача, <img src="/cache/referats/3744/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> -  производитель труда.

Поскольку частныепоказатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны),то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативнойформе, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометриче­скоезначение.

Итак, обобщенныйпоказатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическоечастных показателей экономичес­кой эффективности:

<img src="/cache/referats/3744/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

в котором роль весов выполняютотносительные эластичности

<img src="/cache/referats/3744/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1083">  <img src="/cache/referats/3744/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> т.е. частныеэффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими жеприоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы.

Из  <img src="/cache/referats/3744/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1085">

k=Eka l1-a

в соотношении счем  Е- не постоянный коэффициент, а функ­ция от (К, L).

Поскольку масштабпроизводства М проявляется в объемезатрачен­ных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены прирасчете обобщенного показателя экономической эффективности, сред­ний размериспользованных ресурсов (т.е. масштаб производства)

M=kal1-a

Врезультате получаем, что выпуск Хесть произведение экономической эффективности и масштаба производства:

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Arial;font-weight:normal; mso-bidi-font-weight:bold">Х=ЕМ.                    

Линейная производственная функция

X=F(K,L)=EKK+ELL

Где  EK  иEL частныеэффективности ресурсов.

EK =<img src="/cache/referats/3744/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> -фондоотдача, EL=<img src="/cache/referats/3744/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> -  производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковуюразмерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние изних.

Эластичности замены труда фондами длялинейной ПФ = <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¥

эта величина показывает, на сколькопроцентов надо изменить фондо­вооруженность, чтобы добиться изменения нормызамены на 1%.

Производственная функция затраты-выпуск

X=F(K,L)=<img src="/cache/referats/3744/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1088">

Где:

<img src="/cache/referats/3744/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1089">

<img src="/cache/referats/3744/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1090">

Коэффициентыэластичности представленные в виде логарифмических производных факторов показывают, насколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%.Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594

при увеличении основных фон­дов (ОФ)на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе­нии занятых на 1% — на0,594%.

Практическая часть

 Задача 

Дана производственная функция валовоговнутреннего продукта США по данным 1960-1995 гг.

X=2,248K0,404L0,803

Валовой внутренний продукт США,измеренный в млрд. дол. в ценах 1987 г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основныепроизводственные фонды за этот же период увеличились в 2,88 раза,  число занятых — в 1,93 раза.

Необходимо рассчитать  масштаб и эффективность производства.

Решение

Из условия x= 2,82 k=2,88 l=1,93;

('начала находим относительныеэластичности по фондам и труду

<img src="/cache/referats/3744/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

Затем определяем частные эффективностиресурсов

<img src="/cache/referats/3744/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

<img src="/cache/referats/3744/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

после  чего находим обобщенный показательэффективности как среднее геометрическое частных:

<img src="/cache/referats/3744/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

Масштаб устанавливаем как среднеегеометрическое темпов роста  ресурсов

<img src="/cache/referats/3744/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

Таким образом,общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштабапроизводства в 2,207 раза и за счет повыше­нии эффективности производства в1,278 раза (2,82 = 1,273 * 2,207).

Заключение

Выше  достаточно подробнобыла изучена  мультипликативная ПФ  F(K,L)<img src="/cache/referats/3744/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1096">. Вчастности, был выяснен экономический смысл ее параметров, показано, что при 0<а1<1,i= 1,2… эта функция –неоклассическая, построены изокванты и изоклинали этойфункции, найдены нормы замены ресурсов… Рассмотрены и другие производственныефункции.

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Литература

В.А.Колемаев  «Математическая экономика»

Г.М. Зуев Ж.В.Самохвалова «Экономико-математические методы и модели. Межотраслевой анализ»

еще рефераты
Еще работы по микроэкономике, экономике предприятия, предпринимательству