Реферат: Асимптотические методы исследования интегралов с параметром

Введение

Многочисленныезадачи математики, математической физики, механики, техники

приводят к необходимости исследовать интегралы вида

при больших значенияхпараметра <img src="/cache/referats/21929/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">.

Можно по пальцам пересчитать те случаи, когдатакие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны, при больших значениях параметра вычислениезначений таких

интегралов не подсилу даже самым современным ЭВМ.Единственное, что остается –

это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотическиеметоды, к сожалению, также имеют свои границы.Не следует думать,

что асимптотикулюбого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить.Но в ряде

случаев получающиеся асимптотические формулы настолькопросты, что сомневаться

в применении именно этих методов не приходится.

1.Основные формулы

ИнтеграламиЛапласа называются интегралы вида

<img src="/cache/referats/21929/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> , (1.1)

где <img src="/cache/referats/21929/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">-вещественнозначная функция,<img src="/cache/referats/21929/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">-большой положительный параметр.Функция

<img src="/cache/referats/21929/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> может приниматькомплексные значения.Будем считать для простоты, что <img src="/cache/referats/21929/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

конечный отрезок и что <img src="/cache/referats/21929/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> -достаточно гладкиепри <img src="/cache/referats/21929/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> функции.Тривиальный

случай <img src="/cache/referats/21929/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> не рассматривается.

<img src="/cache/referats/21929/image022.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027">
рис.1

Пусть <img src="/cache/referats/21929/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> и достигаетсятолько в точке <img src="/cache/referats/21929/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/21929/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

имеет максимум вточке <img src="/cache/referats/21929/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/21929/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1039"><img src="/cache/referats/21929/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

можно приближенно заменить интегралом по малой окрестноститочки максимума <img src="/cache/referats/21929/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

и это приближениебудет тем точнее, чем больше <img src="/cache/referats/21929/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1042"><img src="/cache/referats/21929/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

можно приближенно заменить по формуле Тейлора, и мы получиминтеграл, асимптотика

которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.

Пусть <img src="/cache/referats/21929/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1044">.Тогда <img src="/cache/referats/21929/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1045">; пусть для простоты <img src="/cache/referats/21929/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1046">.Тогда

где <img src="/cache/referats/21929/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> — малое фиксированное число, и

<img src="/cache/referats/21929/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> <img src="/cache/referats/21929/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1050">.

Следовательно,

<img src="/cache/referats/21929/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1051">.

Заметим, что <img src="/cache/referats/21929/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1052">.Последний интеграл равен

<img src="/cache/referats/21929/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> (<img src="/cache/referats/21929/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1054">),

так как

<img src="/cache/referats/21929/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/21929/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1056">.

Итак, мы получили асимптотическую формулу

<img src="/cache/referats/21929/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> (<img src="/cache/referats/21929/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1058">). (1.2)

Пример 1.Вычислим интеграл

<img src="/cache/referats/21929/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1059">. (<img src="/cache/referats/21929/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1060">).

Здесь функция <img src="/cache/referats/21929/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> наотрезке [-1,1] имеет максимум в точке <img src="/cache/referats/21929/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> ; также

<img src="/cache/referats/21929/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1063">.Все вышеперечисленные условия выполняются,следовательно можно ис-

пользовать формулу (1.2).

<img src="/cache/referats/21929/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> .

Получили формулу:

<img src="/cache/referats/21929/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> (<img src="/cache/referats/21929/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1066">).

Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функцииЭйлера

Метод Лапласанепосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция <img src="/cache/referats/21929/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> не

имеет максимума наданном интервале.

Представим подинтегральную функцию ввиде

и сделаем заменупеременной, положив <img src="/cache/referats/21929/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1070">.Тогда имеем:

<img src="/cache/referats/21929/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1071">.

Наш интеграл примет вид:

<img src="/cache/referats/21929/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1072">.

Это интеграл Лапласа: здесь <img src="/cache/referats/21929/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> и <img src="/cache/referats/21929/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1074">.Функция <img src="/cache/referats/21929/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> достигает максимума

при <img src="/cache/referats/21929/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1076">, причем <img src="/cache/referats/21929/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1077">Поэтому по формуле (1.2) получаем

Получилиформулу:

Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга

так как <img src="/cache/referats/21929/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> для любогонатурального <img src="/cache/referats/21929/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1082">

Пусть теперь <img src="/cache/referats/21929/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> совпадает с одним изконцов отрезка, например <img src="/cache/referats/21929/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1084"><img src="/cache/referats/21929/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><img src="/cache/referats/21929/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> интегралом по отрезку <img src="/cache/referats/21929/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> и заменяя

приближенно на этомотрезке функции

<img src="/cache/referats/21929/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> <img src="/cache/referats/21929/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1089">, получаем, что

Заметим, что <img src="/cache/referats/21929/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

<img src="/cache/referats/21929/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> (<img src="/cache/referats/21929/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1093">) (1.3)

Пример3.Вычислим интеграл

Здесь функция <img src="/cache/referats/21929/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1095"> на отрезке [0,2] имеет максимум в точке <img src="/cache/referats/21929/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1096">

<img src="/cache/referats/21929/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1097">Следовательно, можно применить формулу (1.3):

Получили формулу:

По существу этидве формулы являются основными асимптотическими формулами для

интегралов Лапласа.Намудалось получить простые асимптотические формулы по двум

следующим причинам:

1).Подытегральнаяфункция имеет при больших <img src="/cache/referats/21929/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> резкий максимум (т.е.интеграл по

отрезку I можно приближенно заменитьинтегралом по малой окрестности точки

максимума).

2).Вокрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более

простой (например, такой, что интеграл от нее берется или егоасимптотика легко вычисляется).

2.Простейшие оценки

Лемма1.1. Пусть

и при некотором <img src="/cache/referats/21929/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> интеграл (1.1)сходится абсолютно:

<img src="/cache/referats/21929/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1103">.

Тогда имеет место оценка

<img src="/cache/referats/21929/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1104">.

3.Лемма Ватсона

Рассмотрим интегралЛапласа, в котором S-степеннаяфункция

<img src="/cache/referats/21929/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> (1.4)

где <img src="/cache/referats/21929/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1106">.Так как в окрестности точки максимума S(x) можно прибли-

женно заменить степенной функцией (вообще говоря), товычисление асимптотики

интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотикиэталонных интегралов (1.4).

Получимасимптотические оценки для <img src="/cache/referats/21929/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1107"> при <img src="/cache/referats/21929/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1108">

Лемма 1.2 (Ватсона).Пусть <img src="/cache/referats/21929/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1109">.Тогда при <img src="/cache/referats/21929/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> справедливо

асимптотическое разложение

<img src="/cache/referats/21929/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1111"> (1.5)

Главный член асимптотики имеет вид

<img src="/cache/referats/21929/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1112"> (1.5´)

Пример 4.Вычислим интеграл

<img src="/cache/referats/21929/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> (<img src="/cache/referats/21929/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1114">)

Здесь <img src="/cache/referats/21929/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1115">, функция <img src="/cache/referats/21929/image163.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> непрерывна на[0,<img src="/cache/referats/21929/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1117">].Применим формулу (1.5´):

Получили формулу:

<img src="/cache/referats/21929/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> (<img src="/cache/referats/21929/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1120">)

4.Вклад от граничной точки максимума (основнойслучай)

Рассмотрим интеграл Лапласа <img src="/cache/referats/21929/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1121"> (см.(1.1)).

Теорема1.1. Пусть <img src="/cache/referats/21929/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1122"> — конечный отрезок и выполнены условия:

1º.<img src="/cache/referats/21929/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1123"> достигается только вточке <img src="/cache/referats/21929/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1124">.

2º.<img src="/cache/referats/21929/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1125">

3º.<img src="/cache/referats/21929/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> при <img src="/cache/referats/21929/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1127">, близких к <img src="/cache/referats/21929/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1128">, и <img src="/cache/referats/21929/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1129">.

Тогда при <img src="/cache/referats/21929/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1130"> справедливо разложение

<img src="/cache/referats/21929/image189.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> (1.6)

Коэффициенты <img src="/cache/referats/21929/image191.gif" v:shapes="_x0000_i1132"> имеет вид

<img src="/cache/referats/21929/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1133">, <img src="/cache/referats/21929/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> (1.7)

Главный член асимптотики имеет вид

<img src="/cache/referats/21929/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> (<img src="/cache/referats/21929/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1136">).

Рассмотрим интеграл

<img src="/cache/referats/21929/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> (<img src="/cache/referats/21929/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1138">).

Пусть при <img src="/cache/referats/21929/image199.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> имеем <img src="/cache/referats/21929/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1140"> и функция <img src="/cache/referats/21929/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1141">

достигает максимуматолько в точке <img src="/cache/referats/21929/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1142">.Тогда при <img src="/cache/referats/21929/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1143"> справедливаформула

<img src="/cache/referats/21929/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1144">. (1.8)

Пример 5.Вычислим интеграл

Функция <img src="/cache/referats/21929/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1146"> положительнадля любого <img src="/cache/referats/21929/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1147">; <img src="/cache/referats/21929/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1148"> и <img src="/cache/referats/21929/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> достигает

максимума на этом отрезке в точке 0.Применяяформулу (1.8), получим

Пусть [a,b]- конечный отрезок <img src="/cache/referats/21929/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1151">и пусть функция <img src="/cache/referats/21929/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> достигает

максимума только в точке <img src="/cache/referats/21929/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1153">.Тогда для интеграла

<img src="/cache/referats/21929/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> (<img src="/cache/referats/21929/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1155">).

справедлива формула

где <img src="/cache/referats/21929/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1157">, если <img src="/cache/referats/21929/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1158">; <img src="/cache/referats/21929/image228.gif" v:shapes="_x0000_i1159">, если <img src="/cache/referats/21929/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> совпадает с одним из концов отрезка.

Пример 6. Найдем асимптотику при <img src="/cache/referats/21929/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1161"> полиномаЛежандра

где <img src="/cache/referats/21929/image235.gif" v:shapes="_x0000_i1163">.

В данном случае <img src="/cache/referats/21929/image237.gif" v:shapes="_x0000_i1164">. Функция <img src="/cache/referats/21929/image239.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> достигаетмаксимума при

<img src="/cache/referats/21929/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1166"><img src="/cache/referats/21929/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1167"> и <img src="/cache/referats/21929/image245.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> По последнейформуле

находим,что

Пример 7.Покажем,что при <img src="/cache/referats/21929/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1170">

Здесь <img src="/cache/referats/21929/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1172">,<img src="/cache/referats/21929/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1173">.Применяя последнюю формулу,

получим

5.Вкладот внутренней невырожденной точки максимума

Теорема 1.2. Пусть<img src="/cache/referats/21929/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> — конечный отрезок и выполнены условия:

1º.<img src="/cache/referats/21929/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1176"> достигается только вточке <img src="/cache/referats/21929/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1177">.

2º.<img src="/cache/referats/21929/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1178">

3º.<img src="/cache/referats/21929/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1179"> при <img src="/cache/referats/21929/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1180">, близких к <img src="/cache/referats/21929/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1181">, и <img src="/cache/referats/21929/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1182">.

Тогда при <img src="/cache/referats/21929/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1183"> справедливо разложение

<img src="/cache/referats/21929/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> (1.9)

Коэффициенты <img src="/cache/referats/21929/image191.gif" v:shapes="_x0000_i1185"> имеет вид

<img src="/cache/referats/21929/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1186"> (1.10)

Главный член асимптотики (1.9)имеет вид

<img src="/cache/referats/21929/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1187"> (<img src="/cache/referats/21929/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1188">).

Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены, заисключением одного:<img src="/cache/referats/21929/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1189">

Тогда при <img src="/cache/referats/21929/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1190"> справедливо разложение

<img src="/cache/referats/21929/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1191"> (1.11)

Главный член асимптотики имеет вид

<img src="/cache/referats/21929/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1192"> . (1.12)

Пример 8.Покажем,что при <img src="/cache/referats/21929/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1193">

<img src="/cache/referats/21929/image273.gif" v:shapes="_x0000_i1194">.

Имеем <img src="/cache/referats/21929/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1195">, так что интеграл имеет вид интеграла Лапласа (1.1),

где <img src="/cache/referats/21929/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1196">Функция <img src="/cache/referats/21929/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1197"> достигает максимумапри <img src="/cache/referats/21929/image280.gif" v:shapes="_x0000_i1198">, причем

Интеграл выяисляется по формуле (1.12):

Получили формулу:

Пример 9.Покажем, что при <img src="/cache/referats/21929/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1202">

Воспользуемсятождеством

Тогда суммапримет вид

<img src="/cache/referats/21929/image292.gif" v:shapes="_x0000_i1205">.

В данном случае <img src="/cache/referats/21929/image294.gif" v:shapes="_x0000_i1206">; остается применить теорему 1.3.

6.Программа и численные результаты

Следующая программа вычисляет интеграл по формуле Симпсона иметодом

Лапласа:

unit <st1:place w:st=«on»>Main</st1:place>;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants,Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox1: TGroupBox;

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Label5: TLabel;

StatusBar1: TStatusBar;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

GroupBox2: TGroupBox;

Panel1: TPanel;

Panel2: TPanel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

procedure Edit1MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit2MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit3MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit4MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure FormMouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

procedure Button1MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Button2MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

x,v,a,b,r,r2,h,eps,lam,lap: extended;

n: integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedureTForm1.Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите нижнююграницу';

end;

procedureTForm1.Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите верхнююграницу';

end;

procedureTForm1.Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите точность дляметода Симпсона';

end;

procedureTForm1.Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введите параметр винтеграле Лапласа';

end;

procedureTForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='';

end;

functionf(x,lam:extended):extended; //Подинтегральная функция

begin

f:=(sin(x)+4)*exp(-2*lam*x);

end;

functionsimpson(a,b:extended;n:integer):extended;

vars,h:extended;

m,mn:integer;

begin

h:=(b-a)/n;

s:=f(a,lam)+f(b,lam);

mn:=4;

for m:=1 to n-1 do begin

s:=s+mn*f(a+h*m,lam);

if (mn=4) then mn:=2 else mn:=4;

end;

simpson:=s*h/3;

end;

procedureTForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Edit1.Text);

b:=StrToFloat(Edit2.Text);

eps:=StrToFloat(Edit3.Text);

lam:=StrToFloat(Edit4.Text);

n:=3;

r:=simpson(a,b,n);

repeat r2:=r;

n:=n+2;

r:=simpson(a,b,n); h:=(b-a)/n;

until(abs(r-r2)<eps);

Panel1.Caption:=FloatToStr(r);

lap:=2/lam;

Panel2.Caption:=FloatToStr(lap);

end;

procedureTForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedureTForm1.Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Вычислениеинтеграла';

end;

procedureTForm1.Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Выход из программы';

end;

end.

Пример 3.Для интеграла

при <img src="/cache/referats/21929/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1208"> получены результаты:

Пример 1.Для интеграла

получены результаты:

Пример4.Для интеграла

получены результаты:

Литература

Федорюк М.В. «Асимптотика:интегралы и ряды». М.: Наука, 1977.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Решение уравнения третьей степени

29 Августа 2013

Реферат по математике

Разложение рациональной дроби на простейшие.

29 Августа 2013

Реферат по математике

Метод релаксации переменных при решении систем линейных уравнений

29 Августа 2013

Реферат по математике

Графовые модели. Остов минимального веса

20 Июня 2015