Реферат: Золотое сечение
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
Реферат на тему: «Золотое сечение»
Образовательная область: математика
Предмет: геометрия
Выполнила: ученица 8 класса МОУ гимназия №9
Вьюшина ВероникаПреподаватель: Зайкова Татьяна Константиновна
Екатеринбург
2002
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
Содержание.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Содержание ………………………………………………………
<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">1.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ………………………………………………………………..<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">2.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">История золотого сечения …………………………………<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">3.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Построение пропорции ……………..…………………<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">4.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Второе золотое сечение……………………………………<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">5.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">«Золотые» фигуры…………………………………………..<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">6.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Числа Фибоначчи……………………………………………<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">7.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Золотое сечение в искусстве………………………………<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:Arial">8.<span Times New Roman"">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Заключение. Практическое применение………………..<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Литература………………………………………………………..
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">2
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">3-4
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">5-7
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">8
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">9
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">10-12
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">13-15
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">16-17
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">18
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">19
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">19
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
1.Введение. Пропорция золотого
сечения. Ф и φ.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">«Геометрияобладает двумя великими
<span Arial»,«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> сокровищами. Первое — это теорема Пифагора,
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> второе — деления отрезка в крайнем и среднем
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> отношении"
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Иоганн Кеплер
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Правильные многоугольники привлекали вниманиедревнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемойсвоего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большоезначение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построенииправильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставшийолицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способпостроения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочиненияПтолемея «Альмагест».
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Интерес Дюрера кпостроению правильных многоугольников отражает использование их в Средние векав арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Средневековые способыпостроения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были(или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения,не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писало многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековыеспособы построения потомкам. Дюрер,конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем«Руководстве к измерению» (о построениях при помощи циркуля илинейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника,теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытаетсяразделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотядоказательство было найдено лишь в
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">XIX <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">веке, что эта задача неразрешима.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Предложенное Евклидомпостроение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названноевпоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников иархитекторов на протяжении нескольких столетий.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Точка В делитотрезок АВЕ в среднем и крайнемотношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка кменьшей равно отношению всего отрезка к большей части.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Записанное в видеравенства отношений золотое сечение имеет вид
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> АВ/ВЕ= АВ/АЕ
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношениебыло равно АВ/ВЕ=Ф, то получаетсясоотношение
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Ф = 1+1/Ф
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">То есть Ф удовлетворяет уравнению
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Ф2 — Ф-1=0
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Это уравнение имеет один положительныйкорень
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Ф=(√5+1)/2=1.618034….
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Заметим, что 1/Ф =(√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">Ф
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">и φ — прописная и строчная формы греческойбуквы «фи».<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Такое обозначение принято в честь древнегреческогоскульптора Фидия (
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">V <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">векдо н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорцияхэтого храма многократно присутствует число φ.2.История золотого сечения
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Принято считать, что понятие о золотом делении ввел внаучный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтяни вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов,предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, чтоегипетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети Iв Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигурсоответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный нарельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительныеинструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Рис. 7. Динамические прямоугольники
<img src="/cache/referats/7697/image001.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1098"> <img src="/cache/referats/7697/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1097"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Греки же были искусными геометрами. Дажеарифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. КвадратПифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">прямоугольников.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Платон(427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог«Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школыПифагора и, в
<img src="/cache/referats/7697/image004.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1099"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> частности, вопросам золотого деления.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Парфенон имеет 8колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к егодлине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», тополучим те или иные выступы фасада
.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовалисьархитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе)также заложены пропорции золотого деления.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<div v:shape="_x0000_s1100">
Рис.8. Парфенон
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/7697/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1103">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
Рис. 9. Античный циркуль золотого сечения <img src="/cache/referats/7697/image006.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1101"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">В дошедшей до нас античной литературе золотое делениевпервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге«Начал» дается геометрическое построение золотого деления. ПослеЕвклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп(III в. н.э.) и др… В средневековой Европе с золотым делением познакомились поарабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано изНаварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деленияревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны толькопосвященным.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> В эпоху Возрождения усиливается интерес кзолотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как вгеометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел,что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний.Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книгамонаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников иисториков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математикомИталии в период между Фибоначчи и Галилеем.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства.В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции поматематике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненнымииллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга былавосторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотойпропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественнуюсуть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог духсвятой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына,больший отрезок — бога отца, а весь отрезок — бога духа святого).
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Леонардо да Винчитакже много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечениястереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждыйраз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому ондал этому делению название золотое сечение.Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> В то же время насевере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Онделает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет:«Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые вэтом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Судя по одному изписем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии.Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела.Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Ростчеловека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведеннойчерез кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д.Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Построение ряда отрезков золотой пропорцииможно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторонууменьшения (нисходящий ряд).
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Если на прямойпроизвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. Наосновании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорциивосходящего и нисходящего рядов
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"><img src="/cache/referats/7697/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">
Рис. 10. Построение шкалы отрезков золотой пропорции
<img src="/cache/referats/7697/image009.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1102"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">В последующие века правило золотой пропорции превратилось вакадемический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба сакадемической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули иребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзингопубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингомпроизошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем,который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Онабсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всехявлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, нобыли и противники, которые объявили его учение о пропорциях«математической эстетикой».
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
3. Построение пропорции.
<img src="/cache/referats/7697/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1074">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорциизолотое сечение.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<div v:shape="_x0000_s1075">
Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Из точки В восстанавливается перпендикуляр,равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А.На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D.Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Еделит отрезок АВ в соотношениизолотой пропорции.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Именно эти отрезки использовал Евклид при построенииправильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делитсядругими именно в такой пропорции.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Таким образом, звездчатый пятиугольниктакже обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можнопродолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Звездчатый пятиугольник называетсяпентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, онасчиталась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В настоящее время существует гипотеза,что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграммуникто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звездыимеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды.Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтомуестественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма– стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
4.Второе золотое сечение.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Болгарский журнал «Отечество» (№10,1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотомсечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44:56.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Такая пропорция обнаружена вархитектуре, а также имеет место при построении композиций изображенийудлиненного горизонтального формата.<!DOCTYPEHTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">
<img src="/cache/referats/7697/image011.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1076"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения.Из точки С восставляетсяперпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСDделится пополам. Из точки Спроводится линия до пересечения с линией AD.Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<div v:shape="_x0000_s1077">
Рис. 2. Построение второго золотого сечения
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">На рисунке показано положение линии второго золотогосечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и среднейлинией прямоугольника.
<img src="/cache/referats/7697/image012.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1078"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<div v:shape="_x0000_s1079">
Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнеми среднем отношении можно не единственным способом.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
5.«Золотые» фигуры.
5.1.Золотойпрямоугольник:
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Если построитьквадрат со стороной АВ=а, найтисередину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороныАВ в точке Е, то точка В разделитотрезок АЕ в крайнем и среднемотношении.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Чтобы убедиться вэтом, заметим, что по теореме Пифагора
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> МС2=а2+(а/2)2=5а2/4
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> В силу чего
<div v:shape="_x0000_s1107">
Рис 20 стр74
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> АЕ=а/2+МЕ=(√5+1)а/2=φАВ<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Прямоугольник АЕ
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">FD<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> со сторонами АЕ=φА<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">D<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВС<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">D<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">- квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">F<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">С<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> также золотой, поскольку <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">BC=a=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">φВЕ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Это обстоятельство сразу наводит намысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">F<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">С.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон,равным φ, выглядит изящнее, чемпрямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить наэтот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их невполне убедительны, но все жесвидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем,может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающебезобразным?
5.2.Золотойтреугольник:
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Проводимпрямую АВ. От точки А
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/7697/image013.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1082"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откладываем на ней три раза отрезок О<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> произвольной величины, через
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точкиР откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми сточкой А. Отрезок dd1
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откладываемна линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 впропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуютсядля построения «золотого»
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">прямоугольника.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
5.3. Золотой пятиугольник; построениеЕвклида.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Замечательный пример «золотого сечения» представляет собойправильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<img src="/cache/referats/7697/image014.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1080"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<div v:shape="_x0000_s1081">
Рис.6. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Пусть О — центр окружности,А — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА,восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">D<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED.Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC.Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильногопятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаемпентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанныемежду собой золотой пропорцией.Каждый конецпятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороныобразуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону,делит ее в пропорции золотого сечения.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Есть и золотойкубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Теперь рассмотримдоказательство, предложенное Евклидом в «Началах».
<div v:shape="_x0000_s1106">
стр.75)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Посмотримтеперь, как Евклид <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">использует золотое <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именнопод таким углом видна сторона правильного пятиугольника<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">из центра описанной окружности. Начнем с
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> отрезка АВЕ, разделенногов среднем и
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностейс центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть нижедокажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через
a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> равныеуглы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найтиугол ВСЕ: он равен 180-2a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, а угол ЕАС — 3a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Суммируяуглы треугольника АВС получаем,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> 180=(3
a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> -180) + (3a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">-180)+ (180 — a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Откуда5
a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">=360, значит a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=72.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвоебольше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильныйпятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е,пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ вточке
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">Y<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">:отрезок <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">XY<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">служитодной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдявокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">N<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол С<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">N<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Е прямой. По теореме Пифагора:<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">CN2 = <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">а<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">– (а/2j<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">) <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">= а<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">(1-4j<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">) <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Отсюдаимеем (АС/а)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> 2 <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">= (1+1/2j<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">)<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2 <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">+ (1-1/4j<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> = 2+1/j<span Arial",«sans-serif