Реферат: Движение

Реферат погеометрии на тему<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal; font-style:normal">«Движение»

         Выполнил:

Педагог: <span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

2006-2007 г.

Содержание

<span Arial",«sans-serif»">1.Отображения, образы,композиции отображений.… с 1

2.Определениедвижения… с 1

3. Общие свойствадвижения… с 1

4. Параллельныйперенос… с 2

5. Центральная симметрия… с 2

6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости)… с 3

7. Поворот вокруг прямой… с3

7.1. Фигуры вращения …  <span Arial",«sans-serif»">с 4

7.2. Осевая симметрия… <span Arial",«sans-serif»">с 4

8. Неподвижные точки движений пространства… с 4

<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">8.1. Основные теоремы о задании движений пространства…

с 4<span Times New Roman",«serif»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">9.Два рода движений…

<span Arial",«sans-serif»">с 4

<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">9.1. Базисы и их ориентация…

с 4<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">

<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">9.2. Два рода движения …  

с 5<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-style:italic">

10. Некоторые распространенные композиции… с 5

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-weight:normal; mso-bidi-font-style:italic">10.1. Композиции отражений в плоскости…

с 5<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-weight:normal; mso-bidi-font-style:italic">

<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">10.2. Винтовые движения…

с 5

<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">10.3. Зеркальный поворот…

с 5

<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">10.4. Скользящие отражения…

с 5<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Движением в геометрии называетсяотображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, чтоподразумевается под словом «отображение».

1.Отображения, образы, композиции отображений.

Отображениеммножества M в множество N называется соответствие каждому элементу из Mединственного элемента из N.

Мы будемрассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другиеотображения не рассматриваются, и потому слово «отображение» означаетсоответствие точкам точек.

О точке X',соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она являетсяобразом точки X, и пишут X' = f(X). Множество точек X', соответствующих точкамфигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M' =f(M).

Если образом Mявляется вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M нафигуру N.

Отображениеназывается взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двухразличных точек различны.

Пусть у нас естьвзаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X'множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M.Поэтому каждой точке X' (N можно поставить в соответствие ту единственную точкуX (M, образом которой при отображении f является точка X'. Тем самым мыопределим отображение множества N на множество M, оно называется обратным дляотображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то ононазывается обратимым.

Неподвижной точкойотображения (называется такая точка A, что ((A) = A.

Из данных определенийнепосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное емуотображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображения f и f называютсятакже взаимно обратными.

Пусть заданы дваотображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множестваN в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X' = f(X)(N, а затем X' при отображении g перешла в точку X'' (P, то тем самым врезультате X перешла в X''.

В результатеполучается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение hназывается композицией отображения f с последующим отображением g.

Если данноеотображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f,вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественноеотображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.

2. Определение движения.

Движением (илиперемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двумее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B', что |A'B'| = |AB|.

Тождественноеотображение является одним из частных случаев движения.

Фигура F' называетсяравной фигуре F, если она может быть получена из F движением.

23. Общие свойства движения.

Свойство 1 (сохранение прямолинейности).

При движении триточки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причемточка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образамидвух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения).            

Доказательство. Изпланиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и толькотогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими — точкамиA и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|.

При движениирасстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и дляточек A', B', C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|.

Таким образом, точкиA', B', C' лежат на одной прямой, и именно точка B' лежит между A' и C'.

Из данного свойстваследуют также еще несколько свойств:

Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.

Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образомлуча — луч.

Свойство 4. При движении образом треугольника является равный емутреугольник, образом плоскости — плоскость, причем параллельные плоскостиотображаются на п22араллельные плоскости, образом полуплоскости — полуплоскость.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр,образом пространства — все пространство, образом полупространства — полупространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий уголотображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и длядвугранных углов.

Сначала я рассмотрювсе основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.

4. Параллельный перенос.

Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называетсятакое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том женаправлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Yфигуры сопоставляются такие точки X' и Y', что XX' = YY'.

Основное свойство переноса:

Параллельный переноссохраняет расстояния и направления, т.е. X'Y' = XY.

Отсюда выходит, чтопараллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот,движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.

Из этих утвержденийтакже вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельныйперенос.

Параллельный переносфигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, еслиуказано, в какую точку A' переходит данная точка A, то этот перенос заданвектором AA', и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор,т.е. XX' = AA' для всех точек Х.

5. Центральная симметрия.

Определение

1. Точки A и A'называются симметричными относительно точки О, если точки A, A', O лежат наодной прямой и OX = OX'. Точка О считается симметричной сама себе (относительноО).

Две фигуры называютсясимметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры естьсимметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.

Как частный случай,фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О, тогда этаточка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной.

2. Центральной симметриейфигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, котороесопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.

Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет напротивоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуюттакие точки X' и Y', что X'Y' = -XY.

Доказательство. Пустьпри центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' иY'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX' = -OX, OY' = -OY.

Вмес2те с тем XY = OY- OX, X'Y' = OY' — OX'.

Поэтому имеем: X'Y' =-OY + OX = -XY.

Отсюда выходит, чтоцентральная симметрия является движением, изменяющим направление напротивоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное,есть центральная симметрия.

Центральная симметрияфигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка Аотображается на А', то центр симметрии это середина отрезка AA'. 22

6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости).

Определение

1. Точки A и A'называются симметричными относительно плоскости (если отрезок AA'перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости(считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.

Две фигуры F и F'называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят източек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждойточки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.

Если преобразование симметрииотносительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называетсясимметричной относительно плоскости (а плоскость (плоскостью симметрии.

2. Отображениефигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ейотносительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости(или зеркальной симметрией).

Теорема 1.Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.

См. Доказательство 1.

Теорема 2.Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, являетсяотражением в этой плоскости или тождественным отображением.

Зеркальная симметриязадается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскостисимметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющегоэти точки, перпендикулярно к нему.

7. Поворот вокруг прямой.

Для более четкогопредставления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскостиоколо данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такоедвижение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается наодин и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту впространстве.

Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такоеотображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a,происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол(в одном и том же направлении. Прямая называется осью поворота, а угол (- угломповорота.

Отсюда видим, чтоповорот всегда задается осью, углом и направлением поворота.

Теорема 1.Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.

См. Доказательство 2.

Теорема 2.Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, тооно является поворотом вокруг этой прямой.

7.1. Фигуры вращения.

Фигура называетсяфигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которойсовмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя.Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар,прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.

7.2.Осевая симметрия.

Частным случаемповорота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой aна 180(каждая точка A переходит в такую точку A', что прямая a перпендикулярнаотрезку AA' и пересекает его в середине. Про такие точки A и A' говорят, чтоони симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180 градусов вокругпрямой называется осевой симметрией в пространстве.

8. Неподвижные точки движений пространства.

Важнойхарактеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек.Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев: У движения неподвижныхточек нет (нетождественный параллельный перенос).

Движение имеет лишьодну неподвижную точку (центральная симметрия).

Множество неподвижныхточек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой).

Множество неподвижныхточек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия).

Множество неподвижныхточек движения пространства является всем пространством (тождественноедвижение).

Данная классификацияочень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.

8.1.Основные теоремы о задании движений пространства.

Теорема 1.Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A'B'C'. Тогдасуществуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A вA', B в B', C в C'. Каждое из этих движений получается из другого с помощьюкомпозиции его с отражением в плоскости A'B'C'.

Теорема 2.Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A'B'C'D'. Тогдасуществует единственное движение пространства (такое, что ((A) = A', ((B) = B',((C) = C', ((D) = D'.

9. Два рода движений.

Следует также знать,что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывныони или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятиебазиса и его ориентации.

9.1.Базисы и их ориентация.

Базисом впространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременноникакой плоскости.

Тройка базисныхвекторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от однойточки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательныйи средний пальцы правой (левой) руки.

Если имеются двеправые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированыодинаково. Если одна тройка является правой, а вторая — левой, то ониориентированы противоположно.

9.2.Два рода движения.

Движения первого рода- такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могутбыть реализованы непрерывными движениями.

Движения второго рода- такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Онине могут быть реализованы непрерывными движениями.

Примерами движенийпервого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второгорода — центральная и зеркальная симметрии.

Композицией любогочисла движений первого рода является движение первого рода.

Композиция четногочисла движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числадвижений 2 рода — движение 2 рода.

10. Некоторые распространенные композиции.

Рассмотрим теперьнекоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но, не уделяя имособого внимания.

10.1.Композиции отражений в плоскости.

 Движение пространства первого рода представимов виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.

Движение пространствавторого вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в видекомпозиции трех отражений в плоскости.

Отсюда мы можемобъяснить уже известные нам движения так: Композиция отражения в 2 параллельныхплоскостях есть параллельный перенос.

Композиция отраженияв 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.

Центральная симметрияотносительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в этой точке.

10.2.Винтовые движения.

Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и переноса навектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движении даетввинчивающийся или вывинчивающийся винт.

Теорема 2.Любое движение пространства первого рода — винтовое движение (в частности поворотвокруг прямой или перенос).

10.3.Зеркальный поворот.

Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол (называется композицияповорота вокруг оси a на угол (и отражения в плоскости, перпендикулярной осиповорота.

Теорема 3.Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, являетсязеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной илизеркальной симметрией.

10.4.Скользящие отражения.

Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоейплоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости.

Теорема 4.Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, естьскользящее отражение.

Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либопараллельным переносом.

еще рефераты
Еще работы по математике