Реферат: Комплексные числа
Брянский городской лицей № 1
Учебно-исследовательскаяработа
по математике на тему:
“Комплексные числа”
<span Times New Roman",«serif»">Выполнил
ученик 10 физико-
математического класса
Петрухин Вячеслав
Учитель: Тюкачева О.И.
Брянск, 2003
<span Times New Roman",«serif»; font-style:normal">Оглавление
<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;font-style:normal">:<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal"><span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">1.Комплексные числа 3
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">2.Свойства операцийнад комплексными числами 3
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">3. Комплекснаяплоскость 3
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">4. Модуль комплексногочисла 4
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">5. Геометрическийсмысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел 5
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">6. Аргументыкомплексного числа 5
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">7.Алгебраическая итригонометрическая формы. комплексного числа 6
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">8. Умножение и делениекомплексных чисел в тригонометрической форме 8
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">9. Возведение встепень и извлечение корня 8
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">10.Квадратныеуравнения 10
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">11.Использованнаялитература 14
<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">В элементарнойматематике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникаеттак называемый натуральный ряд чисел 1, 2,…
<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;font-style:normal">n<span Times New Roman",«serif»;font-style: normal">,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральнымичислами. Что де касается операций вычитания и деления, то они уже оказываютсяне всегда возможными во множестве натуральных чисел.<span Times New Roman",«serif»;font-style:normal">Та же потребностьизмерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решениеалгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запасарассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.
1.Комплексные числа
Комплексными числами называютсявыражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которыхвводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:
а) два комплексных числа a + ib и c + idравны тогда и только тогда, когда
a=c и b=d;
б) суммой чисел a + ib и c + id называется число
a + c + i(b +d);
в) произведением чисел a + ib и c + idназывается число
ac – bd +i(ad+bc).
Комплексные числа принятообозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w).Равенство z= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.
Действительное число a называется действительнойчастью комплексного числа z= a + ib и обозначается Rez; пишут Re z =a или Rez=a или Re(a + ib) = a. Число bназывается мнимой частью числа z=a +ib и обозначается Imz, пишут Imz = b или Im(a +ib) = b. Символ I называется мнимой единицей.
Заметим, что операции сложения иумножения над числами a+i0 проводятся так же,как над действительными числами.
Таким образом, отождествив число a + i0 с действительным числом a, получим, что каждоедействительное число содержится во множестве комплексных чисел, а именно a =a+i0.
Числа вида 0 +ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib.
На основании формулы (2) найдём значениевыражения i2=ii:
i2 = ii =(0+i1)(0+i1)=-1+i0=-1.
Таким образом,
i2=-1.
2.Свойства операций над комплекснымичислами.
1.<span Times New Roman"">
Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1.2.<span Times New Roman"">
Ассоциативность сложения (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3)3.<span Times New Roman"">
z+0=z.4.<span Times New Roman"">
Коммутативность умножения: z1 z2= z2 z1.5.<span Times New Roman"">
Ассоциативность умножения: z3( z1 z2)=z1( z2 z3).6.<span Times New Roman"">
Дистрибутивный закон: z1( z2 + z3)=z1 z2 + z1 z3.7.<span Times New Roman"">
1*z=z.8.<span Times New Roman"">
z1 и z2, где z1<img src="/cache/referats/14382/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">, существует такое число zтакое, что z1z = z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается <img src="/cache/referats/14382/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> .Деление на 0невозможно.
<div v:shape="_x0000_s1038">
y
<div v:shape="_x0000_s1037">M(a;b)
z = a +ib
<img src="/cache/referats/14382/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1035"><img src="/cache/referats/14382/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1034"><img src="/cache/referats/14382/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1033"><img src="/cache/referats/14382/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1029"><div v:shape="_x0000_s1039">x
<div v:shape="_x0000_s1042">0
<img src="/cache/referats/14382/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1030"><div v:shape="_x0000_s1040">a
<div v:shape="_x0000_s1041">b
3. Комплекснаяплоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат наплоскости. Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствиеточку M(a,b) координатной плоскости, т.е. точку,абсцисса которой равна Rez = a, а ордината равна Imz = b. Обратно, каждой точке плоскости скоординатами (a,b) поставим в соответствиекомплексное число z = a + ib.Сама координатная плоскость называетсяпри этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительнойосью, а ось ординат – мнимой.Не менее важной и удобной являетсяинтерпретация комплексного числа a + ibкак вектор <img src="/cache/referats/14382/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1027">.
4. Модуль комплексногочисла. Модулем комплексного
числа z = a+ibназывается длина вектора, соответствующего
этому числу. Модуль обозначается <img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> или буквой r. Применяя
теорему Пифагора, получим, что <img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> =<img src="/cache/referats/14382/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1030">.
Пусть z = a +ib. Число a – ibназываетсякомплексно сопряжённым с числом z = a+ibи обозначается <img src="/cache/referats/14382/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><img src="/cache/referats/14382/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> = a – ib. Заметим, что <img src="/cache/referats/14382/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1033">= <img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1034">=<img src="/cache/referats/14382/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1035">, z<img src="/cache/referats/14382/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1036">2 + b2=<img src="/cache/referats/14382/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1037">2=<img src="/cache/referats/14382/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1038">2,
<img src="/cache/referats/14382/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1039">
Пример 1. Запишите z в алгебраической форме,если
а) <img src="/cache/referats/14382/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1040">
<img src="/cache/referats/14382/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><img src="/cache/referats/14382/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1042">
б) <img src="/cache/referats/14382/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1043">
<img src="/cache/referats/14382/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1044"><img src="/cache/referats/14382/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
Пример 2. Запишитерешения системы
а) <img src="/cache/referats/14382/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> б)<img src="/cache/referats/14382/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
в алгебраической форме.
Решение:
а)
<img src="/cache/referats/14382/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> <img src="/cache/referats/14382/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> <img src="/cache/referats/14382/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
б)
<img src="/cache/referats/14382/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> <img src="/cache/referats/14382/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> <img src="/cache/referats/14382/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1053">
Пример 3.Существуютли такие действительные числа x и y, для которых числа z1 и z2 являются сопряжёнными
а) z1=8x2 – 20i15,z2=9x2 – 4+ 10yi3;
б)z1=4x + y+(1+I)y, z2=8 +ix.
Решение:
а) z1=8x2 – 20i15=8x2+ 20i; z2=9x2 – 4+ 10yi3=9x2 — 4 — 10yi;
Используя определение сопряжённыхкомплексных чисел, получим систему:
<img src="/cache/referats/14382/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1054"><img src="/cache/referats/14382/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/14382/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1056">откуда такие сопряжённые числа существуют.
б)z1=4x + y + (1+i)y = 4x +2y+yi;
z2=8+ix.
Используя определение сопряжённыхкомплексных чисел, получим систему:
<img src="/cache/referats/14382/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/14382/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1058"><img src="/cache/referats/14382/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> откуда такиесопряжённые числа существуют.
5. Геометрический смыслсложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.
<div v:shape="_x0000_s1062">
z1
<img src="/cache/referats/14382/image061.gif" v:shapes="_x0000_s1049"><div v:shape="_x0000_s1058">M1
<img src="/cache/referats/14382/image062.gif" v:shapes="_x0000_s1045"><div v:shape="_x0000_s1056">y
<img src="/cache/referats/14382/image063.gif" v:shapes="_x0000_s1051">z1=a1 + ib1 и z2=a2 + ib2.Им соответствуют векторыс координатами (a1,b1) и (a2,b2). Тогда числу z1+z2=a1 + a2 + i(b1 + b2) будет соответствоватьвектор с координатами (a1+ a2,b1+b2).Таким образом,чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 и z2, надо сложить векторы,отвечающие комплексным числам z1и z2.<img src="/cache/referats/14382/image064.gif" v:shapes="_x0000_s1068"><img src="/cache/referats/14382/image065.gif" v:shapes="_x0000_s1067"><div v:shape="_x0000_s1066">
z2-z1
<div v:shape="_x0000_s1065">M
<div v:shape="_x0000_s1064">z2
<div v:shape="_x0000_s1061">-z1
<div v:shape="_x0000_s1060">M
<div v:shape="_x0000_s1059">M2
<div v:shape="_x0000_s1057">x
<img src="/cache/referats/14382/image066.gif" v:shapes="_x0000_s1054"><img src="/cache/referats/14382/image067.gif" v:shapes="_x0000_s1052"><img src="/cache/referats/14382/image068.gif" v:shapes="_x0000_s1050"><img src="/cache/referats/14382/image069.gif" v:shapes="_x0000_s1046">z1 — z2 комплексных чисел z1 и z2 соответствуетразность векторов, Соответствующих числам z1 и z2.Модуль<img src="/cache/referats/14382/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> двух комплексных чиселz1 и z2 по определениюмодуля есть длина вектора z1 — z2.Построимвектор, как сумму двух векторов z2и (- z1).Получим вектор <img src="/cache/referats/14382/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1061">, равный вектору <img src="/cache/referats/14382/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1062">.Следовательно, <img src="/cache/referats/14382/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> есть длина вектора <img src="/cache/referats/14382/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1064">, то есть модуль разности двух комплексных чисел естьрасстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этимчислам.<div v:shape="_x0000_s1089">
b
<div v:shape="_x0000_s1088">z=a+ ib
<div v:shape="_x0000_s1086">y
<img src="/cache/referats/14382/image074.gif" v:shapes="_x0000_s1075"><img src="/cache/referats/14382/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1074"><img src="/cache/referats/14382/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1073"><img src="/cache/referats/14382/image075.gif" v:shapes="_x0000_s1070">6. Аргументы комплексного числа.Аргументом комплексного числа z= a + ib<img src="/cache/referats/14382/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1065">z;величина угла считается положительной если отсчет производится против часовойстрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.Дляобозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib,пишут j=argz или j=arg (a+ib).
<div v:shape="_x0000_s1092">
j-2p
<div v:shape="_x0000_s1091">a
<img src="/cache/referats/14382/image078.gif" v:shapes="_x0000_s1072"><div v:shape="_x0000_s1090">j
<div v:shape="_x0000_s1087">x
z=0аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных спонятием аргумента будем считать, что<img src="/cache/referats/14382/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1066">z=0– единственное число, которое определяется заданием только его модуля<img src="/cache/referats/14382/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><img src="/cache/referats/14382/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1068">С другойстороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегдаопределён единственным образом в отличие от аргумента, который всегдаопределяется неоднозначно: если j — некоторый аргумент числа z, то углы j+2pk, <img src="/cache/referats/14382/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1069">z.
Изопределения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib), тоимеет место следующая система
<img src="/cache/referats/14382/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> или <img src="/cache/referats/14382/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1071">
Пример 4. Сколькорешений имеет система уравнений
а)<img src="/cache/referats/14382/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> б)<img src="/cache/referats/14382/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> в)<img src="/cache/referats/14382/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1074">
Решение:
<img src="/cache/referats/14382/image097.gif" v:shapes="_x0000_s1098"><img src="/cache/referats/14382/image098.gif" v:shapes="_x0000_s1095"><img src="/cache/referats/14382/image099.gif" v:shapes="_x0000_s1097"><div v:shape="_x0000_s1100">
1
<img src="/cache/referats/14382/image100.gif" v:shapes="_x0000_s1094"><div v:shape="_x0000_s1099">i
<img src="/cache/referats/14382/image101.gif" v:shapes="_x0000_s1104"><img src="/cache/referats/14382/image102.gif" v:shapes="_x0000_s1101"><img src="/cache/referats/14382/image103.gif" v:shapes="_x0000_s1093">найдём модуль1-i: <img src="/cache/referats/14382/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1075">.
Заметим, что никакая точка большейокружности не
приближена к меньшей нарасстояние, равное <img src="/cache/referats/14382/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1076">
<img src="/cache/referats/14382/image108.gif" v:shapes="_x0000_s1121"><img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1128">
<div v:shape="_x0000_s1123">
i
<img src="/cache/referats/14382/image110.gif" v:shapes="_x0000_s1122"><img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1131"><div v:shape="_x0000_s1126">
1
<img src="/cache/referats/14382/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1127">i только одной точки меньшейокружности мы получаем что эта точка попадает надругуюокружность.
<img src="/cache/referats/14382/image111.gif" v:shapes="_x0000_s1135">
<img src="/cache/referats/14382/image112.gif" v:shapes="_x0000_s1166"><img src="/cache/referats/14382/image112.gif" v:shapes="_x0000_s1165"><div v:shape="_x0000_s1157">
i
<div v:shape="_x0000_s1136">корень
<img src="/cache/referats/14382/image113.gif" v:shapes="_x0000_s1183"><img src="/cache/referats/14382/image114.gif" v:shapes="_x0000_s1182"><img src="/cache/referats/14382/image114.gif" v:shapes="_x0000_s1181"><img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1180"><img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1179"><img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1174"><img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1173"><img src="/cache/referats/14382/image115.gif" v:shapes="_x0000_s1167"><div v:shape="_x0000_s1164">
корни
<img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1162"><img src="/cache/referats/14382/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1161"><img src="/cache/referats/14382/image116.gif" v:shapes="_x0000_s1160"><img src="/cache/referats/14382/image117.gif" v:shapes="_x0000_s1158"><img src="/cache/referats/14382/image118.gif" v:shapes="_x0000_s1155"><div v:shape="_x0000_s1159">
1
7.Алгебраическая итригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.
Рассмотрим другие формы записикомплексных чисел. Пусть r — модуль, а j — какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, тоесть r = <img src="/cache/referats/14382/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1077">j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что <img src="/cache/referats/14382/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1078">
<img src="/cache/referats/14382/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1079">
Запись комплексного числа в виде <img src="/cache/referats/14382/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1080">тригонометрической формой.
Для того чтобы перейти оталгебраической формы комплексного числа a+ib ктригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 5. Какоемножество точек комплексной плоскости задаётся условием
а) <img src="/cache/referats/14382/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1081">
б)<img src="/cache/referats/14382/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1082">
в)<img src="/cache/referats/14382/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1083">
<div v:shape="_x0000_s1229">
а)
<img src="/cache/referats/14382/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1084">д)<img src="/cache/referats/14382/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><img src="/cache/referats/14382/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1086">
<img src="/cache/referats/14382/image139.gif" v:shapes="_x0000_s1185"><img src="/cache/referats/14382/image140.gif" v:shapes="_x0000_s1187"><img src="/cache/referats/14382/image141.gif" v:shapes="_x0000_s1186"><div v:shape="_x0000_s1190">
1
<div v:shape="_x0000_s1188">i
<img src="/cache/referats/14382/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1087"><img src="/cache/referats/14382/image075.gif" v:shapes="_x0000_s1191"><div v:shape="_x0000_s1195">
1
<div v:shape="_x0000_s1194">i
<img src="/cache/referats/14382/image069.gif" v:shapes="_x0000_s1192"><div v:shape="_x0000_s1231">
б)
<img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1200"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1216"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1215"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1214"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1213"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1212"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1211"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1210"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1209"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1208"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1207"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1206"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1205"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1204"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1203"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1202"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1201"><img src="/cache/referats/14382/image144.gif" v:shapes="_x0000_s1199"><img src="/cache/referats/14382/image145.gif" v:shapes="_x0000_s1196">i и вправо на 1 поучались быравноудалёнными от начала координат, откудачтобы построить множествоточек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:
1)<span Times New Roman"">
<img src="/cache/referats/14382/image145.gif" v:shapes="_x0000_s1198">2)<span Times New Roman"">
влево и на iвверх<div v:shape="_x0000_s1232">
в)
<img src="/cache/referats/14382/image146.gif" v:shapes="_x0000_s1218"><img src="/cache/referats/14382/image145.gif" v:shapes="_x0000_s1197"> -iчемк 2i, аэти точки указаны на рисунке.<img src="/cache/referats/14382/image147.gif" v:shapes="_x0000_s1224"><img src="/cache/referats/14382/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1088">
<img src="/cache/referats/14382/image150.gif" v:shapes="_x0000_s1223"><img src="/cache/referats/14382/image151.gif" v:shapes="_x0000_s1222"><img src="/cache/referats/14382/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1089">
<div v:shape="_x0000_s1226">
ip/3
i
<img src="/cache/referats/14382/image154.gif" v:shapes="_x0000_s1225"> <img src="/cache/referats/14382/image155.gif" v:shapes="_x0000_s1220"><img src="/cache/referats/14382/image156.gif" v:shapes="_x0000_s1221"><div v:shape="_x0000_s1228">
p/3
<img src="/cache/referats/14382/image157.gif" v:shapes="_x0000_s1219">i
г)
<img src="/cache/referats/14382/image158.gif" v:shapes="_x0000_s1234 _x0000_s1237 _x0000_s1244 _x0000_s1245"><div v:shape="_x0000_s1243">
1
<img src="/cache/referats/14382/image159.gif" v:shapes="_x0000_s1236 _x0000_s1238 _x0000_s1239 _x0000_s1240 _x0000_s1241 _x0000_s1242">
<img src="/cache/referats/14382/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1090">
<img src="/cache/referats/14382/image162.gif" v:shapes="_x0000_s1271"><img src="/cache/referats/14382/image162.gif" v:shapes="_x0000_s1270"><img src="/cache/referats/14382/image163.gif" v:shapes="_x0000_s1268"><img src="/cache/referats/14382/image163.gif" v:shapes="_x0000_s1260"><img src="/cache/referats/14382/image164.gif" v:shapes="_x0000_s1250"><img src="/cache/referats/14382/image165.gif" v:shapes="_x0000_s1247"><div v:shape="_x0000_s1246">
д)
<img src="/cache/referats/14382/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> это будутточки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число0. Учитывая второе и третье условие, получим:е)
<img src="/cache/referats/14382/image168.gif" v:shapes="_x0000_s1261 _x0000_s1262 _x0000_s1263 _x0000_s1264 _x0000_s1269 _x0000_s1272 _x0000_s1273 _x0000_s1274"> <img src="/cache/referats/14382/image169.gif" v:shapes="_x0000_s1248 _x0000_s1249 _x0000_s1253 _x0000_s1254">е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первомуусловию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,
на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия,получим
искомое множество точек.
Пример6. Будет ли тригонометрической формой числа <img src="/cache/referats/14382/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1092">
а)<img src="/cache/referats/14382/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1093">
б) <img src="/cache/referats/14382/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1094">
в) <img src="/cache/referats/14382/image177.gif" v:shapes="_x0000_i1095">
Решение:
Тригонометрической формой записичисла <img src="/cache/referats/14382/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> только будет выражениеа), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формызаписи числа(<img src="/cache/referats/14382/image179.gif" v:shapes="_x0000_i1097"><img src="/cache/referats/14382/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1098">
8. Умножение и делениекомплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть
<img src="/cache/referats/14382/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1099"> <img src="/cache/referats/14382/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1100">
Тогда
<img src="/cache/referats/14382/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1101">модуль и произведение двух комплексныхчисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителейявляется аргументом произведения.
Пусть<img src="/cache/referats/14382/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1102">
<img src="/cache/referats/14382/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1103">
<img src="/cache/referats/14382/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1104">
Таким образом, модуль частногодвух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разностьаргументов делимого и делителя является аргументом частого.
9. Возведение в степень иизвлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чиселможет быть обобщена на случай <img src="/cache/referats/14382/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1105"><img src="/cache/referats/14382/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1106"><img src="/cache/referats/14382/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1107">
<img src="/cache/referats/14382/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1108">
Отсюда, как частный случай,получается формула, дающая правило возведение комплексного числа <img src="/cache/referats/14382/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> в целую положительнуюстепень:
<img src="/cache/referats/14382/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> (8)
Таким образом, при возведениикомплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится встепень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
Формула (8) называетсяформулой Муавра.
Число <img src="/cache/referats/14382/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1111"><img src="/cache/referats/14382/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1112"><img src="/cache/referats/14382/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> из числа w (обозначается<img src="/cache/referats/14382/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1114"><img src="/cache/referats/14382/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1115">
Если w=0, то при любомn уравнение <img src="/cache/referats/14382/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1116">z=0.
Пусть теперь <img src="/cache/referats/14382/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1117">zи w втригонометрической форме:
<img src="/cache/referats/14382/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1118"><img src="/cache/referats/14382/image220.gif" v:shapes="_x0000_i1119">
Тогда уравнение <img src="/cache/referats/14382/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1120"> примет вид
<img src="/cache/referats/14382/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1121">
Два комплексных числа равны тогдаи только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное2p.Следовательно,
<img src="/cache/referats/14382/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1122">
или
<img src="/cache/referats/14382/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1123">
Таким образом, все решенияуравнения <img src="/cache/referats/14382/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1124">
<img src="/cache/referats/14382/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1125">
В самом деле, придавая числу kвформуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем другихкомплексных чисел.
Формула (9) называется второй формулой Муавра.
Таким образом, если <img src="/cache/referats/14382/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1126">n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле(9).
В частности, если <img src="/cache/referats/14382/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> уравнение <img src="/cache/referats/14382/image232.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> имеет два корня:
<img src="/cache/referats/14382/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1129">
то есть эти корни симметричныотносительно начала координат.
Также из формулы (9) нетруднополучить, что если<img src="/cache/referats/14382/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1130"><img src="/cache/referats/14382/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1131">n-угольника, вписанного в окружностьс центром в точке z=0и радиусом <img src="/cache/referats/14382/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1132">
Из сказанного выше следует, чтосимвол <img src="/cache/referats/14382/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1133"><img src="/cache/referats/14382/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1134">iи-i, или одно, и, если одно, то какоеименно.
Пример 7. Запишите втригонометрической форме:
а) <img src="/cache/referats/14382/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1135">
б)<img src="/cache/referats/14382/image245.gif" v:shapes="_x0000_i1136">
в)<img src="/cache/referats/14382/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1137">
Решение:
а) <img src="/cache/referats/14382/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1138">
<img src="/cache/referats/14382/image251.gif" v:shapes="_x0000_i1139">
б) Так как <img src="/cache/referats/14382/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1140"><img src="/cache/referats/14382/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1141"><img src="/cache/referats/14382/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1142">
Так как <img src="/cache/referats/14382/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1143"><img src="/cache/referats/14382/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1144"><img src="/cache/referats/14382/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1145">
<img src="/cache/referats/14382/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1146">
в) Так как <img src="/cache/referats/14382/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><img src="/cache/referats/14382/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><img src="/cache/referats/14382/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1149">
<img src="/cache/referats/14382/image273.gif" v:shapes="_x0000_i1150">
10.Квадратные уравнения.В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
<img src="/cache/referats/14382/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> (10)
с действительными коэффициентамиa, b, c. Там было показано, чтоесли дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнениядаются формулой
<img src="/cache/referats/14382/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1152"><img src="/cache/referats/14382/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1153"> (11)
В случае, если <img src="/cache/referats/14382/image281.gif" v:shapes="_x0000_i1154">
Для вывода формулы (11)использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложениемлевой части на линейные множители:
<img src="/cache/referats/14382/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1155"> <img src="/cache/referats/14382/image283.gif" v:shapes="_x0000_i1156">
откуда и получалась формула(11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае,когда a, b, cявляютсякомплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексныхчисел.
Таким образом, во множествекомплексных чисел уравнение
<img src="/cache/referats/14382/image285.gif" v:shapes="_x0000_i1157">
всегда разрешимо. Если <img src="/cache/referats/14382/image287.gif" v:shapes="_x0000_i1158"><img src="/cache/referats/14382/image289.gif" v:shapes="_x0000_i1159">
<img src="/cache/referats/14382/image291.gif" v:shapes="_x0000_i1160">
где под<img src="/cache/referats/14382/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1161"> подразумеваются всезначения корня.
Пример 8. Решитьуравнение
а) <img src="/cache/referats/14382/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1162">
б) <img src="/cache/referats/14382/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1163">
Решение:
а) Данное уравнение являетсяквадратным.
По формуле корней квадратногоуравнения имеем:
<img src="/cache/referats/14382/image299.gif" v:shapes="_x0000_i1164">
Для определения всех значений <img src="/cache/referats/14382/image301.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> положим
<img src="/cache/referats/14382/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1166"><img src="/cache/referats/14382/image303.gif" v:shapes="_x0000_i1167">
Тогда
<img src="/cache/referats/14382/image305.gif" v:shapes="_x0000_i1168">
и, следовательно, x и y</spa