Реферат: Сфера

 

 

 

 

 

Сфера и шар

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">

<span Arial",«sans-serif»">Работа ученика 11класса

<span Arial",«sans-serif»">средней школы №1906

<span Arial",«sans-serif»">юго-западного округа

<span Arial",«sans-serif»">г.Москвы

<span Arial",«sans-serif»">Кашина Виталия

<span Arial",«sans-serif»">.

 

Сфера и шар.

   Сфера-это фигура, состоящая извсех точек пространства, уда­лённых от данной точки на данном расстоянии.

<img src="/cache/referats/715/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">    <img src="/cache/referats/715/image004.jpg" v:shapes="_x0000_i1026">

   Точка О называется центром сферы, R-радиуссферы.

   Любой отрезок, соединяющий центр икакую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий дветочки сферы и проходящий через её центр, называется диамет­ром сферы.

   Шар-это фигура, состоящая из всех точекпространства, нахо­дящихся на расстоянии не большем данного от данной точки

(илифигура, ограниченная сферой).

 

Уравнение сферы.

<img src="/cache/referats/715/image006.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">

   M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащаясфере.

след.MC=<img src="/cache/referats/715/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1028">  т.к. MC=R, то <img src="/cache/referats/715/image010.jpg" v:shapes="_x0000_i1029">

  если т.М не лежит на сфере, то MC<img src="/cache/referats/715/image012.jpg" v:shapes="_x0000_i1030">R, т.е. координатыточки М

неудовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координатуравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеетвид:

<img src="/cache/referats/715/image014.jpg" v:shapes="_x0000_i1031">

Взаимное расположение сферы и плоскости.

<img src="/cache/referats/715/image016.jpg" v:shapes="_x0000_i1032"><img src="/cache/referats/715/image018.jpg" v:shapes="_x0000_i1033">

<img src="/cache/referats/715/image020.jpg" v:shapes="_x0000_i1034">

  d — расстояние от центра сферы до плоскости.

след.C(0;0;d), поэтому  сфера имеет уравнение <img src="/cache/referats/715/image022.jpg" v:shapes="_x0000_i1035"> 

плоскостьсовпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0

Еслит.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плос­кости и насфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

след.возможны 3 решения системы :

          <img src="/cache/referats/715/image024.jpg" v:shapes="_x0000_i1036">

   1)  d<R  ,   d^2<R^2  ,   x^2 + y^2 = R^2 — d^2 > 0

   уравнение имеет б.м. решений, пересечениесферы и плоскости — окруж­ность C(0;0;0)   и     r^2=R^2 — d^2

   2) d=R   ,   x^2 + y^2 =0 ,  x=y=0  след. сфера пересекается плоскостью в точкеО(0;0;0)

   3) d>R ,  d^2>R^2     R^2 — d^2 < 0

         x^2 + y^2 >=0  ,   x^2+y^2=R^2 — d^2  не имеетрешений

Касательная плоскость к сфере.

   Плоскость, имеющая со сферой только однуобщую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точканазывается точкой ка­сания плоскости и сферы.

   Теорема:

  Радиус сферы, проведённый в точку касаниясферы и плоскости, перпен­дикулярен к касательной плоскости.

<img src="/cache/referats/715/image026.jpg" v:shapes="_x0000_i1037">

Доказательство:

   Предположим, что ОА не перпендикуляренплоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R, но т.А принадлежитсфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

ч.т.д.

   Теорема:

  Если радиус сферы перпендикулярен кплоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскостьявляется касательной к сфере.

Доказательство:

   Из условия теоремы следует, что данныйрадиус является перпендику­ляром, проведённым из центра сферы к даннойплоскости. Поэтому рас­стояние от центра сферы до плоскости равно радиусусферы, и, следова­тельно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Этоозначает, что данная плоскость является касательной к сфере.

ч.т.д.

Площадь сферы:

   Для определения площади сферы воспользуемсяпонятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех егограней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

   Пусть описанный около сферы многогранникимеет n-граней. Будем не­ограниченно увеличивать  n  таким образом, чтобы  наибольшийразмер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел после­довательностиплощадей поверхностей описанных около сферы много­гранников при стремлении кнулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот пределсуществует, и получить формулу для вы­чесления площади сферы радиуса R : 

S=4ПR^2

еще рефераты
Еще работы по математике