Реферат: Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

            МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИУКРАИНЫ                НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ              “ ХАРЬКОВСКИЙПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”                        Кафедра“Системы и Процессы Управления”

                                                  ОТЧЕТ

                        онаучно-исследовательской курсовой работе

               по численным методам

                           на тему :

« РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ  ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА –БАШФОРТА »

                                                  Выполнил студент

                                                  гр.И-29 Уханов Е.В.

                                                  Руководитель работы

                                                                        Д.т.н. проф    Бреславский  Д.В.                                                   

                                                      Харьков 2001

                                           СОДЕРЖАНИЕ

 

    Введение………………………………………………………………………..3

<span Times New Roman"">1.<span Times New Roman"">    

Постановка задачи …………………………………………………………4

<span Times New Roman"">2.<span Times New Roman"">    

Методы решения………………..…………………………………………6

          2.1. Метод прогноза и коррекции…………………………………………6 

         2.2 Модифицированный метод Гаусса ………………………………….12

   3.  Описание алгоритма ………………………………………………………14

   4.  Описание программы……………………………………………………..15

   5.  Примеры расчетов………………………………………………………...17

        5.1. Решение одного дифференциальногоуравнения …………………...17

        5.2. Решение системы дифференциальныхуравнений ………………….19

   Заключение……………………………………………………………………20

   Список использованной литературы ………………………………………..21

   Приложение 1 …………………………………………………………………22

   Приложение 2 …………………………………………………………………23

   Приложение 3 …………………………………………………………………24

   Приложение 4 …………………………………………………………………25

                                      

                                             ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях науки и техники, а также отрасляхнаукоемкой промышленности, таких как: авиационная, космическая, химическая, энергетическая  , — являются весьмараспространенные задачи прогноза протекания процессов ,  сдальнейшей их коррекцией .

Решение такого рода задач связано с необходимостьюиспользования численных методов, таких как: метод прогноза и коррекции,метод Адамса-Башфорта, метод Эйлера, метод Рунге-Кута, и др.  При этом, стоит задача решения системылинейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методовинтегрирования, на произвольном промежутке времени. Одним из оптимальныхметодов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный методпрогноза и коррекции Адамса-Башфорта. Для повышения точности методаиспользуется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выборомшага, что приводит к универсальному методу интегрирования системдифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежуткеинтегрирования  .

Разработка программных средств реализующих расчетточного  прогноза протекания процессов,является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .

Целью данной курсовой работы является разработкаалгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядкапяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .

                            1.   ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

        Рассмотримпроизвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

<img src="/cache/referats/4746/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">                         (1.1)

тогда как :

               А =      <img src="/cache/referats/4746/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">                                                    (1.2)

 где  Азаданная матрица размером  NxN.

<img src="/cache/referats/4746/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">  — вектор с Nкоординатами, который подлежит определению ;

N–произвольное целое число ;

<img src="/cache/referats/4746/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

<span Times New Roman"">-<span Times New Roman"">        

заданные вектора правых частей с N  координатами .

    С  использованием метода прогноза и коррекцииАдамса-Башфорта пятого порядка  ,необходимо получить значения  неизвестныхдля заданных  временных интервалов.Для  стартования  метода необходимо использовать метод прогнозаи коррекции   третьего порядка с переменнымшагом  , на заданных временныхпромежутках ..

                            2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

                     

                     2.1. Метод прогноза икоррекции

Методпрогноза и коррекции относится к задачам класса Коши, а именно к численнымрешениям многошаговыми методами .

Рассмотримзадачу Коши :

<img src="/cache/referats/4746/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">            ,   <img src="/cache/referats/4746/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">                                                (2.1.1)

Подставим в (2.1.1) точноерешение  y(x)  , и проинтегрируем это уравнение наотрезке  <img src="/cache/referats/4746/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> , тогда получим :

<img src="/cache/referats/4746/image016.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026"><img src="/cache/referats/4746/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1032">                 (2.1.2)


      где в последнем член предполагаем,что   p(x)   полином, аппроксимирующий   f(x,y(x))  . Чтобыпостроить этот полином, предположим, что <img src="/cache/referats/4746/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1033">   — приближения крешению в точках        <img src="/cache/referats/4746/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1034">      . Будем считатьдля начала, что узлы Xi  расположеныравномерно с шагом  h. тогда  fi  = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к  f(x,y(x))  в точках <img src="/cache/referats/4746/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> и мы в качестве P  возьмеминтерполяционный полином для выбора данных (xi,fi),

( i=k,k-1,k-2,…,k-N). Таким образом, P– полином степени N,удовлетворяющий условиям  P(xi)=fi  , ( i= k,k-1,k-2,…,k-N) .  В принципе, можем проинтегрировать этотполином явно, что ведет к следующему методу :

                  <img src="/cache/referats/4746/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">                                                         (2.1.3)

         В простейшем случае, когда  N=0  , полином P есть константа  , равная fk  ,  и(2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера :

                             <img src="/cache/referats/4746/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">                                                          (2.1.4)

         Если N=1, то Pесть линейная функция, проходящая через точки 

(xk-1,fk-1)  и(xk,fk), т.е. 

               <img src="/cache/referats/4746/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">                               (2.1.5)

    интегрируя этот полином  от Xk  до Xk+1  , получимследующий метод :

                     <img src="/cache/referats/4746/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">                                             (2.1.6)

         которыйявляется двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках  xk  и   xk-1  . Аналогично,если N=2 , то P  — есть кубический интерполяционный полином,а соответствующий метод определяется формулой :

   <img src="/cache/referats/4746/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">               (2.1.7)

                Отметим, что метод (2.1.6) –есть метод Адамса-Башфорта второго порядка, (2.1.7) – метод Адамса-Башфортачетвертого порядка  .

            Длястартования метода  (2.1.7)  необходимы сведения о четырех предыдущихточках. Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных.Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера, которыйимеет вид :

                                    <img src="/cache/referats/4746/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

             Таким образом, подставляяначальные условия, мы находим вторую точку. Следует заметить, что степеньточности совпадает со степенью точности остальных методов, что являетсясущественным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции .

               Ввиду того, что стартовые методы имеют более низкий порядок, в началеприходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежуткавремени. В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования неоправдывает себя. Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза икоррекции с переменным шагом .

                 Рассуждая также, как для методаАдамса-Башфорта, который излагается в работах: [1],[2],[3]  ,  мымы приходим к формулам :

Прогноз :

        <img src="/cache/referats/4746/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1042">                                                               (2.1.8)

Коррекция :

      <img src="/cache/referats/4746/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1043">                                                  (2.1.9)

где  h  — шаг интегрирования, изменяющийся на маломпромежутке времени  в соответствии сусловиями Рунге :

                    <img src="/cache/referats/4746/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> ,

где в свою очередь <img src="/cache/referats/4746/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1045">  — малое конкретноезначение, при невыполнении условия которого увеличивается шаг  h=h*N  а <img src="/cache/referats/4746/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1046">  h=h/N, где N  — некоторое целое число больше единицы .

Оптимально, для вычисления новой точки, с помощьюметода прогноза и коррекции  ,используется формула :

             <img src="/cache/referats/4746/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1047">                                     (2.1.10)

Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговымметодом прогноза и коррекции  , длястартования метода Адамса-Башфорта. Преимущества данного  метода заключаются: в его высокой точности,авто подборе шага, что во много раз повышает точность самого методаАдамса-Башфорта, и делает его оптимальным для задач такого рода .

Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанныезначения в точке Xk  и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома, мы можемиспользовать и точки Xk+1,Xk+2,…. Простейший случай при этом состаит виспользовании точек Xk+1,Xk,…,Xk-N

 и построенияинтерполяционного полинома степени  N+1  ,удовлетворяющего условиям  P(Xi)=fi, (I=k+1,k,…,k-N) .  При этом возникает класс методов, известныхкак методы Адамса-Моултона. Если  N=0  , то  p– линейнаяфункция, проходящая через точки  (Xk,fk) и  (Xk+1,fk+1), и соответствующий метод:

                               <img src="/cache/referats/4746/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1048">                                    (2.1.11)

являетсяметодом Адаиса-Моултона  [2]  , именно им мы воспользовались в формуле  (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки втрех шаговом методе. Если  N=2  , то p– кубический полином, построенный по точкам <img src="/cache/referats/4746/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> и соответствующийметод :

  <img src="/cache/referats/4746/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1050">              (2.1.12)

           является методом Адамса-Моултона четвертого порядка. В силу того, чтопо сути fk+1– неизвестная, то методы Адамса-Моултона   (2.1.11),(2.1.12) называют неявными. В тожевремя методы Адамса-Башфорта – называют явными .

Теперьвоспользовавшись явной формулой (2.1.7)  , и неявной формулой  (2.1.12) , используя их совместно, мы приходим к методу Адамса-Башфортачетвертого порядка :

<img src="/cache/referats/4746/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1051">       (2.1.13)

<img src="/cache/referats/4746/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

<img src="/cache/referats/4746/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

<img src="/cache/referats/4746/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

        Стоит обратитьвнимание, что в целом этод метод является явным   . Сначало по формуле Адамса-Башфортавычисляется значение<img src="/cache/referats/4746/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> , являющееся  “прогнозом”  . Затем   <img src="/cache/referats/4746/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1056">   используется длявычисления приближенного значения <img src="/cache/referats/4746/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> , которое в своюочередь используется в формуле Адамса-Моултона. Таким образом формула  Адамса-Моултона “корректирует” корректируетприближение, называемое формулой Адамса-Башфорта .

            Теперьрассмотрим  произвольную систему линейныхдифференциальных уравнений первого порядка :

                <img src="/cache/referats/4746/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1058">

 где

                              A=   <img src="/cache/referats/4746/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

Заданная матрица размером  NxN; <img src="/cache/referats/4746/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1060">   — вектор с Nкоординатами, который подлежит определению. В связис тем, что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A, на каждом шаге по времени, необходимо решить системуотносительно неизвестных скоростей, для её решения воспользуемсямодифицированным методом Гаусса, который описан в разделе 2.2  .

   Далее,интегрируя сначала  ранее описаннымиметодами  : методом Эйлера  на первом шаге, трех точечным методом прогнозаи коррекции с авто подбором шага, на малом промежутке времени и с малымначальным шагом  , для повышения точностистартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование спостоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта(2.1.13) ,  [2], [3]  .

                  2.2 Модифицированный метод Гаусса

 Как типичный пример решения систем линейныхдифференциальных уравнений  , рассмотримсистему четырех линейных алгебраических уравнений .

Для решения системы четырех линейных алгебраическихуравнений с четырьмя неизвестными модифицированным  методом Гаусса необходимо

Составить систему :       <img src="/cache/referats/4746/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1061">(2.2.1)

1)Каждое уравнение делиться на коэффициент  при X1

<img src="/cache/referats/4746/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1062">                

 2) Теперь образуем нули в первом столбцематрицы системы: вычитаем 2-ое

из 1-ого, 3-е из 2-ого, 4-ое из3-его :

<img src="/cache/referats/4746/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1063">                                                                         

                                                                                                                          (2.2.2)

3) Повторив еще раз эти операции   получим систему двух уравнений с двумянеизвестными, решение которой можно получить по формулам Крамера :

                    <img src="/cache/referats/4746/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1064">                                                            (2.2.3)

         Решение же X1  и  X2  можно получить, подставивв какое-либо из уравнений систем (2.2.1) и (2.2.2) и разрешив эти уравненияотносительно соответствующей переменной .        

                                  

                              3.ОПИСАНИЕАЛГОРИТМА 

     Программа начинается с вывода сообщения опрограмме. После происходит считывание необходимых исходных данных из файла,для дальнейшей работоспособности алгоритма, а именно – начальных условий иматрицы коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений первого рода, начального шага интегрирования, левого и правого условий Рунге, времяинтегрирования по  трех шаговому методупрогноза и коррекции ,  времяинтегрирования по пяти точечному методу Адамса-Башфорта .

      С помощью метода Эйлера находимдополнительные начальные условия. Решение систем линейных дифференциальныхуравнений мы описываем отдельной процедурой, что облегчает дальнейшуюалгоритмизацию .

Далее составляем цикл, для реализации алгоритманахождения всех Yk+1   точек назаданном малом промежутке времени, и проверкой на условия Рунге, по трехшаговому методу прогноза и коррекции с авто подбором шага  . После чего мы организовываем цикл,реализующий алгоритм нахождения точек по методу Адамса-Башфота  , на заданном большом промежутке времени и сшагом автоматически подобранным предыдущим методом .

Вычисленные данные записываем файл, по ним формируеммассив данных, которые выводим в сответствии с масштабированием на экран ввиде  графиков .

Блок-схема приведена в Приложении 1 .

           

                                4.ОПИСАНИЕПРОГРАММЫ

Программа реализующая универсальный алгоритм длярешения  систем линейных дифференциальныхуравнений первого порядка произвольного вида, — построена по принципам  объектно-ориентированного программирования.Основная программа построена на объектной библиотеке VFH  , реализующейвозможности реализации гибкого интерфейса между программой и пользователем .

Основная программа включает в себя только один модуль PACM, и использует всего два метода объекта TApplPandC  , -  метод  Application  — рабочий цикл программы  ; деструктор Done– реализует разрушение таблицы виртуальных методов  , и операций, связанных с завершениемпрограммы .

Модуль PACMвключает всебя модули библиотек  — реализующихпостроение интерфейса  . Модульреализующий алгоритм метода Адамса-Башфорта, и по вычесленным данным строящийграфик, есть – PACMBtn.

Главным родителем всех объектов есть объект – Tobject . Основным рабочим объектом библиотеки VFH  есть объект  Tform  . Рассмотрим потомка являющегося типичным представителем родителя  TForm  -  TApplPandC. Он имеет два виртуалых метода :  MouseHandler: Boolean  Б – выходным параметром которого  есть признак закрытия формы  , и метод  FormCreate  — реализующий построение интерфейсаформы  . Не виртуальный метод  Application  — предназначен для создания формы,конфигурирования программной среды, и дальнейшего управления программой .

Модуль реализующий создание и управления главного исубменю ,    есть – PACMMenu   , позволяющий пользователю изменять параметры и настройки системы,предоставляющий справку о разработчике, а также дает доступ к справочнойсистеме  PrandCoMHelpSystem  . Данныесвойства меню реализуют объекты  TMenu  , и  THelpForm  , объектной библиотеки  VFH  .

Теперь рассмотрим модуль PACMBtn–рреализующий алгоритм построения вычисленных данных. Процедура реализующаяалгоритм пяти точечного метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта  , -  MethodAdamsaBashforta( h,tp,ta: real; NU: array[1..N] ofreal) – параметры которойпредставляют: h-  начальный шаг интегрирования; tp– время интегрирования трех точечным методом прогнозаи коррекции  , ta– время интегрирования по методу Адамса-Башфорта, NU– массив начальных условий. Данная процедураспособна производить решения систем линейных дифференциальных уравненийпроизвольного размера, на произвольном промежутке времени интегрирования  . Вычисленные данные записываются вфайлы  prandcom*.df  . Метод реализующий алгоритм построения вычисленных данных произвольнойстепени сложности  , с возможностьюпостроения графиков с не линейно изменяющимся шагом  , построения одновременно любого количества графиков, — есть объект TCartFile , обладающего всеми свойствами родителей   Tform, Tchart  .

К заключению стоит заметить, что программа   PrandCoMversion2.41 -  разработана на языке BorlandPascal  под защищенный режим работы процессора и  имеет доступ ко всей оперативной памятикомпьютера  . Реализует гибкий интерфейс, облегчающим работу с программным обеспечением .  Позволяет решить систему линейныхдифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса-Башфорта, свозможность просмотра результатов вычисления в виде графиков.

Как показали тестовые программы – разработанныйалгоритм предоставляет точность вычислений, погрешность которых непревышает  1% .

Тексты программной оболочки PrandCoM version2.41 приведены в приложении4 .

                        5.ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ

Для анализадостоверности получаемых результатов рассмотрим следующие примеры :

              

       5.1.Решение одного дифференциальногоуравнения

Первымэтапом анализа достоверности была проверка правильности решения одногодифференциального уравнения  .  Полученное численное решение сравнивается саналитическим .Пусть требуется решить уравнение  :

                                        <img src="/cache/referats/4746/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

при начальномусловии  y(0)=1, 0<=x<=1,  и шаге интегрирования  h=0.1. Этолинейное уравнение, имеющее следующее точное решение :

                  <img src="/cache/referats/4746/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

которое поможет нам сравнить точность численногорешения для случая с постоянным шагом  ,т.к. точность решений  с переменным шагомвыше  . Результаты расчета представлены вТаблице 1.Как видно из таблицы, отличие между численными и аналитическимирешениями удовлетворительное  даже длятакого большого шага, и не превышает 2%. Теперь решим этот же пример тем жеметодом, но с переменным шагом. Получаем любопытные зависимости точности отвыбора шага, а также шага сходимости, — которые носят периодический характер. Результаты исследования приведены в таблице 2. Как мы видим, погрешность резкоуменьшается  с использованием метода спеременным шагом, и показывает очень высокую точность решения  для численных методов, не превышающею 1% .

Таблица  SEQ Таблица * ARABIC 1

<img src="/cache/referats/4746/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1067">

Таблица  SEQ Таблица * ARABIC 2

Начальный шаг

Максимальная погрешность

Сведение к шагу

 0.1

1.683 %

 0.0250

 0.01

1.163  %

 0.0100

 0.001

0.744  %

 0.0040

 0.0001

0.568  %

 0.0032

 0.00001

0.451  %

 0.0025

 0.000001

0.723  %

 0.0040

 0.0000001

0.578  %

 0.0032

 0.00000001

0.462  %

 0.0026

 0.000000001

0.740  %

 0.0041

 0.0000000001

0.592  %

 0.0033

 0.00000000001

0.473  %

 0.0026

Иллюстрация решения данногодифференциального уравнения в виде графика – приведена в Приложении 2 .

          5.2.Решение системы дифференциальныхуравнений

Вторым этапом анализа достоверности полученныхрезультатов была проверка правильности решения системы линейныхдифференциальных  уравнений саналитическим решением .

Рассмотрим следующую систему дифференциальныхуравнений  , которую требуется решитьметодом Адамса-Башфорта :

                                  <img src="/cache/referats/4746/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1068">

                   Начальнымиусловиями здесь являются :

<img src="/cache/referats/4746/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> .  Возьмем начальный шаг интегрирования   h=0.00001   , время  интегрирования по трехточечному методу прогноза и коррекции  tp=0.1  и времяинтегрирования по методу Адамса-Башфорта ta=1 .

           Результатыисследования для разных начальных шагов интегрирования приведены в таблице 2.Мы приходим к выводу, что точность решения одного уравнения и системы дифференциальныхуравнений совпадают .

           Иллюстрациярешения данной системы дифференциальных уравнений приведены в виде графика вприложении 3 .

                                    

                                       ЗАКЛЮЧЕНИЕ

            В даннойкурсовой научно-исследовательской работе разработан алгоритм ипрограмма  решения систем линейныхдифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза икоррекции Адамса-Башфорта  .

Проведены тестовые расчеты  , подтвердившие высокую эффективность иточность метода Адамса-Башфорта со стартованием трех точечным методом прогнозаи коррекции с  переменным шагом  .

Проведены  рядисследований  решения систем как спостоянным шагом, так и с переменным шагом на сходимость к постоянному шагу .

Во всех случаях получены результаты высокой точности .

                 Список используемойлитературы       1.Дж.Ортега, У.Пул  “Введение в численные методы решениядифференциальных уравнений ”. Пер.с англ.; под редакцией  А.А.Абрамова  — М.; Наука.Гл.ред.физ.мат.лит.1986.-288с.

2.Р.В.Хемминг“Численныеметоды для научных работникови                                                                                                                                                     

     инженеров  ”: Пер с англ.: Под редакциейР.С.Гутера .-                                                                                                                                                           

        Гл.ред.физ.мат.лит.1968.-203с.

<span Times New Roman"">3.<span Times New Roman"">    

Т.Шуп.”Решениеинженерных задач наЭВМ. Практическое пособие “

Пер.сангл.-М.Мир.1982.-238с.

  

Приложение1 :

                       Блок схема Алгоритма

Начало

Вывод сообщения

Считывание данных из файла

Yn:=Yn_1+h*dYn

T<=Tp

<img src="/cache/referats/4746/image083.gif" v:shapes="_x0000_s1027 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1050">


<img src="/cache/referats/4746/image084.gif" v:shapes="_x0000_s1067"><img src="/cache/referats/4746/image085.gif" v:shapes="_x0000_s1068"><img src="/cache/referats/4746/image086.gif" v:shapes="_x0000_s1051"><img src="/cache/referats/4746/image087.gif" v:shapes="_x0000_s1063">                                                             -    

<img src="/cache/referats/4746/image088.gif" v:shapes="_x0000_s1052">        

Gauss

<img src="/cache/referats/4746/image089.gif" v:shapes="_x0000_s1039">                                              +

Yn:=Yn_1+h*DyN/2

Gauss

Yn:=Yn_1+h*(DyP-DyN)/5

T:=t+h

Ep<Yn

<img src="/cache/referats/4746/image090.gif" v:shapes="_x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_

еще рефераты
Еще работы по математике