Реферат: Обратная задача обеспечения требуемого закона движения

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Содержание

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline">Введение……………………………………………………………………………...3

<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">1. Классические обратныезадачи……………………………………………4

2.Постановка, классификация и решение обратных задач динамики…….8

3. Метод квазиобращения…………………………………………………...12

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">4. Метод разделения искомойсистемы…………………………………….13

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">5. Метод проектирования.………………………………………………….15

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">6. Задача обеспечениетребуемого закона движения………………………16

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline">Заключение………………………………………………………………………….19

<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline">Список использованной литературы ……………………………………………..20

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Введение

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

          Однойиз основных задач динамики механических систем, описываемых обыкновеннымидифференциальными уравнениями, является задача определения сил и моментов позаданным кинематическим элементам движения или, в более общей постановке, позаданным свойствам движения. Задачи такого вида с различными их видоизмененияминазваны обратными задачами динамики, или обратнымизадачами дифференциальных систем.

          Под обратными задачами дифференциальныхсистем понимаются как задачи о построении силовых полей, так и задачи об определениифункционалов, стационаризуемых в процессе движения, о восстановлении ипостроении уравнений движения механической системы по заданным свойствам еедвижения.

          Настоящая работа посвящена решению одной из обратных задачобеспечения требуемого закона движения.

Первоначально, Еругиным Н. П. [1] была поставлена и решена задачапостроения множества уравнений движения системы по заданным интегралам. Даннаязадача имеет в общем случае неоднозначное решение, в силу некоторыхнеопределённых функций, что позволяет решать обратные задачи динамики всочетании с дополнительными требованиями, Галиуллин А.С. и его ученикиМухаметзянов И.А. и Мухарлямов Р.Г. применяют идеи Еругина для построенияуравнений программных движений [2, 5].

Для решения рассматриваемой задачи применяетсяметод квазиобращения [4], который был создан Р. Г. Мухарлямовым. Данный методявляется одним из общих методов решения обратных задач динамики в классеобыкновенных дифференциальных уравнений. Также применяются методы разделения ипроектирования.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-style:italic;vertical-align:baseline">1.<span Times New Roman"">    

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-style: italic;vertical-align:baseline">Классические обратные задачи

<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-style:italic; vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Под обратными задачамидинамики понимается задачи об определении активных сил и моментов, действующихна механическую систему, параметров системы и связей, наложенных на систему,при которых движение с заданными свойствами являются одним из возможныхдвижений рассматриваемой механической системы.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> Задачи такого вида сразличными их видоизменениями названы обратными задачами динамики.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Ктаким задачам относятся так же [2] как задачи о построении силовых полей поизвестным свойствам движения материальной точки в этом поле, так и задачи обопределении функционалов, стационаризируемых в процессе движения, овосстановлении и построении движения механической системы по заданным свойствамее движения.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                   Данное определение отнесено кмеханическим системам. Однако наряду с механическими системами рассматриваютсятак же управляемые объекты различной природы (электрической, квантовой,химической и др.). Поэтому содержание обратных задач динамики должно включатьопределение законов управления движением динамических систем и их параметров изусловия осуществления движения по назначенной траектории.

Эти задачивсегда привлекали к себе внимание механиков и математиков, так как они имеютширокие прикладные возможности.

     Классическими обратными задачамидифференциальных систем являются:

ЗадачаНьютона об определении силы, под действием которой планеты совершаютдвижение со свойствами, заданными в виде законов Кеплера;

ЗадачаБертрана об определении силы, под действием которой материальная точкапри любых начальных условиях движется по коническому сечению. Решением задачиБертрана занимались многие ученые прошлого столетия (В.Г. Имшенецкий,

Ж. Дарбу,Г. Кенигс и др.);

ЗадачаСуслова об отыскании силовой функции, которая определяет силы, вызывающиедвижение голономной механической системы с задаными интегралами;

ЗадачаМещерскогооб определении закона изменения массы точки и скоростиизменяющейся массы так, чтобы в заданном поле сил точка переменной массысовершала движение по заданной траектории или по заданному закону;

ЗадачаГельмгольцао построении функционала, принимающего стационарное значениена решениях заданного обыкновенного дифференциального уравнения второгопорядка.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">          Даинелли в <st1:metricconverter ProductID=«1880 г» w:st=«on»>1880 г</st1:metricconverter>. поставил задачу обопределении силового поля, для которого заданное семейство кривых <img src="/cache/referats/20318/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> будет представлятьсемейство возможных траекторий. Искомое поле сил ищется в следующем виде :

<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">                        (1.1)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">где <img src="/cache/referats/20318/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">  — произвольнаяфункция, <img src="/cache/referats/20318/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">В<st1:metricconverter ProductID=«1952 г» w:st=«on»>1952 г</st1:metricconverter>.Н. П. Еругиным была впервые сформулирована обратная задача теориидифференциальных уравнений в виде задачи построения множества систем уравненийпо заданным интегралам и указан метод решения этой задачи [1]. В процесседальнейших исследований оказалось, что метод Еругина позволяет не толькопостроить уравнения движения механической системы по заданным свойствам одногоиз возможных движений этой системы, но и построить эти уравнения с учетомдополнительных требований, например, устойчивости и оптимальности заданногодвижения.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Вработе [1]  была поставлена задачаопределения множества правых частей систем дифференциальных уравнений

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">                                                                          

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align: baseline">(<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-weight: bold;vertical-align:baseline">1.2<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">имеющихзаданные функции

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">                                                                          (1.3)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">своимичастными интегралами.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Смыслэтой задачи заключается в следующем: если <img src="/cache/referats/20318/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><img src="/cache/referats/20318/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> и <img src="/cache/referats/20318/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/20318/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/20318/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">  — решение уравнения(1.2) при определенной правой части, удовлетворяющее начальному условию <img src="/cache/referats/20318/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> и существующее при <img src="/cache/referats/20318/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1037"><img src="/cache/referats/20318/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> или <img src="/cache/referats/20318/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline">Условия существования частных интегралов вида (1.3)заключается в том, чтобы

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1040">                                                          (1.4)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1041">  <img src="/cache/referats/20318/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1042">  <img src="/cache/referats/20318/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1044">  <img src="/cache/referats/20318/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1045">  <img src="/cache/referats/20318/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1047"><img src="/cache/referats/20318/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1048"><img src="/cache/referats/20318/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Равенство(1.4) можно записать в виде линейного алгебраического уравнения относительно <img src="/cache/referats/20318/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1051">                                   <img src="/cache/referats/20318/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1052">                 (1.4)*

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">С<st1:metricconverter ProductID=«1960 г» w:st=«on»>1960 г</st1:metricconverter>.А. С. Галиуллин и его ученики И. А. Мухаметзянов и Р. Г. Мухарлямов изучаютвозможности применения идей Н. П. Еругина для решения обратных задач динамики.Они формируют и рассматривают обратные задачи динамики как задачи построениявсего множества дифференциальных уравнений программных движений.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Пустьсостояние механической системы определяется векторами обобщенных координат <img src="/cache/referats/20318/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> и скоростей <img src="/cache/referats/20318/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> 

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                                            (1.5)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">правые частикоторых <img src="/cache/referats/20318/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> могут бытьпроизвольными постоянными или принимать конкретные значения, в частности,равные нулю. Кроме того,

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">,а равенства <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1058"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> независимы и совместны в некоторой областифазового пространства <img src="/cache/referats/20318/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> при  <img src="/cache/referats/20318/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Согласнометоду Еругина, решение различных вариантов постановки обратных задач можно рассматриватьв два этапа. На первом этапе заданное многообразие свойств движения (1.5)рассматривается как интегральное многообразие уравнений движениярассматриваемой системы. Поэтому уравнения движения механической системыстроятся так, чтобы соотношения

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1061"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">являлисьпервыми (<img src="/cache/referats/20318/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1062">  (<img src="/cache/referats/20318/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1063"><img src="/cache/referats/20318/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/20318/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Второйэтап заключается в том, чтобы из построенных таким образом уравнений определитьискомые обобщенные силы, параметры системы, а так же дополнительные связи,допускающие движение системы с заданными свойствами.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

2. Постановка, классификация и решение обратных задач динамики

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Вмонографии [2] изложены постановка, классификация обратных задач динамики и ихрешение в классе обыкновенных дифференциальных уравнений. Галиуллинрассматривает следующие задачи по построению уравнений движения по заданномуинтегральному многообразию.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align: baseline">1)<span Times New Roman"">               

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">     Основная задача построения уравнений движения.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align: baseline">По заданному интегральному многообразию

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                                    (2.1)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">построитьсистему уравнений

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">    

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">            (<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol;vertical-align:baseline">n<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> =1…<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline">n<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">)                                                (2.2)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">    

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">движениямеханической системы так, чтобы оно являлось одним из ее возможных движений.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align: baseline">2)<span Times New Roman"">                           

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Восстановление уравненийдвижения.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">По заданномуинтегральному многообразию

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">         

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                                   (2.3)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">и        заданной системе уравнений

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align: baseline"><img src="/cache/referats/20318/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1069">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">       (<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol;vertical-align:baseline">n<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">=1…<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline">n<span Times New Roman",«serif»;vertical-align: baseline">)                                                           (2.4)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">определить вектор-функцию

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1070"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> параметров системы и дополнительно приложенныхк системе силы.       

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align: baseline">3)             Замыкание уравнений движения.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">По заданномуинтегральному многообразию

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">         

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1071"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                                             (2.5)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">и заданной системе уравнений

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                                     (2.6)                                  

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">построить систему замыкающихуравнений

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">         

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1073"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                                       (2.7)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">так, чтобысистема (2.6) – (2.7) представляла собой замкнутую систему.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Искомыефункции

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1074"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> принадлежат классу функций, допускающихсуществование и единственность решения в некоторой <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol;vertical-align:baseline">e<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">– окрестности <img src="/cache/referats/20318/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> заданного многообразия<img src="/cache/referats/20318/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">          На первом этапе решения всех типовобратных задач 1) – 3) составляются условия осуществимости движениямеханической системы с заданными свойствами, которые в общем случае имеют вид

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                  

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">              (2.8)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">где

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align: baseline"><img src="/cache/referats/20318/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1078"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">произвольнаяпри <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1079"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> функция, такая, что <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1080"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> и тождественно равная нулю при <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align: baseline"><img src="/cache/referats/20318/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1081"><span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol;vertical-align:baseline">¹<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">0.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">          Для основной задачи построенияуравнений и задачи восстановления уравнения осуществимости движения имеютследующий вид:

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">         

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1082"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                              (2.9)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">где   

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">-функции Еругина;

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">и для задачи замыканияусловие (2.8) принимает вид:

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1084">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">,                           (2.10)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">где   

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">          Затем из этих условий определяютсяправые части уравнений (2.4), (2.7)

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1086"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">,<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1087"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> соответственно, которые в конечном итоге ввекторной форме будут иметь следующий вид:

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">         

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1088"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">,                                                 (2.11)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">где

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> определяется из условия

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">         

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1090"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">-алгебраическое дополнение (<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline">i<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">, <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline">j<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">) – го элемента определителя<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1092"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">;

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">  (для задачи замыкания),    (2.12)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">где   

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1094"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">,

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align: baseline"><img src="/cache/referats/20318/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">-алгебраическое дополнение <img src="/cache/referats/20318/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> – го элементаопределителя <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1097"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">и

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">определяетсяиз условия

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">         

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1099"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">                                                                            

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Чтобыопределить искомые функции

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1100"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> в задаче восстановления, необходимо правуючасть выражения (2.10) приравнять к известным правым частям заданных уравнений(2.5):

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">           

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align: baseline"><img src="/cache/referats/20318/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1101"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">Тогда получим следующиеравенства:

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1102">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">  (<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol; vertical-align:baseline">n<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">= 1…<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline">n<span Times New Roman",«serif»;vertical-align: baseline">)        (2.13)

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">и разрешим данное уравнениеотносительно функций

<span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1103"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">.

<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">          Заметим, что поставленная задача имеетв общем случае неоднозначное решение. Во-первых, потому  что   при

<span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language: EN-US;vertical-align:baseline">m<span Times New Roman",«serif»; vertical-align:baseline"> <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol;vertical-align:baseline"><<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align: baseline">n<span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">       условия (2.8) не определяют однозначновсе <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US; vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1104"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">,во-вторых, условия (2.8) при <span Times New Roman",«serif»; mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1105"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> содержат произвольные функции <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align: baseline"><img src="/cache/referats/20318/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1106"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline">.Все это позволяет решать обратные задачи динамики в сочетании с задачамиустойчивости и оптимальности заданного движения, и вообще, в сочетании сдополнительными требованиями относительно динамических показателей движениярассматриваемой механической системы. При этом функции <span Times New Roman",«serif»;mso-ansi-language:EN-US;vertical-align:baseline"><img src="/cache/referats/20318/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1107"><span Times New Roman",«serif»;vertical-align:baseline"> будут определять обобщенные силы, возникающиепри отклонении движения системы от ее движения с заданными свойствами.

В указанной монографии [2] эта возможность использованадля аналитического построения устойчивых систем и систем программного движенияв предположении, что движения рассматриваемых материальных систем описываютсяобыкновенными дифференциальными уравнениями.

 

3.<span Times New Roman"">    

Метод квазиобращения.

                В настоящеевремя сформулированы возможные постановки обратных задач дифференциальныхсистем и разработаны общие методы решения этих задач в классе ОДУ. При этомоказалось, что если заданные свойства движения механической системы могут бытьаналитически представлены как первые или частные интегралы соответствующихуравнений движения, то решение обратных задач дифференциальных систем в общемслучае сводится к построению дифференциальных уравнений по заданным ихинтегралам и к определению в дальнейшем из них искомых сил и моментов,параметров и связей, необходимых для осуществления движения рассматриваемоймеханической системы с предварительно заданными свойствами. Один из общихметодов решения <img src="/cache/referats/20318/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1108">

Сущностьметода квазиобращения состоит в следующей теореме:

Теорема: Совокупность всехрешений линейной системы

<img src="/cache/referats/20318/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1109"><img src="/cache/referats/20318/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> <img src="/cache/referats/20318/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1111"><img src="/cache/referats/20318/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1112">                      (3.1) 

<img src="/cache/referats/20318/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1113"><img src="/cache/referats/20318/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1114">  <img src="/cache/referats/20318/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1115">

в которойматрица А имеет ранг, равный r, определяется выражением

<img src="/cache/referats/20318/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1116">                                                         (3.2)

где k– произвольная скалярная величина,

<img src="/cache/referats/20318/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1117">         (3.3)

— векторноепроизведение векторов <img src="/cache/referats/20318/image171.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> и произвольныхвекторов <img src="/cache/referats/20318/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1119"><img src="/cache/referats/20318/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1120">  <img src="/cache/referats/20318/image177.gif" v:shapes="_x0000_i1121">  — единичные ортыпространства <img src="/cache/referats/20318/image179.gif" v:shapes="_x0000_i1122"><img src="/cache/referats/20318/image181.gif" v:shapes="_x0000_i1123"><img src="/cache/referats/20318/image183.gif" v:shapes="_x0000_i1124">  — матрица, транспонированнаяк <img src="/cache/referats/20318/image185.gif" v:shapes="_x0000_i1125">

       Прежде всего непосредственнойподстановкой можно убедиться в том, что (3.2) удовлетворяет уравнению (3.1).Действительно, произведение <img src="/cache/referats/20318/image187.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> дает столбец,  состоящий из <img src="/cache/referats/20318/image189.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> нулей, а <img src="/cache/referats/20318/image191.gif" v:shapes="_x0000_i1128">

       Далеепусть <img src="/cache/referats/20318/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1129"><img src="/cache/referats/20318/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1130"> в виде суммы <img src="/cache/referats/20318/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1131">

где <img src="/cache/referats/20318/image199.gif" v:shapes="_x0000_i1132"> вектор, ортогональный <img src="/cache/referats/20318/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1133"> так что

<img src="/cache/referats/20318/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1134">                                                                   (3.4)

<img src="/cache/referats/20318/image205.gif" v:shapes="_x0000_i1135"><img src="/cache/referats/20318/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1136"> т.е. <img src="/cache/referats/20318/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> Тогда из уравнения(3.1) следует, что <img src="/cache/referats/20318/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> т.е. <img src="/cache/referats/20318/image212.gif" v:shapes="_x0000_i1139">

      Остается показать, что при определенном выборе матрицы <img src="/cache/referats/20318/image214.gif" v:shapes="_x0000_i1140"> первое слагаемоеправой части (3.2) совпадает с <img src="/cache/referats/20318/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1141"><img src="/cache/referats/20318/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> Тогда <img src="/cache/referats/20318/image220.gif" v:shapes="_x0000_i1143"><img src="/cache/referats/20318/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1144"> представляет собойдвойное векторное произведение и может быть записано в виде определителя

<img src="/cache/referats/20318/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1145"><img src="/cache/referats/20318/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1146">           (3.5)

      Поскольку векторы <img src="/cache/referats/20318/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1147"> <img src="/cache/referats/20318/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1148"> произвольны, выберемих так, чтобы векторы <img src="/cache/referats/20318/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> были линейнонезависимы и выполнялись равенства

<img src="/cache/referats/20318/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1150">                                                                    (3.6)

       Тогда в силу (3.4), (3.6) в последнемстолбце определителя (3.5) все элементы, за исключением <img src="/cache/referats/20318/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1151"><img src="/cache/referats/20318/image236.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> где <img src="/cache/referats/20318/image238.gif" v:shapes="_x0000_i1153">  — определитель Грама,отличный от нуля.

      Следовательно, можно принять <img src="/cache/referats/20318/image240.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> Тогда <img src="/cache/referats/20318/image242.gif" v:shapes="_x0000_i1155"> и <img src="/cache/referats/20318/image244.gif" v:shapes="_x0000_i1156">

4.<span Times New Roman"">    

Метод разделения искомойсистемы.

Предположим,что вектор <img src="/cache/referats/20318/image246.gif" v:shapes="_x0000_i1157"> допускает разделениена две части:

<img src="/cache/referats/20318/image248.gif" v:shapes="_x0000_i1158">  <img src="/cache/referats/20318/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1159">    <img src="/cache/referats/20318/image250.gif" v:shapes="_x0000_i1160">  <img src="/cache/referats/20318/image252.gif" v:shapes="_x0000_i1161"><img src="/cache/referats/20318/image254.gif" v:shapes="_x0000_i1162"> 

<img src="/cache/referats/20318/image256.gif" v:shapes="_x0000_i1163">  <img src="/cache/referats/20318/image258.gif" v:shapes="_x0000_i1164">

таким образом, что <img src="/cache/referats/20318/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1165">  <img src="/cache/referats/20318/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1166"><img src="/cache/referats/20318/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1167"><img src="/cache/referats/20318/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1168">  <img src="/cache/referats/20318/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1169"><img src="/cache/referats/20318/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1170">

Тогда искомое уравнение (1.2) можно представить ввиде двух уравнений

<img src="/cache/referats/20318/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1171">

<img src="/cache/referats/20318/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1172">     <img src="/cache/referats/20318/image273.gif" v:shapes="_x0000_i1173">                                                                      (4.1)

Запишем равенство (1.4) с учетом (4.1)

<img src="/cache/referats/20318/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1174">                                                                     (4.2)

<img src="/cache/referats/20318/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1175">  <img src="/cache/referats/20318/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1176">  <img src="/cache/referats/20318/image258.gif" v:shapes="_x0000_i1177">

Еслисчитать Zпроизвольным, то (4.2) оказывается линейным уравнением относительно Yс определителем <img src="/cache/referats/20318/image260.gif" v:shapes="_x0000_i1178">

Запишем искомую систему в виде

<img src="/cache/referats/20318/image282.gif" v:shapes="_x0000_i1179">

                                                                                                                 (4.3)

<img src="/cache/referats/20318/image273.gif" v:shapes="_x0000_i1180">

Такой же подход можно использовать для определенияправой части уравнения

 

<img src="/cache/referats/20318/image284.gif" v:shapes="_x0000_i1181">                                                                                              (4.4)

движения динамической системы, на которую наложенысвязи

<img src="/cache/referats/20318/image286.gif" v:shapes="_x0000_i1182">

Запишем основное соотношение

<img src="/cache/referats/20318/image288.gif" v:shapes="_x0000_i1183">  <img src="/cache/referats/20318/image290.gif" v:shapes="_x0000_i1184">                                                        (4.5)

и представим Xв виде суммы

<img src="/cache/referats/20318/image292.gif" v:shapes="_x0000_i1185">                                                                                           (4.6)

где <img src="/cache/referats/20318/image294.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/20318/image296.gif" v:shapes="_x0000_i1187">

<img src="/cache/referats/20318/image298.gif" v:shapes="_x0000_i1188">                                                                                                 (4.7)

Предполагая, что <img src="/cache/referats/20318/image300.gif" v:shapes="_x0000_i1189">  <img src="/cache/referats/20318/image262.gif" v:shapes="_x0000_i1190"><img src="/cache/referats/20318/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1191">  <img src="/cache/referats/20318/image304.gif" v:shapes="_x0000_i1192"><img src="/cache/referats/20318/image294.gif" v:shapes="_x0000_i1193"> уравнения (4.5) в виде<img src="/cache/referats/20318/image306.gif" v:shapes="_x0000_i1194"><img src="/cache/referats/20318/image308.gif" v:shapes="_x0000_i1195"> достаточно подставить <img src="/cache/referats/20318/image294.gif" v:shapes="_x0000_i1196"> в (4.5), тогдаполучаем

<sp

еще рефераты
Еще работы по математике