Реферат: Гениальные математики Бернулли

В то время какбольшинство западноевропейских стран были заняты внутренними феодальнымимеждоусобицами и внешними войнами, Нидерланды уже прошли немалый путь капиталистическогоразвития. Иностранцев поражало в Нидерландах цветущее состояние городов, отсутствиефеодальных форм отношений между различными слоями населения, высокий уровеньжизни, расцвет науки и культуры. Эта сравнительно небольшая страна давала казнельвиную долю доходов. Годовой сбор налогов, например, достигал двух миллионов флоринов, в то времякак вся Испания давала один миллион. Карл V называл Нидерланды жемчужиной своейкороны.

Протестантство появилось в Нидерландах вскоре послеизвестного выступления Лютера 1517 г., направленною против продажииндульгенций. Борьба против испанского ига переплелась с борьбой за свободувероисповедания. Народное движение приняло религиозную окраску и разливалосьшире и шире по стране.

В 1550 г. КарлV издал указ против еретиков, поставивший фактически всех протестантов вне законаи объявивший неограниченный террор на всей территории Нидерландов.

Пришел конецэлементарной законности. С безграничным цинизмом без суда уничтожались целыесемьи, и даже роды. Вместе с казнями состоятельных граждан отторгалось принадлежавшееим имущество, изымались деньги и ценности. Началась эмиграция. Она достиглатаких размеров, что многие местечки обезлюдели, а в городах численностьнаселения заметно уменьшилась.

Купеческая протестантская семья Бернулли жила вАнтверпене. Свой род она вела из Фландрии, где Бернулли, в XV в. носившие ещефамилию Бернуйла (Bernuilla), не избегали и военных дел. Семья держаласьнасиженного места, пока можно было рассчитывать на то, что все как-тоустроится. Надежды связывались с успехами освободительного движения: несмотряна зверства Альбы, северные провинции Нидерландов, объединенные вокругВильгельма Оранского, вынудили Филиппа признать их право на самоопределение.По договору 1579 г. семь северных провинций, образовавших ядро будущейГолландии, освобождались от испанского владычества. Однако остальныепровинции—и город Антверпен, в том числе — оставались под испанской короной.

Тем самым всенадежды рушились. Под угрозой физического уничтожения приходилось покидатьродной город. Большинство эмигрантов направлялось в прирейнские провинции Германии,потому что еще при жизни Карла V Германия добилась свободы вероисповедания(Аугсбургский мир 1555 г.). Казалось, волнения там улеглись и можно будет отдохнуть от десятилетий террора.Семья Бернулли решает ехать во Франкфурт-на-Майне. Реформация в этом городепрошла еще в 1533 г., господствующая религия—протестантская. Выбор кажетсяудачным. В 1582 г. семья трогается в путь. Нелегко было порывать с роднымиместами. Глава семьи, Якоб Бернулли, скончался во Франкфурте в следующем жегоду.

Расчеты эмигрантов нато, что удастся обосноваться на новом месте, не оправдались: и в Германиивражда между католиками и протестантами не угасала. С начала XVII в. атмосфера непрерывно сгущалась;в 1618 г. началась Тридцатилетняя война, принесшая с собой неслыханные бедствияи расстройство хозяйственных связей. Решено было искать спокойного пристанища.Выбор остановился на Швейцарии, а именно на Базеле. Положение в Швейцарииказалось относительно спокойным: реформация там утвердилась в 20-е годы XVIстолетия, религиозные волнения за протекшие сто лет улеглись. В 1622 г. другойЯкоб, внук первого Якоба, переехал в Базель и принял гражданство Базельскойреспублики. На этот раз эмиграция завершается удачно. Сын Якоба Николай ужевидное лицо в городе, пользующийся уважением купец, глава семьи, состоящей изодиннадцати детей. Среди его детей и находятся те, с кого начинается династия выдающихсяматематиков.

Чем вызванопереселение Бернулли именно в Базель, трудно сказать. Единственно, что можно утверждатьс полной уверенностью, это то, что наличие в городе университета не играло ввыборе никакой роли: семья Бернулли из поколения в поколение старалась отвлечьсвою молодежь от науки и обратить ее дарования на коммерческую деятельностьили адвокатуру. К счастью, молодежь сама выбирала свои пути, не очень считаясьс желаниями старших.

Среди Бернуллинекоторые имена повторяются из поколения в поколение, поэтому их различают,как королей, присоединив к имени соответствующую цифру. Вот родословнаяБернулли:

Якоб(1598-1634). Уроженец Франкфурта-на-Майно. В 1622 г. переехал на постоянное жительствов Базель.

Николай(1623-1708). Сын Якоба. Уроженец Базеля. Торговец аптекарскими товарами и лекарственнымитравами. Член Большого совета Базеля и член суда. Имел 11 детей.

Якоб I(1654-1705). Сын Николая. По образованию богослов. С 1687 г. профессор математикиБазельского университета. Учениками Якоба I были: его младший брат Иоганн I,племянник Николай I, член Петербургской академии наук, механик и математик Я.Герман, отец великого Л. Эйлера — Пауль Эйлер.

Николай(1662-1716). Брат Якоба I. Живописец. Член суда.

Иоганн I(1667-1748). Брат Якоба I. Десятый ребенок в семье Николая. По образованиюврач. С 1695 г. профессор математики Гронингенского университета (Голландия).С 1705 г. профессор математики Базельского университета. Почетный член Петербургскойакадемии наук.

Жером(1669-1760). Брат Иоганна I. Торговец аптекарскими товарами.

Николай.Единственный сын Якоба I, имевшего еще дочь. Вопреки желанию отца, уклонился отнаучной карьеры и стал живописцем. По словам современников, весьмапосредственным.

Николай I(1687-1759). Сын Николая. По образованию юрист. Профессор математики в Падуе,профессор логики и права в Базеле.

Николай II(1695-1726), сын Иоганна I. По образованию юрист. Профессор права в Берне,профессор математики в Петербурге.

Даниил I(1700-1782). Уроженец Гронингена. Сын Иоганна I. По образованию врач. В1725-1733 гг. работал на кафедрах физиологии и механики в Петербургскойакадемии наук. С 1733 г. профессор по кафедре физиологии, с 1750 г. профессорпо кафедре механики в Базеле. Почетный член Петербургской академии наук.

Иоганн II(1710-1790), Сын Иоганна I. По образованию юрист. Профессор элоквенции(красноречия), профессор математики в Базеле.

Иоганн III(1744-1807). Старший сын Иоганна II. По образованию юрист. Астроном Берлинскойакадемии наук, там же директор математического класса.

Даниил II(1751-1834). Второй сын Иоганна II. По образованию врач, профессор красноречияв Базеле.

Якоб II(1759-1789). Третий сын Иоганна II. По образованию юрист. Математик Петербургскойакадемии наук. Утонул в Неве.

Кристоф(1782-1863). Сын Даниила II. Профессор технологии в Базеле.

Иоганн-Густав(1811-1863). Сын Кристофа. Профессор технологии в Базеле.

Представители рода Бернуллиживут в Базеле и в настоящее время.

Якоб(1598-1634)

<img src="/cache/referats/4744/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1037"><img src="/cache/referats/4744/image003.gif" v:shapes="_x0000_s1035"><img src="/cache/referats/4744/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1036"><img src="/cache/referats/4744/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1038"> Николай (1623-1708)

Якоб I (1654-1705) Жером(1669-1760)

<img src="/cache/referats/4744/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1043"><img src="/cache/referats/4744/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1042"><img src="/cache/referats/4744/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1041"><img src="/cache/referats/4744/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1040"><img src="/cache/referats/4744/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1039"> Николай(1662-1716) Иоганн I (1667-1748)

Николай

Николай I (1687-1759)

НиколайII (1695-1726) Даниил I (1700-1782)

<img src="/cache/referats/4744/image011.gif" v:shapes="_x0000_s1044"> ИоганнII (1710-1790)

<img src="/cache/referats/4744/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1047">Якоб II (1759-1789) Иоганн III(1744-1807) ДаниилII(1751-1834)

<img src="/cache/referats/4744/image015.gif" v:shapes="_x0000_s1049"> Кристоф(1782-1863)

Иоганн-Густав(1811-1863)

Якоб I. Родился 27 декабря 1654г. По желанию отца готовился к званию протестантского священника. ОкончилБазельский университет, где изучал философию, богословие и языки. Владелнемецким, французским, английским, итальянским, латинским и греческим языками.Испытывая непреодолимое влечение к математике, изучал ее тайком от отца. В 1671г. получил степень магистра философии. С большим успехом читал проповеди на немецкоми французском языках. В то же время продолжал пополнять свои знания поматематике без учителя, почти без учебников.

Воктябре 1686 г. оказывается вакантной должность профессора математики вБазельском университете. Успехи Якоба в математике хорошо известны, и Сенатуниверситета единодушно выдвинул на вакантную должность Якоба Бернулли.Вступление в должность состоялось 15 февраля 1687 г. Вряд ли присутствовавшиепри этом скромном акте представляли, что они являются свидетелями началабеспримерного в истории математики события: отныне кафедру будут заниматьБернулли на протяжении ста лет. Члены же этой семьи будут профессорами родногоуниверситета в течение четверти тысячелетия, вплоть до второй половины XX в.

В том же годуЯкоб Бернулли прочитал в «Асtа Eruditirum» за 1684 г. «Новый метод» Лейбница и,обнаружив трудные места, письменно обратился к Лейбницу за разъяснением. Лейбниц,находившийся в длительной служебной поездке, получил письмо только через тригода, когда надобность в консультации отпала: Якоб совместно Иоганном овладелидифференциальным и интегральным исчислениями настолько, что вскоре смоглиприступить систематическому развитию метода. Образовавшийся триумвират — Лейбниц,Якоб и Иоганн Бернулли — менее чем за двадцать лет чрезвычайно обогатил анализбесконечно малых.

С 1677 г. Я.Бернулли стал вести записные книжки, куда вносил различного рода заметкинаучного содержания. Первые записи посвящены теологии, сделаны под влияниемраспространенного в то время в Базеле сборника спорных теологических вопросов.

Основное место в записных книжках занимает решениезадач. Уже по ранним записям можно судить о проявленном Я. Бернулли интересе кприкладной математике. Математические заметки показывают, как постепенно Я.Бернулли овладевал методами Валлиса, Декарта, инфинитезимальными методами, какразвивал и совершенствовал их. Решенные им задачи служили отправными пунктамидля дальнейших более глубоких исследований.

В январе 1684 г. Я. Бернулли провел в Базельскомуниверситете открытый диспут, на котором защищал 100 тезисов, из них 34логических, 18 диалектических и 48 смешанных. Некоторые тезисы крайнелюбопытны. Вот примеры:

«78. Иногдасуществует несколько кратчайших путей из точки в точку.

83..Средиизопериметрических фигур одна может быть в бесконечное число раз больше другой.

85. Не вкаждом треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым.

89. Квадратуракруга еще не найдена, но не потому, что между искривленным и прямолинейным нетникакой связи; в действительности кривую можно спрямить, а криволинейнуюфигуру квадрировать»

В мае 1690 г.Я. Бернулли опубликовал в «Асtа Eruditirum» первую работу, связанную с исчислениембесконечно малых. В ней он дал решение поставленной Лейбницем в 1687 г. задачио парацентрической изохроне. Необходимо было найти кривую, по которой материальнаяточка опускалась бы в равные промежутки времени на равные высоты. Я. Бернулливывел дифференциальное уравнение кривой и проинтегрировал его. При этом онвпервые употребил в печати термин «интеграл», указав, что из равенства двух выражений,связывающих дифференциалы, следует равенство интегралов.

<img src="/cache/referats/4744/image017.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031">В лекциях, читанныхЛопиталю, И. Бернулли ход решения излагает так. Пусть искомой кривой будет АDС. Материальная точка за время∆t перемещается из точки D вточку d и из точки С в точку с. По условию задачи проекции дуг Dd Сс на вертикаль одинаковы. Проведем через D и С касательные ккривой до пересечения с продолжением АF.Отрезки касательных будут DK и CL. Напишем тождество

Dd/Сс=Dd/Hc • Hc/Cc.

Дуги Dd и Сс малы, поэтомуфигуры GDd и НСсможно считать треугольниками.

Из подобия треугольников GDd и DEK, НСс и СFL получим

Dd/DG=DK/DE, Сс/Нс=CL/СF.

С помощью этих пропорцийнайдем

Dd/Сс=DG1Нс • DК/DЕ • СF/СL.

По условиям задачи dG/Нс=1,поэтому

Dd1Сс=DК/DЕ • СF/СL.

Проведем через точку С прямую СМ, параллельную DК.Тогда

DК/DЕ=СМ/СF, Dd/Сс=СМ/СL.

Но отношение Dd/Сс равно отношению скоростей (интервал∆t один и тот же), квадраты жескоростей, по найденному Галилеем закону, относятся как пройденные высоты;это дает

Dd2/Сс2=СМ2/СL2=DЕ/CF, СМ2/СL2 =DЕ/СF.

Последнее равенствоозначает, что если через две произвольные точки кривой провести касательные СL и DКи через точку С провести СМ параллельно DК, то должна выполняться указанная пропорция. Таким свойством обладаетискомая кривая.

Задача оказалась сведенной кклассу обратных задач на касательные: найти кривую, касательные к которойудовлетворяют некоторому требованию. Подобную задачу впервые предложил ДекартуДебон, и Декарт с ней не справился. Разработанный Лейбницем метод позволяетрешать и обратные задачи на касательные.

Выберем начало координат вточке А. Обозначим АЕ=х, ЕD=у. Тогда GD=dх, Gd=dу. Обозначим также СF=а,СL=b. Треугольники FСМ и СdD подобны, отсюда

Gd/Dd=FС/СМ.

Но Dd = √dx2+dy2, поэтому

dy/√ dx2+dy2= а/СМ, откуда

CM2= (a2dx2+a2dy2)/dy2.

Подставим найденноевыражение в пропорцию СL2/СM2=СF/СЕ и получим дифференциальное уравнение

b

2dy2/(a2dx2+a2dy2)=a/y, b2ydy2-a3dy2=a3dx2, (b2y-а3)dу2= а3dx2,

√b

2y-a3 dy=√a3 dx.

В уравнении переменныеразделены, интегрирование его дает искомую кривую

2b2у — 2а3/3b2 √b2у — а3 == х√а3.

Парацентрическая изохронаоказалась полукубической параболой. Вид кривой раньше Я. Бернулли определилиЛейбниц и Гюйгенс, но лишь Я. Бернулли дал решение средствами анализабесконечно малых.

В приложении к другойработе о рядах (1694 г.) Я. Бернулли сформулировал несколько тезисов.

1. Существуют спирали, которые совершают бесконечноечисло витков вокруг полюса, но имеют конечную длину.

2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, замкнутыи, подобно параболе, уходят в бесконечность, например ay2=х2(b+х).

3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, напримерау2=х{а2—х2),

4. Существуют неограниченные поверхности с конечнойплощадью.

5. Существуют неограниченные поверхности с бесконечнойплощадью, но такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечнымобъемом.

Я. Бернулли увлекался такжеи изопериметрическими задачами. Древнейшаяиз них—задача легендарной основательницы Карфагена и его первой царицы Дидоны.Легенда такова. Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Африки, гдекупила у туземцев участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружитьволовьей шкурой». Она разрезала шкуру на узкие полоски и связала из них длиннуюленту. Спрашивается, какой формы должна быть фигура, оцепленная лентой даннойдлины, чтобы площадь фигуры была наибольшей?

<img src="/cache/referats/4744/image019.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1032"> Ван-дер-Варден пишет, что Зенодор, живший вскорепосле Архимеда, высказал 14 предложений относительно изопериметрических фигур.Он утверждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников), имеющих одинаковыйпериметр, круг будет наибольшим, а также и то, что из всех пространственных телс одинаковой поверхностью наибольшим будет шар.

Решение задачи содержится взаписных книжках Я. Бернулли и помещено в майском номере «Acta Eruditorum» за 1701 г. Я. Бернулли и здесь применил высказанныйранее принцип: поскольку площадь должна быть экстремальной, этим же свойствомдолжна обладать и любая ее элементарная часть. Он получил дифференциальноеуравнение третьего порядка и впоследствии проинтегрировал его.

К. А. Рыбников пишет: «Такимобразом, решение изопериметрической задачи означало очень важный, принципиальноновый этап в истории вариационного исчисления; оно дало возможность решать болеесложные вариационные задачи, им был сделан важный шаг на пути решениявариационных задач».

При изучении свойствсочетаний и фигурных чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степенейнатуральных чисел Sm = å

Эти вопросы интересовалиматематиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, ука зал ихсвойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степенейнатуральных чисел. Он привел формулы сумм от S(п) до S(п10):

S (n) = n2/2 +n/2

S (n2) = n3/3+ n2/2+ n/6

S (n3) = n4/4+ n3/2 + n2/4

S (n4) = n5/5+ n4/2 + n3/3 – n/30

S (n5) = n6/6+ n5/2 + 5n4/12 — n2/12

S (n6) = n7/7+ n6/2 + n5/2 — n3/6 + n/42

S (n7) = n8/8+ n7/2 + 7n6/12 — 7n4/24 + n2/12

S (n8) = n9/9+ n8/2 + 2n7/3 — 7n5/15 + 2n3/9– n/30

S (n9) = n10/10+ n9/2 + 3n8/4 — 7n6/10 + n4/2 — n2/12

S (n10) = n11/11+ n10/2 + 5n9/9 – n7 + n5 — n3/2+ 5n/66

Затем Я. Бернулли указал общую формулу

S(nc)= nc+1/c+1 + 1/2*nc + 1/2*( )Anc-1 + 1/4*( )Bnc-3 + 1/6*( )Cnc-5 + 1/8*( )Dnc-7+ …

Здесь ( ),( ) … — числа сочетаний; показателистепени n убывают, последний член вправой части содержит n или n2. Числа A, B, C, D … — коэффициенты при n ввыражениях S(n2), S(n4),S(n6), … Именно: А=1/6,В=-1/30, С=1/42, D=-1/30,…Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентовв выражениях S(n), S(n2), S(n3),… равна единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1.Отсюда D=-1/30.

Я.Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с еепомощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первойтысячи натуральных чисел. Она оказалась равной

91 409 924 241 424 243 424241 924 242 500.

Роль И. Бернулли как одногоиз создателей, распространителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогдаматематического анализа отражает современная терминология: название «интегральноеисчисление» (от латинского integer — целый, откуда и старинное русское«целственный анализ») ввел И. Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочиталназывать интеграл «суммой». Это впоследствии породило знак интеграла ∫,который представляет собой вытянутую букву S— первую букву латинского слова summa.

И. Бернулли занималсяприложением рядов к интегрированию и на этом пути открыл общую формулуразложения в ряд интеграла от функции n(z)по степеням аргумента:

∫n(z)dz = nz – z2/2 *dn/dz + z3/6 * d2n/dz2 – z4/24 * d3n/dz3+ …

В “Acta Eruditorium” за 1697г. И. Бернулли поставил задачу о кривых, пересекающих некоторое плоскоесемейство однопараметрических линий под данным углом или под углом, меняющимсяпо определенному закону. В первом случае траектории называются изогональными, аесли угол прямой, то ортогональными. И. Бернулли указал на возможностьприменения полученных закономерностей в теории света Гюйгенса. Через год онпоказал, что задача отыскания траекторий сводится к дифференциальному уравнениюпервого порядка.

Николай II Бернулли, сын И.Бернулли, в 1720 г. сформулировал задачу о взаимных траекториях, т. е. отраекториях, относящихся к тому же семейству кривых, что и кривые данного семейства.Этой задачей занимался И. Бернулли. Он в 1727 г. в качестве семейства взаимныхтраекторий назвал полукубические параболы y3= ax2.

Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрированиярациональных дробей, которые после выделения целой части они представляли ввиде суммы простейших дробей. Осуществление этого метода стало возможным лишьтогда, когда сформировалось понятие логарифмической функции. В связи с интегрированиемрациональных дробей в анализ вошли комплексные числа и возник спор о логарифмахотрицательных чисел.

В письмах Лейбницу 1702 г.И. Бернулли заметил, что рациональные дроби должны интегрироваться врациональных, логарифмических и круговых функциях.

Представляет особый интересработа «Решение одной задачи интегрального исчисления», напечатанная в”Memoires” Парижской академии наук за 1702 г. (1704) и в “Acta Eruditorium” за1703 г., в которой И. Бернулли рассмотрел случай действительных различныхкорней знаменателя рациональной дроби и в отличие от Лейбница, давшего готовыеформулы, показал, как получать коэффициенты, вначале полагаемые неопределенными.Здесь же И. Бернулли заметил следующее важное качество. Подобно тому как дифференциалdz/(1-z2) с помощьюподстановки z = (t-1)/(t+1) переходитв логарифмический дифференциал dt/2t,так и дифференциал действительного кругового сектора dz/(1 + z2) с помощью мнимой подстановки z = √-1(t-1)/(t+1) переходит в«мнимый дифференциал» -dt/2√-1t.Кроме того, очевидно, что dz/(1+z2)= 0,5dz/1 + z√-1 + 0,5dz/1 — z√-1

т. е. дифференциал действительного кругового сектораравен сумме дифференциалов мнимых логарифмов. Отсюда И. Бернулли сделал вывод,что мнимые логарифмы заменяют действительные круговые секторы.

Соотношениемdz/(1+z2) = -dt/2√-1tпо существу была установлена связь между функциями Arctg(z) и Ln t = ln (1 — z√-1)/(1+ z√-1). Но эту связь И. Бернулли не получил, так как не стал интегрироватьуравнение, а выполнил еще одну подстановку

t = (√-1 + √1/r – 1)/(√-1 — √1/r – 1), что дало выражение дифференциала арксинуса действительногоаргумента через дифференциал мнимого логарифма.

РаботаИ. Бернулли, опубликованная в “Acta Eruditorium” за 1712 г., содержала продолжениетого же исследования: в ней И. Бернулли проинтегрировал рациональную дробь смнимым аргументом. Он решил дифференциальное уравнение

ndx/(x2+ 1) = dy/(y2 + 1), предварительно разложив дроби по указанномуспособу, и получил (x — √-1)n(y+ √-1) = (x + √-1)n(y — √-1).

Продвижению вперед в применениимнимых чисел к анализу препятствовали неясности, связанные с понятиемлогарифма. Свидетельство этому — развернувшаяся между Лейбницем и И. Бернуллидискуссия о природе логарифмов отрицательных чисел.

В 1712 г. Лейбниц выступил состатьей, где, обсуждая парадокс Арно 1/-1= -1/1, сказал, что отрицательным отношениям не соответствуют никакиелогарифмы, поскольку положительным логарифмам соответствуют числа большеединицы, а отрицательным — правильные положительные дроби. Поэтому логарифмчисла —1 не будет истинным, он мнимый. И еще: если бы этот логарифм былдействительным, то его половина стала бы также действительной, т. е. действительнымбыл бы логарифм мнимого числа √-1а это неверно.

И. Бернулли возражал Лейбницу;он считал, что логарифмы отрицательных чисел действительны, и полагал lg (-a) = lg а, так как lg (-1) = 0. Оносновывался на том, что из тождества d(-х)/-х=dх/хследует d lg (-х) = d lg х, т. е. lg(-x) = lg х. Приводились и другие аргументы.

Перечислим некоторые частныерезультаты И. Бернулли. Он получил и опубликовал в 1701 г. разложения sin n a

и cos n a по произведениям степенейsin n a и cos n a. Он первый обнаружил и доказалрасходимость гармонического ряда. До сих пор в учебной литературе находит себеместо парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу

1/1*2 1/2*3 1/3*4 1/4*5...

1/2*3 1/3*4 1/4*5...

1/3*4 1/4*5...

…………………………….

Просуммируем по строкам;найдем

S1 = 1/1*2 +1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5+...= 1 – ½ + ½ — 1/3 + 1/3 – ¼ + … =1,

S2 = ½ — 1/3 + 1/3 — ¼ +… = 1/2

S3 = 1/3 – ¼ + ¼ — 1/5 + … = 1/3

…………………………………….

Обозначим сумму строк буквойS:

S=S1+S2+S3+…=1 + ½ + 1/3 + ...

Просуммируем теперь столбцыи сложим результаты; получим

s

1=1/2, s2=1/3, s3=1/4, …; s1+s2+s3+ …=1/2+1/3+1/4+… = S-1

Получается парадокс: S=S—1. Все объясняется просто: мыоперируем с расходящимся гармоническим рядом, не имеющим суммы.

Продолжим разговор о достиженияхИ. Бернулли. Он вслед за Я. Бернулли получил формулу для радиуса кривизны вдифференциалах абсциссы и ординаты, которая опубликована в «Анализе бесконечномалых» Лопиталя. И. Бернулли занимался изучением свойств эволют, эвольвент, каустик,касательных, точек перегиба, огибающих, кривизны. Он открыл точку возвратавторого рода, описанную Лопиталем. И. Бернулли выполнил многие квадратуры,спрямления, кубатуры, в качестве приложения методов анализа решил мноюгеометрических и механических задач, в том числе задачу о парацентрическойизохроне.

К середине девяностых годов XVII в., т. е. всего через десять летпосле появления основополагающего труда Лейбница, усилиями Лейбница и братьевБернулли идеи дифференциального и интегрального исчислений достигли такогоразвития, что появились суждения о завершении анализа в ближайшем будущем.Назрела необходимость собрать воедино и систематизировать разработанные методыс тем, чтобы ими мог пользоваться более широкий круг людей. Эту задачу блестящевыполнил И. Бернулли, написавший в 1691—1692 гг. «Лекции по исчислениюдифференциалов» и «Математические лекции о методе интегралов и другихвопросах, написанные для маркиза Лопиталя».

Завершение лекций даловозможность писать И. Бернулли в автобиографической заметке, что он «былпервым, кто подумал об изобретении метода для перехода от бесконечно малых количествк конечным, элементами которых эти бесконечно малые суть. Я назвал этот методинтегральным исчислением, не найдя более подходящего слова».

Хотя И. Бернулли лекции и неиздал, они были доступны французским математикам и сыграли важную роль впрогрессе анализа. Как уже говорилось, лекции и материалы, полученные Лопиталемв письмах И. Бернулли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет),послужили Лопиталю основой при написании им «Анализа бесконечно малых».

Лекции И. Бернулли, «Анализ»Лопиталя содержали небольшой набор основных аналитических понятий, иллюстрируемыхчертежами, теорем и правил и множество задач геометрического, механического ифизического характера.

Лекции по дифференциальномуисчислению начинаются следующими постулатами:

«1. Величина, уменьшеннаяили увеличенная на бесконечно меньшую величину, не уменьшается, не увеличивается.

2. Всякая кривая линиясостоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.

3. Фигура, заключенная междудвумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой,рассматривается как параллелограмм».

Сразу же за вступлением И. Бернулли пишет: «Изпредыдущего известно, что dx естьдифференциал х, что хdх есть дифференциал ½*х2или ½*x2плюс или минус постоянная, x2dx— дифференциал 1/3*x3плюс или минус постоянная… также аdх — дифференциал ах ит. д., axdx – дифференциал ½*ax2ах3dx— дифференциал ¼*ax4и т. д.” После этого даетсяобщее правило: «ахp естьдифференциал количества axp+1/(p+1).Иными словами: ∫хpdx = хp+1/(р+1)*(+С). И. Бернулли применяетэто правило к случаю P=-1 и получает ∫ dx/x = ∞. Однаковпоследствии он исправляет ошибку.

Затем рассматриваются некоторыевариации общей формулы: случаи, когда можно выделить дифференциал подкоренноговыражения, и т. д.

Вторая лекция посвященавычислению площадей. И в этом вопросе И. Бернулли развивал идеи Лейбница иписал: « Площади рассматривают как разложенные на части, каждую из которыхможно считать дифференциалом площади. Если имеют интеграл этого дифференциала,т. е. сумму этих частей, то отсюда будет известна и искомая квадратура».

После обсуждения различныхспособов разбиения фигуры И. Бернулли делает заключение: когда частичныеплощадки ограничены ординатами и кривой, дифференциал каждой из них будет уdх. Если кривая задается, то у выражается через х вполне определенно, и уdхбудет «полностью выражаться через х».Он приводит пример: дана парабола у2=ах;дифференциал площади будет √ах dх,его интеграл 2/3х√ах, или 2/3xу. С необычайной простотой И. Бернуллинашел результат, считающийся важнейшим достижением геометрии древних, состоящийв том, что площадь сегмента параболы равна 2/3 площади соответствующего прямоугольникаху.

Содержание следующих лекцийвесьма разнообразно: квадратуры площадей, кривых, «обратные задачи», соприкасающиесякривые и эволюты, каустики; завершают книгу пять лекций, посвященных решениюфизико-механических задач, в том числе задачи и цепной линии — одной из первыхзадач механики нити. Поражает в тех и других лекциях, кроме содержания,высочайшее методическое мастерство. Все в них все как у опытного лектора, хотяему было всего 24 года. И лекций по анализу бесконечно малых до него не читалникто.

Мало займет места изложениешироко известного правила Лопиталя, но следует его выделить среди общегорассмотрения творчества И. Бернулли. В письме 22 июля 1694 г. И. Бернулли ответилЛопиталю на вопрос о том, как следует поступать, когда необходимо найтизначение неопределенности вида О/О. И сообщил геометрическое доказательствовысказанному правилу. Оно вошло в учебник Лопиталя «Анализ бесконечно малых».

Лопитальформулирует задачу так:

«.Пусть величинаординаты у кривой АМD (АР=х, РМ=у,АВ=а) выражается дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль прих=а, т. е. когда точка Р совпадает с данной точкой В. Спрашивается, какойдолжна быть при атом величина ординаты ВD».

Решение задачи выглядит так. На общей «оси» строятсякривые АNВ и СОВ, причем ордината РNвходит в числитель, а РО — в знаменатель дроби для всех РМ, так что

РМ=АМ•РN/РО.

<img src="/cache/referats/4744/image021.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">Обе кривыепересекаются в точке В, поскольку, попредположению,

величины РN и РОобращаются в нуль, когда точка Рсовпадает с В. Затем вводитсяордината bd, близкая к ВD и пересекающая кривые в точках f и g.Для нее будет Bd=AB*bf/bg, что неотличается от ВD в силу одного изосновных допущений, выдвинутых автором, о том, что если имеются две величины, отличающиеся друг от друга на бесконечно малую, то можно брать одну изних вместо другой. Следовательно, необходимо найти отношение bg кbf.

Когда АРобращается в АВ, обе ординаты РN и РОобращаются в нуль, «а когда АР обращаетсяв Аb, ординаты обращаются в bf и bg».Значит, ординаты bf и bg являются дифференциалами кривых АNВ и СОВ в точках В и b. Поэтому для нахождения искомогозначения bd иди ВD нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя,положив х=а=Аb или АВ, «что и требовалось найти»,—заключает Лопиталь.

В следующем параграфе правило применяется к нахождениюпредельного значения

y = (√2a3x– x4 — a√a2x)/(a — √ax3) при х=а.

Лопиталь пишет: нужно дифференциал числителя разделитьна дифференциал знаменателя, положив х=а.Получим число 16а/9 «для искомой величины ВD».

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Комбинаторика

3 Августа 2015

Реферат по математике

Число как основное понятие математики

20 Июня 2015

Реферат по математике

Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

29 Августа 2013

Реферат по математике

Николай Иванович Лобачевский (1792 - 1856)

29 Августа 2013