Реферат: Золотое сечение

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

                

                                               Реферат              на тему: «Золотое сечение»

                                      

                       

                        Образовательная область: математика

                                         Предмет: геометрия

                        Выполнила: ученица 8 класса МОУ гимназия №9

                                                                        Вьюшина Вероника

                                                 Преподаватель: Зайкова Татьяна Константиновна  

 

  

                                     

                                                                 

                                 Екатеринбург

                                     2002                 

                                             

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

                                 Содержание.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Содержание ………………………………………………………

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">1.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ………………………………………………………………..

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">2.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">История золотого сечения …………………………………

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">3.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Построение пропорции ……………..…………………

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">4.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Второе золотое сечение……………………………………

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">5.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">«Золотые» фигуры…………………………………………..

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">6.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Числа Фибоначчи……………………………………………

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">7.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Золотое сечение в искусстве………………………………

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">8.<span Times New Roman"">  

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Заключение. Практическое применение………………..

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Литература………………………………………………………..

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">2

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">3-4

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">5-7

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">8

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">9

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">10-12

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">13-15

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">16-17

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">18

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">19

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">19

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

         1.Введение. Пропорция золотого

        сечения. Ф и φ.

                                        <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">«Геометрияобладает двумя великими

<span Arial»,«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                                       сокровищами. Первое — это теорема Пифагора,

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                                       второе — деления отрезка в крайнем и среднем

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                                                                                                 отношении"

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                                                                   Иоганн Кеплер 

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Правильные многоугольники привлекали вниманиедревнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемойсвоего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большоезначение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построенииправильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставшийолицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способпостроения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочиненияПтолемея «Альмагест».

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Интерес Дюрера кпостроению правильных многоугольников отражает использование их в Средние векав арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Средневековые способыпостроения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были(или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения,не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писало многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековыеспособы построения потомкам.  Дюрер,конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем«Руководстве к измерению» (о построениях при помощи циркуля илинейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника,теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытаетсяразделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотядоказательство было найдено лишь в

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">XIX <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">веке, что эта задача неразрешима.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Предложенное Евклидомпостроение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названноевпоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников иархитекторов на протяжении нескольких столетий.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Точка В делитотрезок АВЕ в среднем и крайнемотношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка кменьшей равно отношению всего отрезка к большей части.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Записанное в видеравенства отношений золотое сечение имеет вид

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                                               АВ/ВЕ= АВ/АЕ

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношениебыло равно АВ/ВЕ=Ф, то получаетсясоотношение

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                  Ф = 1+1/Ф

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">То есть Ф удовлетворяет уравнению

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                  Ф2 — Ф-1=0

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Это уравнение имеет один положительныйкорень

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                  Ф=(√5+1)/2=1.618034….

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Заметим, что 1/Ф =(√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">Ф

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">и φ — прописная и строчная формы греческойбуквы «фи».

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Такое обозначение принято в честь древнегреческогоскульптора Фидия (

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">V <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">векдо н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорцияхэтого храма многократно присутствует число φ.

                 2.История золотого сечения

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Принято считать, что понятие о золотом делении ввел внаучный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтяни вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов,предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, чтоегипетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети Iв Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигурсоответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный нарельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительныеинструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Рис. 7. Динамические прямоугольники

<img src="/cache/referats/7697/image001.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1098"> <img src="/cache/referats/7697/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1097">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Греки же были искусными геометрами. Дажеарифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. КвадратПифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">прямоугольников.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">    Платон(427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог«Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школыПифагора и, в

<img src="/cache/referats/7697/image004.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1099"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> частности, вопросам золотого деления.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Парфенон имеет 8колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к егодлине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», тополучим те или иные выступы фасада

.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовалисьархитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе)также заложены пропорции золотого деления.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<div v:shape="_x0000_s1100">

Рис.8. Парфенон

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/7697/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1103">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> 

Рис. 9. Античный циркуль золотого сечения

<img src="/cache/referats/7697/image006.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1101"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> 

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">В дошедшей до нас античной литературе золотое делениевпервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге«Начал» дается геометрическое построение золотого деления. ПослеЕвклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп(III в. н.э.) и др… В средневековой Европе с золотым делением познакомились поарабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано изНаварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деленияревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны толькопосвященным.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> В эпоху Возрождения усиливается интерес кзолотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как вгеометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.  Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел,что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний.Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книгамонаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников иисториков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математикомИталии в период между Фибоначчи и Галилеем.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства.В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции поматематике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненнымииллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга былавосторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотойпропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественнуюсуть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог духсвятой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына,больший отрезок — бога отца, а весь отрезок — бога духа святого).

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Леонардо да Винчитакже много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечениястереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждыйраз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому ондал этому делению название золотое сечение.Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> В то же время насевере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Онделает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет:«Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые вэтом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Судя по одному изписем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии.Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела.Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Ростчеловека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведеннойчерез кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д.Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Построение ряда отрезков золотой пропорцииможно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторонууменьшения (нисходящий ряд).

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Если на прямойпроизвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. Наосновании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорциивосходящего и нисходящего рядов

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"><img src="/cache/referats/7697/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">

Рис. 10. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

<img src="/cache/referats/7697/image009.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1102"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> 

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">В последующие века правило золотой пропорции превратилось вакадемический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба сакадемической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули иребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзингопубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингомпроизошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем,который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Онабсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всехявлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, нобыли и противники, которые объявили его учение о пропорциях«математической эстетикой».

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

                 

               3. Построение пропорции.

<img src="/cache/referats/7697/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1074">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорциизолотое сечение.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> 

<div v:shape="_x0000_s1075">

Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Из точки В восстанавливается перпендикуляр,равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А.На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D.Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Еделит отрезок АВ в соотношениизолотой пропорции.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Именно эти отрезки использовал Евклид при построенииправильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делитсядругими именно в такой пропорции.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Таким образом, звездчатый пятиугольниктакже обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можнопродолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Звездчатый пятиугольник называетсяпентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, онасчиталась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В настоящее время существует гипотеза,что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграммуникто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звездыимеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды.Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтомуестественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма– стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> 

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

                        

                    4.Второе золотое сечение.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Болгарский журнал «Отечество» (№10,1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотомсечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44:56.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Такая пропорция обнаружена вархитектуре, а также имеет место при построении композиций изображенийудлиненного горизонтального формата.<!DOCTYPEHTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">

<img src="/cache/referats/7697/image011.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1076"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения.Из точки С восставляетсяперпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСDделится пополам. Из точки Спроводится линия до пересечения с линией AD.Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<div v:shape="_x0000_s1077">

Рис. 2. Построение второго золотого сечения

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">На рисунке показано положение линии второго золотогосечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и среднейлинией прямоугольника.

<img src="/cache/referats/7697/image012.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1078"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> 

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<div v:shape="_x0000_s1079">

Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнеми среднем отношении можно не единственным способом.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

                    5.«Золотые» фигуры.

5.1.Золотойпрямоугольник:

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Если построитьквадрат со стороной АВ=а, найтисередину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороныАВ в точке Е, то точка В разделитотрезок АЕ в крайнем и среднемотношении.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Чтобы убедиться вэтом, заметим, что по теореме Пифагора

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                     МС2=а2+(а/2)2=5а2/4

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">                                                                                          

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> В силу чего

<div v:shape="_x0000_s1107">

Рис 20 стр74

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">                     АЕ=а/2+МЕ=(√5+1)а/2=φАВ

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Прямоугольник АЕ

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">FD<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> со сторонами АЕ=φА<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">D<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВС<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">D<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">F<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">С<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> также золотой, поскольку <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">BC=a=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">φВЕ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Это обстоятельство сразу наводит намысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">F<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">С.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон,равным φ, выглядит изящнее, чемпрямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить наэтот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их невполне  убедительны, но все жесвидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем,может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающебезобразным?

5.2.Золотойтреугольник:

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Проводимпрямую АВ. От точки А

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> 

<img src="/cache/referats/7697/image013.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1082"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откладываем на ней три раза отрезок О

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> произвольной величины, через

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> полученную точку Р проводим     перпендикуляр к линии

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точкиР откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми сточкой А. Отрезок dd1

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откладываемна линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 впропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуютсядля построения «золотого»

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">прямоугольника.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> 

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

      

       5.3. Золотой пятиугольник; построениеЕвклида.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Замечательный пример «золотого сечения» представляет собойправильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/7697/image014.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1080"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<div v:shape="_x0000_s1081">

Рис.6. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Для построения пентаграммы необходимо построить  правильный пятиугольник.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Пусть О — центр окружности,А — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА,восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">D<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED.Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC.Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильногопятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаемпентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанныемежду собой золотой пропорцией.

 Каждый конецпятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороныобразуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону,делит ее в пропорции золотого сечения.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Есть и золотойкубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами,   имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Теперь рассмотримдоказательство, предложенное Евклидом в «Началах».

<div v:shape="_x0000_s1106">

стр.75)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Посмотримтеперь, как Евклид <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">использует золотое  <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именнопод таким углом видна сторона правильного пятиугольника

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">из центра описанной окружности. Начнем с

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> отрезка АВЕ, разделенногов среднем и

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностейс центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть нижедокажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через

a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> равныеуглы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найтиугол ВСЕ: он равен 180-2a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, а угол ЕАС  — 3a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Суммируяуглы треугольника АВС получаем,  

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">    180=(3

a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> -180) + (3a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">-180)+ (180 — a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">                   Откуда5

a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">=360, значит a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=72.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвоебольше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильныйпятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е,пересекающую ЕС в точке Х  и сторону ЕВ вточке

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">Y<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">:отрезок <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">XY<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">служитодной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдявокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим,  что вершина С соединена отрезком прямой с серединой

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">N<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол С<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">N<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Е прямой. По теореме Пифагора:

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">                              

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">CN2      = <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">а<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">– (а/2j<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">) <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">= а<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">(1-4j<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">) <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">  <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Отсюдаимеем (АС/а)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> 2  <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">= (1+1/2j<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">)<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2   <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">+ (1-1/4j<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> = 2+1/j<span Arial",«sans-serif
еще рефераты
Еще работы по математике