Реферат: Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучениебалансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений иэкономико-математических исследований, должно служить объектом изученияотдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетовприменение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯБАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пустьрассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасличастично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используетсяв качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в другихотраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтомукаждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через xi валовый выпускпродукции i-йотрасли за планируемыйпериод и через yi–конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения,образование запасов и т.д. ).

Такимобразом, разность xi — yi составляет часть продукции i-йотрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем вдальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостномразрезе.

Обозначим через xik часть продукцииi-й отрасли,которая потребляетсяk-й отраслью, для обеспечениявыпуска ее продукции в размере хk.

Таблица 1

<img src="/cache/referats/2903/image001.gif" v:shapes="_x0000_s1103"><img src="/cache/referats/2903/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1026"><img src="/cache/referats/2903/image003.gif" v:shapes="_x0000_s1046"><img src="/cache/referats/2903/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1050"><img src="/cache/referats/2903/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1054"><img src="/cache/referats/2903/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1034"><img src="/cache/referats/2903/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1042"><img src="/cache/referats/2903/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1030"> № потребление итого на конечный валовый

<img src="/cache/referats/2903/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1062"><img src="/cache/referats/2903/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1077"><img src="/cache/referats/2903/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1074"><img src="/cache/referats/2903/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1070"><img src="/cache/referats/2903/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1066"><img src="/cache/referats/2903/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1058"> отрас. внутре продукт выпуск

производ. ( уi ) ( хi )

№ 1 2 … k … n потребление

отрас. ( å хik )

1 х11 х12 … х1k … х1n å х1k у1 х1

<img src="/cache/referats/2903/image013.gif" v:shapes="_x0000_s1080"> 2 х21 х22 … х2k … х2n å х2k у2 х2

…

… … … … … … … … …

i хi1 xi2 …

xik … xin åxik yi xi

…

n xn1 xn2 …

xnk … xnn å xnk yn xn

итого

произв.

<img src="/cache/referats/2903/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1099"> затраты åхi1 å xi2 …

åxik … åxin

в k-ю

отрасль

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующимибалансовыми равенствами :

х1 — ( х11 + х12 + …

+ х1n) = у1

х2 — ( х21 + х22 +… + х2n) = у2 ( 1 )

........................ .

xn — ( xn1 + xn2 + … +xnn ) = yn

Одна иззадач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных обисполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные напланируемый период.

Будемснабжать штрихом ( х’ik, y’i и т.д. ) данные, относящиесяк истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные,связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполнятьсякак в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будемназывать совокупность значений y1, y2, …, yn, характеризующих выпускконечного продукта, ассортиментнымвектором :

у = ( у1, у2, …, yn ) , ( 2 )

а совокупность значений x1, x2, …, xn ,определяющихваловый выпуск всех отраслей –

вектор-планом:

x = ( x1, x2, …, xn ). ( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовымиравенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному,например, вектор у необходимый дляего обеспечения вектор-план х, т.к.кроме искомых неизвестных хk, содержат n2неизвестных xik, которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтомупреобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aikиз соотношений :

xik

aik = ––– ( i, k = 1, 2, …, n ).

Величины aik называются коэффициентами прямыхзатрат или технологическимикоэффициентами. Они определяют затраты продукций i-йотрасли, используемые k-йотраслью на изготовление еепродукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-йотрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aikпостоянны в некоторомпромежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е.,что

x’ik xik

––– = ––– = aik = const ( 4 )

x’k xk

Исходя из этого предложения имеем

xik = aikxk , ( 5 )

т.е. затраты i-йотрасли в k-юотрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависятлинейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условиемлинейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aikпо формуле ( 4 ), используя данные об исполнениибаланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получимматрицу

a11 a12… a1k … a1n

a21 a22… a2k … a2n

A= ………………….

ai1 ai2… aik … ain

an1 an2… ank … ann

которую называют матрицейзатрат. Заметим, что все элементы aikэтой матрицы неотрицательны. Это записываютсокращено в виде матричного неравенства А>0и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданиемматрицы А определяются всевнутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемыетабл.1

Подставляя значения xik=aik=xkво все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

x1 — ( a11x1 + a12x2+ … + a1nxn ) = y1

x2 — ( a21x1+ a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )

……………………………………

xn — ( an1x1+ an2x2 + … + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат — выпуска продукции,представленный в табл.1

Системауравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричнуюформу записи уравнений:

_ _ _

Е·

х- А·х= У, или окончательно

_ _

( Е — А)·

х= У , ( 6')

где Е –единичная матрица n-го порядка и

1-a11 -a12 … -a1n

E — A= -a21 1-a22… -a2n

…………………

-an1 -an2 … 1-ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями nпеременных, можно изсистемы ( 6 ) найти остальные n — переменных.

Будемисходить из заданного ассортиментного вектора У= (y1, y2, …, yn )и определять необходимыйдля его производства вектор-план Х = ( х1, х2, … хn).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы,состоящей из двух производственных отраслей:

табл.2

<img src="/cache/referats/2903/image021.gif" v:shapes="_x0000_s1063"> № отрас Потребление Итого Конечный Валовый

<img src="/cache/referats/2903/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1059"> № затрат продукт выпуск

<img src="/cache/referats/2903/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1039"> отрас 1 2

<img src="/cache/referats/2903/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1088"><img src="/cache/referats/2903/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1084"> 0.2 0.4

1 100 160 260 240 500

<img src="/cache/referats/2903/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1096"><img src="/cache/referats/2903/image032.gif" v:shapes="_x0000_s1092"> 0.55 0.1

2 275 40 315 85 400

Итогозатрат 575

в k-ю 375 200

отрасль… 575

Пустьисполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными,помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40

а11= –––– = 0.2; а12 = –––– = 0.4; а21 = –––– = 0.55; а22= –––– = 0.1

500 400 500 400

Этикоэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперьможет быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

х1 — 0.2х1 — 0.4х2 = у1

х2 — 0.55х1 — 0.1х2 = у2

Этасистема двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2,для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортиментеконечного продукта и т.д.

Так,например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000и х2=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемсяснова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первыйвопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование призаданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существованиивектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называтьтакое решение уравнения ( 6'

) допустимым решением.

Заметим,что при любой неотрицательной матрице Аутверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так,например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6'

)

А= , то Е — А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме

-0.6 0.1 х2 у2

0.1х1 — 0.8х2 = у1 ( a

)

-0.6х1+ 0.1х2 = у2

Сложивэти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 — 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательнымзначениям х1 и х2, если только у1>0 иу2>0( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0).

Наконецуравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) илииметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ напоставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательныйвектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е — А )·

х>0,т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0,то оно имеет для любогоУ>0единственноенеотрицательное решение.

При этомоказывается, что обратная матрица ( Е — А ) будет обязательно неотрицательной.

Изспособа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периодавыполняется равенство ( Е -А )·

х' = У',где вектор-план х' иассортиментный вектор У'определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение (6') имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6') всегда имеет допустимый план и матрица ( Е — А ) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е — А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения( 6''

) в виде

_ _

х = S·

У ( 7 )

Еслибудет задан вектор – конечный продукт Уи вычислена матрица S = ( E — A )-1, то по этой формуле можетбыть определен вектор-план х.

Решение( 7 ) можно представить в развернутой форме:

x1 = S11y1 + S12y2+ … + S1nyn

x2 = S21y1+ S22y2 + … + S2nyn ( 8 )

………………………………

xn = Sn1y1+ Sn2y2 + … + Snnyn

ПОЛНЫЕВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ

ЗАТРАТЫ.

Выяснимэкономический смысл элементовSik матрицы S.

Пустьпроизводится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

_ 0

У1= :

Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

1 S11

_ 0 S21 _

х = S

: = : = S1

0 Sn1 0

_ 1

задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим

0 S12

_ 1 S22 _

х = S

: = : = S2

0 Sn2

Аналогично, валовый выпуск х,необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли,составит

0 S1k

_ : S2k _

х = S

1 = : = Sk , ( 9 )

: Snk

т.е. k-йстолбец матрицы S.

Изравенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-йотрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2kи т.д., в i-йотрасли выпустить xi=Sikи, наконец, в n-й отрасливыпустить xn=Snkединиц продукции.

Так приэтом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта,то величиныS1k,S2k, …, Sik,…, Snk,представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслейидущей на изготовление указанной единицы k-гопродукта. Мы уже ввелираннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k,…, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывалилишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-йотраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл.Если бы продукция i-й отрасли поступала бы тольков k-юотрасль в количестве aik, то производство k-йотрасли все равно не былобы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k), 2-й отрасли (a2k) и т.д. А они в своюочередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируемсказанное на примере табл.2

Пусть нас не интересует выпуск для внешнегопотребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определитьзатраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, чтона каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается:продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

Таковыбудут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли дляэтого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4

100=40? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать,что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), ипоэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к.теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли такженеобходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуетсявыпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности впродукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п.2 ):

0.8х1 — 0.4х2 = 0

-0.55х1+ 0.9х2 = 1

Решивэту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, длятого чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-йотрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначаютее через S12. Таким образом, если а12=0.4характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и былиназваны прямые затраты ), то S12учитывают совокупныезатраты продукции 1-й отрасли как прямые( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые черездругие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счетенеобходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Этикосвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

Есликоэффициент прямых затрат исчисляетсяна единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1,то коэффициент полных затратрассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак,величина Sikхарактеризуетполные затраты продукции i-йотрасли для производства единицы конечного продукта k-йотрасли, включающие как прямые (aik),так и косвенные ( Sik — aik )затраты.

Очевидно, что всегда Sik > aik.

Еслинеобходимо выпустить уkединиц k-гоконечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составитна основании системы ( 8 ):

x1 = S1k·

yk, x2= S2k·yk,…, xn = Snk·yk ,

что можно записать короче в виде:

_ _

x = Sk·

yk ( 10 )

Наконец, если требуется выпустить набор конечногопродукта, заданный ассортимент-

_ у1

ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его

уn

обеспечения, определится на основании равенств ( 10) как скалярное произведение столбца Skна вектор У,т.е.

_ _

xk = Sk1y1 + Sk2y2+ … + Sknyn = Sk·

y , ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы Sна вектор У.

Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупныйваловый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можнотакже определить, какое изменение в вектор-плане D

х = ( Dх1, Dх2, …, Dхn) вызовет заданное изменениеассортиментного продукта DУ = ( Dу1, Dу2, …, Dуn)поформуле:

_ _

D

х = S·DУ , ( 12 )

Приведемпример расчета коэффициентов полныхзатрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

0.2 0.4

А=

0.55 0.1

Следовательно,

1 </sp

еще рефераты