Реферат: Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.

<m:mathPr> <m:mathFont m:val=«Cambria Math»/> <m:brkBin m:val=«before»/> <m:brkBinSub m:val="--"/> <m:smallFrac m:val=«off»/> <m:dispDef/> <m:lMargin m:val=«0»/> <m:rMargin m:val=«0»/> <m:defJc m:val=«centerGroup»/> <m:wrapIndent m:val=«1440»/> <m:intLim m:val=«subSup»/> <m:naryLim m:val=«undOvr»/> </m:mathPr>

Особые точки и особые решения

дифференциальных уравнений первого порядка.

Выполнил:

Курсант 315 учебнойгруппы Кривоногов А.Н.

Проверил:

Старший преподавателькафедры математики Доброва В.Л.

Содержание:

1.Теорема существования и единственности решения……………………………………….3

2.Графическое представление теоремы о существованииединственности решений……...4

3.Особые точки дифференциальных уравнений первогопорядка…………………………..5

4.Особые решения дифференциальных уравнений первогопорядка……………………….7

5.Примеры………………………………………………………………………………………,7

6.Задачи для решения…………………………………………………………………………..10

7.Ответы…………………………………………………………………………………………11

8.Список литературы……………….…………………………………………………………..12

Теорема существованияи единственности решения

Уравнение

<img src="/cache/referats/26435/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> или <img src="/cache/referats/26435/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> (*)

Где <img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/26435/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/26435/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><img src="/cache/referats/26435/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><img src="/cache/referats/26435/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> понимать какую-либоодну первообразную. Тогда любое решение уравнения (*) запишите в виде

Гораздо чащеприходится иметь дело с уравнениямиболее сложного вида.

<img src="/cache/referats/26435/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> <img src="/cache/referats/26435/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> <img src="/cache/referats/26435/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> и

Заменяя <img src="/cache/referats/26435/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> через <img src="/cache/referats/26435/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> уравнения можно переписатьв дифференциальной форме:

Так какпроизводную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнениеможет содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции инезависимой переменной.

Дифференциальныеуравнения первого порядка в общем виде:

<img src="/cache/referats/26435/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> (1)

Простевшиепримеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесчисленноемножество решений. Мы наблюдали это уже на примере уравнения (*). Простойпроверкой легко убедиться также, что уравнение <img src="/cache/referats/26435/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> имеет решениямифункции <img src="/cache/referats/26435/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><img src="/cache/referats/26435/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> — функции <img src="/cache/referats/26435/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1047"><img src="/cache/referats/26435/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> — любое число.

Как мы видим,в решения приведенных дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная<img src="/cache/referats/26435/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

Придаваяпроизвольной постоянной <img src="/cache/referats/26435/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> определенные числовыезначения, мы будем получать частныерешения.

Выше мывидели, что уравнение <img src="/cache/referats/26435/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> имеет обще решение <img src="/cache/referats/26435/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1052"><img src="/cache/referats/26435/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1053"><img src="/cache/referats/26435/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> и <img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/26435/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1056"><img src="/cache/referats/26435/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/26435/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> удовлетворяет какдифференциальному уравнению, так и начальному условию.

Вопрос о том,в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциальногоуравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а также чтооно будет единственным, выясняется теоремой.

Теорема существования и единственностирешения. Если функция <img src="/cache/referats/26435/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> непрерывна в области,содержащей точку <img src="/cache/referats/26435/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1060"><img src="/cache/referats/26435/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> имеет решение <img src="/cache/referats/26435/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> такое, что <img src="/cache/referats/26435/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

Если, кроме того, непрерывна и частная производная<img src="/cache/referats/26435/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1064">

Интересноотметить, что в условии теоремы не требуется существования производной <img src="/cache/referats/26435/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

Теорема эта впервые была сформировано идоказана Коши. Поэтому часто задачу отыскания частного решения по начальнымусловиям называют задачей Коши.

Графическоепредставление теорема существования и единственности решения.

SHAPE * MERGEFORMAT

(рис. 1) (рис. 2)

График любогочастного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Так как мы ужепроверили, что уравнение <img src="/cache/referats/26435/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> имеет общее решение <img src="/cache/referats/26435/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/26435/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> имеет общее решение <img src="/cache/referats/26435/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1070"><img src="/cache/referats/26435/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1071">

Заданиеначального условия <img src="/cache/referats/26435/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/26435/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1073"><img src="/cache/referats/26435/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> геометрическиозначает, что из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходитчерез точку <img src="/cache/referats/26435/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> <img src="/cache/referats/26435/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> и <img src="/cache/referats/26435/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1077"> непрерывны, проходитодна единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условиянарушены, то это означает, что через эту точу либо вообще не проходит ни однаинтегральная кривая, либо проходит несколько. Возьмем, например, уравнение <img src="/cache/referats/26435/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> видно,что через начало координат проходит бесчисленное множество его интегральных кривых. Этопротиворечит теореме, так как в точке (0,0) условия теоремы существованиянарушены: правая часть уравнения становится неопределенной.

Точки, вкоторых условия теоремы существования и единственности решения нарушаются,называются особыми точками.

Особые точки дифференциальных уравненийпервого порядка.

Прежде всегоусловимся переменные <img src="/cache/referats/26435/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> и <img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> считатьразнонаправленными; это значит, что с равным основанием можно рассматривать <img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> как функцию от <img src="/cache/referats/26435/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> или <img src="/cache/referats/26435/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1084"><img src="/cache/referats/26435/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> часть разрывна при <img src="/cache/referats/26435/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1086"><img src="/cache/referats/26435/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> функцией, а <img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> — независимойпеременной и переписывать уравнение в виде <img src="/cache/referats/26435/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/26435/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> Интегральной кривойявляется парабола, касающаяся оси ординат в начале координат. Таким образом,через точку (0,0) проходит одна интегральная кривая, и нам нет смысла считатьэту точку особой. То же самое можно сказать. То же самое можно сказать и олюбой другой точке оси абсцисс.

Поэтомув дальнейшем будем считать особой только такую точку <img src="/cache/referats/26435/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> , в которой разрывныеправые части обоих уравнений

Именно такой случай имеет место для уравнений

<img src="/cache/referats/26435/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> и <img src="/cache/referats/26435/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1095"> (2)

в начале координат. Функции в правых частях не имеют пределаx и y к нулю.

Приведем несколько примеров использования уравнений типа (2).

Примеры.

1) <img src="/cache/referats/26435/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1096"><img src="/cache/referats/26435/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1097"><img src="/cache/referats/26435/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><img src="/cache/referats/26435/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1099"><img src="/cache/referats/26435/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> и <img src="/cache/referats/26435/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> (рис. 2) такая особая точканазывается узлом.

2)<img src="/cache/referats/26435/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1102"><img src="/cache/referats/26435/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1103">y=0 и x=0 (рис. 3) такая особая точка называется седлом.

Аналогичная картина будет для

решений<img src="/cache/referats/26435/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1104"> и <img src="/cache/referats/26435/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> при <img src="/cache/referats/26435/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1106">

3) <img src="/cache/referats/26435/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1107"><img src="/cache/referats/26435/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1108">

<img src="/cache/referats/26435/image123.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1059">
интегральные кривые – окружности с центром в начале координат (рис. 4). В этомслучае особая точка называется центром; через нее не проходит ни однаинтегральная кривая.

4) <img src="/cache/referats/26435/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> Замена <img src="/cache/referats/26435/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> приводит после

<img src="/cache/referats/26435/image129.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1061"> сразделенными переменными <img src="/cache/referats/26435/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1111"><img src="/cache/referats/26435/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1112"><img src="/cache/referats/26435/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> или <img src="/cache/referats/26435/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1114">

<img src="/cache/referats/26435/image138.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1060"> В системе полярных координат <img src="/cache/referats/26435/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> <img src="/cache/referats/26435/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> уравнение имеет гораздо простойвид

Это семейство логарифмических спиралей (рис. 5). Особая точка такого типа называетсяфокусом.

Можно доказать, на чем мы неостанавливаемся, что для уравнения (*) начало координат при любых значенияхкоэффициентов(если только <img src="/cache/referats/26435/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1118">

(рис. 5)

Особые решения дифференциальныхуравнений первого порядка

Задача Коши для уравнения (*) ставитсяследующим образом: задана точка <img src="/cache/referats/26435/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1119"><img src="/cache/referats/26435/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1120">начальным условиям

Достаточные условия существования иединственности задачи Коши дает

Теорема существования и единственности решения

Особым решениемуравнения (*) на множестве I называется его решение<img src="/cache/referats/26435/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1123"><img src="/cache/referats/26435/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> через точку его графика<img src="/cache/referats/26435/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1125">

Длясуществования особого решения необходимо, чтобы в области Gнарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши, т.е. длянепрерывно дифференцируемой функции <img src="/cache/referats/26435/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> необходимо

<img src="/cache/referats/26435/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> (3)

Множествоточек <img src="/cache/referats/26435/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1128"><img src="/cache/referats/26435/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> называется p-дискриминантным множеством уравнения (*).

График особогорешения уравнения (1) лежит в p-дискриминантноммножестве.

Однако p-дискриминантное множество не всегда задает особое решение:

а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой,

б) p-дискриминантное множество не обязано определять решениеуравнения (*).

Длянахождения особых решений требуется:

1. найтирешение (*);

2. найти p-дискриминантное множество, исключив параметр p из системы <img src="/cache/referats/26435/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1130">

3. отобрать теиз решений уравнения (1), которые лежат в p-дискриминантноммножестве;

4. дляотобранных решений проверить выполнение определения особого решения, т.е.проверить выполнение при <img src="/cache/referats/26435/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> условий касания <img src="/cache/referats/26435/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1132"><img src="/cache/referats/26435/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1133"> — семейство решений(*), не совпадающих с <img src="/cache/referats/26435/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1134">

Примеры решения задач.

Пример 1. Решить уравнение,найти особые решения, начертить интегральные кривые <img src="/cache/referats/26435/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1135">

1. Вводим параметр <img src="/cache/referats/26435/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1136"><img src="/cache/referats/26435/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1137">

<img src="/cache/referats/26435/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> (4)

Взяв полный дифференциал от обеихчастей последнего равенства и заменив <img src="/cache/referats/26435/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> через <img src="/cache/referats/26435/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1140"><img src="/cache/referats/26435/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1141"><img src="/cache/referats/26435/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1142"><img src="/cache/referats/26435/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1143">

Возможны два случая:

1) <img src="/cache/referats/26435/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1144"><img src="/cache/referats/26435/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1145"><img src="/cache/referats/26435/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1146"><img src="/cache/referats/26435/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1147">

2) <img src="/cache/referats/26435/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><img src="/cache/referats/26435/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1149"><img src="/cache/referats/26435/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1150"><img src="/cache/referats/26435/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> в (4), определяем y: <img src="/cache/referats/26435/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1152"><img src="/cache/referats/26435/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1153"><img src="/cache/referats/26435/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1154">

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений

Из второго уравнения системы <img src="/cache/referats/26435/image221.gif" v:shapes="_x0000_i1157"> следует, что <img src="/cache/referats/26435/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1158"><img src="/cache/referats/26435/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1159">

Так как <img src="/cache/referats/26435/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> — решение, то этокандидат в особые решения.

Рис. 6

3. Докажем, что это решениеособое (проверяем касание):

<img src="/cache/referats/26435/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1162"> <img src="/cache/referats/26435/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1163"> следовательно, при <img src="/cache/referats/26435/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1164"> в тождество обращаетсявторое уравнение и первое уравнение: <img src="/cache/referats/26435/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1165">

Через точку <img src="/cache/referats/26435/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1166"> проходит решение <img src="/cache/referats/26435/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1167"> при <img src="/cache/referats/26435/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1168"><img src="/cache/referats/26435/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> в этой точке и несовпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при <img src="/cache/referats/26435/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1170">

Интегральныекривые представлены на рис. 6, где особое решение отмечено жирной линией.

Пример 2. Решить уравнение, найтиособые решения, начертить интегральные кривые <img src="/cache/referats/26435/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1171"> (5)

1. Вводим параметр <img src="/cache/referats/26435/image245.gif" v:shapes="_x0000_i1172"><img src="/cache/referats/26435/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1173">

Взяв полныйдифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив <img src="/cache/referats/26435/image251.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> через <img src="/cache/referats/26435/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1176"><img src="/cache/referats/26435/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1177"><img src="/cache/referats/26435/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1178"><img src="/cache/referats/26435/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1179">

Возможны два случая:

1) <img src="/cache/referats/26435/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1180"><img src="/cache/referats/26435/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1181"><img src="/cache/referats/26435/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1182">

2) <img src="/cache/referats/26435/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1183"><img src="/cache/referats/26435/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1184"><img src="/cache/referats/26435/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1185"><img src="/cache/referats/26435/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/26435/image274.gif" v:shapes="_x0000_i1187"> в (5), определяем x: <img src="/cache/referats/26435/image276.gif" v:shapes="_x0000_i1188"><img src="/cache/referats/26435/image278.gif" v:shapes="_x0000_i1189"><img src="/cache/referats/26435/image280.gif" v:shapes="_x0000_i1190"><img src="/cache/referats/26435/image282.gif" v:shapes="_x0000_i1191">

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений

<img src="/cache/referats/26435/image286.gif" v:shapes="_x0000_i1193"> Извторого уравнения системы <img src="/cache/referats/26435/image288.gif" v:shapes="_x0000_i1194"> следует, что <img src="/cache/referats/26435/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1195"><img src="/cache/referats/26435/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1196">

Так как <img src="/cache/referats/26435/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1197"> — решение, то этокандидат в особые решения.

Рис.7

SHAPE * MERGEFORMAT

<img src="/cache/referats/26435/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1199"> <img src="/cache/referats/26435/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1200"> следовательно, при <img src="/cache/referats/26435/image299.gif" v:shapes="_x0000_i1201"> в тождество обращаетсявторое уравнение и первое уравнение: <img src="/cache/referats/26435/image301.gif" v:shapes="_x0000_i1202">

Через точку <img src="/cache/referats/26435/image303.gif" v:shapes="_x0000_i1203"> проходит решение <img src="/cache/referats/26435/image282.gif" v:shapes="_x0000_i1204"> при <img src="/cache/referats/26435/image299.gif" v:shapes="_x0000_i1205"><img src="/cache/referats/26435/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1206"> в этой точке и несовпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при <img src="/cache/referats/26435/image308.gif" v:shapes="_x0000_i1207">

Интегральныекривые представлены на рис. 7, где особое решение отмечено жирной линией.

Задачи для решения

Решить уравнения, найти особыерешения, начертить интегральные кривые:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Ответы:

1.

<img src="/cache/referats/26435/image348.gif" v:shapes="_x0000_i1228"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image350.gif" v:shapes="_x0000_i1229">

2.

<img src="/cache/referats/26435/image352.gif" v:shapes="_x0000_i1230"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image354.gif" v:shapes="_x0000_i1231">

3.

<img src="/cache/referats/26435/image356.gif" v:shapes="_x0000_i1232"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image358.gif" v:shapes="_x0000_i1233">

4.

<img src="/cache/referats/26435/image360.gif" v:shapes="_x0000_i1234"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image362.gif" v:shapes="_x0000_i1235">

5.

<img src="/cache/referats/26435/image364.gif" v:shapes="_x0000_i1236"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image366.gif" v:shapes="_x0000_i1237">

6.

<img src="/cache/referats/26435/image368.gif" v:shapes="_x0000_i1238"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image370.gif" v:shapes="_x0000_i1239">

7.

<img src="/cache/referats/26435/image372.gif" v:shapes="_x0000_i1240"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image374.gif" v:shapes="_x0000_i1241">

8.

<img src="/cache/referats/26435/image376.gif" v:shapes="_x0000_i1242"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image378.gif" v:shapes="_x0000_i1243">

9.

<img src="/cache/referats/26435/image380.gif" v:shapes="_x0000_i1244"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image382.gif" v:shapes="_x0000_i1245">

10.

<img src="/cache/referats/26435/image384.gif" v:shapes="_x0000_i1246"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image386.gif" v:shapes="_x0000_i1247">

11.

<img src="/cache/referats/26435/image384.gif" v:shapes="_x0000_i1248"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image389.gif" v:shapes="_x0000_i1249">

12.

<img src="/cache/referats/26435/image391.gif" v:shapes="_x0000_i1250"> — особое решение; <img src="/cache/referats/26435/image393.gif" v:shapes="_x0000_i1251">

13.

<img src="/cache/referats/26435/image395.gif" v:shapes="_x0000_i1252"> — особое решение, <img src="/cache/referats/26435/image397.gif" v:shapes="_x0000_i1253"><img src="/cache/referats/26435/image399.gif" v:shapes="_x0000_i1254">

14.

<img src="/cache/referats/26435/image401.gif" v:shapes="_x0000_i1255"><img src="/cache/referats/26435/image403.gif" v:shapes="_x0000_i1256"> — особое решение, <img src="/cache/referats/26435/image405.gif" v:shapes="_x0000_i1257"><img src="/cache/referats/26435/image407.gif" v:shapes="_x0000_i1258">

15.

<img src="/cache/referats/26435/image409.gif" v:shapes="_x0000_i1259"> — особое решение, <img src="/cache/referats/26435/image411.gif" v:shapes="_x0000_i1260">

16.

<img src="/cache/referats/26435/image413.gif" v:shapes="_x0000_i1261"><img src="/cache/referats/26435/image415.gif" v:shapes="_x0000_i1262"> — особое решение, <img src="/cache/referats/26435/image417.gif" v:shapes="_x0000_i1263"><img src="/cache/referats/26435/image407.gif" v:shapes="_x0000_i1264">

17.

<img src="/cache/referats/26435/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1265"><img src="/cache/referats/26435/image421.gif" v:shapes="_x0000_i1266"> — особые решения,<img src="/cache/referats/26435/image423.gif" v:shapes="_x0000_i1267">

18.

<img src="/cache/referats/26435/image425.gif" v:shapes="_x0000_i1268"><img src="/cache/referats/26435/image427.gif" v:shapes="_x0000_i1269"> — особое решение, <img src="/cache/referats/26435/image429.gif" v:shapes="_x0000_i1270">

19.

<img src="/cache/referats/26435/image431.gif" v:shapes="_x0000_i1271"> — особое решение, <img src="/cache/referats/26435/image433.gif" v:shapes="_x0000_i1272">

20.

<img src="/cache/referats/26435/image435.gif" v:shapes="_x0000_i1273"><img src="/cache/referats/26435/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1274"> — особые решения,<img src="/cache/referats/26435/image437.gif" v:shapes="_x0000_i1275">

Список литературы

Краткий курс математического анализа для ВТУЗОВ А.Ф.Бермант, И.Г. Араманович

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Троичная система счисления

29 Августа 2013

Реферат по математике

Многогранники вокруг нас

29 Августа 2013

Реферат по математике

Цилиндр

29 Августа 2013

Реферат по математике

Архимед. Его достижения в области математики

29 Августа 2013