Реферат: Средние величины в статистике

TOC o «1-3» h z Введение… PAGEREF _Toc185492749 h 3

1.Теоретическая часть… PAGEREF _Toc185492750 h 4

1.1 Средние величины в экономическом анализе.PAGEREF _Toc185492751 h 4

1.1.1Условия применения средних величин в анализе. PAGEREF _Toc185492752 h 7

1.2 Виды средних величин.PAGEREF _Toc185492753 h 10

1.2.1Средняя арифметическая. PAGEREF _Toc185492754 h 12

1.2.2 Средняя гармоническая. PAGEREF _Toc185492755 h 14

1.2.3 Средняя геометрическая. PAGEREF _Toc185492756 h 16

1.2.4 Средняя квадратическая и средняякубическая. PAGEREF _Toc185492757 h 17

1.2.5Структурные средние.PAGEREF _Toc185492758 h 18

1.3 Применение средних величин втуризме.PAGEREF _Toc185492759 h 23

2. Практическая часть… PAGEREF _Toc185492760 h 26

Заключение… PAGEREF _Toc185492761 h 42

Список литературы:PAGEREF _Toc185492762 h 44

Введение

В данной работе рассмотрим такое понятие, как средние величины.Большое распространение в статистике имеют средние величины. В средних величинахотображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен.Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческойдеятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Правильноепонимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночнойэкономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее инеобходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

В теоретической частирассмотрим виды средних величин, а именно: средняя арифметическая, средняягармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняякубическая и структурные средние — в экономическом анализе, а также условия ихприменения. Материал изложен с пояснениями и примерами.

Актуальность темызаключается в том, что область применения и использования средних величин встатистике довольно широка. Цель — ознакомление с применением средних величин в статистике. В связи с заданнойцелью были поставлены следующие задачи:

ü

охарактеризовать средние величины вэкономическом анализе

ü

раскрыть виды средних величин

ü

как применяются средние величины втуризме

1.Теоретическаячасть1.1 Средние величины в экономическоманализе.

Статистика, как известно,изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений можетиметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например,заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один итот же товар и т.д.Средниевеличины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности:издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Для изучения какой-либосовокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средниевеличины.

Средняя величина — это обобщающая количественнаяхарактеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку.[1] В экономической практикеиспользуется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Например,обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служитсредний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы ивыплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) кчисленности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов,например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключаяимеющих льготы и дополнительные доходы) можно определить типичные доли расходовна покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительностирабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровнепроизводительности труда и т.д.

Важнейшее свойствосредней величины заключается в том, что она представляет значение определенногопризнака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различияего у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всемединицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицысовокупности она характеризует всю совокупность в целом.

Средние величины связаныс законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднениислучайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона большихчисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость,закономерность, однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основеобобщения массы фактов.

Средние величиныпозволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различнойчисленностью единиц. Важнейшим условием научного использования средних величинв статистическом анализе общественных явлений является однородностьсовокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и техникевычисления средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, ав других (для однородной совокупности) соответствует действительности.

Качественная однородностьсовокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализасущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется,чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайностьпшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислятьсреднюю для разнородных культур. Средние, полученные для неоднородныхсовокупностей, будут искажать характер изучаемого общественного явления илибудут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень доходов служащихкакого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, поскольку дляего исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себяслужащих предприятий различных типов (государственных, совместных, арендных,акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки,культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется всочетании с методом группировок, позволяющим выделить однородные группы, по которыми исчисляются типические групповые средние. Средние величины очень тесносвязаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимоисчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (длятипических групп этого явления по изучаемому признаку).

Групповыесредние позволяют избежать «огульных» средних, обеспечивают сравнениеуровней отдельных групп с общим уровнем по совокупности, выявление имеющихсяразличий и т.д.

Однаконельзя сводить роль средних только к характеристике типических значенийпризнаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практикесовременная статистика использует так называемые системные средние, обобщающиенеоднородные явления (характеристики государства, единой народнохозяйственнойсистемы: например, средний национальный доход на душу населения, средняяурожайность зерновых по всей стране, средний реальный доход на душу населения,среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительностьобщественного труда).

Всовременных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служатинструментом изучения объективных закономерностей социально-экономическихявлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишьсредними показателями, так как за общими благоприятными средними могутскрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельныххозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Так, например,распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новыхсоциальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимоучитывать особенности отдельных единиц совокупности.

Средняявеличина может принимать такие значения, которые не присущи непосредственно ниодному из элементов изучаемой совокупности, кроме того, на практике частосредняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного.Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: врегионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складываетсясобственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость порегиону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести с численностьюнаселения и умножить на 1000.

Результатрасчета средней величины по данному показателю может выражаться в дробныхчислах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целымчислом.

Средняявеличина является равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние наизучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаютсявлияние случайных (индивидуальных) факторов и, таким образом, возможноопределение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетлеподчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности переходаот единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование среднихвеличин является категорией объективной действительности. «Понятие о среднейвеличине существует вне науки, которая только придает ему определенность иточность[2]».

Математические приемы,используемые в различных разделах статистики, непосредственно связаны свычислением средних величин.

Средние в общественныхявлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-тоопределенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерноодинаковыми средними.

1.1.1 Условия применения средних величин в анализе

Как уже говорилось выше, обязательным условиемрасчета средних величин для исследуемой совокупности является ее однородность.Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженностивлиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишкоммалые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных.Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтомусредняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величинупризнака.

Еслиисследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы,содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываютсясначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будутвыражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затемрассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующаяявление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних,взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. Напрактике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собойограничение возможностей статистического анализа общественных процессов.Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям.

Еще однимважным условием применения средних величин в анализе является достаточноеколичество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значениепризнака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректнымопределением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще наначальном этапе статистического исследования. Данное условие становитсярешающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечитьрепрезентативность выборки.

Определениемаксимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности такжеявляется условием применения средней величины в анализе. В случае большихотклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверитьпринадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильнаяизменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то,возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, ихследует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер среднейвеличины.

1.2 Виды средних величин.

В статистике выделяют несколько видовсредних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическаяи т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Средние величины различаются взависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитываетсядля признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такаясредняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии наосредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которыенеобходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, торассчитывается средняя взвешенная.

По форме расчета выделяют нескольковидов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины.Степенная средняя величина имеет форму:

где <img src="/cache/referats/27670/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

k – показатель степени средней;

x– текущее значение (вариант)осредняемого признака;

i –i-тый элемент совокупности;

n – число наблюдений (число единицсовокупности).

При разных показателях степени kполучаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1):

Таблица SEQ Таблица * ARABIC 1

Степень

средней величины (k)

Название
средней

-1

гармоническая

геометрическая

арифметическая

квадратическая

кубическая

Выбор формы средней обусловленисходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядокрасчета средней величины:

1. Определение исходного соотношениядля исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных длярасчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Рассмотрим некоторые видысредних, которые наиболее часто используются в статистике. Для этого введемследующие понятия и обозначения:

Признак, по которомунаходится средняя, называемый осредняемым признаком, обозначим буквой «х»

Значенияпризнака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности(не повторяясь) называются вариантами признака и обозначаются через x1, x2,x3и т.д. Средняя величина этихзначений обозначается через " " .1.2.1 Средняя арифметическая

Средняя арифметическаяпростая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной начисло этих значений.

Отдельные значенияпризнака называют вариантами и обозначают через х (<img src="/cache/referats/27670/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/27670/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Например, имеются следующие данные о продажепутевок менеджерами турфирмы за неделю:

№ менеджера

Продано путевок за неделю

В данном примереварьирующий признак – продажа путевок за неделю.

Численные значенияпризнака (16, 17 и т. д.) называютвариантами. Определим среднюю продажу путевок менеджерами за неделю:

Простая средняяарифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данныепредставлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Средняя арифметическаявзвешенная вычисляется по формуле <img src="/cache/referats/27670/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">fi — частота повторения i-ых вариантов признака, называемаявесом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенныхвариантов признака, деленная на сумму весов. <img src="/cache/referats/27670/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> Она применяется в техслучаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) числораз.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытымиинтервалами. В таких рядах условно величина интервала первой группы принимаетсяравной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы — величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

При расчете средней по интервальномувариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это ибудут значения xi, а количество единиц совокупности в каждой группе fi(таблица 2).

Таблица SEQ Таблица * ARABIC 2

Возраст рабочего, лет

Число рабочих, чел (fi)

Середина возрастного интервала, лет (xi)

20-30

30-40

40-50

50-60

60 и более

Итого

106

Средний возраст рабочих турфирмыбудет равен <img src="/cache/referats/27670/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднююпо групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частнымсредним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частныесредние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняяарифметическая взвешенная.

Средняя арифметическаяобладает рядом свойств:

1. От уменьшения илиувеличения частот каждого значения признака х в nраз величина средней арифметической не изменится.

Если все частотыразделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множительиндивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности)их средних:

4. Если х = с, где с — постояннаявеличина, то <img src="/cache/referats/27670/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

5. Сумма отклоненийзначений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

1.2.2 Средняягармоническая

Наряду со среднейарифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической изобратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может бытьпростой и взвешенной.[3] Применяется она тогда,когда необходимые веса (

fi) в исходных данных не заданынепосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

Средняя гармоническаяпростая рассчитывается по формуле <img src="/cache/referats/27670/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

Например, группаменеджеров была занята разработкой одинаковых туров в течение 8-часовогорабочего дня. Первый менеджер затратил на один тур 12 мин, второй — 15мин., третий — 11, четвертый — 16 ипятый — 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одноготура.

На первый взгляд кажется, что задача легкорешается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя былабы правильной, если бы каждый менеджер разработал только по одномутуру. Но в течение дня отдельными менеджерамибыло изготовлено различное число туров. Для определения числа туров, изготовленных каждым менеджером,воспользуемся следующим соотношением:

все затраченное время

Среднее время,затраченное = --------------------------------------

на разработку одного число туров

тура

Число туров,изготовленных каждым менеджером, определяется отношением всего времени работы ксреднему времени, затраченному на один тур. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одного тура,равно:

Это же решение можнопредставить иначе:

Таким образом, формула для расчета средней гармоническойпростой будет иметь вид:

Средняя гармоническаявзвешенная:

<img src="/cache/referats/27670/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">Mi=xi*fi (по содержанию).

Например, необходимоопределить средний курс продажи акций (таблица 3):

Таблица SEQ Таблица * ARABIC 3

Сделка

Количество проданных акций, шт.

Курс продажи, руб.

500

300

1100

1080

1050

1145

Итого

1900

Средний курс продажиакций будет равен <img src="/cache/referats/27670/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

1.2.3 Средняягеометрическая

Средняягеометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значенияпризнака представляют собой, как правило, относительные величины динамики,построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровнюкаждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняягеометрическая исчисляется извлечением корня степени из произведений отдельных значений —вариантов признака х:

где n— число вариантов; П — знакпроизведения.

Наиболее широкое применениесредняя геометрическая получила в анализе динамики среднего темпа роста.[4]

1.2.4 Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаевв экономической практике возникает потребность расчета среднего размерапризнака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогдаприменяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величиныстороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) исредняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Средняяквадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммыквадратов отдельных значений признака на их число:

где x1,x2,…xn — значения признака, n — их число.

Средняяквадратическая взвешенная:

где f-веса.

Средняякубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммыкубов отдельных значений признака на их число:

где x1,x2,…xn — значения признака, n — их число.

Средняякубическая взвешенная:

где f-веса.

Средниеквадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практикестатистики. Наиболее широко средняя квадратическая используется при расчетепоказателей вариации[5].

Средняя может быть вычисленане для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой среднейможет быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая недля всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше илиниже сред- них индивидуальных).

1.2.5 Структурные средние.

Для характеристикиструктуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние.Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

Мода– значение случайной величинывстречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду этовариант имеющий наибольшую частоту.

В дискретных вариационныхрядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют вгороде 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46;42; 46;43;

Так как чаще всеговстречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальныхвариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

где <img src="/cache/referats/27670/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> — начальное значениеинтервала, содержащего моду;

<img src="/cache/referats/27670/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> — величина модальногоинтервала;

<img src="/cache/referats/27670/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> — частота модальногоинтервала;

<img src="/cache/referats/27670/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> — частота интервала,предшествующего модальному;

<img src="/cache/referats/27670/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> — частота интервала,следующего за модальным.

Место нахождениямодального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4)

Распределениетурагентств по численности персонала характеризуетсяследующими данными:

Таблица SEQ Таблица * ARABIC 4

Группы турагентств по числу работающих, чел

Число тур. агентств

100 — 200

200 — 300

300 — 400

400 — 500

500 — 600

600 — 700

700 — 800

ИТОГО

В этой задаче наибольшеечисло турагентств (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек.Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

Подставим эти значения вформулу моды и произведем вычисления:

Мода применяется длярешения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборотарынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используютмодальные размеры обуви и одежды и др.

Медиана — это численное значение признака утой единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда(построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемогопризнака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делитсовокупность на две равные части.

В дискретных вариационныхрядах с нечетным числом единиц совокупности — это конкретное численное значениев середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у14-го, если они выстроятся по росту.Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическаяиз значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек,то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальныхвариационных рядах медиана определяется по формуле:

<img src="/cache/referats/27670/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> , где

x0 — нижняя гранича медианногоинтервала;

iMe — величина медианного интервала;

Sme-1 — сумманакопленных частот до медианного интервала;

fMe — частота медианного интервала.

Распределениетурагентств по численности персонала характеризуетсяследующими данными:

Таблица SEQ Таблица * ARABIC 5

Группы турагентств по числу рабочих, чел.

Число турагентств

Сумма

еще рефераты