Реферат: Шпаргалка: математика_Latvija_LLU
1.<span Times New Roman"">
<img src="/cache/referats/16279/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1026">Pamatjēdzienipar rindām: skaitļu rindas definīcija, rindas parciālsumma,konverģences definīcija.Parrindu sauc virknes (a<span Trebuchet MS",«sans-serif»">1,
a<span Trebuchet MS",«sans-serif»">2,a<span Trebuchet MS",«sans-serif»">3,...,a<span Trebuchet MS",«sans-serif»">n,…<span Trebuchet MS",«sans-serif»">) locekļu bezgalīgusummu. <span Trebuchet MS",«sans-serif»"> <span Trebuchet MS",«sans-serif»">an — rindasvispārīgais loceklis. Rindas parciālsumma-<img src="/cache/referats/16279/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1027"><img src="/cache/referats/16279/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1029">Sn=a1+a2+ a3+...+ an. Ja parciālsummaieksistē galīga robeža, kad n=>∞ tad saka, ka rindakonverģē, pretējā gadījumā rindadiverģē. Rindu sauc par konverģentu, ja tās parciālsumma virknei ir galīgarobeža. Šo robežu sauc par konverģentas rindas summu. Japarciālsummu nav galīgas robežas, tad rindu sauc pardiverģentu. Diverģentai rindai nav summas. 2.Pozitīvusk. rindu konverģences nepieciešamā pazīme. Sn=a1+a1+...+ an-1+ an; Sn-1=a1+a1+...+ an-1; an=Sn — Sn-1;Pieņēmums: rinda konverģē ; ja rinda konverģē, tad robeža kad n=>∞ ir 0.
2.<span Times New Roman"">
<img src="/cache/referats/16279/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1033"><img src="/cache/referats/16279/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1034"><img src="/cache/referats/16279/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1035"><img src="/cache/referats/16279/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1036"><img src="/cache/referats/16279/image016.gif" v:shapes="_x0000_s1030"><img src="/cache/referats/16279/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1031">Pozitīvu sk. rindu konverģencespietiekamās pazīmes.<img src="/cache/referats/16279/image020.gif" v:shapes="_x0000_s1037"><img src="/cache/referats/16279/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1038"><img src="/cache/referats/16279/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1032">a) Salīdzināšanas pazīme: 0≤an≤bn, a) ja rinda konverģē=> konverģē. b) jarinda diverģē => diverģē. c) ja ,k≠±∞;k≠0, tad abas
<img src="/cache/referats/16279/image025.gif" v:shapes="_x0000_s1039">rindas uzvedas vienādi. b) Dalambērapazīme: ,S<1 rinda k onverģē, S>1 rinda diverģē, S=1pazīme nedod atbildi. c) Košī pazīme , S<1 rindakonverģē, S>1 rinda diverģē, S=1 jāņem citapazīme. d) Integrālā pazīme: ,S=∞,0 rindadiverģē, citādi konverģē.
3.<span Times New Roman"">
Alternējošās rindas, Leibnicapazīme, absolūtā un nosacītā konverģē nce.<img src="/cache/referats/16279/image027.gif" v:shapes="_x0000_s1040">Rindu sauc par alternējošu, ja jebkuriemrindas blakus locekļiem ir pretējas zīmes: u1-u2+u3-...+(-1)n-1un+...,kur burti u1,u2,u3,...apzīmēpozitīvus sk., ir maiņzīmju rindas. Leibnica pazīme:Maiņzīmju rindakonverģē, ja tās locekļi tiecas uz nulli, visu laikudilstot pēc absolūtās vērtības. Tādas rindasatlikumam ir tāsda pati zīme kā pirmajam atmetajam loceklim untas ir mazāks par to pēc absolūtās vērtības.Rinda konverģē, ja izpildās divi nosacījumi: 1) an>an+1,2) . Absolūtāun nosacītā konverģence: Rinda u1+u2+...+un+…(1) katrā ziņa konverģē, ja konverģēpozitīva rinda |u1|+|u2|+...+|un|+... (2), kas sastādīta no dotāsrindas locekļu absolūtajām vērtībām. Dotāsrindas atlikums pēc absolūtās vērtībasnepārsniedz atbilstošo rindas (2) atlikumu. Dotās rindas summa Spēc absolūtās vērtības nepārsniedz rindas (2)summu S’, t.i., |S|≤S’. Vienādība ir tikai tad, ja visiemrindas (1) locekļiem ir viena un tā pati zīme. Definīcijas:Rindu sauc par absolūti konverģentu, ja konverģē rinda, kassastādīta no tās locekļu absolūtajāmvērtībām. Rindu sauc par nosacīti konverģentu, jatā konverģē, bet rinda, kas sastādīta no tāslocekļu absolūtajām vērtībām, diverģē.
4.<span Times New Roman"">
Pakāpju rinda, tās konverģencesintervāls, Ābela teorēma.Par pakāpju rindu saucšāda veida rindu: a0+a1x+ a2x2+...+anxn+… (1) un arīvispārīgākā veidā: a0+ a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+…(2), kur x0ir patstāvīgs lielums. Par rindu (1) saka, katā ir attīstīta pēc x pakāpēm, par rindu (2), katā attīstīta pēc x-x0 pakāpēm.Konstantes a0, a1,..., an,… sauc parpakāpju rindas koeficentiem. Pakāpju rinda vienmērkonverģē vērtībai x=0. Attiecībā uzkonverģenci citos punktos var rasties trīs gadījumi: a) vargadīties, ka pakāpju rinda diverģē visos punktos,izņemot x=0. Tāda, piem, ir rinda x+22x2+33x3+...+nnxn+...,kurai vispārīgais loceklis nnxn=(nx)npēc absolūtās vērtības neierobežoti aug,sākot ar momentu, kad nx kļūst lielāks par vienu.Tādām pakāpju rindām praktiskas nozīmes nav. b)Pakāpju rinda var konverģēt visos punktos. Tāda, piem, irrinda: 1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+...+(xn-1/(n-1)!)+...,kuras summa jebkurai x vērtībai ir vienāda ar ex. c)Tipiskajā gadījumā pakāpju rinda vienā punktukopā konverģē, citā-diverģē. Pakāpju rindas:a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+…konverģences apgabals ir kāds intervāls (-R;R), kas irsimetrisks attiecībā pret punktu x=0. Dažreiz tanījāieskaita abi gali x=R, x=-R, dažreiz tikai viens, bet dažreizabi gali jāizslēdz. Intervālu (-R;R) sauc par pakāpjurindas konverģences intervālu, pozitīvo sk. R parkonverģences rādiusu. Ābela teorēma: Ja pakāpju rindaa0+ a1x+ a2x2+...+anxn+…konverģē (absolūti vai nosacīti) kādā punktāx0, tad tā konverģē absolūti unvienmērīgi jebkurā slēgtā intervālā (a,b),kas atrodas intervāla (-|x0|,+|x0|)iekšienē.5.<span Times New Roman"">
Funkcijuizvirzīšana pakāpju rindā. Teilora un Maklorena rinda.<img src="/cache/referats/16279/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1042">Ja funkciju f(x) var izvirzīt pakāpjurindā a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+...+an(x-x0)n+..., tad izvirzījums irviens vienīgs un rinda sakrītar Teilora rindu, kas attīstīta pēc x-x0.pakāpēm. Teilora rinda: Par Teilora rindu (kas attīstītapēc x-x0 pakāpēm) funkcijai f(x) sauc pakāpjurindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+ (f’’(x0)/2!)(x-x0)2+...+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+...,ja x0=0, tad Teilora rindai (attīstītai pēc xpakāpēm) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+ (f’’(0)/2!)x2+...+(fn(0)/n!)xn+…Maklorena rinda: Pamatojoties uz Teilora rindu:
6.<span Times New Roman"">
<img src="/cache/referats/16279/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1041"><img src="/cache/referats/16279/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1043">Pakāpju rindu lietojumi.<img src="/cache/referats/16279/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1045"><img src="/cache/referats/16279/image037.gif" v:shapes="_x0000_s1044">F-ju vērtības tuvinātoaprēķināšana: 1+(1/2)+ (1/8)+(1/8*6)+ (1/16*2)+ (1/32*120) ,E=10-3. Robežu aprēķināšana:x=>0; ex~1+x; sinx~x;
<img src="/cache/referats/16279/image039.gif" v:shapes="_x0000_s1046"><img src="/cache/referats/16279/image041.gif" v:shapes="_x0000_s1048"><img src="/cache/referats/16279/image043.gif" v:shapes="_x0000_s1047">cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x;ln(1+x)~x; arctgx~x. Integrāļu tuvinātaaprēķināšanai: ; E=10-3; ; Diferenciālvienādojumstuvināta atvasināšana: .
7.<span Times New Roman"">
Furjērinda. Funkciju izvirzīšana Furjē rindā.Furjē rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+a2cos2x+ b2sin2x+..., ; .
<img src="/cache/referats/16279/image045.gif" v:shapes="_x0000_s1051 _x0000_s1054">
<img src="/cache/referats/16279/image047.gif" v:shapes="_x0000_s1056"><img src="/cache/referats/16279/image049.gif" v:shapes="_x0000_s1057"><img src="/cache/referats/16279/image051.gif" v:shapes="_x0000_s1058"><img src="/cache/referats/16279/image053.gif" v:shapes="_x0000_s1052"><img src="/cache/referats/16279/image055.gif" v:shapes="_x0000_s1053">9. Divkāršāintegrāļa definīcija un aprēķināšana Dekartakoordinātēs.D: Robeža uz kuru tiecas summa ,kad lielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli,sauc par divkāršo integrāli no funkcijas f(x,y) pa apgabalu D.Apzīmējums <img src="/cache/referats/16279/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1025">
Apgabalu D, sauc par regulāru pēc x, ja novelkot jebkurāvietā līniju x=c, tā krusto apgabala D robežu nevairāk, kā 2 reizes. Vispārregulārs – regulārspēc x un y Aprēķināšana Dekarta koordinātēs <img src="/cache/referats/16279/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> ds=dxdy
10. Divkāršā integrāļaaprēķināšana polārajās koordinātēs. <img src="/cache/referats/16279/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> f(x,y)=f(rcos<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j
11. Divkāršā integrāļa pielietojums.1.plaknesfigūras lauk. aprēķināšana <img src="/cache/referats/16279/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> 2. Tilpumaaprēķināšana z=z(x,y) <img src="/cache/referats/16279/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> 3. Plaknesfigūras(nehomogēnas) aprēķināšana <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r=<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">r(x,y) <img src="/cache/referats/16279/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> 4. Plaknes figūrasmasas centra aprēķināšana c(xc,yc) Ioy — statiskais moments attiecībā pret y asi
<img src="/cache/referats/16279/image068.gif" v:shapes="_x0000_s1059"><img src="/cache/referats/16279/image070.gif" v:shapes="_x0000_s1055">12. Trīskāršāintegrāļa definīcija un aprēķināšana Dekartakoor dinātēs ,lietojumi.D:Pieņemsim, ka punkta P(x,y,z) funkcija f(x,y,z) ir nepārtrauktatelpas apgabala D iekšienē un uz tā robežas. Sadalām Dn daļās; to tilpumus apzīmēsim ar <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">D
v1, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dv2,..., <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dvn. Katrādaļā ņemsim punktu un sastādīsim summu Sn=f(x1,y1,z1)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dv1+ f(x2,y2,z2)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Dv2+...+f(xn,yn,zn) <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">Dvn. Robežu uz kuru tiecas Sn, kadlielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc parfunkcijas f(x,y,z) trīskāršo integrāli pa apgabalu D.Aprēķināšana Lietojumi 1. Tilpuma aprēķināšana <img src="/cache/referats/16279/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> 2. Nehomogēnaķermeņa masas aprēķināšana <img src="/cache/referats/16279/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1032">13. Pirmā veida līnijintegrāļi, toaprēķināšana, lietojumi. <img src="/cache/referats/16279/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> 1) y=y(x), <img src="/cache/referats/16279/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> <img src="/cache/referats/16279/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> ,ja dota parametriski,tad <img src="/cache/referats/16279/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> 14. Otrāveida līnijintegrāļi, to aprēķināšana,lietojumi. 1) y=y(x), dy=y’dx <img src="/cache/referats/16279/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> <img src="/cache/referats/16279/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> ,ja dots parametriski,tad <img src="/cache/referats/16279/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> <img src="/cache/referats/16279/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> , ja līnija L irnoslēgta, tad Grīna formula <img src="/cache/referats/16279/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> Līnijintegrāļu pielietojums1)darba apr.<img src="/cache/referats/16279/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> 2) līnijas lokagarumu apr. <img src="/cache/referats/16279/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> 3)masunehomogēnai līnijai apr. <img src="/cache/referats/16279/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1044">15. Pirmā veida virsmas integrāļi, toaprēķināšana, lietojumi. <img src="/cache/referats/16279/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> ,aprēķinašķidruma plūsmu caur virsmu <img src="/cache/referats/16279/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> 16. Otrā veidavirsmas integrāļi, to aprēķināšana,lietojumi. <img src="/cache/referats/16279/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> aprēķinašķidruma plūsmu caur virsmu
17.Skalāraislauks. Atvasinājums dotajā virzienā.
Ja katraapgabala d punktam, katrā laika momentā t, pēc noteikta likumapiekārtu funkciju u, tad saka, ka ir dots skalārs lauks u=u(x,y,z,t)(1)Ja f-ja nav atkarīga not, tad lauku sauc par stacionāru u=u(x,y,z) (2) Atvasinājumsdotajā virzienā <img src="/cache/referats/16279/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1048"><img src="/cache/referats/16279/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> <img src="/cache/referats/16279/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
u=u(x,y,z) u(M0),u(M) <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">D
u= u(M)-u(M0) <img src="/cache/referats/16279/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1051">18. Skalāra lauka gradients, tāfizikālā nozīme. Vektoru kura virzienāskalārā lauka izmaiņas ātrums ir vislielākais, saucpar skalārā lauka gradientu grad u <img src="/cache/referats/16279/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1052">19. Vektoru lauks. Vektoru lauka plūsma, tāfizikālā nozīme. Ja kādā telpas apgabalākatram punktam, katrā laika momentā t ir piekārtots noteiktsvektoriāls lielums, tad saka ka ir dots vektoriāls lauks <img src="/cache/referats/16279/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1053"><img src="/cache/referats/16279/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> (1) <img src="/cache/referats/16279/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> (2) 20. Vektoru lauka diverģence,tās fizikālā nozīme. Par vektoru lauka diverģenci saucrobežu no plūsmas un tilpuma attiecības, kad apgabala diametrstiecas uz 0 <img src="/cache/referats/16279/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> (1) <img src="/cache/referats/16279/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> (2)21.Vektoru laukacirkulācija, tās aprēķināšana. Par vektoru laukacirkulāciju sauc līnijintegrāli pa slēgtu līniju.<img src="/cache/referats/16279/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1058">Vektoru lauka rotors, tā fizikālānozīme. Par vektoru lauka a rotoru sauc sekojošo determinantu. <img src="/cache/referats/16279/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> <img src="/cache/referats/16279/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1060">
<img src="/cache/referats/16279/image131.gif" v:shapes="_x0000_s1060"><img src="/cache/referats/16279/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1061">Potenciāls lauks. Vektoru lauku a saucpar potenciālu, ja tas ir vienāds ar kāda skalārālauka gradientu <img src="/cache/referats/16279/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
<img src="/cache/referats/16279/image138.gif" v:shapes="_x0000_s1061"> <img src="/cache/referats/16279/image139.gif" v:shapes="_x0000_s1062">
<img src="/cache/referats/16279/image141.gif" v:shapes="_x0000_s1063">25.Stīgas svārstību vienādojums. <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">d
2u/<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">dt2=a2*<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">d2u/<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">dx2 –stīgassv. vien. Atrisinājums<img src="/cache/referats/16279/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1065"> <img src="/cache/referats/16279/image145.gif" v:shapes="_x0000_s1064">
26.Siltumvadīšanasvienādojums. <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">d
2u/<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">dt=a2*<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">d2u/<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">dx2 –silt.vad. vien.
27. Parciālie diferenciālvienādojumi,Košī problēma, Dirihlē problēma, jaukta veidaproblēma