Реферат: Шпаргалки по ВЫШКЕ

1

Основы фифференциального исчисления. Понятиепроизводной.

<img src="/cache/referats/4840/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">D

X=X1-X– приращение аргумента.

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">D

f(X)=f(X+<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">DX)-f(X) – приращение функции. Пример:

Определение:Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. кприращению аргум., когда последнее стремится к 0.

Геометрический смыслпроизводной. <img src="/cache/referats/4840/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

<img src="/cache/referats/4840/image006.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">

Ку.к. – угловой коэф.касательной.

Ксек – угловой коэф. секущей.<img src="/cache/referats/4840/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Таким образом угловойкоэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке.

Уравнение касательной кграфику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид: <img src="/cache/referats/4840/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

Физический смыслпроизводной.

S(t) – путь за данное время.

<img src="/cache/referats/4840/image012.jpg" v:shapes="_x0000_i1030">

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">D

S(t) – приращение пути.

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">D

S(t)/ <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">Dt–средняя скорость на участке.

мгновен. скорость на участке:<img src="/cache/referats/4840/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

произв. пути от скорости: S'(t)=U(t)

Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

Функция наз. диферинцируемойесли она имеет производную.

Если функция диффер. в точкех, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство: <img src="/cache/referats/4840/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

2

Правила дифференцирования

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. вточке х, то: <img src="/cache/referats/4840/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Доказательство 2-го правила. <img src="/cache/referats/4840/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">Теорема о произв. сложнойфункции.

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существуетy’(x)=f(u(x))u’(x).

Доказательство:

<img src="/cache/referats/4840/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

Рассмотрим f(x) в задан.промеж.: [a,b].

g(y): [f(a),f(b)] – наз.обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">"

X<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î[a,b]

f(g(y))=y, для любого у <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î

[f(a),f(b)]

y=sin x [-<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">p

/2, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">p/2], тогда

<img src="/cache/referats/4840/image024.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026">x=arcsin y, y<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î

[1,1]

sin arcsin y = y;

<img src="/cache/referats/4840/image026.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027">arcsin * sin x=x

Теорема о произв. обратнойфункции.

<img src="/cache/referats/4840/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

Таблица производных:

<img src="/cache/referats/4840/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

3

Таблица производных:

<img src="/cache/referats/4840/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1042">Доказательство:

<img src="/cache/referats/4840/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

<img src="/cache/referats/4840/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1044"><img src="/cache/referats/4840/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

<img src="/cache/referats/4840/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

Дифференциал функции.

Определение:Если Х независимая переменная, то дифференциал функцииf(x) наз. f’(x)<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">D

x=uобозначают df(x).

<img src="/cache/referats/4840/image041.jpg" v:shapes="_x0000_i1047">

<img src="/cache/referats/4840/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.

df(x)=f’(x)dx

Доказательство:

1).

<img src="/cache/referats/4840/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

2). <img src="/cache/referats/4840/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

4

Производная высших порядков.

Определение:Производная второго порядка называется производнаяпроизводной данной функции:

<img src="/cache/referats/4840/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

Определение: Производная n-гопорядка называется производной производной n-1-го порядка.

<img src="/cache/referats/4840/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

Пример:

<img src="/cache/referats/4840/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

Используя метод математическойиндукции несложно показать, что:

1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.:

<img src="/cache/referats/4840/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

2). <img src="/cache/referats/4840/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

3). <img src="/cache/referats/4840/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

4). <img src="/cache/referats/4840/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1057">

5). <img src="/cache/referats/4840/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1058">

6). <img src="/cache/referats/4840/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

Дифференцирование функций заданных параметрически.

<img src="/cache/referats/4840/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

Пример 1:

<img src="/cache/referats/4840/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1061">возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3

Пример2:

<img src="/cache/referats/4840/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1062">

5

Основные теоремы матим. анализа.

1. Теорема Ферма.

Если f(x) дифф. в точке x0и принимает в хтой точкенаибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f’(x)=0.

Доказательство:

<img src="/cache/referats/4840/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

пусть f(x0) – наибольшая.

<img src="/cache/referats/4840/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/4840/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1065"><img src="/cache/referats/4840/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

<img src="/cache/referats/4840/image081.jpg" v:shapes="_x0000_i1067">

2.Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна назаданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b)  f(a)=f(b) то существуетт. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

<img src="/cache/referats/4840/image083.jpg" v:shapes="_x0000_i1068">

3. Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¹

0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

<img src="/cache/referats/4840/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1069">

g(b)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¹

g(a) (неравны потеореме Ролля).

<img src="/cache/referats/4840/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1070">1). F(x) – непрерывнана [a,b]

2). F(x) – дефференцированна на (a,b)

3). F(a)=0; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. с<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î

(a,b); F’(с)=0

<img src="/cache/referats/4840/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1071"><img src="/cache/referats/4840/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/4840/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

<img src="/cache/referats/4840/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1074">

4.Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на[a,b] идефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¹

0.

<img src="/cache/referats/4840/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1075">

<img src="/cache/referats/4840/image099.jpg" v:shapes="_x0000_i1076">

6

Правила Лопиталя.

Раскрытие неопределенности.

Теорема: Если функция f(x), g(x) дефференцирована в окресности т. а, причем f(a)=g(a)=0 и существуетпредел

<img src="/cache/referats/4840/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

Доказательство:

<img src="/cache/referats/4840/image103.jpg" v:shapes="_x0000_i1078">

Формула Тейлора.

Определение:многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0назыв.

<img src="/cache/referats/4840/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1079">

<img src="/cache/referats/4840/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1080">Пример: <img src="/cache/referats/4840/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1081">

Определение:остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:

<img src="/cache/referats/4840/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

Теорема: Если функция F(x) (n+1) – дефферен.в окресности точки x0, то для любого xиз этой окресн.сущ. т. с(x0, x)

<img src="/cache/referats/4840/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1083">

<img src="/cache/referats/4840/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1084">

Правила дифференцирования.

<img src="/cache/referats/4840/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1085">

Производные степенных итригонометрических функций.

Основные формулы: <img src="/cache/referats/4840/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1086">

Производная сложнойфункции.

<img src="/cache/referats/4840/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1087">

Производные показательных илогарифмических функций.

Основные формулы:

<img src="/cache/referats/4840/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1088">

Если z=z(x) –дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

<img src="/cache/referats/4840/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1089">

Производные обратныхтригонометрических функций.

Основные формулы: <img src="/cache/referats/4840/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1090">

Для сложных функций:

<img src="/cache/referats/4840/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

<img src="/cache/referats/4840/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

7

Аналитические признаки поведения функции.

Теорема: Критерий постоянства фун.

Функция f(x)=constна промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).

Док-во: f(x)=c=> f’(x)=c’=0 возьмем <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">"

x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); c<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого  x=> f(x)=const.

Теорема: Достаточный признак возрастания функции.  Если  f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].

Док-во:

возьмем x1, x2 <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î

[a,b]: x1<x2=> f(x2)>f(x1)

применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]

по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0  => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являютсянеобходимыми.

Теорема: достаточный признак убывания функции.Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].

Док-во 1: подобнопредыдущему.

Док-во 2: g(x)=-f(x), тогда g’(x)=-f’(x)>0

=> g(x) — возрастает => f(x) – убывает.

Несложно показать, что еслифункция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).

f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Ê

0 (a,b).

Признаки экстремума функций.

Опред: точка x0называетсяточкой max(min) еслисуществ. такая окрестность данной точки, что в x0фун. принимает наибольшее(наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкойэкстремума, если эта точка maxили minданной функции.

<img src="/cache/referats/4840/image133.jpg" v:shapes="_x0000_i1093">

Теорема: Необходимый признак экстремума функции.

Если х0точка экстремумаf(x), то :

1). Либо не существует f’(x0)

2). Либо f’(x0)=0

Док-во:

1). Не сущест. f’(x0)

2). Сущест. f’(x0) — по т. Ферма f’(x0)=0

<img src="/cache/referats/4840/image135.jpg" v:shapes="_x0000_i1094">

Замечание:данные условия не являются достаточными.

<img src="/cache/referats/4840/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

<img src="/cache/referats/4840/image139.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028"><img src="/cache/referats/4840/image141.jpg" v:shapes="_x0000_i1098">

8

Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывныхфункций на замкнутом промежутке.

<img src="/cache/referats/4840/image143.jpg" v:shapes="_x0000_i1099">

<img src="/cache/referats/4840/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1100">

Теорема: Первый достаточный признак экстремума функции.

Если f’(x)>0 на интервале (x0-б, х0) и f’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса наминус при переходе на точку х0, т.е. х0– точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0– точкаминимума.

Доказательство:

<img src="/cache/referats/4840/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1101">Теорема:Второй достаточный признак максимума функции.

Если  f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестноститочки х0, и:

1). f’(x0)=0  2). f’’(x0)<0

то х0 точка максимума(аналогично, если f’’(x0)<0, то х0– точкаминимума)

Док-во:Возьмем окрестность,где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядкадля х из данной окрестности.

<img src="/cache/referats/4840/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1102">

Выпуклость графика функции.

Опр. График функции y=f(x) называетсявыпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательнойпроведенной к графику функции на данном интервале.

<img src="/cache/referats/4840/image151.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1029"><img src="/cache/referats/4840/image153.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030">

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз.

Если функция f(x) дваждыдефференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции  y=f(x) выпуклый внизна интервале (a,b).

<img src="/cache/referats/4840/image155.jpg" v:shapes="_x0000_i1107">

<img src="/cache/referats/4840/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1108">:

<img src="/cache/referats/4840/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1109">

Возьмем X=x.Из первоговычтем второе

<img src="/cache/referats/4840/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1110">

Поэтому y>Yследовательнографик функции расположен выше касательной

Аналогично, если f’’(x)<0 на (a,b) то графикфункции y=f(x) — выпуклый вверх, на данном интервале.

Асимптоты.

Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если придвижении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремитсяк бесконечности.

<img src="/cache/referats/4840/image163.jpg" v:shapes="_x0000_i1111">

Опр.Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графикафункции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояниедо данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1:x=a(вертикальная прямая) – является асимптотой длябесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">µ, при x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">®a.

Теорема 2:Критерийсуществования наклонной асимптоты прямая y=kx+bявляетсяасимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существуетпредел при :

<img src="/cache/referats/4840/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1112">

Док-во:Точка M0(x0,y0) и прямая

L: Ax+By+Cz=0, то расстояние

<img src="/cache/referats/4840/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1113">

<img src="/cache/referats/4840/image169.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031">Пусть y=kx+b

асимптота =>

d(M,l)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">®

0=>

kx-f(x)+b<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®

0

тогда f(x)-kx<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">®

b

при x<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®

+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">µ

<img src="/cache/referats/4840/image171.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1032">существует предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Теорема: Необходимый признак существования наклоннойасимптоты.Если прямая l: y=kx+b–

<img src="/cache/referats/4840/image173.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1033">наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то:

Док-во:

<img src="/cache/referats/4840/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1120">Пример:

<img src="/cache/referats/4840/image177.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034"> x=1 – верт. Асимптота, т.к.

f(x)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">µ, когда x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">®1

<img src="/cache/referats/4840/image179.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1035"><img src="/cache/referats/4840/image181.gif" v:shapes="_x0000_i1125">Вывод: y=0<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">×

y+1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви.

Примерная схема исследования графика функции.

1).Область определения.

2).Четность (нечетность),переодичность, точки пересечения и др.

3). Непрерывность, точкиразрыва, вертикальные асимптоты.

4). Исследование на убывание(возвр.) в точках экстремума.

5). Исследование навыпуклость.

<img src="/cache/referats/4840/image183.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036">6). Построение графика функции.

Пример:

1). (-<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥

,+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥)

2).не периодическая.

<img src="/cache/referats/4840/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1128">

нечетная, если фун. неизменила знак, значит фун. нечетная  y=0<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Wingdings;mso-no-proof:yes">ó

x=0

3). непрерывная (-<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥

,+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¥)

4).

<img src="/cache/referats/4840/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1129"><img src="/cache/referats/4840/image189.jpg" v:shapes="_x0000_i1130">

5).

<img src="/cache/referats/4840/image191.gif" v:shapes="_x0000_i1131"><img src="/cache/referats/4840/image193.jpg" v:shapes="_x0000_i1132">

<img src="/cache/referats/4840/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1133">

6).

<img src="/cache/referats/4840/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1134">

y=0<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">×

x+0;y=0 – наклонная асимптота.
еще рефераты
Еще работы по математике