Реферат: Методические указания по курсу "Математика" для студентов I курса исторического факультета

Сыктывкарскийгосударственный университет

Кафедраматематического анализа

Методическиеуказания по курсу “Математика”

для студентов Iкурса исторического факультета

(заочноеотделение)

Преподаватель Попова Н.А.

Сыктывкар 2001

Учебный план по курсу “Математика”

для Iкурса исторического факультета (заочное отделение)

на 2001-02 уч.год преподавателяПоповой Н.А.

Iсеместр. Лекции (4 часа)

1.

Краткий исторический очеркразвития математики. Обзор литературы.

2.

Множества, элементыкомбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую логику,знакомство с графами.

Консультация (1 час). Методические указания к выполнению контрольнойработы.

Задания для самостоятельной работы:

1.

Контрольная работа (5 задач. См. приложение 1).

2.

Подготовка (написание)реферата по выбранной теме (список тем – приложение 2).

IIсеместр. Практическиезанятия (12 часов). Решение задач.

1.

Множества. Элементыкомбинаторики.

2.

Элементы теории графов иматематической логики.

3.

Элементы теории вероятностей.Математическое ожидание и дисперсия, их применение в математической статистике.

4.

Функции и их графики.

Семинары.

5–6. Некоторые вопросы истории развития математики(основные вехи развития общества и развития математики).

Консультации (к зачету) – 13 часов.

Зачет ставитсяс учетом оценок за:

1)

контрольную работу,

2)

реферат (по индивидуальнойтеме),

3)

участие в работепрактических занятий (общая оценка за 6занятий),

4)

ответы на вопросы зачета подвум частям (2 вопроса, приложение 3).

Списокосновной литературы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Приложение 1.

Контрольная работа по математике

для I курсаисторического факультета СГУ (заочноеотделение)

Задание 1. (Множества. Комбинаторика.)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

? В каждой из аббревиатур использоватькаждую букву из множества С только по одномуразу (т.е. без повторений).

7)

? Что собой представляют наборы букв этих слов – сочетания илиразмещения?

8)

Пример решения такой задачи. Пусть автор – Пафнутий Львович Чебышёв(будем считать е и ё за одну и ту же букву). Тогда

1) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, И, Ч}, С={Ч, Е, Б, Ы,Ш, В}.

2) <img src="/cache/referats/12597/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, Л, Ь, В, О, Ч}. <img src="/cache/referats/12597/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

3)

4)

<img src="/cache/referats/12597/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">{П,А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.

П А Ф

Н У Т

Б Е

Ч Ш Ы

П А Ф Н У Т Й Й

Б Е Ш Ы

Е Ш ВЫ

Л Ь В

Л Ь

В ЧЧ

<img src="/cache/referats/12597/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1040">{П,А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.

Ответ: Т.к. получилось однои то же множество, то равенство верно.

<img src="/cache/referats/12597/image052.gif" v:shapes="_x0000_s1072"><img src="/cache/referats/12597/image052.gif" v:shapes="_x0000_s1074"><img src="/cache/referats/12597/image053.gif" v:shapes="_x0000_s1075"><img src="/cache/referats/12597/image053.gif" v:shapes="_x0000_s1076"><img src="/cache/referats/12597/image052.gif" v:shapes="_x0000_s1073"><img src="/cache/referats/12597/image052.gif" v:shapes="_x0000_s1071"><img src="/cache/referats/12597/image053.gif" v:shapes="_x0000_s1070"><img src="/cache/referats/12597/image052.gif" v:shapes="_x0000_s1077"><img src="/cache/referats/12597/image054.gif" v:shapes="_x0000_s1050"> <img src="/cache/referats/12597/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> Ч

<img src="/cache/referats/12597/image057.gif" v:shapes="_x0000_s1068"> О

<img src="/cache/referats/12597/image057.gif" v:shapes="_x0000_s1067"> В

<img src="/cache/referats/12597/image058.gif" v:shapes="_x0000_s1066"> Ь

<img src="/cache/referats/12597/image058.gif" v:shapes="_x0000_s1189"><img src="/cache/referats/12597/image057.gif" v:shapes="_x0000_s1064"> Л

П А Ф Н У Т И Й

6) Таккак аббревиатуры составляются из всех букв множества С ибез повторений, то их количество равно множеству порядков на множестве С: <img src="/cache/referats/12597/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

7) Т.к. при перестановке букв в слове получаютсядругие (новые) слова (например, ЛОВ и ВОЛ), то наборы букв для слов – эторазмещения, т.к. важен порядок выбора букв. Всех размещений из букв множества Впо 3 - <img src="/cache/referats/12597/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1043">“ь”, поэтому такие наборы надо исключить, их количество равно <img src="/cache/referats/12597/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> <img src="/cache/referats/12597/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

Ответ: 100.

8) Т.к. <img src="/cache/referats/12597/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> <img src="/cache/referats/12597/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

Задание 2 (Графы)

Пусть множество А из предыдущегозадания есть множество обозначений вершин для построения графов, т.е. множестваточек V.

1)

<img src="/cache/referats/12597/image072.gif" v:shapes="_x0000_s1056"> а) полный граф — <img src="/cache/referats/12597/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> б) двудольный граф — <img src="/cache/referats/12597/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> в) полный двудольныйграф — <img src="/cache/referats/12597/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> г) регулярный граф — <img src="/cache/referats/12597/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> (указать егостепень), д) односвязный граф с одним “мостом” — <img src="/cache/referats/12597/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> е) непростой граф — <img src="/cache/referats/12597/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> (т.е выполнить не менеешести рисунков).

2)

а) эйлеров граф, б) полуэйлеров граф, в) граф, имеющий циклы (если они есть нарисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).

3)

Например.

<img src="/cache/referats/12597/image085.gif" v:shapes="_x0000_s1091"><img src="/cache/referats/12597/image086.gif" v:shapes="_x0000_s1089"><img src="/cache/referats/12597/image087.gif" v:shapes="_x0000_s1085"><img src="/cache/referats/12597/image088.gif" v:shapes="_x0000_s1084"> b

a c полный граф с пятью вершинами; он жерегулярный

<img src="/cache/referats/12597/image096.gif" v:shapes="_x0000_s1088"> (однородный),степень вершин r = 4; а также он эйлеров;

l d односвязный.

<img src="/cache/referats/12597/image097.gif" v:shapes="_x0000_s1097"><img src="/cache/referats/12597/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> n двудольный и двусвязныйграф; (двудольный -

<img src="/cache/referats/12597/image099.gif" v:shapes="_x0000_s1100"><img src="/cache/referats/12597/image100.gif" v:shapes="_x0000_s1098"> m неполный).

<img src="/cache/referats/12597/image101.gif" v:shapes="_x0000_s1099"><img src="/cache/referats/12597/image102.gif" v:shapes="_x0000_s1101"> k o

<img src="/cache/referats/12597/image103.gif" v:shapes="_x0000_s1102"><img src="/cache/referats/12597/image104.gif" v:shapes="_x0000_s1103"> p q

<img src="/cache/referats/12597/image105.gif" v:shapes="_x0000_s1112"><img src="/cache/referats/12597/image106.gif" v:shapes="_x0000_s1111"><img src="/cache/referats/12597/image107.gif" v:shapes="_x0000_s1104"><img src="/cache/referats/12597/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> t u непростой, односвязный содним “мостом”,

<img src="/cache/referats/12597/image109.gif" v:shapes="_x0000_s1113"><img src="/cache/referats/12597/image110.gif" v:shapes="_x0000_s1108"><img src="/cache/referats/12597/image111.gif" v:shapes="_x0000_s1109"><img src="/cache/referats/12597/image112.gif" v:shapes="_x0000_s1107"> полуэйлеров граф.

x v

<img src="/cache/referats/12597/image113.gif" v:shapes="_x0000_s1110"><img src="/cache/referats/12597/image114.gif" v:shapes="_x0000_s1114"><img src="/cache/referats/12597/image115.gif" v:shapes="_x0000_s1121"> z w

Задание 3 (Теория вероятностей)

Возьмем множества А и В иззадания 1. Пусть каждая из букв написана на отдельной карточке и множества А иВ – это две колоды карточек (все карточки положены буквами вниз, их не видно).

Вычислить вероятность того, чтопри выборе наугад по одной карточке из каждой колоды будут вынуты а) 2 одинаковые буквы; б) 2 разныебуквы; в) хотя бы одна из букв такая,какую Вы задумали заранее (укажите, какую именно; если есть разные вариантырешения, то покажите все решения).

Например, ) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, В, И, Ч}. Тогда: а) общая буква только одна –И; вероятность ее выбора из А равна <img src="/cache/referats/12597/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/12597/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> вероятность еевыбора из А и из В – <img src="/cache/referats/12597/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> (правило произведения); б) т.к. во всех остальных случаях буквы будутразличны, то вероятность выбора двух разных букв равна <img src="/cache/referats/12597/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> (можно ее найти идругим способом); в) если задумана буква“И”, то вероятность ее выбора хотя бы изодной колоды – это 3 случая: “И” из А и любая другая букваиз В, “И” из В и любая другая букваиз А, а также “И” – из А и В; сложиввероятности, получим: <img src="/cache/referats/12597/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> Аналогично для других букв (2 случ.).

Внимание! В заданиях 4 и 5каждый студент должен выполнить свой вариант. Номер варианта соответствуетВашему номеру зачетной книжки следующим образом: а) если две последние цифрыномера зачетной книжки составляют число не больше тридцати, то это и есть номерВашего варианта; б) если две последниецифры составляют число большее тридцати, то из него следует вычесть 30 столькораз, сколько возможно; остаток и есть номер Вашего варианта; если две последниецифры номера зачетной книжки 60 ли 90, то Вы выполняете вариант 30. Например,номер зачетной книжки …41 – вариант 11, т.к. 41=30+11, …62 – вариант 2, …97 – вариант 7; …208 – т.е.…08 – вариант 8.

Задание 4 (Математическая логика).

А. В вариантах 1 – 15 составитьтаблицу истинности формулы:

1. ù

x &y Ú(ùyºxÚùy); 2. ù(x &ùy )Ú(ùx&y)ºùy);

3. y Ú

ù x &( y &x®ùx); 4. x Úy º(ù x &ùy®y);

5. x º

( x Úùy ®ùy&ùx); 6. (y ®ùx Ú( x &y)) ºxÚy;

7. ù

(x Úùy)®(xÚùy); 8. x Ú( y ® y Úù(xÚy));

9. x Ú

y ®ùy&( x ® y); 10. x &( ùy®xÚ y);