Реферат: Теорема Пифагора и способы ее доказательства

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; position:relative;top:3.0pt;mso-text-raise:-3.0pt;letter-spacing:1.0pt">МОСКОВСКИЙДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; letter-spacing:1.0pt">ШКОЛА — ЛАБОРАТОРИЯ №

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;letter-spacing:1.0pt">799<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;letter-spacing:1.0pt;mso-ansi-language: EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; letter-spacing:1.0pt">Реферат по Геометрии

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; letter-spacing:1.0pt">Тема: “Теорема Пифагора и способы ее доказательства”

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; letter-spacing:1.6pt">Ученика Кудашева Алексея

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; letter-spacing:1.6pt">Москва. 1997 г.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">План:

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Введение.

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: Arial">2)

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Биография Пифагора.

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: Arial">3)

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Не алгебраические доказательства теоремы.А) Простейшее доказательство.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Б) Древнекитайское доказательство.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">В) Древнеиндийское доказательство.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Г) Доказательство Евклида.

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: Arial">4)

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Алгебраические доказательства теоремы.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">А) Предисловие.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Б) Первое  доказательство.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">В) Второе доказательство.

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: Arial">5)

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Заключение.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй,даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняютвоспоминания о «пифагоровых штанах»— квадрате на гипотену­зе, равновеликом двумквадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: этопростота— красота— значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но неочевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особуюпритягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеетогромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тотфакт, что существует около500 различныхдоказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических ит.д.), свиде­тельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытиетеоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл,комментируя последнее предложениепервойкниги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древниелегенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают,что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрыесказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. Ихотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие кровибыло чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремойПифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так,оптимист Михаил Ломоносов(1711--1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрическогоправила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежелибы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила посуеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатогоскота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне(1797—1856) видел развитие той же ситуациинесколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась вбеднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-заэтого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков,которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертнымбогам». Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах ичертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхетапервого(ок.2000 до н.э.), и в вавилонскихклинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийскомгеометрическо-теологическом трактатеVII —Vвв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно,утверждается, что вXII в. до н. э. китайцы зналисвойства египетского треугольника, а кVIв. до н.э.—и общий вид теоремы. Несмотряна все это, имя Пифагорастоль прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчаспросто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быковПифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическимскальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор далпервое доказательствоносящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилосьникаких следов.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ярассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные издревних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьныхучебниках дается алгебраическое доказательство теоремы.При этом бесслед­но исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряетсята нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почтивсегда оказывался кратчайшим и всегда красивым. Итак, Теорема Пифагора.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;letter-spacing: -.5pt">Б

<img src="/cache/referats/2822/image002.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1067"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; letter-spacing:-.5pt">иография Пифагора<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;letter-spacing:-.5pt">. Великий ученый Пифагор родился около570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по  драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик былсказочно красив, а вскоре проявил и своинезаурядные способ­ности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет именастарца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности втом, что именно Гермо­дамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора).  Целые  дни проводил юный  Пифагор у ног старца Гермо­даманта,  внимая  мелодии кифары   и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагорсохранил на всю  жизнь. И, будучипризнанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пенияодной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателемиталийской  школы философии. Такимобразом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратилего ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовалвидеть своего первого и главного учителя. Но как бы то  ни было, неугомонному  воображению юного Пифагора  очень скоро стало тесно на маленьком Самосе,и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. Фалес советуетему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;letter-spacing:-.5pt">В 548 г. до н.э.Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где было у кого найти кров ипищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря нарекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагорусвои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагорпреодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли егонаучить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшейпотребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому,научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину вЭлладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутноепутешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона,направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к.великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математикабыла, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционнаясистема исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г.до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясьпереполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовалтиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба,и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцевпритязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагоручредил нечто вроде религиозно-этического братства или  тайного монашеского  ордена(«пифагорейцы»), члены  которогообязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это былодновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надосказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принцыпов достойны подражания и сейчас.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;letter-spacing:-.5pt">… Прошло 20 лет.Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон,человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ,Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. Припожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагорзатосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

<div v:shape="_x0000_s1034">

Рис 1.

<img src="/cache/referats/2822/image003.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1057"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">«Квадрат,построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов,построенных на его катетах.» Простейшеедоказательство<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> теоремыполучается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотретьна мозаику равнобедренных прямоугольных треуголь­ников (рис.1), чтобы убедиться в справедливости теоремы.Например, для Ù<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">ABC <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">:<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два. Теорема доказана.

<div v:shape="_x0000_s1037"> Рис. 2

<img src="/cache/referats/2822/image005.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1059"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Древнекитайскоедоказательство<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.Математические трактаты Древнего Китая дошли до насв редакцииII в. до н.э. Дело в том, чтов213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясьликвидировать прежние традиции, приказал сжечь вседревние книги. ВоIIв. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Таквозникла тематика в девяти книгах» — главное изсохранившихся математико — астрономических сочиненийв книге «Математики» помещен чертеж (рис.2, а), доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству<div v:shape="_x0000_s1036"> Рис. 2 <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">подобратьнетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетамиа, <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">и гипотенузой суложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">+b<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> а внутренний— квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис.2, б). Если квадрат со стороной свырезать и оставшиеся4 затушеванныхтреугольника уложить в два прямоугольника (рис.2, в), то ясно, что образовавшаясяпустота, с одной стороны, равна с<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> а с другой —а<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">+Ь<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">т.е. с<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">а<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">+<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ь<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Теорема доказана. Заметим, чтопри таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видимна древнекитайском чертеже (рис.2, а),не используются. По-видимому, древнекитай­скиематематики имели другое доказательство. Именно еслив квадрате со стороной с двазаштрихованных треугольника (рис. 2, б)отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис.2, г), то легко обнаружить, чтополученная фигура, которую иногда называют «кресломневесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> т.е. с<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">а<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">+Ь<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">.

<img src="/cache/referats/2822/image007.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1060"><div v:shape="_x0000_s1046"> Рис. 3

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Нарисунке3 воспроизведен чертеж изтрактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагорарассмотрена для египетского треугольни­ка с катетами3, 4 и гипотенузой5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузесодержит25 клеток, а вписанный в негоквадрат на большем катете—16. Ясно, что оставшаясячасть содержит 9 клеток. Это и будет квадратна меньшем катете.

<img src="/cache/referats/2822/image008.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1062"><div v:shape="_x0000_s1039"> Рис. 4

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Древнеиндийское доказательство.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Математики Древней Индии заметили, чтодля доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю частьдревнекитайского чертежа. В на­писанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венецзнания») крупнейшего индийского математикаXII в. Бхаскарыпомещен чертеж (рис.4, а) с характернымдля индийских доказательств словом «смотри!». Каквидим, прямо-угольньные треугольники уложены здесьгипотенузой наружу и квадрат с<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> перекладывается в «кресло невесты» а<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">-<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">b2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> (рис.4, б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например,построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра»(VII —Vвв. до н.э.).

<div v:shape="_x0000_s1042">

Рис. 5

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Доказательство Евклида<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> приведено в предложении47первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольноготреугольника АВСстроятся соответствующие квадраты (рис.5)и доказыва­ется, что прямоугольник<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> BJLD<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> равновелик квадрату<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> ABFH, <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">а прямоугольник<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> ICEL<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-no-proof:yes"> —<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">квадрату АС КС. Тогда сумма квадратовна катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные нарисунке треугольники<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> ABD<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US"> BFC<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> равны по двум сторонам и углу междуними:<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US"> FB=AB, BC==BD<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и Ð<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">FBC=d+Ð<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">ABC=Ð<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">ABD.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Но<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> SABD=1/2 SBJLD,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> так как у треу­гольникаABD и прямоугольникаBJLD общее основание<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> BD <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и общая высота<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> LD.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Аналогично <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">S<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">FBC<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">12 SABFH (BF<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-no-proof:yes">—<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">общее основание, АВ—общая<img src="/cache/referats/2822/image009.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1064"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">высота). Отсюда, учиты<div v:shape="_x0000_s1048"> Рис. 5 <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">вая,что<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> SABD=SFBC , <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">имеем<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> SBJLD<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">= SABFH.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Аналогично, используяравен­ство треугольников ВСК. и АСЕ,доказывается, что <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">SJCEL<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">SACKG<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Итак<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">SABFH<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">+<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">SACKG<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">SBJLD<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">+<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">SJCEL<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> SBCED ,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении сдревнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерносложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Нотакое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительнымзвеном в цепи предложений1-й книги«Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждыйшаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нуженбыл именно выбранный им путь.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Еще давно былаизобретена головоломка, называемая сегодня «Пифагор». Нетрудно убедиться в том,что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольныйтреугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры,составленные из16 одинаковых равнобедренныхпрямоугольных треугольников и потому укладывающиесяв квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античнойматематики— теореме Пифагора. Далее ярассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ДОКАЗАТЕЛЬСТВОТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Пусть Т— прямоугольный треугольникс катетами а,b и гипотенузой с(рис.6, а). Докажем, что с

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=а<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">+<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ь<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Построим квадрат

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Q<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> со стороной а+Ь (рис.6, б). На сторонах квадратаQ возьмем точки А, В, С,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> D<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">так, чтобы отрезки АВ, ВС,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> CD, DA<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> отсекали от квадратаQ прямоуголь­ные треугольники Т1, Т2, Т3,Т4 с катетами а иb. Четырех­угольник<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> ABCD<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">обозначим буквой Р.Покажем, что Р— квадратсо стороной с.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4  равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому ихгипотенузы равны гипотенузе

<img src="/cache/referats/2822/image010.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1065"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> треугольника Т, т. е.отрезку с. Докажем, что все углыэтого четырехугольника прямые.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Пусть

a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и b<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-no-proof:yes">—<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно,a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-no-proof:yes">+b<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-no-proof:yes"> 90°.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Угол у привершине А четырехугольника Р  вместе с углами,равными a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> и b<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> состав­ляет развернутый угол. Поэтомуa<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-no-proof:yes">+b<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-no-proof:yes">=<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-no-proof:yes">180°.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> И так как a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-no-proof:yes">+b<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-no-proof:yes"> 90°,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> то g<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">90<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">°.Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольникаР прямые. Следователь­но, четырехугольникР—квадрат со стороной с.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Квадрат

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Q<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> со сторонойа+Ьслагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равныхтреуголь­нику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">S(Q)=S(P)+4S(T) .<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-no-proof:yes">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Таккак

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US"> S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> S(T)=1/2(ab),<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> то, подставляя эти выражения в<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">S(Q)=S(P)+4S(T)<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-no-proof:yes">,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> получаем равенство

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">(

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">a+b)2=c2+4*(1/2)ab. <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Поскольку<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> (a+b)2=a2+b2+2ab,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> то равенство<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">(a+b)2=c2+4*(1/2)ab<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">мож­но записатьтак: <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">a2+b2+2ab=c2+2ab.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-no-proof:yes">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Изравенства

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">a2+b2+2ab=c2+2ab<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> следует,что с<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=а<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">+<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ь<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ч.Т.Д.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">ЕЩЕ ОДНОАЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">Пусть АВС—данный прямоуголь­ный треугольник с прямым углом С.Проведем высоту

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:line"> CD<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> из вершины прямого угла С (рис.7).

<img src="/cache/referats/2822/image012.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1066"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">По определениюкосинуса угла

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line">(<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:line">Косинусом<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> острого углапрямоугольного треугольника назы­вается отношение прилежащего катета кгипотенузе<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:line">)<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line">со<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line">s<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:line">А=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:line">AD/AC=AC/AB.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> Отсюда<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:line"> AB*AD=AC<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line">.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> Аналогично со<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:line">s<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line">В=<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line">BD/BC<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">=<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line">BC/AB<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line">.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> Отсюда<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line"> AB*BD<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line">=<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">ВС<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> Складывая полученные равенства почленнои замечая, что<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:line"> AD+DB=AB,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:line"> получим:

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line">АС

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line;mso-no-proof:yes">+<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">ВС<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line;mso-no-proof:yes">=<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">АВ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode: line">(AD<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line;mso-no-proof:yes">+<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:line"> DB)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line;mso-no-proof:yes">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode: line">АВ<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line">. <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; layout-grid-mode:line">Теорема доказана.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">В заключении ещераз хочется сказать о важности теоремы.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с еепомощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможноздесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочетсянадеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромноминтересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.<span Tahoma",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;layout-grid-mode:line">
еще рефераты
Еще работы по математике