Реферат: Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания вэлектрических проводах.
Электрический ток в проводах характеризуетсявеличиной <img src="/cache/referats/16632/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> и напряжением <img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> которые зависят откоординат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать,что падение напряжения на элементе ∆Х равно<img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/16632/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/16632/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> и индуктивного,равного <img src="/cache/referats/16632/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> Итак
<img src="/cache/referats/16632/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1031">
где Rи L –сопротивление икоэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минусвзят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х,получим уравнение
<img src="/cache/referats/16632/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1032">
Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х завремя ∆t, будет
<img src="/cache/referats/16632/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1033">
Она расходуется на зарядку элемента, равную <img src="/cache/referats/16632/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> и на утечку черезбоковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную <img src="/cache/referats/16632/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1035">
Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения
<img src="/cache/referats/16632/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1036">
Сократим на <img src="/cache/referats/16632/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1037">
<img src="/cache/referats/16632/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфнымиуравнениями. Составим систему уравнений
<img src="/cache/referats/16632/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1039">
Из этой системы уравнений можно получить уравнение,содержащее только искомую функцию<img src="/cache/referats/16632/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1040"><img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1041">
Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по tи умножим их на С.
<img src="/cache/referats/16632/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1042">
<img src="/cache/referats/16632/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1043">
Аналогичным образом получим уравнение для определения <img src="/cache/referats/16632/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1044">
<img src="/cache/referats/16632/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
<img src="/cache/referats/16632/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1046">
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) исопротивлением (R=0),то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:
<img src="/cache/referats/16632/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
Исходя из физических условий формулируются граничные иначальные условия задачи.
Навоийский Государственный горный институтГорный факультет
Кафедра «Высшей математики»
Волновые уравнения
Подготовил: студент 2-го курсагруппы 20-02 ГДДерюга А.М.
Навоий 2004 г.