Реферат: Призма

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Реферат по геометрии
на тему:
“Призма”

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">учащейся 2 курса
Московского Экстерната
Москва 1996

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Оглавление

 TOC «Загол1;1; Загол2;2» 1. Краткий обзор развития геометрии… GOTOBUTTON _Toc355845835   PAGEREF_Toc355845835 3

1.1 Общий исторический обзор… GOTOBUTTON_Toc355845836   PAGEREF_Toc355845836 3

1.2. О развитии геометрии вДревней Греции до Евклида… GOTOBUTTON_Toc355845837   PAGEREF_Toc355845837 6

2. Призма… GOTOBUTTON _Toc355845838   PAGEREF_Toc355845838 10

2.1 Площадь поверхности призмы… GOTOBUTTON_Toc355845839   PAGEREF_Toc355845839 11

2.2. Призма и пирамида… GOTOBUTTON_Toc355845840   PAGEREF_Toc355845840 13

2.3. Пирамида и площадь ееповерхности… GOTOBUTTON_Toc355845841   PAGEREF_Toc355845841 15

2.4. Измерение объемов… GOTOBUTTON_Toc355845842   PAGEREF_Toc355845842 16

2.5. О пирамиде и ее объеме… GOTOBUTTON_Toc355845843   PAGEREF_Toc355845843 17

2.6. О призме ипараллелепипеде… GOTOBUTTON_Toc355845844   PAGEREF_Toc355845844 19

2.7. Параллелепипед… GOTOBUTTON_Toc355845845   PAGEREF_Toc355845845 20

3. Симметрия впространстве… GOTOBUTTON _Toc355845846   PAGEREF_Toc355845846 24

Призма (чертеж)… GOTOBUTTON _Toc355845847   PAGEREF_Toc355845847 25

Задачи… GOTOBUTTON _Toc355845848   PAGEREF_Toc355845848 26

Литература… GOTOBUTTON _Toc355845849   PAGEREF_Toc355845849 30

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Определение.Многогранник, две грани которого — одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые дваребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется призмой.

1. Краткий обзорразвития геометрии

1.1Общий исторический обзор

Первые геометрическиепонятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных телнаблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, кругаи серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, нопрактически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практическойдеятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребностипобуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища,лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысячраз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами ит. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии. Примерно то же можно сказать о других основныхгеометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основойдлительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрическихзависимостей и соотношений.

Начало геометрии былоположено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когданакопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилосьпотребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других,установления логических связей и доказательств. Постепенно создаваласьгеометрическая наука. Примерно в VI — V вв. до н. э. в Древней Греции вгеометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем,которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческихгосударствах. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии,появились в Греции еще в V до н.э., но они были вытеснены “Началами” Евклида.

Геометрические знанияпримерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 летназад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия немогла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опиралсяна труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор,Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходяиз отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практическойдеятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 — 4 столетий привестигеометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслугаЕвклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результатысвоих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основныегеометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий геометрияизучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в “Началах”Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли (амногие и поныне представляют) собой лишь переработку книги Евклида. “Начала” напротяжении веков были настольной книгой величайших ученых.

В XVII в. Декарт благодаряметоду координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур спомощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. В XVII — XVIII вв. зарождается иразрабатывается дифференциальнаягеометрия, изучающая свойства фигур с помощью методов математическогоанализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного дела и архитектуры привело кразработке методов точного изображения пространственных фигур на плоскомчертеже, в связи с чем появляются начертательнаягеометрия, научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проективная геометрия, основы которойбыли созданы в трудах французских математиков Д.Дезарга и Б.Паскаля (XVII в.).В ее создании важнейшую роль сыграл другой французский математик — Ж. В.Понселе (XIX в.).

Коренной перелом вгеометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математикНиколай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского былоначалом нового периода в развитии геометрии. За ним последовали новые открытиянемецкого математика Б. Римана и др.

В настоящее времягеометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним изисточников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в другихобластях математики, являются современные задачи естествознания, физики итехники.

1.2. О развитиигеометрии в Древней Греции до Евклида

Ученые и философы ДревнейГреции восприняли и переработали достижения культуры и науки Древнего Востока.Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египет и Вавилон для изучениямузыки, математики и астрономии. Не случайно зачатки греческой геометрическойнауки связаны с именем Фалеса Милетского,основателя ионийской школы. Ионийцы,населявшие территорию, которая граничила с восточными странами, первымизаимствовали знания Востока и стали их развивать. Ученые ионийской школывпервые подвергли логической обработке и систематизировали математическиесведения, позаимствованные у древневосточных народов, в особенности увавилонян. Фалесу, главе этой школы, Прокл и другие историки приписывают немалогеометрических открытий. Об отношении ПифагораСамосского к геометрии Прокл пишет в своем комментарии к “Началам” Евклидаследующее: “Он изучал эту науку (т. е. геометрию), исходя от первых ееоснований, и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления”.Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоремы о квадрате гипотенузы, ещепостроение пяти правильных многогранников:

1) тетраэдр, имеющий 4грани, 4 вершины, 6 ребер (рис.      );

2) куб — 6 граней, 8вершин, 12 ребер (рис.    );

3) октаэдр  — 8 граней, 6 вершин, 12 ребер (рис.    );

4) додекаэдр — 12 граней,20 вершин, 30 ребер (рис.    );

5) икосаэдр — 20 граней,12 вершин, 30 ребер (рис.     ).

Грани додекаэдра являютсяправильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуюттак называемый звездчатый пятиугольник (рис.    ) — фигуру, котораяслужила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пифагора. Известно, чтопифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией ирелигиозным братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине ине мог перед смертью расплатиться с ухаживавшим за ним хозяином дома. Последнийнарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник. Увидав через нескольколет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся ухозяина и щедро его вознаградил.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Достоверных сведений ожизни и научной деятельности Пифагора не сохранилось. Ему приписываетсясоздание учения о подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых,рассматривавших геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а какабстрактную логическую науку.

В школе Пифагора былооткрыто существование несоизмеримых величин, т. е. таких, отношение междукоторыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером можетслужить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное <span SymbolProp BT",«serif»">Ц2. Числоэто не является рациональным (т. е. целым или отношением двух целых чисел) иназывается иррациональным, т.е. нерациональным (от латинского ratio — отношение).

Пифагорейцы не зналидругих чисел, кроме рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которогоравна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, таккак для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привел вбольшое смущение пифагорейцев, так как в основе их философии лежало понятие очисле как основе всех вещей и явлений природы. Но вот эта великая основа — число — не в состоянии выразить длины простого отрезка в простой фигуре — диагоналиквадрата. Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом поучению Пифагора и пифагорейцы долго его держали в строгой тайне. Согласнопреданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами ипогиб во время кораблекрушения. Открытие несоизмеримых величин было важнымповоротным пунктом в развитии античной математики. Узнав, что существуютотношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами,древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, агеометрически, не числами, а отрезками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра, а потом и теорияотношений Евдокса.

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

2. Призма

Рассмотрим произвольныймногоугольник, например, пятиугольник АВСDЕ(см. чертеж на стр. 25), который лежит в плоскости <span SymbolProp BT",«serif»">a.Рассмотрим теперь параллельный перенос, определяемый некоторым ненулевым вектором

V,не лежащим в плоскости. Образом плоскости <span SymbolProp BT",«serif»">a будетпараллельная ей плоскость <span SymbolProp BT",«serif»">b. Образом многоугольника Фбудет многоугольник Ф1=A1B1C1D1E1, лежащий в плоскости <span SymbolProp BT",«serif»">b.Направленные отрезки AA1,BB1 будут параллельны, так как каждый из нихизображает один и тот же вектор V. Многогранник ABCDEA1B1C1D1E1 называют призмой.

Определение 1. Многогранник,две грани которого — одноименные многоугольники, лежащие в параллельныхплоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны,называется призмой.

Многоугольники Ф и Ф1,лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальныеграни — боковыми гранями.

Поверхность призмы, такимобразом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов(боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные,пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Если боковое ребро призмыперпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы перпендикулярноплоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники.Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этимплоскостям, называют высотой призмы.На рис.        отрезок A1O — высота изображенной призмы.

Определение 2. Прямая призма,основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильнойпризмой.

Боковое ребро прямойпризмы, в том числе и правильной, есть ее высота. На рисунке    изображена правильная шестиугольная призмаи ее разверстка; высота этой призмы равна ее боковому ребру. Отрезок, концы которого- две вершины, не принадлежащие одной грани призмы, называют ее диагональю. Отрезок B1D (см. рис.      ) — диагональ призмы. Сечение призмы с плоскостью, проходящей через два боковыхребра, не лежащих в одной грани, называют диагональнымсечением призмы.

2.1 Площадьповерхности призмы

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников(граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней.Площадь поверхности призм (Sпр)равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности Sбок) и площадей двух оснований(2Sосн)- равных многоугольников: Sпр=Sбок+2Sосн.

Теорема. Площадь боковойповерхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения идлины бокового ребра.

Дано: АС1  — произвольная n-угольная призма (на рисунке    в качестве примера изображеначетырехугольная призма), <span SymbolProp BT",«serif»">a^AA

1,  A2B2C2D2 — перпендикулярное сечение(сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру), l — длина бокового ребра.

Доказать: Sбок = Р<span SymbolProp BT",«serif»">Чl, где Р — периметр перпендикулярного сечения.

Доказательство. Sбок= SAA1B1B + SBB1C1C + SCC1D1D +...

<span MT Extra"">                                  1444442444443

                                                           nслагаемых

Каждая боковая граньпризмы — параллелограмм, основаниекоторого — боковое ребро призмы, а высота — сторона перпендикулярного сечения.

Поэтому

Sбок=lA2B2+lB2C2+lC2D2+...=(A2B2+B2C2+C2D2+...)l=P<span SymbolProp BT",«serif»">Чl.

Sбок = Р<span SymbolProp BT",«serif»">Чl.

Теорема доказана.

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Следствие. Площадь боковойповерхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.

Действительно, у прямойпризмы основание можно рассматривать как перпендикулярное сечение, а боковоеребро есть высота.

2.2. Призма ипирамида

Подобно тому, кактреугольник в понимании Евклида не являются пустым,т. е. представляет собой часть плоскости,ограниченную тремя неконкурентными (т. е. не пересекающимися в одной точке)отрезками, так и многогранник у него не пустой, не полый, а чем-то заполненный(по-нашему — частью пространства). В античной математике, однако, понятияотвлеченного пространства еще не было. Евклид определяет призму как телеснуюфигуру, заключенную между двумя равными и параллельными плоскостями(основаниями) и с боковыми гранями — параллелограммами. Для того чтобы этоопределение было вполне корректным, следовало бы, однако, доказать, чтоплоскости, проходящие через пары непараллельных сторон оснований, пересекаютсяпо параллельным прямым. Евклид употребляет термин “плоскость” как в широкомсмысле (рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и всмысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина “прямая” (в широком смысле- бесконечная прямая и в узком — отрезок). В XVIII в. Тейлор дал такоеопределение призмы: это многогранник, у которого все грани,кроме двух, параллельны одной прямой.

Пирамиду Евклид определяеткак телесную фигуру, ограниченнуюплоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке(вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например,Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура,ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которойслужит многоугольник.

Важнейшим недостаткомэтого определения является использование неопределенного понятия основания.Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной,сходятся в одной точке. Лежандр в “Элементах геометрии” так определяетпирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в однойточке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”. После этойформулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явноизбыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот ещеодно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида — телесный угол, пересеченный плоскостью.

Еще в древностисуществовали два пути определения геометрических понятий. Первый вел от фигурвысшего порядка к фигурам низшего. Такой точки зрения придерживался, вчастности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела, линию — как границуповерхности, концы же линии — как точки.Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего:движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется поверхностьи т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был ГеронАлександрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этимможет быть рассмотрено как образованное движением поверхности. В появившихсяпозже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, тодругая, а иногда и обе вместе точки зрения.

2.3. Пирамида иплощадь ее поверхности

Определение. Многогранник,одна из граней которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники собщей вершиной, называется пирамидой.

На рисунке     изображены пятиугольная пирамида SABCDE и ее развертка. Треугольники,имеющие общую вершину, называют боковымигранями пирамиды; общую вершину боковых граней — вершиной пирамиды; многоугольник, которому не принадлежит этавершина,- основанием пирамиды; ребрапирамиды, сходящиеся в ее вершине,- боковымиребрами пира-
миды. Высота пирамиды — это отрезокперпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концамив вершине и на плоскости основания пирамиды. На рисунке      отрезок SO — высота пирамиды.

Определение. Пирамида,основание которой — правильный многоугольник и вершина проектируется в егоцентр, называется правильной.

На рисунке    изображена правильная шестиугольнаяпирамида.

2.4. Измерениеобъемов

Объемы зерновых амбаров идругих сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне,китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однакодревнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденныеопытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур.В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найденобщий подход к вычислению объемов многогранников.

Среди замечательныхгреческих ученых V — IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, былиДемокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.

Евклид не применяеттермина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает и объем куба. В ХIкниге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.

1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниямиравновелики.

2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равноотношению площадей их оснований.

3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональнывысотам.

Теоремы Евклида относятсятолько к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов телЕвклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. Впроизведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила длявычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственныхфигур.

2.5. О пирамиде иее объеме

Термин “пирамида”заимствован из греческого “пирамис” или “пирамидос”. Греки в свою очередьпозаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмесавстречается слово “пирамус” в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают,что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции “пирос” — рожь).В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторыесредневековые ученые считали, что термин происходит греческого слова “пир” — огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа“огнеформное тело”.

В Древнем Египте гробницыфараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии до н.э. египтяне сооружалиступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамидыприобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высотакоторой достигает почти 147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальныесклепы и коридоры.

Согласно Архимеду, еще в Vдо н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной третиобъема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этойтеоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

В “Началах” Евклидадоказывается, что в равновеликих пирамидах площади оснований обратнопропорциональны соответствующим высотам. Первое непосредственное вычислениеобъема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Александрийского.

Интересно отметить, что вдревних документах встречаются правила для определения объема усеченнойпирамиды, о нет правил вычисления объема полной пирамиды. В “Московскомпапирусе” имеется задача, озаглавленная “Действия с усеченной пирамидой”, вкоторой излагается верное вычисление объема одной усеченной пирамиды. Ввавилонских клинописных табличках также не встречается вычисление объемапирамиды, но зато в них есть много примеров вычисления объема усеченнойпирамиды.

2.6.О призме и параллелепипеде

В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаютсятакие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачейегипетской и вавилонской геометрии было определение объема различныхпространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы,храмы и другие сооружения.

Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипедаи других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называетсястереометрией; Слово это греческого происхождения (“стереос” — пространственный, “метрео” — измеряю) и встречается еще у знаменитогодревнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чемпланиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: “Призма есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная междуплоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же — параллелограммы”. Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляеттермин “плоскость” не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смыслеограниченной ее части, грани, подобно тому как “прямая” означает у него иотрезок прямой.

Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает“отпиленное” (тело).

Термин “параллелепипедальное тело” встречается  впервые у Евклида и означает дословно“параллеле-плоскостное тело”. Греческое слово “кубос” употребляется Евклидом втом же смысле, что и наше слово “куб”

2.7. Параллелепипед

Определение. Призма, основание которой — параллелограмм,называется параллелепипедом.

В соответствии с определением параллелепипед- это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы(рис.   ). Параллелепипеды, как и призмы,могут быть прямыми и наклонными. На рисунке    изображен наклонный параллелепипед, а нарисунке      — прямой параллелепипед.

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник,называют прямоугольным параллелепипедом.У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Моделямипрямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечнаякоробка.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общийконец, называют его измерениями.Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Куб — прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Рассмотрим некоторые свойства параллелепипеда.

Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Дано: АС1 (рис.   ) — произвольный параллелепипед, В1D — его диагональ, точка О — середина этой диагонали.

Доказать:  Z0(AC1) =AC1.

Доказательство. Рассмотрим центральную симметрию Z0 с центромв точке О. Центральная симметрия — перемещение (сохраняет расстояния), отображающее каждый луч на противоположныйему луч. Поэтому

B1 = Z0(D), B1C1 = Z0(DA), DA = B1C1, C1 = Z0(A).

Аналогично можно показать, что точки D1 и В, А1 и Стакже центрально-симметричны. Таким образом, симметрия отображает поверхностьпараллелепипеда на себя. Внутренность параллелепипеда также отображает на себя(параллелепипед можно рассматривать как пересечение полупро
странств, образованных плоскостями его граней, а перемещение отображаетпересечение фигур на пересечение их образов).

Таким образом, центральная симметрия Z0 отображает параллелепипед на себя: Z0(AC1) = AC1.Теорема доказана.

Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:

1. Любой отрезок с концами,принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину егодиагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипедапересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Так, на рисунке     A1O=OC, B1O=OD, D1O=OB, AO=OC1, а также MO=ON, где M`A1B1C1D1, N`ABCD, O`MN.

2. Противолежащие гранипараллелепипеда параллельны и равны.

Так, на рисунке     AA1D1D=BB1C1C, (AA1D1)П(BB1C1).

Рассмотренными свойствами обладает произвольный параллелепипед.Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен суммеквадрата трех его измерений.

Дано: АС1  — прямоугольный параллелепипед, <span SymbolProp BT",«serif»; letter-spacing:-4.0pt">ч

AB<span SymbolProp BT",«serif»; letter-spacing:-1.0pt">ч<span SymbolProp BT",«serif»; letter-spacing:-4.0pt">= a, <span SymbolProp BT",«serif»;letter-spacing:-4.0pt">чAD<span SymbolProp BT",«serif»; letter-spacing:-1.0pt">ч=b, <span SymbolProp BT",«serif»;letter-spacing:-4.0pt">чAA1<span SymbolProp BT",«serif»; letter-spacing:-1.0pt">ч=c — его измерения, <span SymbolProp BT",«serif»;letter-spacing: -4.0pt">чAC1<span SymbolProp BT",«serif»;letter-spacing:-1.0pt">ч=d — длина его диагонали.

Доказать: d2=a2+b2+c2.

Доказательство.Введем систему координат так, как показано на рисунке        ,приняв за ее начало вершину А, запроизвольный базис тройку векторов V, b, c. Тогда вектор AC имееткоординаты (a;b;c), и, следовательно,

 є

<span SymbolProp BT",«serif»;letter-spacing:-4.0pt">ч

AC<span SymbolProp BT",«serif»; letter-spacing:-1.0pt"> ч2=d2=a2+b2+c2.

Теорема доказана.

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

3. Симметрия в пространстве

Теорема, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипедапересекаются в одной точке О, вкоторой они делятся пополам (рис   ), напоминаетаналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаютсяв точке О, являющейся их серединой(рис.    ). Точка О — это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют иточку О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С1, В и D1, С и А1, D и В1 симметричны относительно точки О. Впервыепонятие центра симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса,гласящей: если параллелепипед рассекаетсяплоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, еслипараллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр.Лежандр, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения осимметрии, говорит только о симметрии относительно плоскости и дает следующееопределение: две точки A и B симметричны относительно плоскости <span SymbolProp BT",«serif»">a

, если последняяперпендикулярна к АВ в середине этогоотрезка. Лежандр показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскостисимметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, изкоторых 3 перпендикулярны к ребрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Призма

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Задачи

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">



Литература

1. Глейзер Г.Д. Геометрия. Учебное пособие для старших классов. М.,Просвещение, 1994.

2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М.,Просвещение, 1992.

еще рефераты
Еще работы по математике