Реферат: Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь

--PAGE_BREAK-- нескінченних прогресій з однаковою різницею <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1747479834-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> мають центральними членами числа, що утворять арифметичну прогресію з різницею <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_1747479935-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, то ці <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1747463926-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> рядів можуть бути замінені одною прогресією з різницею <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_1747479935-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, і із центральним членом, рівним кожному із центральних членів даних прогресій, тобто якщо


<img width=«188» height=«152» src=«ref-1_1747480309-1151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
те ці <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1747463926-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> прогресій поєднуються в одну
<img width=«95» height=«41» src=«ref-1_1747481548-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
Приклад
<img width=«77» height=«25» src=«ref-1_1747481803-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1747481996-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1747482193-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">, <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1747482390-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">
обидві поєднуються в одну групу
<img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1747482588-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, тому що <img width=«208» height=«41» src=«ref-1_1747482754-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">
Для перетворення груп, що мають загальні рішення, у групи, загальних рішень не дані групи, що мають, розкладають на групи із загальним періодом, а потім об'єднати групи, що вийшли, виключивши повторювані.
Розкладання на множники
Метод розкладання полягає в наступному: якщо
<img width=«176» height=«24» src=«ref-1_1747483141-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">


те всяке рішення рівняння
<img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747483466-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
є рішення сукупності рівнянь
<img width=«233» height=«24» src=«ref-1_1747483624-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">
Зворотне твердження, загалом кажучи невірно: не всяке рішення сукупності є рішенням рівняння. Це пояснюється тим, що рішення окремих рівнянь можуть не входити в область визначення функції <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«215» height=«24» src=«ref-1_1747484120-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">
Рішення. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, рівняння представимо у вигляді
<img width=«576» height=«31» src=«ref-1_1747484477-2364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

Відповідь.<img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1747486841-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">; <img width=«111» height=«41» src=«ref-1_1747487008-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">
Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«139» height=«41» src=«ref-1_1747487274-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівносильне рівняння
<img width=«151» height=«45» src=«ref-1_1747487589-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">

Відповідь. <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_1747488002-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«151» height=«21» src=«ref-1_1747488217-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Рішення. У цьому випадку, перш ніж застосовувати формули суми тригонометричних функцій, варто використовувати формулу приведення
<img width=«133» height=«41» src=«ref-1_1747488490-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">
У підсумку одержимо рівносильне рівняння
<img width=«239» height=«45» src=«ref-1_1747488789-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

Відповідь. <img width=«119» height=«41» src=«ref-1_1747489359-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, <img width=«121» height=«41» src=«ref-1_1747489644-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">.
Рішення рівнянь добутку тригонометричних функцій у суму
При рішенні ряду рівнянь застосовуються формули.

Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«155» height=«19» src=«ref-1_1747489931-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">


Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:
<img width=«461» height=«41» src=«ref-1_1747490185-751.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">

Відповідь. <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_1747490936-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">, <img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1747491159-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
Приклад Вирішити рівняння
<img width=«183» height=«19» src=«ref-1_1747491329-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">.
Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:
<img width=«535» height=«41» src=«ref-1_1747491613-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">.

Відповідь. <img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1747492481-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">
Рішення рівнянь із застосуванням формул зниження ступеня
При рішенні широкого кола тригонометричних рівнянь ключову роль грають формули.
Приклад  Вирішити рівнянн
<img width=«232» height=«23» src=«ref-1_1747492653-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">
Рішення. Застосовуючи формулу, одержимо рівносильне рівняння.




<img width=«335» height=«41» src=«ref-1_1747493030-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

<img width=«265» height=«21» src=«ref-1_1747493627-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

<img width=«253» height=«19» src=«ref-1_1747494023-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

<img width=«371» height=«21» src=«ref-1_1747494374-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.

Відповідь. <img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1747494881-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">; <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1747495044-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">.
Рішення рівнянь із формул потрійного аргументу
Приклад Вирішити рівняння
<img width=«124» height=«19» src=«ref-1_1747495225-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">
Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівняння
<img width=«300» height=«45» src=«ref-1_1747495436-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

Відповідь. <img width=«77» height=«41» src=«ref-1_1747496028-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">; <img width=«93» height=«41» src=«ref-1_1747496240-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«105» height=«23» src=«ref-1_1747496476-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.
Рішення
Застосуємо формули зниження ступеня одержимо
<img width=«157» height=«41» src=«ref-1_1747496693-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">

Застосовуючи одержуємо
<img width=«555» height=«18» src=«ref-1_1747497038-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">

Відповідь. <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1747497826-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">; <img width=«97» height=«41» src=«ref-1_1747497961-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">
Рівність однойменних тригонометричних функцій
<img width=«219» height=«48» src=«ref-1_1747498223-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«192» height=«21» src=«ref-1_1747498779-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">

<img width=«151» height=«117» src=«ref-1_1747499089-711.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«95» height=«19» src=«ref-1_1747499800-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">.
Рішення
<img width=«341» height=«61» src=«ref-1_1747499985-876.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

Відповідь. <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1747497826-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1747500996-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«124» height=«23» src=«ref-1_1747501226-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">

Рішення. Перетворимо рівняння
<img width=«546» height=«42» src=«ref-1_1747501466-1115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

Відповідь. <img width=«209» height=«25» src=«ref-1_1747502581-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">.
Приклад  Відомо, що <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> й <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1747503005-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> задовольняють рівнянню
<img width=«113» height=«21» src=«ref-1_1747503094-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

Знайти суму <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747503317-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">.
Рішення. З рівняння треба, що
<img width=«177» height=«41» src=«ref-1_1747503434-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">

<img width=«305» height=«80» src=«ref-1_1747503793-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">

Відповідь. <img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1747504455-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
Помноження на деяку тригонометричну функцію
Розглянемо суми виду
<img width=«261» height=«23» src=«ref-1_1747504694-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

<img width=«271» height=«23» src=«ref-1_1747505095-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">
Дані суми можна перетворити в добуток, до множив і розділивши їх на


<img width=«40» height=«41» src=«ref-1_1747505494-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, тоді одержимо

<img width=«340» height=«80» src=«ref-1_1747505655-922.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">
Зазначений прийом може бути використаний при рішенні деяких тригонометричних рівнянь, однак варто мати на увазі, що в результаті можлива поява сторонніх корінь. Приведемо узагальнення даних формул:
<img width=«389» height=«84» src=«ref-1_1747506577-973.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

<img width=«399» height=«84» src=«ref-1_1747507550-981.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

<img width=«325» height=«80» src=«ref-1_1747508531-746.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">
Приклад Вирішити рівняння
<img width=«213» height=«19» src=«ref-1_1747509277-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">
Рішення. Видно, що множина <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1747509597-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> є рішенням вихідного рівняння. Тому множення лівої й правої частини рівняння на <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1747509735-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> не приведе до появи зайвих корінь.
Маємо <img width=«108» height=«41» src=«ref-1_1747509884-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">

Відповідь. <img width=«53» height=«41» src=«ref-1_1747510151-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">; <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1747510324-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">
Приклад Вирішити рівняння
<img width=«292» height=«19» src=«ref-1_1747510514-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">
Рішення. До множимо ліву й праву частини рівняння на
<img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1747509735-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">
й застосувавши формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, отримаємо
<img width=«185» height=«41» src=«ref-1_1747511061-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">
Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь
<img width=«68» height=«41» src=«ref-1_1747511459-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> і <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1747511662-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">, звідки <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1747511784-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> й <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1747511981-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">
Тому що корінь рівняння
<img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1747512205-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">
не є коріннями рівняння, то з отриманих множин рішень варто виключити
<img width=«51» height=«19» src=«ref-1_1747512389-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">

Значить у множині
<img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1747511784-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> потрібно виключити <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1747512721-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">.

Відповідь. <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1747511784-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> і <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1747511981-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">, <img width=«51» height=«19» src=«ref-1_1747513266-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«151» height=«41» src=«ref-1_1747513404-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">
Рішення. Перетворимо вираження
<img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1747513753-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">

<img width=«574» height=«41» src=«ref-1_1747513957-1023.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">
Рівняння запишеться у вигляді
<img width=«248» height=«41» src=«ref-1_1747514980-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">

Приймаючи <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_1747515495-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">, одержуємо <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1747515662-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">. <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1747515840-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">, <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1747515968-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">

Отже
Відповідь. <img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1747516128-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">
Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних




Зведених до квадратних

Якщо рівняння має вигляд
<img width=«279» height=«24» src=«ref-1_1747516347-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">
те заміна <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747516771-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> приводить його до квадратного, оскільки
<img width=«124» height=«23» src=«ref-1_1747516921-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> () і .
Якщо замість доданка <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747517156-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> буде<img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1747517290-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, то потрібна заміна буде
<img width=«63» height=«17» src=«ref-1_1747517425-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">
Рівняння
<img width=«227» height=«24» src=«ref-1_1747517568-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">
зводиться до квадратного рівняння
<img width=«295» height=«24» src=«ref-1_1747517927-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">
поданням <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1747518378-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> як <img width=«111» height=«24» src=«ref-1_1747518468-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">. Легко перевірити, що <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> при яких <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1747518790-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, не є коріннями рівняння, і, зробивши заміну <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747518932-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, рівняння зводиться до квадратного.

Приклад Вирішити рівняння
<img width=«176» height=«23» src=«ref-1_1747519045-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">
Рішення. Перенесемо <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1747519347-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> в ліву частину, замінимо її на

<img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1747519429-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">, <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747519629-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> і <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1747519758-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> виразимо через <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1747455994-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> і <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747455879-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">
Після спрощень одержимо
<img width=«220» height=«23» src=«ref-1_1747520108-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">
Розділимо по членне на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1747473736-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, зробимо заміну <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747518932-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">:
<img width=«197» height=«45» src=«ref-1_1747520704-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">
Вертаючись до <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">, знайдемо
<img width=«103» height=«45» src=«ref-1_1747521176-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
Рівняння, однорідні відносно <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747521440-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">, <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1747521622-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">

Розглянемо рівняння виду
<img width=«316» height=«72» src=«ref-1_1747521798-785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">                                        
де <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1747522583-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">, <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1747522680-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">, <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1747522776-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">, ..., <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_1747522873-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">, <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1747522983-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">  — дійсні числа. У кожному складати^ся лівої частини рівняння ступеня одночленів рівні <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747457794-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">, тобто сума ступенів синуса й косинуса та сама й дорівнює <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747457794-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">. Таке рівняння називається однорідним відносно <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747455879-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> й <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1747455994-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, а число <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747457794-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> називається показником однорідності.

Ясно, що якщо <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1747523554-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">, те рівняння прийме вид:


<img width=«245» height=«48» src=«ref-1_1747523688-841.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">
рішеннями якого є значення <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">, при яких <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1747518790-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">, тобто числа <img width=«72» height=«41» src=«ref-1_1747524755-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1747457962-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">. Друге рівняння, записане в дужках також є однорідним, але ступеня на 1 нижче.

Якщо ж <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1747525076-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">, то ці числа не є коріннями рівняння .

При <img width=«72» height=«41» src=«ref-1_1747524755-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> одержимо: <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1747518790-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">, <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1747525558-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> і ліва частина рівняння (1) приймає значення <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_1747525706-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">.

Отже, при <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1747525076-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">, <img width=«72» height=«41» src=«ref-1_1747525996-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> і <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1747526205-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">, тому можна розділити обидві частини рівняння на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1747526352-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">. У результаті одержуємо рівняння:
<img width=«285» height=«27» src=«ref-1_1747526483-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">
яке, підстановкою <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747526944-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> легко зводиться до алгебраїчного:
<img width=«272» height=«25» src=«ref-1_1747527058-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">
Однорідні рівняння з показником однорідності 1. При <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747527490-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> маємо рівняння <img width=«124» height=«19» src=«ref-1_1747527603-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">.

Якщо <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747527824-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">, то це рівняння рівносильне рівнянню

<img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1747527945-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">, <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1747528099-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">, звідки <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1747528260-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1747457962-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">
Приклад  Вирішите рівняння
<img width=«123» height=«19» src=«ref-1_1747528593-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">

Рішення. Це рівняння однорідне першого ступеня <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1747526205-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">. Розділимо обидві його частини на <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1747455994-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> одержимо:
<img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1747529064-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">, <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1747529214-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">, <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1747529373-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1747457962-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">

Відповідь. <img width=«97» height=«41» src=«ref-1_1747529701-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">    продолжение
--PAGE_BREAK--.
Приклад  При <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747529945-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> одержимо однорідне рівняння виду
<img width=«224» height=«23» src=«ref-1_1747530060-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">
Рішення
Якщо <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747527824-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">, тоді розділимо обидві частини рівняння на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1747473736-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">, одержимо рівняння <img width=«103» height=«21» src=«ref-1_1747530677-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">, що підстановкою <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747526944-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> легко приводиться до квадратного: <img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1747530998-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">. Якщо <img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1747531216-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">, то рівняння має дійсні коріння <img width=«96» height=«45» src=«ref-1_1747531426-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">, <img width=«97» height=«45» src=«ref-1_1747531685-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">. Вихідне рівняння буде мати дві групи рішень: <img width=«73» height=«23» src=«ref-1_1747531953-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">, <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1747532118-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> <img width=«76» height=«23» src=«ref-1_1747532246-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1747469725-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">.

Якщо <img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1747532540-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">, то рівняння не має рішень.
Приклад  Вирішите рівняння <img width=«211» height=«23» src=«ref-1_1747532749-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">.
Рішення
Це рівняння однорідне другого ступеня. Розділимо обидві честі рівняння на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1747473736-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, одержимо<img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1747533224-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">


Нехай <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747526944-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">, тоді

<img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1747533528-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">, <img width=«51» height=«23» src=«ref-1_1747533739-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">, <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1747533871-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747534009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">, <img width=«95» height=«41» src=«ref-1_1747534123-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1747457962-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">;

<img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1747534464-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">, <img width=«77» height=«19» src=«ref-1_1747534582-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1747469725-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">

Відповідь. <img width=«195» height=«41» src=«ref-1_1747534859-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">
До рівняння виду зводиться рівняння
<img width=«332» height=«72» src=«ref-1_1747535239-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">

Для цього досить скористатися тотожністю
<img width=«143» height=«27» src=«ref-1_1747536073-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">
Зокрема, рівняння

<img width=«223» height=«23» src=«ref-1_1747536476-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">
зводиться до однорідного, якщо замінити <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1747518378-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"> на
 <img width=«135» height=«24» src=«ref-1_1747536925-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">
тоді одержимо рівносильне рівняння
<img width=«320» height=«24» src=«ref-1_1747537318-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> 

<img width=«293» height=«24» src=«ref-1_1747537952-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">




Приклад Вирішите рівняння
<img width=«228» height=«23» src=«ref-1_1747538404-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">
Рішення. Перетворимо рівняння до однорідного
<img width=«328» height=«24» src=«ref-1_1747538758-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">

<img width=«223» height=«23» src=«ref-1_1747539242-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">
Розділимо обидві частини рівняння на <img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1747539595-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">, одержимо рівняння:
<img width=«108» height=«21» src=«ref-1_1747539807-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">
Нехай <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747526944-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">, тоді приходимо до квадратного рівняння
<img width=«107» height=«24» src=«ref-1_1747540122-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">, <img width=«117» height=«19» src=«ref-1_1747540337-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">, <img width=«109» height=«23» src=«ref-1_1747540548-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">, <img width=«111» height=«41» src=«ref-1_1747540779-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">, <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1747541032-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">.

<img width=«179» height=«41» src=«ref-1_1747541163-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">

<img width=«149» height=«21» src=«ref-1_1747541501-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">

Відповідь. <img width=«184» height=«41» src=«ref-1_1747541748-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">.
Приклад  Вирішите рівняння
<img width=«123» height=«19» src=«ref-1_1747542132-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">




Рішення
Зведемо обидві частини рівняння у квадрат, з огляду на, що вони мають позитивні значення:
<img width=«147» height=«24» src=«ref-1_1747542339-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">, <img width=«243» height=«23» src=«ref-1_1747542608-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">

<img width=«373» height=«24» src=«ref-1_1747543001-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">

<img width=«359» height=«24» src=«ref-1_1747543534-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">
Нехай <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747526944-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">, тоді одержимо
<img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1747544180-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">, <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_1747544430-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">, <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1747544632-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> <img width=«177» height=«41» src=«ref-1_1747544796-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">

Відповідь. <img width=«97» height=«41» src=«ref-1_1747545143-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">
Рівняння, розв'язувані за допомогою тотожностей
<img width=«101» height=«23» src=«ref-1_1747545388-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">
Корисно знати наступні формули
<img width=«377» height=«41» src=«ref-1_1747545604-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«144» height=«23» src=«ref-1_1747546258-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">




Рішення. Використовуючи , одержуємо
<img width=«211» height=«41» src=«ref-1_1747546520-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">

<img width=«553» height=«80» src=«ref-1_1747546917-1370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">

Відповідь. <img width=«191» height=«44» src=«ref-1_1747548287-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">
Пропонуємо не самі формули, а спосіб їхнього висновку:
<img width=«157» height=«24» src=«ref-1_1747548719-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">

отже,

<img width=«536» height=«41» src=«ref-1_1747549010-880.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">

Аналогічно, <img width=«192» height=«24» src=«ref-1_1747549890-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">.
Приклад  Вирішити рівняння <img width=«151» height=«41» src=«ref-1_1747513404-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.
Рішення. Перетворимо вираження
<img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1747513753-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">:

<img width=«549» height=«41» src=«ref-1_1747550785-1006.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">.
Рівняння запишеться у вигляді
<img width=«248» height=«41» src=«ref-1_1747514980-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">


Приймаючи <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_1747515495-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">, одержуємо
<img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1747515662-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">. <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1747515840-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">, <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1747515968-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">. Отже

Відповідь. <img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1747516128-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">.
Універсальна тригонометрична підстановка
Тригонометричне рівняння виду
<img width=«177» height=«21» src=«ref-1_1747553158-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">
де <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1747553474-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">  — раціональна функція за допомогою формул — , а так само за допомогою формул — можна звести до раціонального рівняння щодо аргументів <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747455879-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">, <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1747455994-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">, після чого рівняння може бути зведене до алгебраїчного раціонального рівняння відносно
<img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1747553955-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">
за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки
<img width=«204» height=«80» src=«ref-1_1747554099-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">                                                             

<img width=«159» height=«80» src=«ref-1_1747554644-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">                                                                       
Слід зазначити, що застосування формул може приводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1747555074-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> не визначений у крапках <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1747486841-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1747486841-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, коріннями вихідного рівняння.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«84» height=«41» src=«ref-1_1747555517-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">
Рішення. За умовою задачі <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1747555730-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">. Застосувавши формули й зробивши заміну <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1747553955-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">, одержимо
<img width=«87» height=«41» src=«ref-1_1747556042-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">

звідки <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747556282-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> й, отже, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1747556393-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">.
Рівняння виду
<img width=«195» height=«21» src=«ref-1_1747556534-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">
Рівняння виду
<img width=«195» height=«21» src=«ref-1_1747556534-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">
де <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1747557180-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">  — багаточлен, вирішуються за допомогою замін невідомих
<img width=«244» height=«83» src=«ref-1_1747557324-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">                                                      

Приклад Вирішити рівняння
<img width=«209» height=«21» src=«ref-1_1747558063-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">
Рішення. Зробивши заміну й з огляду на, що
<img width=«132» height=«19» src=«ref-1_1747558397-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">, одержимо

<img width=«131» height=«24» src=«ref-1_1747558629-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">

звідки <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1747558864-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">, <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1747558986-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">. <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1747559132-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">  — сторонній корінь, тому що
<img width=«151» height=«25» src=«ref-1_1747559226-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">
Коріннями рівняння
<img width=«101» height=«19» src=«ref-1_1747559530-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> є <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1747559713-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">.
НЕСТАНДАРТНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
Використання обмеженості функцій
У практиці тестування не так вуж рідко зустрічаються рівняння, рішення яких ґрунтується на обмеженості функцій <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747455879-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> і <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1747455994-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">. Наприклад:
Приклад  Вирішити рівняння <img width=«129» height=«19» src=«ref-1_1747560157-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">.
Рішення. Оскільки
<img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1747560378-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">, <img width=«77» height=«19» src=«ref-1_1747560528-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">


те ліва частина не перевершує <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1747560689-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> й дорівнює <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1747560689-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">, якщо
<img width=«89» height=«48» src=«ref-1_1747560861-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">
Для знаходження значень <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">, що задовольняють обом рівнянням, надійдемо в такий спосіб. Вирішимо одне з них, потім серед знайдених значень відберемо ті, які задовольняють і іншому

Почнемо із другого:
<img width=«77» height=«19» src=«ref-1_1747561259-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">, <img width=«73» height=«41» src=«ref-1_1747561417-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">

Тоді <img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1747561623-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">, <img width=«239» height=«41» src=«ref-1_1747561872-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">.

Зрозуміло, що лише для парних <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747471022-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> буде <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1747562464-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">.

Відповідь. <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1747562613-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">.
Інша ідея реалізується при рішенні наступного рівняння:
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«111» height=«23» src=«ref-1_1747562831-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">.
Рішення. Скористаємося властивістю показової функції
<img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1747563044-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">, <img width=«105» height=«23» src=«ref-1_1747563243-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">
Склавши по членне ці нерівності будемо мати
<img width=«216» height=«23» src=«ref-1_1747563456-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">

Отже ліва частина даного рівняння дорівнює <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1747519347-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465"> тоді й тільки тоді, коли виконуються дві рівності
<img width=«213» height=«24» src=«ref-1_1747563874-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">
т. е. <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747455879-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> може приймати значення <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1747476814-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">, <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747564396-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">, <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1747519347-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">, а <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1747455994-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> може приймати значення <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1747476814-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">, <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747564396-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">.

Відповідь. <img width=«73» height=«41» src=«ref-1_1747561417-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1747565056-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«113» height=«41» src=«ref-1_1747565203-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">
Рішення <img width=«73» height=«41» src=«ref-1_1747565461-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">, <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1747565669-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">. Отже,

<img width=«141» height=«64» src=«ref-1_1747565839-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">

Відповідь. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747566277-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«212» height=«41» src=«ref-1_1747566391-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">                                                            
Рішення. Позначимо <img width=«159» height=«24» src=«ref-1_1747566839-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">, тоді з визначення зворотної тригонометричної функції <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1747567141-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> маємо <img width=«120» height=«41» src=«ref-1_1747567287-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> й <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_1747567585-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">.

Тому що <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1747567793-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">, те з рівняння треба нерівність <img width=«97» height=«23» src=«ref-1_1747568026-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">, тобто <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1747568249-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">. Оскільки <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1747568376-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> й <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1747568249-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">, те <img width=«44» height=«20» src=«ref-1_1747568676-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> й <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1747568814-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">. Однак <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1747568957-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> і тому <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747566277-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">.

Якщо <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1747568376-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> й <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747566277-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">, то <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1747569501-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">. Тому що раніше було встановлено, що <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1747568249-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">, те <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1747569756-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">.

Відповідь. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747566277-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">, <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1747569756-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">.

Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«312» height=«64» src=«ref-1_1747570120-851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">
Рішення. Областю припустимих значень рівняння є <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1747570971-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">.

Спочатку покажемо, що функція

<img width=«296» height=«25» src=«ref-1_1747571115-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> при будь-яких <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> може приймати тільки позитивні значення.

Представимо функцію <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1747571684-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506"> в такий спосіб
<img width=«542» height=«25» src=«ref-1_1747571840-887.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">
Оскільки
<img width=«257» height=«27» src=«ref-1_1747572727-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">
те має місце <img width=«213» height=«24» src=«ref-1_1747573188-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">, тобто <img width=«149» height=«25» src=«ref-1_1747573568-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">.
Отже, для доказу нерівності <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747573867-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">, необхідно показати, що
<img width=«105» height=«24» src=«ref-1_1747574023-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">

Із цією метою зведемо в куб обидві частини даної нерівності, тоді
<img width=«239» height=«25» src=«ref-1_1747574269-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">

<img width=«303» height=«25» src=«ref-1_1747574692-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">

<img width=«215» height=«25» src=«ref-1_1747575212-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">
Отримана чисельна нерівність свідчить про те, що <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747573867-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">. Якщо при цьому ще врахувати, що <img width=«75» height=«27» src=«ref-1_1747575772-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">, то ліва частина рівняння ненегативна.

Розглянемо тепер праву частину рівняння .
Тому що <img width=«148» height=«41» src=«ref-1_1747575964-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">, те

<img width=«549» height=«34» src=«ref-1_1747576280-871.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">.
Однак відомо, що
<img width=«105» height=«19» src=«ref-1_1747577151-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">
Звідси треба, що
<img width=«211» height=«21» src=«ref-1_1747577356-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">
тобто права частина рівняння не перевершує <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747564396-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">    продолжение
--PAGE_BREAK--. Раніше було доведено, що ліва частина рівняння ненегативна, тому рівність у може бути тільки в тому випадку, коли обидві його частини рівні <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747564396-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">, а це можливо лише при <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747534009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">.
Відповідь. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747534009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">.


Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«264» height=«23» src=«ref-1_1747578103-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">
Рішення. Позначимо
<img width=«233» height=«21» src=«ref-1_1747578515-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> й <img width=«109» height=«24» src=«ref-1_1747578891-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">.
Застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, одержуємо
<img width=«321» height=«24» src=«ref-1_1747579118-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">
Звідси треба, що
<img width=«131» height=«25» src=«ref-1_1747579654-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">

C іншої сторони має місце
<img width=«100» height=«25» src=«ref-1_1747579927-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">
Отже, рівняння не має корінь.
Відповідь. <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1747580158-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«97» height=«44» src=«ref-1_1747580255-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">




Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді
<img width=«389» height=«64» src=«ref-1_1747580497-990.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">

Відповідь. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747566277-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">.
Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь
Не всяке рівняння <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1747581601-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> в результаті перетворень може бути зведене до рівняння того або іншого стандартного виду, для якого існує певний метод рішення. У таких випадках виявляється корисним використовувати такі властивості функцій <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> і <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1747581915-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">, як монотонність, обмеженість, парність, періодичність і ін. Так, якщо одна з функцій убуває, а друга зростає на проміжку <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1747582042-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">, то при наявності в рівняння <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1747581601-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> кореня на цьому проміжку, цей корінь єдиний, і тоді його, наприклад, можна знайти підбором. Якщо ж функція <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> обмежена зверху, причому <img width=«93» height=«29» src=«ref-1_1747582441-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">, а функція <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1747581915-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543"> обмежена знизу, причому <img width=«89» height=«29» src=«ref-1_1747582808-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">, то рівняння <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1747581601-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> рівносильне системі рівнянь
<img width=«75» height=«48» src=«ref-1_1747583232-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«168» height=«41» src=«ref-1_1747583537-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">




Рішення. Перетворимо вихідне рівняння до виду
<img width=«243» height=«45» src=«ref-1_1747583916-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">
і вирішимо його як квадратне відносно <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">. Тоді одержимо
<img width=«112» height=«64» src=«ref-1_1747584546-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">
Вирішимо перше рівняння сукупності. Урахувавши обмеженість функції <img width=«44» height=«41» src=«ref-1_1747584918-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">, доходимо висновку, що рівняння може мати корінь тільки на відрізку <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1747585087-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">. На цьому проміжку функція <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747518932-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553"> зростає, а функція <img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1747585376-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> убуває. Отже, якщо це рівняння має корінь, то він єдиний. Підбором знаходимо <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747585630-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">.

Відповідь. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747585739-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">.
Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«189» height=«41» src=«ref-1_1747585861-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">
Рішення. Нехай
<img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1747586253-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">, <img width=«88» height=«41» src=«ref-1_1747586438-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559"> і <img width=«112» height=«41» src=«ref-1_1747586673-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">
тоді вихідне рівняння можна записати у вигляді функціонального рівняння
<img width=«145» height=«21» src=«ref-1_1747586953-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">
Оскільки
<img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1747586253-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">
функція непарна, те
<img width=«143» height=«21» src=«ref-1_1747587423-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">.
У такому випадку одержуємо рівняння
<img width=«132» height=«21» src=«ref-1_1747587695-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">

Тому що <img width=«68» height=«41» src=«ref-1_1747587956-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">, <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_1747588185-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566"> і <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">
монотонна на
<img width=«60» height=«41» src=«ref-1_1747588553-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">
те рівняння
<img width=«132» height=«21» src=«ref-1_1747587695-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> рівносильне рівнянню
<img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1747589015-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">, тобто <img width=«132» height=«41» src=«ref-1_1747589213-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">, що має єдиний корінь <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747534009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">.

Відповідь. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747534009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">


Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«201» height=«44» src=«ref-1_1747589729-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">
Рішення. На підставі теореми про похідну складну функцію ясно, що функція <img width=«125» height=«25» src=«ref-1_1747590143-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575"> убутна (функція <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1747590391-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> убутна, <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1747590529-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> зростаюча, <img width=«63» height=«17» src=«ref-1_1747517425-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> убутна). Звідси зрозуміло, що функція <img width=«185» height=«44» src=«ref-1_1747590818-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> певна на <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1747591230-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">, що убуває. Тому дане рівняння має не більше одного кореня. Тому що <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1747591356-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">, те

Відповідь. <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747585630-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">.
Приклад  Вирішити рівняння <img width=«208» height=«25» src=«ref-1_1747591669-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">.
Рішення. Розглянемо рівняння на трьох проміжках.

а) Нехай <img width=«49» height=«16» src=«ref-1_1747592041-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню <img width=«151» height=«24» src=«ref-1_1747592161-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">. Яке на проміжку <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1747592436-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> рішень не має, тому що <img width=«137» height=«24» src=«ref-1_1747592603-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">, <img width=«91» height=«19» src=«ref-1_1747592884-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">, а <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1747593062-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">. На проміжку <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1747593260-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590"> вихідне рівняння так само не має корінь, тому що <img width=«108» height=«24» src=«ref-1_1747593423-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">, а <img width=«92» height=«19» src=«ref-1_1747593657-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">.

б) Нехай <img width=«85» height=«19» src=«ref-1_1747593833-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню
<img width=«208» height=«45» src=«ref-1_1747594003-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">
коріннями якого на проміжку <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1747594409-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> є числа <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1747594564-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">, <img width=«29» height=«41» src=«ref-1_1747594713-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1747594845-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">, <img width=«25» height=«41» src=«ref-1_1747594984-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">.
в) Нехай <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1747595119-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню
<img width=«144» height=«24» src=«ref-1_1747595249-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">

Яке на проміжку <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1747595515-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> рішень не має, тому що <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1747595677-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">, а <img width=«80» height=«19» src=«ref-1_1747595897-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">. На проміжку <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1747596063-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605"> рівняння так само рішень не має, тому що
<img width=«137» height=«24» src=«ref-1_1747592603-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">, <img width=«80» height=«19» src=«ref-1_1747596507-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">, а <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1747593062-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">

Відповідь. <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1747596869-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">, <img width=«29» height=«41» src=«ref-1_1747594713-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1747594845-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">, <img width=«25» height=«41» src=«ref-1_1747594984-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">.
Метод симетрії
Метод симетрії зручно застосовувати, коли у формулюванні завдання присутня вимога одиничності рішення рівняння, нерівності, системи й т.п. або точна вказівка числа рішень. При цьому варто виявити яку-небудь симетрію заданих виражень.

Потрібно також ураховувати різноманіття різних можливих видів симетрії.

Не менш важливим є чітке дотримання логічних етапів у міркуваннях із симетрією.

Звичайно симетрія дозволяє встановити лише необхідні умови, а потім потрібна перевірка їхньої достатності.
Приклад  Знайти всі значення параметра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747467554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">, при яких рівняння
<img width=«157» height=«21» src=«ref-1_1747597541-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614"> має єдине рішення.
Рішення. Помітимо, що <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1747597810-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> й <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1747597909-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">  — парні функції, тому ліва частина рівняння є парна функція.

Значить якщо <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1747598053-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">  — рішення рівняння, тобто <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1747598146-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"> також рішення рівняння. Якщо <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1747598053-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">  — єдине рішення рівняння, те, необхідно, <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1747598367-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">.

Відберемо можливі значення <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747467554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">, зажадавши, щоб <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747566277-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622"> було коренем рівняння.
<img width=«296» height=«24» src=«ref-1_1747598696-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">
Відразу ж відзначимо, що інші значення <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747467554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> не можуть задовольняти умові задачі.

Але поки не відомо, чи всі відібрані <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747467554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625"> в дійсності задовольняють умові задачі.

Достатність
1) <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747599293-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">, рівняння прийме вид <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1747599411-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627"> .

2) <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_1747599595-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">, рівняння прийме вид:

<img width=«403» height=«23» src=«ref-1_1747599749-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">

Очевидно, що <img width=«149» height=«23» src=«ref-1_1747600326-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">, для всіх <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631"> і <img width=«132» height=«23» src=«ref-1_1747600696-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">
Отже, останнє рівняння рівносильне системі:
<img width=«340» height=«51» src=«ref-1_1747600962-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">
Тим самим, ми довели, що при <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_1747599595-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">, рівняння має єдине рішення.

Відповідь. <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1747601959-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">.

тригонометричний рівняння комбінований графічний


Рішення з дослідженням функції
Приклад  Доведіть, що всі рішення рівняння
<img width=«265» height=«25» src=«ref-1_1747602137-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">
і- цілі числа.

Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_1747602587-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">. Тому спочатку досліджуємо це рівняння на відрізку
<img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1747602700-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">
Перетворимо рівняння до виду
<img width=«147» height=«48» src=«ref-1_1747602880-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">
За допомогою мікрокалькулятора одержуємо
<img width=«128» height=«48» src=«ref-1_1747603336-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">
Знаходимо
<img width=«257» height=«47» src=«ref-1_1747603757-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">
Якщо <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1747604372-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">, то з попередніх рівностей одержуємо




<img width=«105» height=«47» src=«ref-1_1747604497-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">
Вирішивши отримане рівняння, одержимо
<img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1747604832-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">
Виконані обчислення представляють можливість припустити, що коріннями рівняння, що належать відрізку
<img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1747602700-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">, є <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747605158-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">, <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1747605273-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> і <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1747605366-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">
Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу. Таким чином, доведено, що коріннями рівняння є тільки цілі числа
<img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1747605469-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">, <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1747605601-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">
Приклад  Вирішите рівняння <img width=«103» height=«41» src=«ref-1_1747605787-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">
Рішення. Знайдемо основний період рівняння. У функції <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1747473736-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> основний період дорівнює <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1747466579-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">. Основний період функції <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_1747606267-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654"> дорівнює <img width=«28» height=«41» src=«ref-1_1747606443-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">. Найменше загальне кратне чисел <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1747466579-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> і <img width=«28» height=«41» src=«ref-1_1747606443-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> дорівнює <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1747606810-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">. Тому основний період рівняння дорівнює <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1747606810-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">. Нехай <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1747607016-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">.

Очевидно, <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1747566277-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"> є рішенням рівняння. На інтервалі <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1747607304-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">. Функція <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_1747606267-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663"> негативна. Тому інших корінь рівняння варто шукати тільки на інтервалах


<img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1747607713-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664"> і <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1747607909-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">
За допомогою мікрокалькулятора спочатку знайдемо наближені значення корінь рівняння. Для цього становимо таблицю значень функції
<img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1747608140-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">
на інтервалах
<img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1747607713-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> і <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1747607909-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">; тобто на інтервалах <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1747608818-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> і <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1747608990-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">



 <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1747609201-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">

<img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">

<img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1747609201-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">

<img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">

 0



202,5

0,85355342

3

-0,00080306

207

0,6893642

6

 -0,00119426

210

0,57635189

9

 -0,00261932

213

0,4614465

12

-0,00448897

216

0,34549155

15

-0,00667995

219

0,22934931

18

-0,00903692

222

0,1138931

21

-0,01137519

225

0,00000002

24

-0,01312438

228

-0,11145712

27

-0,01512438

231

-0,21961736

30

-0,01604446

234

-0,32363903

33

-0,01597149

237

-0,42270819

36

-0,01462203

240

-0,5160445

39

-0,01170562

243

-0,60290965

42

-0,00692866

246

-0,65261345

45

0,00000002

249

-0,75452006

48

0,00936458

252

-0,81805397

51

0,02143757

255

-0,87270535

54

0,03647455

258

-0,91803444

57

0,0547098

261

-0,95367586

60

0,07635185

264

-0,97934187

63

0,10157893

267

-0,99482505

66

0,1305352

270

-1

67,5

0,14644661







З таблиці легко вбачаються наступні гіпотези: коріннями рівняння, що належать відрізку <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1747609635-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">    продолжение
--PAGE_BREAK--, є числа: <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747564396-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">; <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1747609866-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">; <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1747610004-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">. Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу.
Відповідь. <img width=«105» height=«21» src=«ref-1_1747610139-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">; <img width=«107» height=«21» src=«ref-1_1747610350-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">; <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1747610565-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">.
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ
Рішення тригонометричних нерівностей за допомогою одиничної окружності

При рішенні тригонометричних нерівностей виду
<img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1747610708-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">
де <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">  — одна із тригонометричних функцій, зручно використовувати тригонометричну окружність для того, щоб найбільше наочно представити рішення нерівності й записати відповідь. Основним методом рішення тригонометричних нерівностей є відомість їх до найпростіших нерівностей типу <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747610993-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">. Розберемо на прикладі, як вирішувати такі нерівності.
Приклад  Вирішите нерівність <img width=«60» height=«41» src=«ref-1_1747611136-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">.
Рішення. Намалюємо тригонометричну окружність і відзначимо на ній крапки, для яких ордината перевершує <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1747611332-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">


<img width=«308» height=«308» src=«ref-1_1747611441-2522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">
Для
<img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1747613963-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">
рішенням даної нерівності будуть
<img width=«79» height=«41» src=«ref-1_1747614138-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">.
Ясно також, що якщо деяке число <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690"> буде відрізнятися від якого-небудь числа із зазначеного інтервалу на <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_1747614475-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">, те <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747455879-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692"> також буде не менше <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1747611332-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">. Отже, до кінців знайденого відрізка рішення потрібно просто додати <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_1747614475-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">. Остаточно, одержуємо, що рішеннями вихідної нерівності будуть усе
<img width=«153» height=«41» src=«ref-1_1747614923-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">

Відповідь. <img width=«153» height=«41» src=«ref-1_1747614923-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">


Для рішення нерівностей з тангенсом і котангенсом корисне поняття про лінію тангенсів і котангенсів. Такими є прямі <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747585630-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697"> й <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747615790-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698"> відповідно (на малюнку (1) і (2)), що стосуються тригонометричної окружності.
<img width=«475» height=«285» src=«ref-1_1747615908-2849.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">
Легко помітити, що якщо побудувати промінь із початком на початку координат, що становить кут <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1747618757-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"> з позитивним напрямком осі абсцис, то довжина відрізка від крапки <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747618845-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> до крапки перетинання цього променя з лінією тангенсів у точності дорівнює тангенсу кута, що становить цей промінь із віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й для котангенса.
Приклад  Вирішите нерівність
<img width=«99» height=«45» src=«ref-1_1747618971-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">
Рішення
Позначимо <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1747619269-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">, тоді нерівність прийме вид найпростішого: <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1747619451-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">. Розглянемо інтервал <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1747619569-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705"> довжиною, рівної найменшому позитивному періоду (НПП) тангенса. На цьому відрізку за допомогою лінії тангенсів установлюємо, що <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1747619805-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">. Згадуємо тепер, що необхідно додати <img width=«21» height=«15» src=«ref-1_1747620040-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">, оскільки НПП функції <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"> <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1747620220-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">. Отже,
<img width=«117» height=«41» src=«ref-1_1747620341-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">
Вертаючись до змінного <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">, одержуємо, що
<img width=«532» height=«41» src=«ref-1_1747620711-1131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712">

Відповідь. <img width=«187» height=«41» src=«ref-1_1747621842-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">
Нерівності зі зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі.
Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом
Помітимо, що якщо <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">  — періодична функція, то для рішення нерівності <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1747622385-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715"> <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1747622541-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716"> необхідно знайти його рішення на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">. Всі рішення вихідної нерівності будуть складатися зі знайдених значень <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">, а також всіх <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">, що відрізняються від знайдених на будь-яке ціле число періодів функції <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1747455753-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">.

Розглянемо рішення нерівності <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747623134-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721"> (<img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1747623276-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722"> ).

Оскільки <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1747623402-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">, те при <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747623572-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724"> нерівність рішень не має. Якщо <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1747623687-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725">, то множина рішень нерівності <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747623134-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">  — множина всіх дійсних чисел.

Нехай <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1747623950-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">. Функція синус має найменший позитивний період <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1747466473-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">, тому нерівність <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747624201-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729"> можна вирішити спочатку на відрізку довжиною <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1747466473-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">, наприклад, на відрізку
<img width=«71» height=«45» src=«ref-1_1747624449-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">
Будуємо графіки функцій
<img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747516771-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732"> і <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747624848-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733"> (<img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1747623950-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734"> )
<img width=«501» height=«151» src=«ref-1_1747625109-11299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735">
На відрізку <img width=«64» height=«45» src=«ref-1_1747636408-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736"> функція синус зростає, і рівняння <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747457240-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">, де <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1747457380-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">, має один корінь <img width=«83» height=«23» src=«ref-1_1747636926-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">. На відрізку <img width=«59» height=«45» src=«ref-1_1747637105-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740"> функція синус убуває, і рівняння <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747637342-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741"> має корінь <img width=«109» height=«23» src=«ref-1_1747637483-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">. На числовому проміжку <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1747637691-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743"> графік функції <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747516771-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744"> розташована вище графіка функції <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747624848-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">. Тому для всіх <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746"> із проміжку <img width=«139» height=«21» src=«ref-1_1747638187-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">) нерівність <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747624201-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748"> виконується, якщо <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1747623950-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">. У силу періодичності функції синус всі рішення нерівності <img width=«133» height=«21» src=«ref-1_1747638731-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750"> задаються нерівностями виду:
<img width=«245» height=«19» src=«ref-1_1747638972-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">
Аналогічно вирішуються нерівності <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747639329-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">, <img width=«61» height=«16» src=«ref-1_1747639471-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">, і т.п.

Приклад  Вирішимо нерівність <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747639610-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">.
Рішення. Розглянемо графік функції <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747516771-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">
<img width=«485» height=«134» src=«ref-1_1747639902-7603.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">
і виберемо із проміжку <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1747647505-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757"> на осі <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1747647650-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758"> значення аргументу <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">, яким відповідають крапки графіка, що лежать вище осі <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1747647650-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">. Таким проміжком є інтервал <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1747647940-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">. З огляду на періодичність функції <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1747516771-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762"> всі рішення нерівності <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1747639610-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763"> можна записати так:
<img width=«111» height=«36» src=«ref-1_1747648367-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">
Відповідь. <img width=«111» height=«36» src=«ref-1_1747648367-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">
Приклад  Вирішите нерівність <img width=«41» height=«41» src=«ref-1_1747649167-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">.
Рішення. Намалюємо графік функції <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1747518932-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">. Знайдемо крапку перетинання цього графіка з горизонтальної прямої <img width=«44» height=«41» src=«ref-1_1747649440-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768">.




<img width=«521» height=«321» src=«ref-1_1747649599-1927.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">
Це крапка з абсцисою <img width=«52» height=«44» src=«ref-1_1747651526-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">. За графіком видно, що для всіх <img width=«51» height=«44» src=«ref-1_1747651702-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771"> графік функції лежить нижче прямій <img width=«44» height=«41» src=«ref-1_1747649440-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">. Отже, ці <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773"> й становлять:
Відповідь. <img width=«51» height=«44» src=«ref-1_1747651702-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">
ВІДБІР КОРНІВ
Проблема відбору корнів, відсівання зайвих корнів при рішенні тригонометричних рівнянь досить специфічна й звичайно виявляється більше складної, чим це мало місце для рівнянь алгебраїчних. Приведемо рішення рівнянь, що ілюструють типові випадки появи сторонніх корнів і методи <<боротьби>> з ними.

Приклад  Знайти найближчий до числа <img width=«32» height=«41» src=«ref-1_1747652313-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775"> корінь рівняння
<img width=«288» height=«41» src=«ref-1_1747652463-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776">


Рішення
<img width=«327» height=«45» src=«ref-1_1747653033-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777">

<img width=«301» height=«45» src=«ref-1_1747653764-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">

<img width=«203» height=«45» src=«ref-1_1747654448-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">

<img width=«299» height=«165» src=«ref-1_1747654963-1629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780">

Підставляючи послідовно у формул
<img width=«83» height=«45» src=«ref-1_1747656592-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">
замість змінної <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1747456101-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782"> виписані вище серії рішень рівнянь, відшукаємо для кожної з них <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_1747656952-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783">, а потім зрівняємо отримані мінімальні <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1747657076-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784"> між собою
a) <img width=«269» height=«45» src=«ref-1_1747657158-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">
Ясно, що <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1747657802-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786"> досягається при <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747657938-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">, тобто <img width=«145» height=«41» src=«ref-1_1747658052-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">

б)<img width=«500» height=«45» src=«ref-1_1747658399-1073.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789">

<img width=«147» height=«41» src=«ref-1_1747659472-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">.

в)<img width=«448» height=«45» src=«ref-1_1747659814-997.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791"> .

г)<img width=«477» height=«45» src=«ref-1_1747660811-1045.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792"> .

<img width=«151» height=«41» src=«ref-1_1747661856-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">.
Виберемо мінімальне із чисел <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_1747662212-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">, <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1747662300-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">. Відразу ясно, що <img width=«96» height=«23» src=«ref-1_1747662436-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796"> й що <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_1747662640-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">. Залишилося зрівняти <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_1747662844-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798"> й <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1747662981-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">. Припустимо, що
<img width=«368» height=«41» src=«ref-1_1747663116-737.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800">

<img width=«213» height=«41» src=«ref-1_1747663853-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">

<img width=«328» height=«41» src=«ref-1_1747664285-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802">

<img width=«337» height=«51» src=«ref-1_1747664897-821.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803">

<img width=«364» height=«25» src=«ref-1_1747665718-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">
Остання нерівність — вірне, а всі зроблені переходи — рівносильні. Тому вірно вихідна нерівність. Обґрунтуємо рівносиль переходів (*) і (**) (рівносиль інших переходів треба із загальних властивостей числових нерівностей). У випадку перетворення (*), досить помітити, що числа <img width=«64» height=«41» src=«ref-1_1747666310-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805"> й <img width=«69» height=«41» src=«ref-1_1747666526-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806"> розташований на ділянці <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1747666749-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807"> монотонного зростання функції <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1747455879-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">. У випадку переходу (**) формула <img width=«124» height=«27» src=«ref-1_1747667032-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809"> справедлива, тому що
<img width=«144» height=«41» src=«ref-1_1747667292-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810">


Відповідь. <img width=«121» height=«41» src=«ref-1_1747667646-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">
Приклад  Знайти корінь рівняння: <img width=«177» height=«24» src=«ref-1_1747667936-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812">.
Рішення цього рівняння розпадається на два етапи: 1) рішення рівняння, що виходить із даного піднесенням у квадрат обох його частин; 2) відбір тих корінь, які задовольняють умові <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1747668260-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813">. При цьому піклується про умову <img width=«119» height=«19» src=«ref-1_1747668403-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814"> немає необхідності. Всі значення <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747471022-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815">, що задовольняють зведеному у квадрат рівнянню, цій умові задовольняють.

Перший крок нас приводить до рівняння <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1747668710-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">, звідки
<img width=«88» height=«41» src=«ref-1_1747668859-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">
Тепер треба визначити, при яких <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747471022-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818"> буде
<img width=«120» height=«41» src=«ref-1_1747669192-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819">

Для цього досить для <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747471022-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820"> розглянути значення <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1747564396-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821">, <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1747519347-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822">, <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1747669765-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823">, тобто <<обійти один раз коло>>, оскільки далі значення косинуса почнуть повторюватися, що вийшли кути будуть відрізнятися від уже розглянутих на величину, кратну <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1747466473-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824">
Відповідь. <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1747669957-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">, <img width=«64» height=«41» src=«ref-1_1747670180-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">
Отже, основна схема відбору корнів полягає в наступному. Перебуває найменший загальний період всіх тригонометричних функцій вхідних у рівняння. На цьому періоді відбираються коріння, а потім, що залишилися коріння, періодично тривають.

Приклад  Вирішити рівняння
<img width=«119» height=«41» src=«ref-1_1747670394-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827">
Рішення. Рівняння рівносильне змішаній системі
<img width=«327» height=«88» src=«ref-1_1747670681-1081.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828">

<img width=«227» height=«45» src=«ref-1_1747671762-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829">

Але <img width=«96» height=«45» src=«ref-1_1747672219-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830">  — не годиться.

Відповідь. <img width=«180» height=«45» src=«ref-1_1747672469-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831">.
Розкриваючи знак модуля одержуємо більше громохке рішення. А відповідь у цьому випадку приймає вид:
Відповідь. <img width=«165» height=«45» src=«ref-1_1747672861-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832">
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ
Тест по темі <<Тригонометричні рівняння>>
• Об'єднання яких множин <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_1747673241-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833">, <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1747673354-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834">, <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1747673470-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835">, <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1747673584-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836"> є рішенням рівняння
<img width=«119» height=«21» src=«ref-1_1747673701-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837">

<img width=«211» height=«23» src=«ref-1_1747673927-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838">, <img width=«188» height=«23» src=«ref-1_1747674283-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839">,

<img width=«199» height=«24» src=«ref-1_1747674617-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840">, <img width=«204» height=«23» src=«ref-1_1747674960-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">.

a) <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_1747673241-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">, <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1747673354-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843"> б) <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_1747673241-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844">, <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1747673470-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845"> в) <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1747673354-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">, <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1747673584-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847"> г) <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1747673470-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848">, <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1747673584-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849">
• Вирішите рівняння<img width=«85» height=«41» src=«ref-1_1747676223-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850">

a)<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1747580158-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851"> б)<img width=«217» height=«41» src=«ref-1_1747676576-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852"> в) <img width=«127» height=«41» src=«ref-1_1747677035-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853"> г) <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_1747677318-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854">
• Вирішите рівняння <img width=«195» height=«41» src=«ref-1_1747677567-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855">

a) <img width=«169» height=«41» src=«ref-1_1747677960-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">

б) <img width=«349» height=«41» src=«ref-1_1747678361-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">    продолжение
--PAGE_BREAK--