Реферат: Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

П л а н

Стр.

TOC o «1-3» Прямаяи окружность… PAGEREF _Toc514811445 h 3

Циклоида… PAGEREF _Toc514811448 h 5

Кривая кратчайшего спуска… PAGEREF _Toc514811449 h 6

Спираль Архимеда… PAGEREF _Toc514811450 h 7

Логарифмическая спираль… PAGEREF _Toc514811451 h 9

Теорема Паскаля… PAGEREF _Toc514811452 h 10

Теорема Барианшона… PAGEREF _Toc514811453 h 12

Лемниската Бернулли… PAGEREF _Toc514811454 h 13

Список литературы… PAGEREF _Toc514811455 h 15

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; font-variant:small-caps;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU; mso-bidi-language:AR-SA;layout-grid-mode:line">
Прямая иокружность

Прямая и окружность — две наиболее простые и вместе с тем наиболеезамечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой иокружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что емухорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он,например, что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C'лежат на трех прямых, пересекающихся в однойточке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К.,Lпересечения соответственных сторон треугольниковАВ с А'В', ВС с В'С' и АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?

Рис. 1. Рис. 2.

Читателю, конечно, известно, что точка М, которая движется по плоскости,оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точекF1и F2той же плоскости, т. е. так,чтоMF1=MF2;описывает прямую (рис.2). Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если еерасстояние до точки F1будетв определенное число раз превосходить расстояние до точкиF2(например, вдвое, как на рис.3). Оказывается, что этой кривой является окружность. Следовательно, если точкаМ движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижныхточек F1и F2плоскости будет изменятьсяпропорционально расстоянию до другой точки:

Рис. 3.

MF1= k MF2,

то М будет описывать либо прямую (когдакоэффициент пропорциональности k равен единице), либо окружность (когдакоэффициент пропорциональности отличен от единицы).

Рис. 4.

Рассмотрим кривую, описываемую точкой М так, чтосумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F1и F2остается неизменной. Возьмемнить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги,оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощьювертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегкапридавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой (рис. 4), тоострие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг);она называется эллипсом.

Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторонуот булавок, после того как будет описана одна половина эллипса. Очевидно, чтосумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколовF1и F2 остаётся неизменной во всевремя движения; эта сумма равна длине нити.

Рис. 5.

Проколы булавок отмечают на бумаге две точки,называемые фокусами эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает«очаг», «огонь»; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса.

Еслиизогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса ипоместить точечный источник света («огонь») в одном фокусе, то лучи света,отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусебудет также виден «огонь» — изображение первого (рис. 5.).

Циклоида

Приложим к нижнему краю классной доски линейку ибудем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его клинейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точкесоприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37),называемую циклоидой (что по-гречески значит «кругообразная»). Одному оборотуобруча соответствует одна «арка» циклоидыMM'M''N',если обруч будет катитьсядальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">

Рис. 6.

Чтобы построить на бумаге приближенно одну аркуциклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, тремсантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.

.Получим отрезок, длина которого равна длинеобода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделимдалее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и длякаждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда онопирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться наодну шестую полного оборота ^так как расстояние между соседними точками деленияравно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находитьсяв точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке M1 — на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 — в точке М2 — на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точкиM1, M2,М3и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная отточки касания, радиусом, равным

Рис. 7.

1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 — двезасечки, выполненные одна за другой, в положении 3 — три засечки и т. д. Теперьдля вычерчивания циклоиды остается соединить точки

М0,M1,М2,М3,M4, M5,M6

плавной кривой (на глаз).

Кривая кратчайшего спуска

Среди многих замечательных свойств циклоиды отметимодно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название:«брахистохрона». Это название составлено из двух греческих слов, означающих«кратчайший» и «время».

Рассмотримтакой вопрос: какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическомужелобу, соединяющему две заданные точки А и В (рис. 8.), чтобы полированныйметаллический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшеевремя? На первый взгляд кажется, что нужно остановиться на прямолинейном желобе,так как только вдоль него шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Однако речьидет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не толькоот длины пути, но и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнутьвниз, то его часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем вслучае прямолинейного желоба, и шарик, падая по

Рис. 8.

нему,приобретет скорость большую, чем на участке такой же длины прямолинейного желоба.Но если сделать начальную часть очень крутой и сравнительно длинной, то тогдачасть, примыкающая к точке В, будет очень пологой и также сравнительнодлинной; первую часть шарик пройдет быстро, вторую очень медленно и шарик можетзапоздать с приходом в точку

Рис. 9.

В. Итак, желобу, по-видимому, нужно придавать вогнутую форму, но делатьвыгиб не слишком значительным.

Итальянский физик и астрономГалилей (1564 — 1642) думал, что желоб кратчайшего времени нужно выгибать подуге окружности. Но швейцарские математики братья Бернулли около трехсот леттому назад доказали точным расчетом, что это не так и что желоб нужно выгибатьпо дуге циклоиды (опрокинутой вниз, рис. 9.). С тех пор циклоида и заслужилапрозвище брахистохроны, а доказательства Бернулли послужили, началом новойотрасли математики — вариационного исчисления. Последнее занимается отысканиемвида кривых, для которых та или иная интересующая нас величина достигает своегонаименьшего (а в некоторых вопросах — наибольшего) значения.

Спираль Архимеда

Вообразимбесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата,неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60vсмотцентра, через две — 120vит.д. Вообще, черезt секундпосле начала пробега расстояние жучка от центра будет равноvtсм. За это время стрелкаповернется на угол, содержащий6 t°(ведьза одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положениежучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движениянаходится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении еевращения угол а, содержащий6t°,иотмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояниеr= vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).

Рис.10.

Очевидно,что соотношение между углом поворота aстрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r(в сантиметрах) будет такое:

r = (va)/6

Иными словами, r прямо пропорционально a,причем коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну маленькую, нонеистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая черезкрошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкойжучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервыеизученная Архимедом (287 — 212 до н.э.). В его честь она называется спиральюАрхимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секунднойстрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни ожучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

Рис. 11. Рис. 12.

СпиральАрхимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата,и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.На рис. 42 изображены первый виток и часть второго.

Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможноразделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когдаугол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вотесли пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой уголможно разделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, например, угол АОВ на три равныечасти (рис. 12.). Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол,то жучок, будет находиться в точкеNна стороне угла. Но когдаугол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобынайти это его положение, разделим сначала отрезокONна три равные части. Этоможно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезокON1, длина которого втрое меньше, чемON.Чтобы вернуть жучка наспираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON1 (сновациркуль!). Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше углаAON.

ЗАДАЧИАРХИМЕДА

СамогоАрхимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сампоставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали(на рис. 11. она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спиралив какой-либо ее точкеN.

Замечательно,что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся кматематическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляютсяматематиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся с помощьюпроизводных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математическогоанализа.

Дляпервой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадьфигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А. Для второй задачи можнопоказать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда.Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точкеN направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, какнаправлена эта скорость, то и касательную построим.

Нодвижение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 13.):одно — по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое — вращательное по окружности сцентром в О и радиусом ОN.Чтобыпредставить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогдаон будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON.Скорость последнеговращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова еевеличина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиусаON,то за 60 секунд он проделалбы путь, равный 2лON[см].Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ееотыскания нужно разделить путь на время. Получим:

(2 л ON)/60 = ( лON)/30

[см/с]т. е.немногим более, чем:

0,1ON [см/с] ( л /30 3,14/30 0,105).

Теперь,когда мы знаем обе составляющие скорости в точкеN:одну по направлениюON,равную vсм/с,и другую, к ней перпендикулярную, равную

( лON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма.Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определитнаправление касательной NTкспирали в данной точке.

Логарифмическая спираль

Кривуюэту можно было бы назвать по имени Декарта, так как впервые о ней говорится в одномиз его писем (1638 г.). Однако подробное изучение ее свойств было проведенотолько полвека спустя Якобом Бернулли. На современных ему математиков эти свойствапроизвели сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитогоматематика, изображены витки логарифмической спирали.

Архимедовуспираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, чторасстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота:r=ka. Логарифмическаяспираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифмвозрастал прямо пропорционально углу поворота. Обычно уравнение логарифмическойспирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовымчислом е (п. 25). Такой логарифм числа r называют натуральным логарифмом иобозначают Inr. Итак, уравнениелогарифмической спирали записывается в видеln r = ka

Конечно,угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитаютизмерять его в радианах, т. е. принимать за меру угла отношение длины дугиокружности между сторонами центрального угла к радиусу этой окружности. Тогдаловорот стрелки на прямой угол будет измеряться числомл 1,57,поворот на величину развернутого угла — числом л 3,14, а полный поворот, измеряемый вградусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л 6,28.

Рис.13.

Измногих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий изначала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этогоугла зависит только от числаkвуравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол междуэтим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения (Рис. 13).

Теорема Паскаля

Б.Паскалю (1623—1662) не было еще и 17 лет, когда он открыл замечательное общеесвойство конических сечений. Об его открытии математикам поведала афиша, отпечатаннаяв количестве 50 экземпляров; только два из них дошли до нашего времени. Несколькотаких афиш были расклеены на стенах домов и церквей Парижа. Пусть читатель неудивляется этому. Ведь тогда (1640 г.) еще не было научных журналов, настраницах которых можно было бы рассказывать другим ученым о своем открытии.Такие журналы появились лишь четверть века спустя, почти одновременно воФранции и Англии. Но вернемся к Паскалю.

Хотяего афиша и была напечатана на французском языке, а не на латинском, как этобыло тогда принято, парижане, глазея на нее, вряд ли могли понять, о чем тамидет речь. Настолько сжато, без доказательств и пояснений излагал молодойгениальный автор свои мысли.

Вначале афиши после трех определений шла под названием «леммы 1» теорема, которуюмы перескажем здесь другими словами. Отметим на окружности какие-либо шестьточек, перенумеруем в любом порядке (не обязательно в том, в каком онирасположены на окружности) и соединим их отрезками прямых; последний из нихсвяжет шестую точку с первой (рис. 14). Теорема Паскаля утверждает, что три точкипересечения прямых, полученных продолжением этих шести отрезков, взятых черездве: первой с четвертой, второй с пятой и третьей с шестой, будут лежать наодной и той же прямой.

Рис.14.

Попробуйте сами сделать несколько опытов,разбрасывая по-разному точки на окружности (рис. 15).

Рис.15.

Приэтом может случиться, что какие-либо прямые, пересечение которых мы ищем,например, первая и четвертая, окажутся параллельными. В этом случае теоремуПаскаля нужно понимать так, что прямая, соединяющая две другие точкипересечения, параллельна указанным прямым (рис. 16).

Рис.16.

Наконец,если вдобавок окажутся параллельными между собой и вторая прямая с пятой, то вэтом специальном случае, теорема Паскаля утверждает, что и прямые последнейпары — третья и шестая — окажутся параллельными.

Рис.17.

С таким случаем мы встретимся, например,когда точки на окружности являются вершинами правильного вписанногошестиугольника, перенумерованными в порядке следования на окружности (рис. 17).Паскаль не ограничился тем, что сформулировал свою теорему для окружности. Онзаметил, что она должна оставаться верной, если вместо окружности взять любоеконическое сечение: эллипс, параболу или гиперболу. На рис. 18 даетсяиллюстрация к теореме Паскаля для случая параболы.

ТЕОРЕМА БРИАНШОНА

Французский математик Шарль Брианшон (1783— 1864) обнаружил в 1806 г.,что верна следующая теорема, которая, как мы увидим, является своего родаперевертышем по отношению к теореме Паскаля.

Проведем 6 касательных к окружности (или клюбому коническому сечению), перенумеруем их в каком-либо порядке и найдемпоследовательные точки

Рис. 19.

пересечения(рис. 19). Теорема Брианшона утверждает, что три прямых, соединяющих шестьточек пересечения, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой,третьей с шестой, пересекаются в одной точке.

Рис. 20.

Чтобы подчеркнуть тесную связь междуформулировками двух теорем, Брианшон записал обе формулировки в двух столбцах,одну против другой (следите за рис. 20, где слева пояснена теорема Паскаля, асправа — Брианшона).

Теорема Паскаля

Пусть 1,2,3,4,5,6 — шесть каких-либо точек на коническом сечении.

Соединим их по порядку прямыми I,II,III, IV, V и VI и найдем три точки пересечения этих шести прямых, взятых через две: Iс IV, II с V иIII с VI.

Тогда эти три точки будут лежать на одной прямой.

Теорема Бриаишона

Пусть 1,2,3,4,5,6 — шесть каких-либо касательных к коническому сечению.

Найдем по порядку точки их пересечения I,II,III,IV,V и VI и соединим прямыми эти шесть точек, взятых через две: I с IV, II с V,IIIс VI.

Тогда эти три прямые будут пересекаться в одной точке.

Очевидно, что для перехода от однойформулировки к другой достаточно произвести такие замены одних слов и выраженийна другие: вместо точек — касательные, вместо «соединять точки прямыми» — «находить точки пересечения прямых», вместо «три точки лежат на одной прямой» — «три прямые пересекаются в одной точке». Короче можно сказать, что при этомпереходе прямые и точки меняются между собой ролями. В проективной геометрииуказываются условия, при которых в результате подобной замены из одной вернойтеоремы (не обязательно теоремы Паскаля) получается другая теорема, такжеверная. Это так называемый принцип двойственности, позволяющий доказывать издвух геометрических теорем только одну. Другая будет верной, так сказать,автоматически.

Лемниската Бернулли

Обратимсяк кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведениер расстояний этой точки до двух определенных точек F1иF2 той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой(лемниската по-гречески значит «ленточная»). Если длина отрезкаF1F2есть с, то расстоянияот середины Оотрезка F1F2доF1 и F2равны с/2 и произведение этих расстояний равно – с2/4.Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как разс2/4; тогда

Рис. 21

точкаОбудет лежать на лемнискате, а сама лемнискатабудет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 21). Если продолжить отрезокF1F2в обестороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А1 и А2.Выразим расстояние между А1А2= х через известное расстояниес:

(х/2+с/2)(х/2-с/2)=х2/4-с2/4.

Если величинунеизменного произведения р взять не равной с2/4, то лемниската изменитсвой вид. И при р меньше с2/4, лемниската состоит из двух овалов,каждый из которых содержит точки F1 и F2, соответственно (рис.22).

Рис. 22

Т.о. задаваяразличные условия для р и с2/4 будем получать лемнискаты различноговида (рис. 23).

Рис. 23

Возьмемтеперь на плоскости любое количеств точек.F1,F2,...,Fnи заставим точку М двигатьсятак, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой извзятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, какрасположены точкиF1,F2,...,Fnдруг относительно друга икакова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с nфокусами.

Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное числофокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину дляпроизведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний.Будем вести острие карандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так,чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторуюкривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала

Рис. 24

самоесебя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например,очертания человеческой головы или птицы (рис. 24). Оказывается, что, имея такуюпроизвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов

F1,F2,...,Fn

иназначить такую величину для неизменного произведения расстояний

МF1 МF2… МFn = p<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line">

чтосоответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами,возможныеотклонения точки М,описывающей лемнискату, от нарисованной кривой — не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можнозаранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этотзамечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве формлемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нoочень сложно, при помощи высшей математики.

Списоклитературы

1.Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с илл.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

20 Июня 2015

Реферат по математике

Конус, и все что с ним связано

20 Июня 2015

Реферат по математике

Сравнения высших степеней(Конгруенції вищих степенів )

29 Августа 2013

Реферат по математике

Поверхности второго порядка

20 Июня 2015