Реферат: Математические софизмы

МОУ «Экономическая школа № 145»

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ»

Выполнила: Овчинникова Влада

9 класс

                                                            Руководитель: Резванова     Ж.Б

Г. Пермь. 2007 год

СОДЕРЖАНИЕ.

1.<span Times New Roman"">   

Введение..................................... 3

2.<span Times New Roman"">   

Софизм как понятие............................ 4

3.<span Times New Roman"">   

Экскурс в историю............................. 6

4.<span Times New Roman"">   

Алгебраические софизмы....................... .8

5.<span Times New Roman"">   

Геометрические софизмы....................... 11

6.<span Times New Roman"">   

Арифметические софизмы....................... 14

7.<span Times New Roman"">   

Заключение................................... 19

8.<span Times New Roman"">   

Список литературы............................. 21

ВВЕДЕНИЕ.

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышалподобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самомделе, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Ктоих выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишьвымысел???

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своейработе, название которой — математические софизмы. Неслучайно я выбрала именноматематические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мнекажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, сматематическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Самопонятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь вматематические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшиеарифметические.

Глава 1. «Понятие софизма. Исторические сведения»

Понятие софизма.

Софизм — (от греческого sophisma– уловка, ухищрение,выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающеекакую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение,противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегдасодержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математическийсофизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроютсянезаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полнанеожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком кновым открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно продвигатьсявперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записичертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибокв софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику инавыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал,а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математическихрассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то онитаковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил,ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенныев софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу ихвыявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. Насамом деле,  софизм- гибрид не толькоматематики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов –древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали  математические  софизмы, основываясь на элементарныхаксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах.Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчикуповерили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группадревнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельнымматематическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующемразделе.

Экскурс в историю.

Софистами называли группу древнегреческихфилософов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В периодпадения нравов древнегреческого общества( 5 век) появляются так называемыеучителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называлиприобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себясофистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относятПротагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Носуть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусствукрасноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старалисьспособствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности умаориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, котороедолжно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек училсяиметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельностисофистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривалисамопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокиефилософские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейскойкультуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением ксофистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.

            Исторически сложилось, что спонятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясьпризнанием Протагора, что задача софиста- представить наихудший аргумент какнаилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине,а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистаминазывали и простых ораторов.

         Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, новскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примерупоследовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основанана том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. УчениеСократа было устным. Кроме  того, Сократаи по сей день считают самым мудрым философом.

          Что касается самих софизмов, то, пожалуй,самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида: «Что тыне терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственнаянеточность, которую возможно было допустить, то это- двусмысленностьвысказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникланамного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так:«Все, что ты не терял.. .», то вывод стал бы логически безупречным.

         Подобных софизмов действительно оченьмного, но хотелось бы больше всего разобрать некоторые математические софизмы,которые наиболее популярны и известны. Об этом и будет следующая глава.

<img src="/cache/referats/25288/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/25288/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Разбор и решение любого родаматематических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать смекалку и логику. Математическиесофизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю тритипа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

          Алгебраические софизмы.

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны междусобой»

 

<img src="/cache/referats/25288/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1027">


решимсистему двух уравнений:   х+2у=6,     (1)

                                                          у=4- х/2    (2)

подстановкойу из 2го ур-я в 1 по-

лучаемх+8-х=6, откуда 8=6

гдеошибка???

Уравнение(2) можно записать как  х+2у=8, так чтоисходная система запишется в виде:

<img src="/cache/referats/25288/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1028">    Х+2у=6,

    

    Х+2у=8

Вэтой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части неравны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ниодного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2параллельны и не совпадают.

Передтем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет лисистема единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решенийвообще.

2.«Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места»

 

Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередноравных плюс единице и минус единице, т.е.

                       S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+………,(1)

Ипопробуем найти значение этой суммы.

 Сначала поступим следующим образом. Будемобъединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждойпарой «минус», т.е.

                         S=1-(1-1)-(1-1)-….=1-0-0-…=1.

Теперьпереставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на местоотрицательного и обратно, тогда

                         S=-1+1-1+1-1+1-…=-1+(1-1)+(1-1)+…=-1+0+0+…=-1.

Итак,по-разному переставляя слагаемые суммы(1), мы пришли к различным значениям этойсуммы: 1 и –1, в итоге сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых, а сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеютместа.

Гдеошибка???

3. «Дваждыдва равно пяти».

Обозначим4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b.перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b.Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будемиметь: a2-2da+d2=b2-2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d),откуда a-d=b-dи a=b, т.е. 2*2=5

Гдеошибка???

Изравенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

4.«Отрицательное число больше положительного».

 

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним дваотношения:

                      а        -а

<img src="/cache/referats/25288/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1044"><img src="/cache/referats/25288/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1034">                    -с         с

Ониравны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

<img src="/cache/referats/25288/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1047">                    а            -а

<img src="/cache/referats/25288/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1051"><img src="/cache/referats/25288/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1050"><img src="/cache/referats/25288/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1046">                   -с              с

Ноесли в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, топредыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашемслучае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное числобольше положительного.

Гдеошибка???

   Данное свойствопропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорцииотрицательны.

Геометрические софизмы.

1.«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

<img src="/cache/referats/25288/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1027">Попытаемся«доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можнопровести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонахАВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пустьэти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединимточки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный,опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят дваперпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка???

Рассуждения, о том,что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались наошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АСв одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзяопустить два перпендикуляра.

 

2. «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

 

 Пусть  а дм- длина спички и b дм — длинастолба. Разность между b и  a  обозначим через c .

Имеем  b — a =c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2 — ab- bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда

b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.    

Где ошибка???

В выражении b(b-a-c)= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так какb-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

3. «Катет равенгипотенузе»

 

Угол С равен 90о,ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О — точкапересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА — общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА иугол ОМА — прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL +LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

Где ошибка???

 

Рассуждения, о том,что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересеченияпрямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра ккатету АС, находится вне треугольника АВС.

4.

 

Арифметические софизмы.

1.« Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»

 

Возьмем два произвольных положительных числа А и В,такие, что                                                                 А>В.

Умноживэто неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих егочастей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильноследующему:

                       А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

Последеления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

Априбавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем2А>2В+А, откуда

                                А>2В.

Итак,если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5следует, что 6>10.

Гдеошибка???

 

Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1)к неравенству (2).

Действительно,согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе частинеравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилупреобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то жеотрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Сучетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенствоА<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получимпросто исходное неравенство А+В<В+2А

2.<span Times New Roman"">    

«Один рубль не равен стакопейкам»

 

Известно, что любые два неравенства можноперемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

        Если a=b, c=d, то ac=bd.

 Применим этоположение к двум очевидным равенствам

                                             1р.=100 коп,  (1)

                                             10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

                                             10 р.=100000 коп.     (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10получим, что

                              1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???

 

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит внарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемыенад величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мыполучим не (3), а следующее равенство

                               2                                2

                       10 р.  =100 000 к. ,

которое после деления на 10 дает

                              2                                    2

                        1 р.  = 10 000 коп.,         (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано вусловии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верноеравенство     1р.=100 коп.

3.<span Times New Roman"">    

«Число, равное другомучислу, одновременно и больше, и меньше его».

 Возьмем  два произвольных положительных равных числа Аи В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

                          А>-В иВ>-В.       (1)

Перемноживоба этих неравенства почленно, получим неравенство

     А*В>В*В, а после его деления на В, чтовполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что 

                                   А>В.              (2)

Записавже два других столь же бесспорных неравенства

                       В>-А и А>-А,                  (3)

Аналогичнопредыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству

                       А>В.                           (4)

Итак,число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

Гдеошибка???

Здесьсовершен неравносильный переход от одного неравенства к другому принедопустимом перемножении неравенств.

Проделаемправильные преобразования неравенств.

Запишемнеравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левыечасти этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба этинеравенства

                     (А+В)(В+В)>0, илиА>-В,

чтопредставляет собой просто верное неравенство.

Аналогичнопредыдущему, записывая неравенства (3) в виде

                      (В+А)>0, А+А>0,получим просто верное неравенство В>-А.

4.<span Times New Roman"">    

«Ахиллес никогда не догонитчерепаху»

Древнегреческий философЗенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев,осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно,отличается крайне медленной скоростью передвижения..

Вот примерная схемарассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движениеодновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности,что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга100 шагов.

Когда Ахиллес пробежитрасстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигатьсячерепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед расстояние в 10 шагов.Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, посколькуона успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять ненайдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага,и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать добесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающуючерепаху.

Где ошибка???

 

Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшнийдень далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу тольконекоторые его аспекты.

Сначала определим время t, закоторое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, гдеа -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, vи w–скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизмеусловиях  (v=1 шаг/с и w=10шагов/с) равно 11, 111111… сек.

Другими словами, примерночерез 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизмас точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллесдолжен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Есличерепаха  до момента встречи с Ахиллесомпройдет mотрезков, то Ахиллес должен пройти те же mотрезковплюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно,мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюдаследует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!

Итак, путь, пройденныйАхиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков,которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечнаяпоследовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, изавершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.

Трудности, которые возникаютпри оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерскивскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, аразрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокомуосмыслению основ математики.

Заключение.

О математических софизмах можно говорить бесконечномного, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы,некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день.Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развиватьлогику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие былисофисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но темне менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интереснысофизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только состороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичностирассуждений.

Понять софизм как таковой(решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык исмекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать понескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот,казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решениикаких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исторические сведения ософистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началасьистория софизмов. По началу, я думала, что софизмы бывают исключительноматематические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этойобласти, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математическиесофизмы — это лишь часть одного большого течения.

Исследовать софизмыдействительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловкисофиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открываетсякакой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодарясофизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других,научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если естьжелание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерствав искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.

Списоклитературы.

          

1.<span Times New Roman"">   

А.Г. Мадера, Д.А.Мадера  «Математические софизмы»

Москва, «Просвещение», 2003г.

2.<span Times New Roman"">   

Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин«Математическая шкатулка»

Москва, «Просвещение», 1988г.

3.<span Times New Roman"">   

«Большая энциклопедияКирилла и Мефодия 2004г.»

4.<span Times New Roman"">   

www.peterlife.ru/download%20free%20online/humanities/fl_5_a5.htm

5.<span Times New Roman"">   

www.tmn.fio.ru/works/60x/306/06_2.htm

6.<span Times New Roman"">   

www.golovolomka.hobby.ru/books/gardner/gotcha/ch2/02.html

7.<span Times New Roman"">   

www.referats.net

8.<span Times New Roman"">   

www.ug.ru

9.<span Times New Roman"">   

www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/104/779.htm
еще рефераты
Еще работы по математике