Реферат: Метод построения графиков функций (с использованием теории относительности)

I.

Введение

Прирассмотрении различных явлений и процессов, происходящих в природе, приходитсяучитывать изменения одних величин в зависимости от изменения других. Например,при движении мы рассматриваем зависимость пройденного пути от времени, принахождении площади круга рассматривается зависимость между площадью круга и егорадиусом и т.д. Такие зависимости называют функциональными. В основефункциональной зависимости лежит не просто зависимость, а полная определенностьсоответствия между переменными величинами.

Впервыеопределение функции было дано русским математиком Н.И. Лобачевским.

Переменнуювеличину S называют функцией другойпеременной величины t, если каждому значению величины t (из некоторой области)поставлено в соответствие вполне определенное значение величины S.

II.

Преимущества и недостатки аналитического играфического способов задания <img src="/cache/referats/24589/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

Термин“функция” введен Лейбницем, а символическая запись функциональной зависимости <img src="/cache/referats/24589/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><img src="/cache/referats/24589/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

<img src="/cache/referats/24589/image008.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027"> Такойспособ часто применяется вестествознании, технике и т.д., например, при использовании самопишущихприборов, автоматически записывающих изменения одной величины от изменениядругой. К недостаткам графического способа задания функции можно отнести:нахождение приближенного значения функции при определенном значении аргумента,функции заданные аналитически, могут быть изображены и графически, к графикунельзя непосредственно применить аппарат математического анализа, но графикимеет преимущество – наглядность. По графику функции <img src="/cache/referats/24589/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1028">можно многое узнать о “поведении” этой функции.

Для функции <img src="/cache/referats/24589/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">, график которой изображен на рисунке, можно указатьнесколько ее свойств.

1)

При <img src="/cache/referats/24589/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

2)

<img src="/cache/referats/24589/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> и <img src="/cache/referats/24589/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1032">) график функции пересекает ось абцисс, т.е. в этих точках<img src="/cache/referats/24589/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

3)

<img src="/cache/referats/24589/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> и при <img src="/cache/referats/24589/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1035">, график расположен выше оси абсцисс, т.е. функцияпринимает положительные значения. При <img src="/cache/referats/24589/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1036">, функция принимает трицательные значения.

Рис.1

4)

<img src="/cache/referats/24589/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1037">функция возрастает, а при <img src="/cache/referats/24589/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1038">убывает. При х>0 функция только возрастает и т.д. Частодля получения графика функции наносят на координатную плоскость несколько точекграфика, а затем проводят через эти точки плавную кривую. Построение графикафункции “по точкам” не является точным изображением графика функции, поэтомутак важно проводить дополнительные исследования, чтобы построеный график былприближен к точному графику. Исследование функций, заданных аналитически,проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматриватьи графики этих функций. Т.о. умение строить графики функций, заданныханалитически, является важным элементом в общей математической подготовкеучащихся.

В школьном курсе математики рассматриваются элементарные функции.

III.

Элементарные функции.

К основным элементарным функциямотносятся следующие функции:

1) степенная функция <img src="/cache/referats/24589/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1039">, где n–вещественное число.

2) показательная функция <img src="/cache/referats/24589/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1040">, где <img src="/cache/referats/24589/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1041">.

3) логарифмическая функция <img src="/cache/referats/24589/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1042">где <img src="/cache/referats/24589/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1043">.

4) тригонометрическиефункции <img src="/cache/referats/24589/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> .

5) обратныетригонометрические функции <img src="/cache/referats/24589/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1045">.

Функции <img src="/cache/referats/24589/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1046">, так же являются элементарными.

IV.

Методы построения графиков функции

В школьном курсе математикипостроение графиков элементарных функций: <img src="/cache/referats/24589/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> даже для очень слабоподготовленных учащихся не составляет особого труда. Но если требуетсяпостроить график функции, тесно связанный с уже известными функциями, длянекоторых учащихся эта задача представляет трудность.

Например, приработе с такими функциями, как <img src="/cache/referats/24589/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

Кроме того,ошибки могут возникнуть на стадии выбора значений аргумента: их недостаточностьили большой разрыв между соседними значениями аргумента. При работе с функциейнеобходимо учитывать область определения функции, т.е. отделить те значения аргумента,при которых выражение, задающее функцию, теряет смысл. Чтобы избежать этого, можно применитьуже известные приемы.

В школьном курсе построениеграфика такой функции строится в два приема:

Строится по точкам график функции <img src="/cache/referats/24589/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1049">. Выполняется параллельный перенос построенного графика на определенные расстояния в определенном направлении в зависимости от знаков aи b.

№ 1. Алгоритмпостроения.

1)

Построим прямоугольнуюсистему координат и выполним разметку по осям карандашом (впоследствии этаразметка нам не пригодится).

2)

К построенной системекоординат построим график функции <img src="/cache/referats/24589/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

3)

Выполним параллельныйперенос оси Оу в положительном направлении на 3 единицы (вправо).

4)

Выполним разметку (уже ручкой).

5)

В данной системекоординат построенный график является графиком функции <img src="/cache/referats/24589/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

№3. Алгоритм построения.

1)

Построим системукоординат х/о/у/

2)

По точкам построим функции <img src="/cache/referats/24589/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

3)

Выполним параллельныйперенос оси о/х/ на 4 единицы в отрицательном направлении(вниз).

4)

Выполним разметку всистеме координат хоу.

Для болееточного построения графика функции, <img src="/cache/referats/24589/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1053"><img src="/cache/referats/24589/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> и <img src="/cache/referats/24589/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/24589/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1056">. При отсутствии шаблона построение графика функции <img src="/cache/referats/24589/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1057">, становится более трудоемким. Особенно это относитсяк построению графика гармонического колебания.

Упростить эту работу можно, спомощью следующих приемов.

Прием №1. Для того, чтобы построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1058"><img src="/cache/referats/24589/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> и сдвинуть ось ОУ на |a| единиц (точка О“ползет” по оси Ох).

Если, а>0, то ось Оу надосдвинуть в положительном направлении на |a| единиц (т.е. вправо). Если же a<0, то ось Оу надо сдвинуть на |a| единиц в отрицательномнаправлении (т.е. влево).

1)

х/о/у/

2)

3)

а.

4)

Выполнитьновую разметку.

Рассмотрим несколько примеров.

№1Построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1062"><img src="/cache/referats/24589/image074.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">

Алгоритм построения.

6)

7)

К построенной системекоординат построим график функции <img src="/cache/referats/24589/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

8)

Выполним параллельныйперенос оси Оу в положительном направлении на 3 единицы (вправо).

9)

Выполним разметку (уже ручкой).

10)

В данной системекоординат построенный график является графиком функции <img src="/cache/referats/24589/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1064">

№2 Построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

Алгоритм построения.

1)

<img src="/cache/referats/24589/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> по точкамв х/о/у/

2)

3)

Выполнимновую разметку.

Рассмотрим построение графика функции <img src="/cache/referats/24589/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1067">.

Прием №2. Для того, чтобыпостроить график функции <img src="/cache/referats/24589/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1068">, надо построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1069">|b| единиц (точка О “ползет” по Оу).

Если b>0, то ось Ох смещается на |b| единиц в отрицательномнаправлении (вниз). Если же b<0,то ось Ох смещается на |b| единиц в положительном направлении (вверх).

Составим алгоритм построения графика функции <img src="/cache/referats/24589/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1070">.

1)

х/о/у/

2)

Построитьграфик функции <img src="/cache/referats/24589/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1071">

3)

/х/ в зависимости от знака b.

4)

хоу.

Рассмотрим несколько примеров

№3 Построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/24589/image086.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031">

Алгоритм построения.

5)

Построим системукоординат х/о/у/

6)

По точкам построим функции <img src="/cache/referats/24589/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

7)

Выполним параллельныйперенос оси о/х/ на 4 единицы в отрицательном направлении(вниз).

8)

Выполним разметку всистеме координат хоу.

№4 Построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1074">.

<img src="/cache/referats/24589/image090.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1032">Алгоритм построения.

1)

х/о/у/ построим график функции <img src="/cache/referats/24589/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1075">

2)

3)

Выполнимразметку в хоу.

Правило 3.

Для построения графика функции <img src="/cache/referats/24589/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> надоиспользовать прием №1 и №2 последовательно.

№5 Построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

Алгоритм построения.

1)

2)

№6 Построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1081">

Алгоритм построения.

1)

х/о/у/ построим график функции <img src="/cache/referats/24589/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

2)

Рассмотрим прием № 4

Для того, чтобы построить графикфункции <img src="/cache/referats/24589/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1084">/(-а:b). Во вспомогательнойсистеме координат построить график функции <img src="/cache/referats/24589/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1085">. Тогда в данной системе координат построенный графикбудет графиком функции <img src="/cache/referats/24589/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1086">

Алгоритм построения.

1)

хоу.

2)

<img src="/cache/referats/24589/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1087">о/

3)

х/о/у/,где о/х/ || охи о/у/ || oy.

4)

х/о/у/ построим график <img src="/cache/referats/24589/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1088">.

5)

6)

№7 <img src="/cache/referats/24589/image111.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">х/о/у/построим график <img src="/cache/referats/24589/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1090">о/ (-3:-4)

Прием № 4 более удобен для работы по сравнению с приемами№1- №3, кроме того, этот прием более приближен к приемам построения кривыхвторого порядка, заданных общим каноническим уравнением второго порядка ваналитической геометрии, изучаемой в вузах.

№8 Построитьграфик функции: <img src="/cache/referats/24589/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

Во вспомогательной системе х/о/у/, где о/-вершина параболы <img src="/cache/referats/24589/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

О/ (Хо; Уо)

О/(1;-2).<img src="/cache/referats/24589/image121.jpg" v:shapes="_x0000_i1094">

№9 Построитьграфик функции:

Во вспомогательной системекоординатной х/о/у/,где о/ (-3;2)построим график функции <img src="/cache/referats/24589/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1096"><img src="/cache/referats/24589/image127.jpg" v:shapes="_x0000_i1097">

№10

Во вспомогательной системекоординат х/о/у/построим график функции <img src="/cache/referats/24589/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1099">

о/(-2;1)<img src="/cache/referats/24589/image133.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036">

V.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Виды квадратных уравнений и способы их решения

29 Августа 2013

Реферат по математике

Статистическое исследование количества потребляемой электроэнергии

29 Августа 2013