Реферат: Сфера
Сфера и шар
<span Arial",«sans-serif»">
<span Arial",«sans-serif»">
<span Arial",«sans-serif»">
<span Arial",«sans-serif»">Работа ученика 11класса
<span Arial",«sans-serif»">средней школы №1906
<span Arial",«sans-serif»">юго-западного округа
<span Arial",«sans-serif»">г.Москвы
<span Arial",«sans-serif»">Кашина Виталия
<span Arial",«sans-serif»">.
Сфера и шар.
Сфера-это фигура, состоящая извсех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.
<img src="/cache/referats/715/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025"> <img src="/cache/referats/715/image004.jpg" v:shapes="_x0000_i1026">
Точка О называется центром сферы, R-радиуссферы.
Любой отрезок, соединяющий центр икакую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий дветочки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.
Шар-это фигура, состоящая из всех точекпространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки
(илифигура, ограниченная сферой).
Уравнение сферы.
<img src="/cache/referats/715/image006.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">
M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащаясфере.
след.MC=<img src="/cache/referats/715/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1028"> т.к. MC=R, то <img src="/cache/referats/715/image010.jpg" v:shapes="_x0000_i1029">
если т.М не лежит на сфере, то MC<img src="/cache/referats/715/image012.jpg" v:shapes="_x0000_i1030">R, т.е. координатыточки М
неудовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координатуравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеетвид:
<img src="/cache/referats/715/image014.jpg" v:shapes="_x0000_i1031">
Взаимное расположение сферы и плоскости.
<img src="/cache/referats/715/image016.jpg" v:shapes="_x0000_i1032"><img src="/cache/referats/715/image018.jpg" v:shapes="_x0000_i1033">
<img src="/cache/referats/715/image020.jpg" v:shapes="_x0000_i1034">
d — расстояние от центра сферы до плоскости.
след.C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение <img src="/cache/referats/715/image022.jpg" v:shapes="_x0000_i1035">
плоскостьсовпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0
Еслит.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и насфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.
след.возможны 3 решения системы :
<img src="/cache/referats/715/image024.jpg" v:shapes="_x0000_i1036">
1) d<R , d^2<R^2 , x^2 + y^2 = R^2 — d^2 > 0
уравнение имеет б.м. решений, пересечениесферы и плоскости — окружность C(0;0;0) и r^2=R^2 — d^2
2) d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в точкеО(0;0;0)
3) d>R , d^2>R^2 R^2 — d^2 < 0
x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 — d^2 не имеетрешений
Касательная плоскость к сфере.
Плоскость, имеющая со сферой только однуобщую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точканазывается точкой касания плоскости и сферы.
Теорема:
Радиус сферы, проведённый в точку касаниясферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
<img src="/cache/referats/715/image026.jpg" v:shapes="_x0000_i1037">
Доказательство:
Предположим, что ОА не перпендикуляренплоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R, но т.А принадлежитсфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.
ч.т.д.
Теорема:
Если радиус сферы перпендикулярен кплоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскостьявляется касательной к сфере.
Доказательство:
Из условия теоремы следует, что данныйрадиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к даннойплоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусусферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Этоозначает, что данная плоскость является касательной к сфере.
ч.т.д.
Площадь сферы:
Для определения площади сферы воспользуемсяпонятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех егограней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.
Пусть описанный около сферы многогранникимеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольшийразмер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательностиплощадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении кнулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот пределсуществует, и получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R :
S=4ПR^2